专题04 一元二次与不等式性质（13大巩固提升练+能力提升练+高考真题练）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（人教A版2019必修第一册）

专题04 一元二次与不等式性质 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：一元二次根的分布：0分布 题型二：一元二次根的分布：K分布 题型三：一元二次根的分布：区间分布 题型四：根与系数：双一元二次 题型五：根与系数：取整型 题型六：根与系数：求范围 题型七：恒成立求参 题型八：能成立求采纳 题型九：不等式整体化法 题型十：含参分式型不等式 题型十一：不等式性质证明不等式 题型十二：抽象不等式应用 题型十三：一元二次型第19题 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 题型01一元二次根的分布：0分布 ⭐技巧积累与运用 . 如果一元二次方程的根是“两正，或者两负，或者一正一负”，则称之为0分布。 1. 判别式大于0 2. 两个之和是正（或者负） 两根之积是正（同号）或者是负（异号） 1．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 2．已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，则 3．已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 . 题型02 一元二次根的分布：K分布 ⭐技巧积累与运用 根的分布 （1） 开口方向； （2） 判别式； （3） 对称轴位置； （4）根的分布区间端点对应的函数值正负 （5）如果是“0”分布，可以用韦达定理 1．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 2．下列命题正确的是（    ） A．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是. B．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或. C．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是. D．若，则的最小值为. 3．已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 题型03 一元二次根的分布：区间分布 ⭐技巧积累与运用 区间分布，可以借助符合条件的一元二次函数图像来写出相应的不等式求解 1．方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程有两个实数根，且，则的值为（    ） A．-2 B．-3 C．-4 D．-5 3．已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ． 题型04 根与系数：双一元二次 ⭐技巧积累与运用 双一元二次不等式转化型 1. 双一元二次型，系数关系为“倒序”或者乱序。 2. 可以直接代入第一个不等式对应的一元二次方程的根，寻找系数之间的比值关系。 3. 可以借助韦达定理寻找系数之间的比值关系 1．某同学求解关于x的不等式时，因弄错常数b的符号，解得解集为.若该同学解不等式的过程正确，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为，或 D．若为常数，且，则的最小值为 题型05 根与系数：取整型 ⭐技巧积累与运用 整数解型求解思维： 1.尽可能数形结合 2.直接讨论法或者分参水平线法 3.要注意容易错误点：边界值时，要注意两个整数对应的函数值的取舍（开闭，是否能取等） 1．关于x的不等式（其中实数）恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D．或 2．已知不等式解集中的整数恰有个，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 ． 题型06根与系数：求范围 ⭐技巧积累与运用 二次函数公式 ①一般式顶点式：y＝ax2＋bx＋c＝a＋. ②顶点是，对称轴是：x＝－. ③方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式：x＝ （1）一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，． （2）二次函数的零点：一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点． （3）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 R 的解集 ____ _______ 1．若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 3．关于的不等式的解集为，则的最小值为 . 题型07 恒成立求参 ⭐技巧积累与运用 不等式恒成立问题常见方法： 1 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 2 数形结合( 图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 1．“不等式在上恒成立”的的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．命题“”的否定是“或” C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 3．已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是 . 题型08 能成立求参 ⭐技巧积累与运用 能成立，与恒成立恰好相反，恒成立求的最大（小），能成立求的是最小（大） 1．若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列四个结论中正确的是（　　） A．命题“”的否定是“” B．设，则“”的充分不必要条件是“” C．若“”为真命题，则 D．若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是 3．已知实数，且关于x的一元二次方程有实数根，则的最小值为 ． 题型09 不等式整体化法 ⭐技巧积累与运用 整体化求参 把复合型不等式，视为整体，或者换元宝，然后利用等式方式求解，最后再代入整体式子范围 1．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．若实数，满足，，则的取值范围为 . 题型10 含参分式不等式 ⭐技巧积累与运用 分式不等式解法：移项，一侧为0----通分，化商为积----转化为一元二次或者高次不等式 1．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 2．若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．的最小值为8 D．的最大值为－16 3．若对任意，不等式恒成立，则的最小值是 . 题型11不等式性质证明不等式 1．某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 题型12 抽象不等式应用 ⭐技巧积累与运用 抽象不等式，多借助单调新，奇偶性，函数平移等来求解 1．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的减函数，且对，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若是定义在上的函数，对任意的实数，都有和，且，则的值是 A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 4．设是定义在上的函数，且对于任意的整数，满足，，则的值为. . 题型13一元二次型第19题 ⭐技巧积累与运用 与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的函数的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 1．对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”. (1)判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”； (2)已知函数，试判断是否为其定义域上的“弱奇函数”？若是，求出所有满足的的值；若不是，请说明理由； (3)若函数为其定义域上的“弱奇函数”，求a的取值范围. 2．关于的方程 (1)若方程无实根，求的取值范围； (2)若方程有3个不等实根，求的取值范围； (3)若，且满足，试判断方程根的个数. 3．已知关于x的函数和. (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式（其中）的解集，求证：. 能力培优 1． 存在三个实数，，，使其同时满足下述两个等式：（1）；（2），其中M表示三个实数，，中的最大值，则（    ） A．M的最大值是2 B．M的最大值是 C．M的最小值是2 D．M的最小值是 2． 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若{，为常数，且，则的最小值为 3． 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4． 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5． 若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6． 若关于的方程有三不等的实数根，且满足其中两根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7． 已知集合，，若，，则下列关系可能正确的是（   ） A． B． C． D． 8.设定义在上的函数，满足，则（   ） A． B．是奇函数 C．若，则当时， D．， 9.已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是 . 10.若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是 高考真题 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2015·安徽·高考真题）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．（2017·天津·高考真题）设x∈R，则是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（天津·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 6.（上海·高考真题）如果，那么下列不等式不正确的是(    ) A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次与不等式性质 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：一元二次根的分布：0分布 题型二：一元二次根的分布：K分布 题型三：一元二次根的分布：区间分布 题型四：根与系数：双一元二次 题型五：根与系数：取整型 题型六：根与系数：求范围 题型七：恒成立求参 题型八：能成立求采纳 题型九：不等式整体化法 题型十：含参分式型不等式 题型十一：不等式性质证明不等式 题型十二：抽象不等式应用 题型十三：一元二次型第19题 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 题型01一元二次根的分布：0分布 ⭐技巧积累与运用 . 如果一元二次方程的根是“两正，或者两负，或者一正一负”，则称之为0分布。 1. 判别式大于0 2. 两个之和是正（或者负） 两根之积是正（同号）或者是负（异号） 1．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可； 【详解】∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴解得. 故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C. 故选：C. 2．已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，则 【答案】AB 【分析】利用根的判别式一一计算可得. 【详解】对于A：因为，当时， 所以方程有两实数根，故A正确； 对于B：若方程有两异号的实数根，则，解得， 即当时，方程有两异号的实数根，故B正确； 对于C：当时，方程无实数根，故C错误； 对于D：若方程有两个实数根，，则，即， 当时，方程的两根，，显然无意义，故D错误. 故选：AB 3．已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由判别式和根与系数的关系得到不等式，解出实数的取值范围. 【详解】设方程的两根为， 则, ∴ ∴， 故答案为： 题型02 一元二次根的分布：K分布 ⭐技巧积累与运用 根的分布 （1） 开口方向； （2） 判别式； （3） 对称轴位置； （4）根的分布区间端点对应的函数值正负 （5）如果是“0”分布，可以用韦达定理 1．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 2．下列命题正确的是（    ） A．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是. B．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或. C．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是. D．若，则的最小值为. 【答案】ABD 【分析】对于A，原问题等价于，解一元二次不等式即可验证；对于B，首先得，然后解分式不等式即可验证；对于C，原问题等价于在上恒成立，由此即可验证；对于D，首先由基本不等式得，然后由即可验证，注意取等条件是否成立. 【详解】对于A，二次函数，开口向上， 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 则，解得，故A正确； 对于B，若关于x的不等式的解集是，则， 所以关于x的不等式或，故B正确； 对于C，若关于x的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故C错误；‘ 对于D，若，则，解得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：A选项的关键是得，B选项的关键是得，C选项的关键是得在上恒成立，D选项的关键是利用基本不等式得，然后适当变形即可求解. 3．已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型03 一元二次根的分布：区间分布 ⭐技巧积累与运用 区间分布，可以借助符合条件的一元二次函数图像来写出相应的不等式求解 1．方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由二次函数根的分布性质有，，，求得的取值范围. 【详解】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内， 另一根在区间（3，4）内， 只需，即， 解不等式组可得，即的取值范围为， 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数根的分布性质，属于中档题. 2．已知一元二次方程有两个实数根，且，则的值为（    ） A．-2 B．-3 C．-4 D．-5 【答案】BC 【解析】设，利用已知条件得到，求解即可得出结果. 【详解】设，由， 可得，解得：，又因为，得或， 故选：BC. 3．已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】转化化二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】令， 根据题意得， 由①得：，由②得：，由③得：， 求交集得：故的取值范围为.故答案为： 题型04 根与系数：双一元二次 ⭐技巧积累与运用 双一元二次不等式转化型 1. 双一元二次型，系数关系为“倒序”或者乱序。 2. 可以直接代入第一个不等式对应的一元二次方程的根，寻找系数之间的比值关系。 3. 可以借助韦达定理寻找系数之间的比值关系 1．某同学求解关于x的不等式时，因弄错常数b的符号，解得解集为.若该同学解不等式的过程正确，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用三个二次的关系，将其化成方程有两根为和1，根据韦达定理，得到，，代入所求不等式，由化简不等式，即可求得解集. 【详解】由题意，，因弄错常数b的符号，则方程有两根为和1， 由韦达定理，可得，，即，， 代入，可得， 因，故得，解得. 故选：C. 2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为，或 D．若为常数，且，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 3．已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用给定的解集求出与的关系，再代入解不等式. 【详解】由不等式的解集为，得是方程的二根，且， 则，于是，不等式化为， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型05 根与系数：取整型 ⭐技巧积累与运用 整数解型求解思维： 1.尽可能数形结合 2.直接讨论法或者分参水平线法 3.要注意容易错误点：边界值时，要注意两个整数对应的函数值的取舍（开闭，是否能取等） 1．关于x的不等式（其中实数）恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】整理可得，分、和三种情况解不等式，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，即为， 令，解得或，且， 若，不等式的解集为， 由题意可得：； 若，不等式的解集为，不合题意； 若，不等式的解集为， 由题意可得：，解得； 综上所述：实数a的取值范围是或. 故选：B. 2．已知不等式解集中的整数恰有个，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用不等式性质，整理不等式为一元二次不等式，结合分类讨论思想，可得答案. 【详解】由，则，， 易知，可得， 当时，解得， 由，则， 可得，解得； 当时，解得，由，则， 可得，解得. 故选：BD. 3．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】不等式化为，讨论与的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出. 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型06根与系数：求范围 ⭐技巧积累与运用 二次函数公式 ①一般式顶点式：y＝ax2＋bx＋c＝a＋. ②顶点是，对称轴是：x＝－. ③方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式：x＝ （1）一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，． （2）二次函数的零点：一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点． （3）二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 R 的解集 ____ _______ 1．若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分，和讨论，再利用二次函数根的分布得到不等式，解出的范围，再计算得，即可得到其最小值. 【详解】当时，，则需， 当时，恒成立， 当时，，则需. 设，则， 解得或， 所以，当时，取得最小值，且最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对的分类讨论，从而得到一元二次方程根的分布情况，得到相关不等式和等式，再换元计算即可. 2．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】AB 【分析】已知关于x的不等式的解集为，则，用a表示出b、c，然后结合一元二次不等式的解法判断B选项，判断C，将化简为即可利用基本不等式进行求解判断D. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，4是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，，，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB 3．关于的不等式的解集为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意可得且方程的解为，再根据韦达定理得出的关系，再根据基本不等式即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以且方程的解为， 则， 因为，所以， 所以，则， 所以，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由题意根据韦达定理得出，是解决本题的关键. 题型07 恒成立求参 ⭐技巧积累与运用 不等式恒成立问题常见方法： 1 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 2 数形结合( 图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 1．“不等式在上恒成立”的的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意分及两种情况分类讨论列式计算即可. 【详解】关于的不等式在上恒成立， 若，即，不合题意， 若，则，解得. 故选：A . 2．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．命题“”的否定是“或” C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】根据即可求解A，根据存在命题的否定为全称命题即可判定B，根据对勾函数的单调性即可求解C，根据判别式以及分类讨论即可求解D. 【详解】对于A，当，则，故A错误， 对于B，命题“”的否定是“或”，故B正确， 对于C，由于，函数在单调递增，故，故C错误， 对于D,当时，不等式恒成立， 当时，要使不等式恒成立，则， 解得，故则的取值范围是，D正确， 故选：BD 3．已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过求解来确定实数的取值范围. 【详解】对于二次函数，. 根据题意，令，即得成立， 解得. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 题型08 能成立求参 ⭐技巧积累与运用 能成立，与恒成立恰好相反，恒成立求的最大（小），能成立求的是最小（大） 1．若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将存在性问题转化为最值问题，利用二次函数的单调性求最值，列不等式，求解即可. 【详解】设函数， 因为，使成立， 所以在区间上的最大值， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为，结合二次函数的对称性可知， 当时，函数取最大值，最大值，解得； 故选：A. 2．下列四个结论中正确的是（　　） A．命题“”的否定是“” B．设，则“”的充分不必要条件是“” C．若“”为真命题，则 D．若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是 【答案】CD 【分析】对于A，结合命题否定的定义，即可求解；对于B，结合特殊值法，即可求解；对于C，结合判别式法，即可求解；对于D，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A错误； 对于B，当，满足，但，故充分性不成立，故B错误； 对于C，“”为真命题，则，解得，故C正确； 对于D，，对称轴为， 当时，取得最小值3， 令，即，解得或， 函数在区间上的最大值为4，最小值为3， 则实数m的取值范围是，故D正确． 故选：CD． 3．已知实数，且关于x的一元二次方程有实数根，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，分、、三种情况，结合一元二次方程的解法分别求解即可． 【详解】由题意可得，① 令， 若，则以及，则，即； 由①式消去c，得， 即，即或； 所以，解得， 时“”成立，故； 若，则以及，则，即； 由①式消去c，得， 即，② 当时，②式成立； 当时，由②式得或， 所以，解得，故， 时“”成立，所以， 若，则以及，则，即， 由①式消去a，整理得， 即，即或， 所以，解得， 时“”成立，故． 综上所述，，取“”成立时，或， 故． 故答案为：． 题型09 不等式整体化法 ⭐技巧积累与运用 整体化求参 把复合型不等式，视为整体，或者换元宝，然后利用等式方式求解，最后再代入整体式子范围 1．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 则，即的取值范围是. 故选：C. 2．下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】特殊值判断A､C；作差法比较大小判断B；利用不等式性质求的范围判断D. 【详解】对于A，由，但，故A错； 对于B，，又， 所以，即，故B正确； 对于C，由，即，故C错； 对于D，由且，故，故D正确. 故选：BD. 3．若实数，满足，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由条件可得，利用不等式的性质求解. 【详解】设， 则且，解得，， 所以. 又，， 所以，， 所以. 则的取值范围为. 故答案为：. 题型10 含参分式不等式 ⭐技巧积累与运用 分式不等式解法：移项，一侧为0----通分，化商为积----转化为一元二次或者高次不等式 1．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，故原不等式等价于，求解即可. 【详解】因为不等式的解集为，所以， 所以不等式等价于， 即，解得或. 所以关于x的不等式的解集为或. 故选：C. 2．若存在，使得与同时成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．的最小值为8 D．的最大值为－16 【答案】AD 【分析】由已知可得，可求得或，可判断A；计算可判断B；利用基本不等式计算可判断CD. 【详解】选项A：存在，使得与同时成立，则， （提示：只有当时，才有） 解得或，所以，故A正确． 选项B：若，则或，又，故B错误． 选项C：，当且仅当时等号成立，又，所以，故C错误． 选项D：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故D正确． 故选：AD. 3．若对任意，不等式恒成立，则的最小值是 . 【答案】 【分析】分离变量可得恒成立，然后利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以恒成立. 又，当且仅当时，等号成立. 所以.则的最小值是.故答案为：. 题型11不等式性质证明不等式 1．某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可. 【详解】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即. 将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数. 故选：A. 2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用不等式的性质可判断AB，应用作差比较法可判断CD. 【详解】A项，由，得，故A错误； B项，由，得，故B正确； C项，由已知，得，， 则，且， 所以， 则，故C正确； D项， 因为，则， 所以， 即，故D错误. 故选：BC. 3．设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围. 【详解】关于的不等式，两边平方整理得：， 因为，不等式的解集中的整数恰有3个，所以， 所以不等式的解集为，所以解集里的整数是三个， 故有，又因为，所以， 综上. 故答案为： 题型12 抽象不等式应用 ⭐技巧积累与运用 抽象不等式，多借助单调新，奇偶性，函数平移等来求解 1．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用赋值法构造出的等量关系，再结合不等式性质判断即可. 【详解】由题意，，. 赋值，得； 赋值，得，即， 当时，， 当时，则，所以，即； 赋值，得，解得， 即； AC项，由，， 得， 其中由，可知， 当时，，即； 当时，，即；故AC错误； BD项，，得； 又，所以， 则， 故，且不恒为，故B错误，D正确. 故选：D. 2．已知是定义在上的减函数，且对，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件赋值求出，结合函数的单调性解不等式. 【详解】因为，， 令，易得． 因为是定义在上的减函数，且， 所以，解得． 故选：A． 3．若是定义在上的函数，对任意的实数，都有和，且，则的值是 A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 【答案】C 【分析】利用两个不等式，得到且，通过两边夹的性质得到，再利用周期性求出值． 【详解】解答：解： 即 故选C． 【点睛】本题考查通过不等式的性质：两边夹，由不等式得到等式、考查函数取值的周期性，属于简单题． 4．设是定义在上的函数，且对于任意的整数，满足，，则的值为. . 【答案】 【分析】根据，得出，从而求出和的值，再计算的值即可． 【详解】解：因为， 所以 ， 又因为，所以， 所以， 所以 ， 所以． 故答案为：． 题型13一元二次型第19题 ⭐技巧积累与运用 与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的函数的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 1．对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”. (1)判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”； (2)已知函数，试判断是否为其定义域上的“弱奇函数”？若是，求出所有满足的的值；若不是，请说明理由； (3)若函数为其定义域上的“弱奇函数”，求a的取值范围. 【答案】(1)既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数” (2)不是其定义域上的“弱奇函数”，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用“弱偶函数”与“弱奇函数”的定义列式即可判断； （2）假设是“弱奇函数”，得到关于的绝对值方程，分类讨论，与三种情况，解方程即可判断； （3）由“弱奇函数”的定义得到，分类讨论的取值范围，结合去绝对值的方法与二次方程根的分布，得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】（1）若为“弱奇函数”，则存在，使得， 即，则，无解， 所以不是“弱奇函数”； 若为“弱偶函数”，则存在，使得， 即，则，无解， 所以不是“弱偶函数”； 综上，函数既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数”. （2）不是其定义域上的“弱奇函数”，理由如下： 假设为其定义域上的“弱奇函数”， 则存在，使得，即， 若，则，则，舍去； 若，则，则，舍去； 若，则，则，舍去， 从而无解，所以不是其定义域上的“弱奇函数”. （3）因为函数为其定义域上的“弱奇函数”， 所以存在实数，使得， 当时，则，所以， 即，即在上有解， 若，则，解得，所以； 若，不符合题意； 若，则，不符合题意； 当时，，所以， 即，即在上有解， 若，则，解得； 若，不符合题意； 若，则，无解； 当时，， 所以，则，即该方程在上无解， 当时，则， 所以，即， 即在上有解， 若，则，解得； 当，不符合题意； 当时，则，无解； 当时，即，所以，即， 所以在上有解， 若，则，解得，所以； 当，不符合题意； 若，则，不符合题意； 综上，的取值范围是. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 2．关于的方程 (1)若方程无实根，求的取值范围； (2)若方程有3个不等实根，求的取值范围； (3)若，且满足，试判断方程根的个数. 【答案】(1) (2)； (3)3个实根. 【分析】（1）令，问题转化为关于的一元二次方程无实根或实根均小于零，利用判别式和韦达定理即可算出结果. （2）找到和的对应关系，根据原方程有3个不等实根分析一元二次方程实数根的情况，逐类分析验证即可得到结果. （3）确定的取值范围，利用的取值范围得到方程一根在之间，另一根大于1，即可得到结果. 【详解】（1）令，则，原方程转化为（*）， 原方程无实根，则需（*）式无实根或实根均小于零， 令， ①若（*）式无实根，则，解得， ②两根均为负，则，解得， 综合①②，可知的取值范围是. （2）作函数的图象， 可知或时，每一个值对应1个值，时一个值对应2个不同的值， 要使原方程有3个不等实根， ①（*）式一根为零，另一根在之间，所以，则（*）式为，解得或，不合题意； ②（*）有两不等根且一根大于1，另一根在之间，则，解得； ③（*）式有一根在之间，另一根为1，则，则（*）式为； 解得或，不合题意. 综上所述，取值范围为. （3）因为， 所以 因为为正实数，所以，所以，即， 当且仅当，即时等号成立，故， 由（1）知时，，， 故（*）式有两不等实根，且一根在之间，另一根大于1， 故原方程有3个实根. 【点睛】思路点睛：本题考查方程综合问题，具体思路如下： （1）找方程中相同的结构，令，问题转化为方程无实根或实根均小于零，利用判别式和韦达定理即可算出结果. （2）作函数的图象，找到和的对应关系，根据原方程有3个不等实根分析方程实数根的情况，逐类分析验证即可得到结果. （3）通过基本不等式确定的取值范围，利用的取值范围分析方程实数根的情况，结合（2）即可得到结果. 3．已知关于x的函数和. (1)若，求x的取值范围； (2)若关于x的不等式（其中）的解集，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）转化为求解； （2）讨论，，，求解，判断是否成立. 【详解】（1）可得，即， 即，即，则， 则实数x的取值范围是； （2）因为，所以， 由（1）知，所以 （i）时， 当时，， 所以当时，恒成立， 当时，令 对称轴，故在上为增函数， 又，， 所以存在使得 故的解集为， 所以当时，的解集为，其中 所以，则； （ii）当时，， 因为，所以恒成立， 由题意知的解集为，所以是方程的两根， 所以，所以. （iii）当时， 当时，由（i）知， 当时，令 ∴在恒成立， 故只需要考虑在的解集即可. 由，可得， 由题意m，n是的两根， 令，其对称轴为， ， ， 所以， ， 又在为单调减函数， ∴，∴， 综上，. 【点睛】方法点睛：根据二次不等式的解集确定参数： ①根据不等号的方向与解集的形式可确定开口方向； ②解集的端点值为对应二次方程的根； ③若解集为，则考虑开口方向与. 能力培优 1． 存在三个实数，，，使其同时满足下述两个等式：（1）；（2），其中M表示三个实数，，中的最大值，则（    ） A．M的最大值是2 B．M的最大值是 C．M的最小值是2 D．M的最小值是 【答案】C 【分析】由题意可得，，中有2个负数，1个正数，不妨设，则，则，利用基本不等式可得，故，求解不等式即可. 【详解】由题意可得，，中有2个负数，1个正数， 不妨设，则， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，即， 即，即， 即， 因为，所以， 所以M的最小值是2，没有最大值. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用基本不等式得到，进而得到关于的不等式，解之即可得解. 2． 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若{，为常数，且，则的最小值为 【答案】B 【分析】A由一元二次不等式解集为空直接判断；B令即可判断；C根据解集判断参数关系，结合目标不等式求解即可；D根据题设得，且，将目标式化为含的表达式，再令，代换原表达式并结合基本不等式求最值. 【详解】A：由无解，则且，对； B：令，若，则等价于， 此时，关于的不等式的解集不为，错； C：由题设，则等价于， 所以，可得或，对； D：由题设，则，且， 所以，令，则， 所以上式为 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为，对. 故选：B 3． 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围， 【详解】解：恰有2个整数解， 恰有2个整数解， 恰有2个整数解， 即恰有2个整数解， 即的图象开口向上， 所以， 解得或， 当时，不等式解集为， 因为，故2个整数解为1和2， 则，即， 解得：； 当时，不等式解集为， 因为，故2个整数解为，， 则， 即， 解得：， 综上所述，实数的取值范围为：或. 故选：D. 4． 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 5． 若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 化简不等式，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得的取值范围. 【详解】依题意，至少存在一个，使得关于的不等式成立， 即至少存在一个，使得关于的不等式成立， 画出以及的图象如下图所示，其中. 当与相切时， 由消去并化简得， . 当与相切时， 由消去并化简得①， 由解得，代入①得， 解得，不符合题意. 当过时，. 结合图象可知的取值范围是. 故选：A 【点睛】对于含有参数的不等式问题的求解，可考虑直接研究法，也可以考虑分离参数，也可以合理转化法.如本题中的不等式，可以将其转化为一边是含有绝对值的式子，另一边是二次函数，再根据二次函数以及含有绝对值的函数的图象来对问题进行分析和求解. 6． 若关于的方程有三不等的实数根，且满足其中两根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可得：，根据题意分析可得，令，有题意分析可得，进而可求的取值范围. 【详解】若，则至多有2个不相等的实根，由题意得：， 设，则，即方程的根不会为0，即均不为0， 当时，有一个根，不满足题意，故， 由题意，， 可得， 假设，则，这与均不为0相矛盾，故， 由，整理可得， ∵，令，则， ∴或， 由题意知：，则， 假设同号，则，这与相矛盾， ∴异号，则， 故， ∵，则，且， 故，则，排除C、D； 取，则，满足上述分析，故符合题意， 可得，排除B； 故选：A． 7． 已知集合，，若，，则下列关系可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据两集合区间长度相等，只需考虑其中一个端点是否在另一个集合内即可，依次逐项分析即可得解. 【详解】对A，因为集合的区间长度都为2，所以当集合B的左端点在集合A上时，满足题意，此时，即，故A正确； 对B，因为集合的区间长度都为2，所以只需满足，即时，则有且，故B正确； 对C，由于两集合区间长度相同，所以集合的右端点落在集合A上即可满足条件，所以正确，故C正确； 对D，当集合A区间的左端点大于集合B区间的右端点时，，不满足题意，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于发现两个集合的区间长度相同，所以满足题意的集合关系，转化为其中一个集合的端点在另一个集合上即可. 8.设定义在上的函数，满足，则（   ） A． B．是奇函数 C．若，则当时， D．， 【答案】ABD 【分析】ABC由赋值法可判断选项正误；D令，则，又令，结合作差法可判断选项正误； 【详解】选项A，令，可得，故A正确； 选项B，令，可得，所以是奇函数，故B正确； 选项C，，令可得，则，故C错误； 选项D，令，， 令，，由题 ，则 ，故D正确. 故选：ABD 9.已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为二次方程根的分布求解，按方程的判别式分三大类讨论；当时，再按区间端点处函数值是否为及符号分类讨论可得. 【详解】对于函数，开口向上，对称轴为， 令，由题意得方程在区间内有根. ， 当，即时，没有零点，不符合题意； 当，即或时， 当时，，零点为，，符合题意； 当时，，零点为，，不符合题意； 当，即或时，方程有两个不相等的根， 由题意方程至少有一个根在区间内. ①若，解得， 此时，故零点为0或3，不符合题意； ②若，， 此时，零点为2或，，符合题意； ③若，解得， 由零点存在性定理可知，函数在有零点，符合题意； ④若，要使函数在有零点，则， 联立，又，即或， 故解得； ⑤若，由二次函数图象可知， 有两个零点，且一个在区间内，另一个在内，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 10.若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是 【答案】或 【分析】分，和三种情况，当和时，直接求出集合，再结合条件，可知不合题意，当时，注意到，结合条件得到或，即可求解. 【详解】当时，由，得到，解得， 又只有个元素，所以不合题意， 当，由，得到或， 又，若，则的解集为或，显然不合题意， 若，要使只有个元素，则或， 解得或， 故答案为：或. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于时的处理，利用二次函数的性质，结合及条件，得到或，即可求解. 高考真题 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 2．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 3．（2015·安徽·高考真题）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】根据图象，由确定，求导后，确定有两个不相等的正实数根，结合函数单调性，韦达定理即可求出答案. 【详解】由图象可知， 有两个不相等的正实数根，且在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 综上：，，，. 故选：A 4．（2017·天津·高考真题）设x∈R，则是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合集合的包含关系可解． 【详解】设p：若，则， q：若，则； 则q表示的集合是p表示的集合真子集， 即是必要不充分条件， 故选：B． 5．（天津·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据含绝对值不等式和分式不等式的解法求出集合，再根据交集的定义即可得出答案. 【详解】因为或， 或， 所以. 故选：D. 6.（上海·高考真题）如果，那么下列不等式不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，所以，所以A正确； 对于B中，例如：若，此时，所以B不正确； 对于C中，例如：若，此时，所以C不正确； 对于D中，例如：若，此时，所以D不正确. 故选：BCD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$