5.1 从实际问题到方程（2大知识点+3大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

5.1 从实际问题到方程 课程标准 学习目标 ①方程的定义 ②方程的解 1. 掌握方程的定义，会代入数值认识方程的解； 2. 掌握方程的解的过程为解方程． 知识点01 方程的定义 定义：方程指的是含有未知数的等式。在方程中，未知数通常用字母表示，如x、y等，而已知数则可以是数字或已知量的表达式。 目的：求解未知数，通过对方程进行运算和变换，可以找到未知数的值，从而解决问题。 知识点02 方程的解 定义：方程的解是指满足方程中所有条件的未知数的值。在数学中，方程通常表示为含有未知数的等式，解方程就是找出使等式成立的未知数的值。求方程的解的过程，叫做解方程。 注意： 1.确保方程是等式，即方程两边相等。 2.找出方程中的未知数，并确定其个数。 3.根据方程的类型，选择合适的解法进行求解。 4.在求解过程中，要注意运算的准确性和步骤的完整性。 5.最后，要检验求得的解是否满足原方程。 题型01 方程的定义 【典例1】下列式子不是方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）． 【变式3】在①；②；③；④；⑤（a，b为常数）中，是方程的为 ．（填序号） 【变式4】下列各式，哪些是等式？哪些是方程？ ①3a+4；②x+2y＝8；③5－3＝2；④；⑤y＝10；⑥；⑦3y2+y＝0；⑧2a2－3a2；⑨3a＜－2a． 题型02 列方程 【典例1】如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式1】若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】用等式表示“a的3倍与4的差等于5”为 ． 【变式3】“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为 【变式4】根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 题型03 方程的解 【典例1】若是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若a是方程的解，则代数式的值为 ． 【变式3】已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【变式4】检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解 (1)； (2)． 1．已知关于的方程的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．下列式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 3．是以下哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 4．如图，圆的面积为2008，五边形的面积为2024，两个图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，，则的值为（      ） A．17 B．16 C．15 D．14 5．若一元一次方程的解是，则的关系为（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为负倒数 6．若关于x的方程的解为， 则k的值为 ． 7．若关于x的方程的解是，则 ． 8．根据“x的3倍与5的和比x少3”可列方程 ． 9．写出一个满足下列条件的一元一次方程：①未知数的系数是；②方程的解是2．这样的方程是 ． 10．某商场先将彩电按进价提高，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获得利润240元，则每台彩电的进价是 元． 11．检验括号内的未知数的值是否为方程的解． （，） 12．若是关于的方程的解，求的值． 13．利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 14．检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 15．某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为12，从第2排开始，每一排都比前一排增加x个座位． (1)请你在下表的空格里填写一个适当的代数式： 第1排的座位数 第2排的座位数 第3排的座位数 第4排的座位数 12 (2)由题可知，第5排座位数是 ，第15排座位数是 ； (3)已知第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第25排有多少个座位？ 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 从实际问题到方程 课程标准 学习目标 ①方程的定义 ②方程的解 1. 掌握方程的定义，会代入数值认识方程的解； 2. 掌握方程的解的过程为解方程． 知识点01 方程的定义 定义：方程指的是含有未知数的等式。在方程中，未知数通常用字母表示，如x、y等，而已知数则可以是数字或已知量的表达式。 目的：求解未知数，通过对方程进行运算和变换，可以找到未知数的值，从而解决问题。 知识点02 方程的解 定义：方程的解是指满足方程中所有条件的未知数的值。在数学中，方程通常表示为含有未知数的等式，解方程就是找出使等式成立的未知数的值。求方程的解的过程，叫做解方程。 注意： 1.确保方程是等式，即方程两边相等。 2.找出方程中的未知数，并确定其个数。 3.根据方程的类型，选择合适的解法进行求解。 4.在求解过程中，要注意运算的准确性和步骤的完整性。 5.最后，要检验求得的解是否满足原方程。 题型01 方程的定义 【典例1】下列式子不是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．方程就是含有未知数的等式，依据定义即可判断． 【详解】解：A、不是方程，故本选项符合题意； B、符合方程的定义，故本选项不符合题意； C、符合方程的定义，故本选项符合题意； D、符合方程的定义，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键：含有未知数的等式叫做方程，方程的定义有两层含义：方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必有若干个待确定的数，即未知的字母，这些字母就是未知数．方程与等式的区别与联系如下： 概念及其特点 区别 联系 方程 含有未知数的等式叫做方程．一个式子是方程，要满足两个条件：一是等式，二是含有未知数 方程一定是等式，并且是含有未知数的等式 方程是特殊的等式 等式 用等号来表示相等关系的式子叫做等式．等式的主体是相等关系 等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数 方程和等式的关系是从属关系，且有不可逆性 根据方程的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：是方程； 是不等式，不是方程； 是方程； 是方程； 可化简为，化简后不含有未知数，不是方程； 是方程； 是方程，共个， 故选：． 【变式2】在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了方程，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 根据含有未知数的等式叫方程，可得答案． 【详解】解：∵①，是等式但不含未知数，故不是方程； ∵②③，含有未知数的等式，故是方程； ④，含有未知数但不是等式，故不是方程， 故答案为：②③． 【变式3】在①；②；③；④；⑤（a，b为常数）中，是方程的为 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】含有未知数的等式是方程，据此逐项分析，找出满足条件的一项即可选择． 【详解】①，含未知数但不是等式，所以不是方程； ②，是等式但不含未知数，所以不是方程； ③是含有未知数的等式，所以是方程； ④是含有未知数的等式，所以是方程； ⑤（a，b为常数），不含有未知数，不是方程． 综上，是方程的为③④． 故答案为：③④． 【点睛】本题考查方程的定义．注意：方程是含有未知数的等式，是等式但不含未知数的不是方程，含未知数但不是等式的也不是方程． 【变式4】下列各式，哪些是等式？哪些是方程？ ①3a+4；②x+2y＝8；③5－3＝2；④；⑤y＝10；⑥；⑦3y2+y＝0；⑧2a2－3a2；⑨3a＜－2a． 【答案】等式有：②③④⑤⑥⑦；方程有：②④⑤⑥⑦． 【分析】根据等式及方程的定义进行判断即可． 【详解】解：由等式的定义“含有等号的式子叫做等式”可知，等式有：②③④⑤⑥⑦； 由方程的定义“含有未知数的等式叫做方程”可知，方程有：②④⑤⑥⑦． 【点睛】本题考查了等式及方程的判断，熟练掌握等式和方程的定义是解题的关键． 题型02 列方程 【典例1】如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为x，，面积为6， 则， 故选：D． 【变式1】若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义， 根据数学语言转化为等式即可得解． 【详解】解：设某数为x，则某数的相反数为， 根据题意，则， 故选：A． 【变式2】用等式表示“a的3倍与4的差等于5”为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列方程，根据等量关系列出等式即可，解题的关键是理解题意． 【详解】解：用等式表示“a的3倍与4的差等于5”为． 故答案为：． 【变式3】“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程；的倍与的和可以表示为，的与的差可以表示为，由两个代数式相等，即可列出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得， 故答案为：． 【变式4】根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列等式，找到对应的等量关系是关键． （1）根据题意列出相应的等式即可； （2）根据题意和图示列出相应的等式即可； （3）根据图示列出相应的等式即可． 【详解】（1）解：根据题意列出等式为：； （2）解：根据题意列出等式为：； （3）解：根据长方形面积和图示，列出的等式为． 题型03 方程的解 【典例1】若是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：， 故选：D． 【变式1】已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把代入方程可得，再代入代数式计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】若a是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解，熟练掌握整体思想的运用是解题的关键． 先利用一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，得到，再把变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a是方程的解， ∴即， ∴ ， 故答案为：2023． 【变式3】已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】0 【详解】把代入方程中得，，即， ∴． 【变式4】检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解 (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)否 【分析】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． （1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 【详解】（1）解：当时， 左边， 右边， 左边右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边右边， ∴不是方程的解． 1．已知关于的方程的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，把代入计算即可． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴把代入得， 解得， 故选：A． 2．下列式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，“含有未知数的等式叫做方程”，据此可得答案． 【详解】解：根据方程的定义可知，四个选项中只有D选项中的式子是方程， 故选：D． 3．是以下哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此本题主要考查了方程的解的含义：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，把分别代入四个选项进行验证，看看左右两边是否相等即可． 【详解】解：把分别代入四个选项进行验证，看看左右两边是否相等： A.当时，左边，右边，左边右边，则不是该方程的解，所以本选项不符合题意； B.当时，左边，右边，左边右边，则是该方程的解，所以本选项符合题意； C.当时，方程左边，右边，左边右边，则不是该方程的解，所以本选项不符合题意； D.当时，左边，右边，左边右边，则不是该方程的解，所以本选项不符合题意． 故选：B． 4．如图，圆的面积为2008，五边形的面积为2024，两个图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，，则的值为（      ） A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】B 【分析】本题考查方程的应用，根据图形可知：，然后整理，即可得到的值． 【详解】解：由图可得，， 化简，得：， 故选：B． 5．若一元一次方程的解是，则的关系为（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为负倒数 【答案】B 【分析】把解代入方程，求得关系计算即可．本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程的解是解题的关键． 【详解】∵关于x的方程的解是， ∴, 解得， 故选B． 6．若关于x的方程的解为， 则k的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查方程的解，将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴； 故答案为：1． 7．若关于x的方程的解是，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程即可求解． 【详解】解：把代入得：， 故答案为：． 8．根据“x的3倍与5的和比x少3”可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系，正确列出方程即可． 【详解】解：依题意，得 故答案为：． 9．写出一个满足下列条件的一元一次方程：①未知数的系数是；②方程的解是2．这样的方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且；根据题意只要求得即可求得方程．本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【详解】解：∵一元一次方程形式是，是常数且； 由题意可知，． 则将与的值代入中得： ， 解得：， 所以该一元一次方程为：． 故答案为：（答案不唯一）． 10．某商场先将彩电按进价提高，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获得利润240元，则每台彩电的进价是 元． 【答案】2000 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设每台彩电的进价是元，根据利润等于售价减进价，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每台彩电的进价是元，由题意，得： ， 解得：， 答：每台彩电的进价是2000元； 故答案为：2000． 11．检验括号内的未知数的值是否为方程的解． （，） 【答案】不是方程的解，是方程的解 【分析】本题主要考查了方程的解，分别把，代入方程两边，判断两边是否相等，即可解答． 【详解】解：把代入方程，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解． 把代入方程，左边，右边， ∵左边右边， ∴是方程的解． 12．若是关于的方程的解，求的值． 【答案】 【分析】将代入方程得到代入代求式子即可； 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，代数式求值，掌握方程的解的概念是解题的关键． 13．利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质． （1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （3）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （4）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案． 【详解】（1） 两边加5，得， 解得． （2）， 两边除以，得， 解得． （3） 两边减2，得， ， 两边除以，得， 得． （4）， 两边加2，得， ， 两边除以4，， 解得． 14．检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解得定义是解题的关键． （1）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． （2）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． 【详解】（1）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； （2）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解． 15．某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为12，从第2排开始，每一排都比前一排增加x个座位． (1)请你在下表的空格里填写一个适当的代数式： 第1排的座位数 第2排的座位数 第3排的座位数 第4排的座位数 12 (2)由题可知，第5排座位数是 ，第15排座位数是 ； (3)已知第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第25排有多少个座位？ 【答案】(1)； (2)第5排的座位数是，第15排的座位数是； (3)第25排有60个座位． 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用以及学生对规律型题的掌握情况，解答本题的关键是读懂题意，找出座位数的规律，列出方程求解． （1）根据题意即可表示出第3排的座位数； （2）根据题意得出第排的座位数是，即可表示出第5排和第15排的座位数； （3）根据第15排座位数是第5排座位数的2倍列等式，从而可求得的值，再根据公式即可求得第25排的座位数． 【详解】（1）解：由题意得，第3排的座位数为：， 故答案为：； （2）解：由题意可得：第排的座位数是：， ∴第5排的座位数是：， 第15排的座位数是：． （3）解：∵第5排有座位，第15排有座位， ∴， 解得：， 当时， ， ∴第25排有60个座位． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$