专题05 函数及抽象函数定义域、值域与解析式（13大巩固提升练+能力提升练+高考真题练）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（人教A版2019必修第一册）

专题05函数及抽象函数定义域、值域与解析式 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：抽象函数定义域 题型二：换元型求解析式 题型三：凑配型求解析式 题型四：函数方程求解析式 题型五：待定系数型求解析式 题型六：反比例函数型值域 题型七：对勾函数型值域 题型八：无理嗯好换元型函数值域 题型九：双（多）根号复杂型 题型十：高斯取整函数型值域 题型十一：绝对值型函数值域 题型十二：函数值域应用：双变量型求参 题型十三：值域与最值求参 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 抽象函数定义域 ⭐技巧积累与运用 .若已知函数的定义域为，则复合函数 的定义域由不等式 . 已知的定义域为，求的定义域：由确定的取值范围，即为的定义域. 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数在上的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 题型02 换元型求解析式 ⭐技巧积累与运用 已知y=的 求解析式，可以设由t=g（x）换元，反解x=r（x）反解代入 1．函数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数满足，则 ． 题型03凑配型求解析式 ⭐技巧积累与运用 对于不能换元反解代入型，可以观察式子结构，寻找同构凑配，再整体“换元”代入 1．已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 2．给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A． B．函数与不是同一函数 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若函数，则， 3．已知，则 ， ； 题型04 函数方程型求解析式 ⭐技巧积累与运用 常见函数解析式的求法为： （1）待定系数法：已知函数类型，可设出函数的解析式，再代入条件，求出参数，即可确定函数解析式； （2）换元法与凑配法：已知解析式，求的解析式； （3）解方程组消元法：已知与、或、或的关系，一般成对出现； （4）奇偶性法：已知函数的奇偶性和函数在0某一侧的解析式，求函数在定义域上的解析式； （5）赋值法：对抽象函数，根据具体的题目灵活的选择合适的值进行赋值. （6）反函数法：根据反函数的概念. 1．已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．已知，则； B．已知，则； C．已知一次函数满足，则； D．定义在上的函数满足，则 3．已知函数满足，则 . 题型05 待定系数型求解析式 ⭐技巧积累与运用 对于一元一次和一元二次型，可以分别用待定系数法求解，其中，一元一次可设为y=kx+b，一元二次可以设为y=ax2+bx+c. 1．已知一次函数满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 2．已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 题型06反比例函数型值域 ⭐技巧积累与运用 反比例函数 。对称中为P，其中 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 3．时，的值域为 . 题型07对勾函数型值域 ⭐技巧积累与运用 对勾函数：图像特征 形如称为对勾函数 1.有“渐近线”：y=ax 2.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处） 1．函数在上的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．下列函数与的值域相同的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域为 ． 题型08 无理根号换元型函数值域 ⭐技巧积累与运用 无理根号型 1. 形如求值域，可以借助单调性，此函数是单调增函数 2. 形如，需要借助换元法求解，设，代入化归为一元二次函数 3. 注意点：定义域，换元，更要注意新元与旧变量之间得范围传递。 1．已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．函数的值域为 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 3．函数的值域为 题型09 双（多）根号复杂型 ⭐技巧积累与运用 双根号型： 1. 形如，利用tx+m与m-tx对称性，可以直接平方消去后，再一元二次或者均值型求范围。 2. 多根号无理型，可以结合数据适当设置多根号换元 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 . 题型10高斯取整函数型值域 ⭐技巧积累与运用 取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”， 1．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．表示不超过的最大整数，例如，，则函数的最小值为 ，最大值为 . 3．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多．如高斯函数，其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．如，，，记函数，则 ，的值域为 ． 题型11绝对值型函数值域 ⭐技巧积累与运用 绝对值函数： 1．定义：表示a、b中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数的图象是（   ） A． B． C． D． 3．函数的值域是 题型12 函数值域应用：双变量型求参 ⭐技巧积累与运用 一般地，已知函数， （1）相等关系 记的值域为A, 的值域为B, ①若，，有成立，则有； ②若，，有成立，则有； ③若，，有成立，故； （2）不等关系 (1)若，，总有成立，故； (2)若，，有成立，故； (3)若，，有成立，故； (4) 若，，有成立，故． 1．若函数，，对于，，使，则a的取值范围是 . 2．已知函数，如果对，，使得成立，请给出一个满足上述条件的函数，则的解析式为 . 3．已知函数，，其中.若对任意的，存在，使得成立，则实数的值等于 . 题型13值域与最值求参 1．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数若当时，，则的最大值是（   ） A．4 B．3 C．7 D．5 3．已知函数的值域为，则实数的值为 ． 能力培优 1．若，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3. 已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数定义域为，满足，当时，总有，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若存在，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 8．定义，已知函数，若在区间上的值域为，则区间的长度可以是（   ） A． B． C． D． 9． 表示与中的较大者，设，则函数的最小值是 . 10．若，则实数的取值范围是 . 高考真题 1．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（江西·高考真题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（安徽·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（·湖北·高考真题）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 6．（浙江·高考真题）函数的值域是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05函数及抽象函数定义域、值域与解析式 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：抽象函数定义域 题型二：换元型求解析式 题型三：凑配型求解析式 题型四：函数方程求解析式 题型五：待定系数型求解析式 题型六：反比例函数型值域 题型七：对勾函数型值域 题型八：无理嗯好换元型函数值域 题型九：双（多）根号复杂型 题型十：高斯取整函数型值域 题型十一：绝对值型函数值域 题型十二：函数值域应用：双变量型求参 题型十三：值域与最值求参 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 抽象函数定义域 ⭐技巧积累与运用 .若已知函数的定义域为，则复合函数 的定义域由不等式 . 已知的定义域为，求的定义域：由确定的取值范围，即为的定义域. 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A 2．下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数在上的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】利用复合函数求定义域的方法可得选项A正确；利用二次函数的性质可得选项B错误；利用分离常数法化简函数解析式可得选项C错误；利用换元法，结合二次函数性质求值域可得选项D正确. 【详解】A.∵的定义域为， ∴，解得， ∴的定义域为，选项A正确. B. ∵，对称轴为直线， ∴， ∴函数在上的值域为，选项B错误. C. ∵ , ∴，即函数的值域为，选项C错误. D.令，则， ∴， ∴当时，，即函数值域为，选项D正确. 故选：AD. 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由条件可得，，即可得到函数的定义域为，使有意义满足，，然后可建立不等式组求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 题型02 换元型求解析式 ⭐技巧积累与运用 已知y=的 求解析式，可以设由t=g（x）换元，反解x=r（x）反解代入 1．函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法将设为，反求出，再代入原式，并将改为即得. 【详解】设，则，即， 代入，可得，故. 故选：A. 2．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】令，求得，进而得到的解析式可判断B，C；进而可求得可判断A，D. 【详解】解析  由，令，可得，可得， 即，故B正确，C不正确； 可得，故A正确； 1，故D不正确. 故选：AB. 3．已知函数满足，则 ． 【答案】1 【分析】利用换元法求得的解析式，进而求得. 【详解】令，则，即， 其中，则． 故答案为： 题型03凑配型求解析式 ⭐技巧积累与运用 对于不能换元反解代入型，可以观察式子结构，寻找同构凑配，再整体“换元”代入 1．已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用配凑法，求得，再结合条件，即可求解. 【详解】易知， 又，所以， 则，解得， 故选：A. 2．给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A． B．函数与不是同一函数 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若函数，则， 【答案】BCD 【分析】对于A，利用集合和元素的关系进行判断；对于B，利用是否为同一个函数的依据进行判断；对于C，利用抽象函数定义域的求法进行求解；对于D，利用配凑和换元求解析式即可. 【详解】对于A，代表的是自然数集，显然-5不是自然数，故A错误； 对于B，虽然两个函数的定义域一致，但是，与的对应关系不同，因此不是同一个函数，故B正确； 对于C，若的定义域为，则在中，即， 的定义域为，故C正确； 对于D，由，令，， 则，， ，，故D正确； 故选：BCD. 3．已知，则 ， ； 【答案】 / 【分析】将已知式化简后，用表示，即可得函数解析式，从而计算出函数值． 【详解】由题，显然且，因为，当且仅当时取等号，又， 所以， 由已知， 所以，． 故答案为：． 题型04 函数方程型求解析式 ⭐技巧积累与运用 常见函数解析式的求法为： （1）待定系数法：已知函数类型，可设出函数的解析式，再代入条件，求出参数，即可确定函数解析式； （2）换元法与凑配法：已知解析式，求的解析式； （3）解方程组消元法：已知与、或、或的关系，一般成对出现； （4）奇偶性法：已知函数的奇偶性和函数在0某一侧的解析式，求函数在定义域上的解析式； （5）赋值法：对抽象函数，根据具体的题目灵活的选择合适的值进行赋值. （6）反函数法：根据反函数的概念. 1．已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，解方程即可. 【详解】因①， 用代替①中的得：②， 则得：，解得. 故选：D. 2．下列说法正确的是（   ） A．已知，则； B．已知，则； C．已知一次函数满足，则； D．定义在上的函数满足，则 【答案】ABD 【分析】对于A，用替换中的 ，求出的解析式，即可判断；对于B，由题意可得，再由，即可得的解析式，即可判断；对于C，设，根据题意求出的值，即可判断；对于D，用替换中的，由两式中消去，可得的解析式，即可判断. 【详解】解：对于A，因为， 所以，故正确； 对于B，因为， 因为， 所以，故正确； 对于C，设， 则， 所以，解得或， 所以或，故错误； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①+②，得， 所以，故正确. 故选：ABD. 3．已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】利用解方程组法和换元法即可求解. 【详解】由①，得②， 由①②得，则，令，则， 所以，故.故答案为：. 题型05 待定系数型求解析式 ⭐技巧积累与运用 对于一元一次和一元二次型，可以分别用待定系数法求解，其中，一元一次可设为y=kx+b，一元二次可以设为y=ax2+bx+c. 1．已知一次函数满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】设，利用待定系数法法求解. 【详解】设，则由，得， 即，则,得， 则，所以． 故选：B 2．已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果. 【详解】设，则， 所以，解得或， 则或． 故选：AD. 3．已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【答案】 【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解. 【详解】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 题型06反比例函数型值域 ⭐技巧积累与运用 反比例函数 。对称中为P，其中 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【详解】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B 2．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】AD选项利用求值域即可； B选项：利用反比例型函数的性质求值域； C选项：利用换元法和二次函数的性质求值域. 【详解】A选项：，则，，故A正确； B选项：，因为，所以，故B错； C选项：令，则，，因为，所以，即，故C正确； D选项：因为，所以，故D错. 故选：AC. 3．时，的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解. 【详解】因为，令，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 所以在内的值域为， 即在内的值域为. 故答案为：. 题型07对勾函数型值域 ⭐技巧积累与运用 对勾函数：图像特征 形如称为对勾函数 1.有“渐近线”：y=ax 2.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处） 1．函数在上的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用均值不等式直接计算作答. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以函数在上的最小值是3. 故选：D 2．下列函数与的值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求得题设中函数的值域，再求每个选项中函数的值域，即可判断和选择. 【详解】，故其值域为； 对A：当时，，其值域为，故A正确； 对B：，故，其值域为，故B错误； 对C：，当且仅当时取得等号，其值域为，故C正确； 对D：令，故的值域即的值域； 又在单调递减，在单调递增，故，故D错误. 故选：AC. 3．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，化简函数解析式为，利用基本不等式可求得函数的值域. 【详解】对于函数，有，可得， 所以函数的定义域为， 所以， 当且仅当即当时等号成立， 故函数的值域为. 故答案为：. 题型08 无理根号换元型函数值域 ⭐技巧积累与运用 无理根号型 1. 形如求值域，可以借助单调性，此函数是单调增函数 2. 形如，需要借助换元法求解，设，代入化归为一元二次函数 3. 注意点：定义域，换元，更要注意新元与旧变量之间得范围传递。 1．已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，则，， 则， 令，， 则，所以函数的值域为. 故选：B 2．下列说法正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．函数的值域为 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】解不等式判断A；利用换元法求值域判断B；利用基本不等式取等号条件判断C；由一元二次不等式恒成立求解判断D. 【详解】对于A，不等式化为，解得或，A错误； 对于B，令，则，从而， 从而的值域为，B正确； 对于C，依题意，， 当且仅当，即时取等号，而，因此不能取等号，C错误； 对于D，当时，恒成立，则；当时，必有，解得， 所以的取值范围是，D正确. 故选：BD. 3．函数的值域为 【答案】 【分析】根据换元法得到有关的函数，根据取值可得到值域. 【详解】令，则，，则在上是减函数， 所以， 所以，故的值域为， 故答案为：. 题型09 双（多）根号复杂型 ⭐技巧积累与运用 双根号型： 1. 形如，利用tx+m与m-tx对称性，可以直接平方消去后，再一元二次或者均值型求范围。 2. 多根号无理型，可以结合数据适当设置多根号换元 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元法，结合二次函数指定区间上的值域求解即可. 【详解】因为所以的定义域为， 令，所以，则1， 由，可知，，所以，则， 所以， 则，所以的值域为． 故选：C． 【点睛】方法点睛：本题考查函数值域的求解方法，常见的函数值域的求解方法：换元法、分离常数法、判别式法、配方法. 2．已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，因为，所以， 所以，则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D 3．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为 . 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再求，结合函数的定义域，求函数的最值，即可求解. 【详解】函数的定义域满足，得， ，当，得，， 所以，且，所以， 所以，，所以. 故答案为： 题型10高斯取整函数型值域 ⭐技巧积累与运用 取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”， 1．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【详解】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 2．表示不超过的最大整数，例如，，则函数的最小值为 ，最大值为 . 【答案】 1 4 【分析】分离常数后求得，再求的值域，从而得函数的最值. 【详解】∵，又，故， 则， 函数的最小值为1，最大值为4. 故答案为：； 3．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多．如高斯函数，其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．如，，，记函数，则 ，的值域为 ． 【答案】 【分析】将代入解析式，结合的含义即可得的值；由的含义可得，再由不等式的性质即可求解. 【详解】因为高斯函数表示不超过实数的最大整数，， 所以， 函数函数的定义域为， 表示不超过实数的最大整数称为的整数部分， 所以，，，即， 所以的值域为． 故答案为：；. 题型11绝对值型函数值域 ⭐技巧积累与运用 绝对值函数： 1．定义：表示a、b中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先作出的图象，然后分析时的取值，根据值域结合图象确定出的最大值. 【详解】在平面直角坐标系中作出的图象如图所示， 令，解得或，所以， 令，解得，所以， 由题可知，当在区间上的取值范围为时， 当且仅当时取得最大值，且最大值为， 故选：B. 2．函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去掉绝对值符号，函数可化为，进而答案可得. 【详解】函数，可化为为分段函数，即D项正确. 故选：D. 3．函数的值域是 【答案】 【解析】将函数去绝对值可得，利用二次函数的单调性求出各段的最值即可求解. 【详解】， 当时，单调递增，故； 当时，， 当时，函数取得最小值，故， 综上可得，函数的值域为. 故答案为： 【点睛】本题考查了求分段函数的值域、二次函数的图像与性质，属于基础题. 题型12 函数值域应用：双变量型求参 ⭐技巧积累与运用 一般地，已知函数， （1）相等关系 记的值域为A, 的值域为B, ①若，，有成立，则有； ②若，，有成立，则有； ③若，，有成立，故； （2）不等关系 (1)若，，总有成立，故； (2)若，，有成立，故； (3)若，，有成立，故； (4) 若，，有成立，故． 1．若函数，，对于，，使，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知函数在区间的值域是函数在区间的值域的子集，转化为子集问题求的取值范围. 【详解】在定义域上是单调递增函数， 所以函数在区间的值域是 函数在区间是单调递增函数， 所以函数的值域是， 由题意可知， 所以 ，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查双变量等式中任意，存在问题求参数的取值范围，重点考查函数的值域，转化与化归的思想，属于中档题型. 2．已知函数，如果对，，使得成立，请给出一个满足上述条件的函数，则的解析式为 . 【答案】 【解析】写出一个满足定义域为，，值域为，的函数即可． 【详解】，，，， 对，，，，使得成立， 的定义域、值域为，，不妨取． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将原问题转化为所求函数与已知函数的定义域、值域相同． 3．已知函数，，其中.若对任意的，存在，使得成立，则实数的值等于 . 【答案】 【分析】首先等式转化为，并构造函数，分别求和在上的值域，转化为值域的包含关系，列不等式求解. 【详解】由可得，令，则.而，所以对任意的，存在，使得成立.因为，所以在上的值域为，在上的值域为，依题意有，故，可得，得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是将进行转化，通过构造函数，并借助域之间的包含关系建立不等式进行求解. 题型13值域与最值求参 1．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分情况，分段求函数的值域，再求并集，即可求解. 【详解】当时，函数在单调递减，， ，，，此时函数的值域是，不是，不符合条件， 当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件； 当时，函数的范围为，的范围是， 所以函数的值域是，符合条件； 当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件； 当时，函数的范围为，的范围是， 所以函数的值域不是，不符合条件； 所以. 故选：D 2．已知函数若当时，，则的最大值是（   ） A．4 B．3 C．7 D．5 【答案】C 【分析】画出的图象，根据题意，数形结合，即可求得问题. 【详解】根据题意，作出的图象如下所示：    数形结合可知，要使的值域为，且取得最大值， 则只需，即可，故的最大值为. 故选：C. 3．已知函数的值域为，则实数的值为 ． 【答案】13 【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得可得， 令，则，， ∴当时取得最大值， 但由于，故当即时，，解得． 故答案为：13． 能力培优 1．若，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】换元法令求得代入得解 【详解】令，则代入 所以 故 故选：B 【点睛】求函数解析式有换元法、待定系数法、配凑法、方程组法，灵活运用是解题关键 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数解析式，利用换元法可求得时函数的值域为，再由基本不等式可求得当时，函数的值域为，即可得出结论. 【详解】根据题意当时，， 令，可得，所以，因此可得； 由二次函数性质可得当，即时，取得最大值， 此时的值域为； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为5，因此的值域为； 综上可得，函数的值域为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用分段函数的解析式，由各段的函数性质利用换元法和基本不等式即可求得函数值域. 3. 已知存在函数和使得函数的定义域为，且表达式为，则的表达式不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义可以判断选项A不可能；根据求解析式的方法可以判断选项B、C、D可能. 【详解】对于选项A，当时，. 由可得， 与函数的定义矛盾，所以选项A不可能. 对于选项B，当时，令，，. 因为函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增. 所以函数在区间上单调递增. 故，即. 因为 所以，即，此时的定义域为.故选项B可能. 对于选项C，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项C可能. 对于选项D，当时，由可得，则 ，此时的定义域为.故选项D可能. 故选：A. 4．已知函数定义域为，满足，当时，总有，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在等式中，分别令、可得出、的关系式，再由，可得出，即可得出关于、的方程组，即可解得的值. 【详解】在等式中，令可得， 令可得， 当时，总有，则， 所以，，解得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数求值，对自变量赋值是解题的关键，要注意所求函数值对应的自变量与所赋的自变量值之间的关系. 5．已知函数，若存在，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行分类讨论，结合直线、抛物线的知识求得的取值范围. 【详解】， ，过定点， 开口向上，对称轴， 当时，在递减，在递增，最小值为， 根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立. 当时，，， 所以存在，使成立， 当时，在上递增，在递增， 即在上递增，所以不存在符合题意的. 当时，在上递增，在上递减，在上递增， 根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立. 综上所述，的取值范围是. 故选：D 【点睛】对于含有参数的分段函数的分析，关键在于对参数进行分类讨论，本题中，涉及直线、抛物线，参数与直线的单调性、抛物线的对称轴（单调性）有关，由此可确定分类的标准，从而使分类做到“不重不漏” 6．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域列不等式组即可求解. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 7．已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】分别令联立方程组，求得答案. 【详解】因为，分别令， 联立得，解得， 故选：C. 8．定义，已知函数，若在区间上的值域为，则区间的长度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先作出分段函数的图像，然后结合值域分析. 【详解】根据分段函数 又因为解得：或4， 可知函数可化为 作图如下：    令，当 或时， 或 或 当时，令或， 解得： 或，（舍）， 所以的长度可以为或 或 ， 区间或， 故选：ABC 9． 表示与中的较大者，设，则函数的最小值是 . 【答案】 【分析】就、、分类讨论可得，再分类求范围后可得其最小值. 【详解】由题设可令， 当时，，故此时， 当时，，此时， 当时，即， 当时，即， 故， 当时，，当且仅当，有； 当时，， 当时，， 故函数的最小值为0， 故答案为：0. 10．若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，分，与讨论，结合一次函数与二次函数的值域列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，， 当时，， 若， 则时，， 则在上单调递减，在上单调递增，则， 此时要满足函数的值域为，则，解得； 若，则当时，； 当时，，满足函数的值域为； 若，则时，， 则在上单调递增，则， 此时要满足函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 高考真题 1．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 2．（江西·高考真题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先，考查对数的定义域问题，也就是的真数一定要大于零，其次，分母不能是零． 【详解】解：由，得， 又因为，即，得 故，的取值范围是，且． 定义域就是 故选：B． 3．（安徽·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用二倍角公式化简求出，再利用二倍角变形即可求得. 【详解】 ， 故选：D 4．（·湖北·高考真题）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，即可用换元法求函数解析式. 【详解】令， 得， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题. 5．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 6．（浙江·高考真题）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】对目标函数分离常数，利用不等式性质，即可求得结果. 【详解】当时，； 当时，，又，则，，， 综上所述，故函数的值域为： . 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$