6.1 正弦、余弦、正切、余切(第1课时)（十三大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

6.1 正弦、余弦、正切、余切(第1课时) 题型一 锐角的正弦、余弦、正切、余切 1．如图，在中，，，，则的长是 .    【答案】 【分析】直接由锐角三角函数即可求解. 【解析】由题意. 故答案为：. 2．若为锐角，，则 . 【答案】60° 【分析】根据特殊角的余切求角即可. 【解析】因为且， 所以. 故答案为：. 3．直角三角形ABC中（其中）．则以下式子中正确的是 ． ①； ②； ③； ④． 【答案】①②③④ 【分析】根据三角函数诱导公式直接进行判断. 【解析】，， . 故答案为：①②③④ 4．若三角形三边的比为，则最小角的正弦值为 ，余弦值为 . 【答案】 / / 【分析】根据三角形三边比值，三角形为直角三角形，再计算最小角正弦、余弦值即可. 【解析】因为三角形三边的比为， 设三边边长为， 因为， 所以三角形为直角三角形，如图所示， 故最小角为角， 所以. 故答案为：①；②.    5．正方形的边长为2，点是直线上一点，若，则的值是 . 【答案】2或 【分析】分点是线段上或是射线上两种情况讨论可求得的值. 【解析】若是线段上，因为，，， 所以；    若是射线上时，因为，，又， 所以.    故答案为：或. 题型二 角的有关概念与分类 6．角的概念的推广 定义 图示 正角 一条射线绕端点按 方向旋转所形成的角 负角 一条射线绕端点按 方向旋转所形成的角 零角 一条射线 形成的角 【答案】 逆时针 顺时针 没有旋转 【分析】略 【解析】略 【点睛】 7．如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 【答案】． 【分析】由角的定义即可求解. 【解析】由角的定义可得． 故答案为： 8．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ． 【答案】 【分析】根据时针每小时转，分针每小时转，时针、分针都按顺时针方向旋转，结合角的定义即可求解. 【解析】因为时针每小时转，分针每小时转， 又因为时针、分针都按顺时针方向旋转， 故时针转过的角度数为， 分针转过的角度数为． 故答案为：； 题型三 象限角 9．象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与 重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限（这种角常称为轴线角）． 【答案】 原点 x 终边 象限角 坐标轴上 【分析】略 【解析】略 故答案为：原点；x；终边；象限角；坐标轴上 10．下列说法中正确的是 （填序号）． ①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限角； ③第二象限角为钝角； ④小于的角一定为锐角； ⑤角与的终边关于x轴对称． 【答案】②⑤ 【分析】根据角的相关概念逐一分析即可. 【解析】锐角是第一象限角，但第一象限的角不一定是锐角， 如是第一象限角，但不是锐角，故①错误，②正确； 第二象限角不一定是钝角，例如，故③错误； 小于的角不一定是锐角，如，故④错误； 由角的定义可知，与的终边关于x轴对称，⑤正确. 故答案为：②⑤． 11．给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③的角是第一象限的角；④小于的角是钝角、直角和锐角.其中错误的序号是 . 【答案】②③④ 【分析】根据题意，由任意角的定义对选项逐一判断，即可得到结果. 【解析】①终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍，故正确； ②角是第一象限角，角是第二象限角，，故错误； ③的角是指大于等于小于的角，其中角不是象限角，故错误； ④小于的角还包括零角和负角，故错误； 故答案为：②③④ 12．若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据角的定义和象限角的概念可判断各个选项. 【解析】因为是第一象限角，所以是第四象限角， 则是第一象限角，故A错误；是第二象限角，故B错误； 是第四象限角，故C正确；是第一象限角，故D错误. 故选：C. 13．已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用任意角象限角的概念逐一分析判断得解. 【解析】对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以选项A错误； 对B，钝角大于90°，小于180°，故，故选项B正确； 对C，错误，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误； 对D，错误. 如在第二象限，但是并不在集合中，故D错误. 故选：B 题型四 终边相同的角及表示 14．已知角，都是锐角，且角的终边与角的终边相同，角的终边与角的终边相同，则 ， ． 【答案】 【分析】根据角，都是锐角，可得，，进而结合终边相同的角的特点求解即可. 【解析】因为角，都是锐角，所以，， 则，， 由题意可知，，， ，， 则，， 解得，. 故答案为：；. 15．在内与终边重合的角为 ． 【答案】 【分析】将表示成即可得解. 【解析】因为， 所以在内与终边重合的角为. 故答案为：. 16．将化为（，）的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件直接计算即可判断作答. 【解析】. 故选：D 17．与角终边相同的最小正角是 ；最大负角是 ． 【答案】 【分析】根据与角终边相同的角是，对k取满足要求的整数可得解. 【解析】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是. 当时，与角终边相同的最大负角是. 故答案为：，. 18．用角度表示出第一、三象限的角平分线上角的集合为 . 【答案】 【分析】分别求出角的终边在第一象限角平分线上和角的终边在第三象限角平分线上的角的集合，然后求出其并集即可. 【解析】因为第一象限的角平分线上的角的集合为， 第三象限的角平分线上的角的集合为， 所以第一、三象限的角平分线上角的集合为. 故答案为：. 19．请用集合表示终边位于轴的角的集合 . 【答案】 【分析】写出落在x轴上的角，再根据终边相同的角写出所有的角即可. 【解析】在内,终边在x轴上的角有两个,即和,与这两个角终边相同的角组成的集合依次为,. 为简便起见,我们把集合和的表示方法改为, , 因为, 即集合是终边在x轴上的角的集合. 故答案为： 20．已知角和角，则下列说法正确的是（    ） A．若角是第一象限角，则角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．若角和角分别是角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 【答案】C 【分析】根据任意角的概念逐项判断. 【解析】A，角，是第一象限角，但不是锐角，A错误； B，角，角，则角和的终边相同，但，B错误； C，的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的两个角互为相反角，C正确； D，角的终边在第二象限，则角不是钝角，D错误. 故选：C. 21．若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表达出，，从而得到，，得到答案. 【解析】由题意可知，，， 所以，， 记，故，. 故选：D 题型五 判断任意角属于第几象限 22．角属于第 象限角． 【答案】四 【分析】根据终边相同的角的定义即可得． 【解析】与终边相同． 而为第四象限角，所以为第四象限角. 故答案为：四． 23．已知角，则角的终边落在第 象限. 【答案】一 【分析】根据终边相同角及象限角的定义判断即可. 【解析】因为，所以角的终边与的终边重合， 又为第一象限角，所以角的终边落在第一象限. 故答案为：一 24．在直角坐标系中，是第 象限角. 【答案】三 【分析】根据任意角的概念分析可知与的终边相同，再结合象限角的定义分析判断. 【解析】因为，即与的终边相同， 且，可知为第三象限角， 所以为第三象限角. 故答案为：三. 25．如果角α为锐角，那么，所在的象限是 ． 【答案】一或三 【分析】已知α为锐角，要确定，所在的象限，只需对分类讨论即可. 【解析】因为角α为锐角，所以角α为第一象限角， 当为偶数时，，为第一象限角， 当为奇数时，，为第三象限角， 综上所述：，所在的象限是一或三. 故答案为：一或三. 题型六 根据图形写出角的范围 26．如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是    【答案】 【分析】根据图形分别表示终边为，的角的集合即可得到结果. 【解析】由图可知，终边为的角的集合为，终边为的角的集合为， 故终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是. 故答案为：. 27．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么所有角形成的集合为 ． 【答案】 【分析】首先考虑在范围内，终边落在阴影内的角的特征，再结合周期性即可得解. 【解析】在范围内，终边落在阴影内的角满足或， 所以所有满足题意的角的集合为： ． 故答案为：. 28．如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．    【答案】． 【分析】写出阴影部分边界处终边相同的角，再表示出阴影部分角的集合. 【解析】由图，阴影部分下侧终边相同的角为，上侧终边相同的角为且， 所以阴影部分（包括边界）的角的集合为. 故答案为： 题型七 n倍、n分角 29．已知为第三象限角，则是第 象限角，是 的角． 【答案】 二、四 第一、二象限或轴的非负半轴上 【分析】求出，，即得解. 【解析】是第三象限角，即， ， 当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角； 而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上. 故答案为：二、四；第一、二象限或轴的非负半轴上. 30．如果是第三象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【分析】根据得到，讨论的奇偶性得到答案. 【解析】是第三象限角，则， 故， 当为偶数时，在第三象限；当为奇数时，在第一象限； 故选：C. 31．已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】B 【分析】用终相同的角写出角的表示，计算，让整数取相邻的整数代入确认． 【解析】由与210°角的终边关于x轴对称，可得， ∴， 取可确定终边在第一或第三象限角. 故选：B． 题型八 弧度制的有关概念 32．弧度制的相关概念 （1）1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. （2）弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. ②记法：弧度单位用符号表示，读作弧度. 如图，在单位圆中，的长等于1，就是1弧度的角. （3）角度制和弧度制的互化： rad， . （4）扇形的弧长公式： 扇形的面积公式： .其中是半径，（）为弧所对圆心角. 【答案】 【分析】略. 【解析】略. 33．度量角的两种制度 （1）角度制：1度角等于周角的 （2） ：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 ，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 【答案】 弧度 1弧度的角 【分析】略. 【解析】略. 34．度量角的两种单位制 角度制 定义 用“ ”作单位来度量角的单位制 1度的角 把周角分成360等份，每一份叫作1度的角 弧度制 定义 以“ ”为单位来度量角的单位制 1弧度的角 把长度等于 的弧所对的圆心角叫作1弧度的角．“弧度”用符号rad表示 【答案】 度 弧度 半径长 【分析】略 【解析】略 35．弧度数 （1）正角：正角的弧度数是一个 ． （2）负角：负角的弧度数是一个 ． （3）零角：零角的弧度数是 ． （4）如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是 ． 【答案】 正数 负数 【分析】略 【解析】略 36．时钟的时针走过了1小时40分钟，则分针转过的角度为 ． 【答案】 【分析】根据任意角的定义和弧度的概念进行求解. 【解析】由题意得分针顺时针转过的角度为. 故答案为： 37．若三角形三内角之比为4：5：6，则三内角的弧度数分别是 ． 【答案】，， 【分析】设三角形的三个内角的弧度数分别为，根据内角和为，列出方程，解出即可. 【解析】设三角形的三个内角的弧度数分别为， 则有，解得， 所以三内角的弧度数分别为，，． 故答案为：；；. 题型九 用弧度制表示角的集合 38．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弧度制表达出，进而表达出与角的终边相同的角的集合. 【解析】因为，且角度和弧度不能在一个集合中同时使用， 故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D 39．写出与终边相同的角的集合是 . 【答案】； 【分析】根据终边相同角的表示方法即可得解． 【解析】终边相同角相差的整数倍， 因此与终边相同的角的集合是． 故答案为：. 40．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为 ． 【答案】 【分析】根据第二象限的角的特点进行求解即可. 【解析】终边落在第二象限的角的集合为：， 故答案为： 41．终边在轴正半轴上的角的集合是 （用弧度表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，直接写出结论即得. 【解析】在内，终边在轴正半轴上的角为， 所以终边在轴正半轴上的角的集合是. 故答案为： 42．设与终边相同的角的集合为M，则①；②M中最小正角是；③M中最大负角是，其中正确的有 .（选填序号） 【答案】①②③ 【分析】先将角化为的结构即可判断①是否正确，再适当地取k的值可以判断②和③是否正确. 【解析】因为，所以①正确， 令k=0，可得②正确； 令k=-1，可得③正确. 故答案为：①②③. 题型十 角度与弧度的互化 43．角度与弧度的互化公式 弧度 弧度 弧度弧度 1弧度 【答案】 180° 57.30°（或57°18′） 【分析】利用角度与弧度的互化公式可得结论. 【解析】角度与弧度的互化公式为： ，， ，（或）. 故答案为：①，②，③，④（或）. 44．把下列各角的弧度化成度： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据弧度可化为即可得出答案. 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. 45．将下列角度化为弧度，弧度转化为角度 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)弧度 (2)π弧度 (3)弧度 (4) (5) (6) 【分析】利用弧度即可得出，即角度化弧度乘以，弧度化角度乘以，需注意单位为度． 【解析】（1）解：弧度弧度， （2）解：弧度弧度， （3）解：弧度弧度． （4）解：弧度， （5）解：弧度， （6）解：弧度． 46．把写成的形式是 . 【答案】 【分析】将角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可． 【解析】因为 所以. 故答案为：. 47．写出一个与终边相同的正角： ．（用弧度数表示） 【答案】，(写出一个即可) 【分析】终边相同的角之间相差或可得答案. 【解析】因为， 所以与终边相同的正角为,写出一个即可为. 故答案为：. 48．与600°终边相同的最小正角为 弧度． 【答案】/ 【分析】与终边相同的角可以表示为，取适当的即可得解. 【解析】与终边相同的角可以表示为， 当时，与终边相同的最小正角为， 化为弧度制为：. 故答案为：. 49．已知. (1)将写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求与终边相同的角，满足． 【答案】(1)，是第四象限角； (2)或. 【分析】（1）利用，将角度值化为弧度制，并得到所在象限； （2）由，根据的范围求出的值，从而可求解. 【解析】（1）因为,， 所以. 因为，所以是第四象限角. （2）， 所以与终边相同的角可表示为, 令，解得， 所以. 当时， ； 当时， . 所以或. 题型十一 弧长的有关计算 50．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长为 . 【答案】 【分析】设圆的半径为r，根据圆心角与弦长、半径关系求r，再由弧长公式求圆心角所对的弧长. 【解析】由题知，弧度数的圆心角所对的弦长为， 设圆的半径为r， 由，得. 根据弧长公式. 故答案为：. 51．若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长 ． 【答案】 【分析】由扇形的弧长公式即可求解. 【解析】 故答案为： 52．已知某扇形的弧长为厘米，半径为厘米，则该扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】 【分析】利用扇形的弧长、圆心角以及半径三者之间的关系可求得该扇形圆心角的弧度数. 【解析】因为扇形的弧长为厘米，半径为厘米，则该扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 题型十二 扇形面积的有关计算及最值问题 53．一个扇形半径为4，圆心角为，则扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】由扇形面积公式即可得解. 【解析】由题扇形半径为，圆心角为， 所以扇形的面积是. 故答案为：. 54．已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】 【分析】借助扇形面积公式与弧长公式计算即可得. 【解析】设该扇形半径为，弧长为，圆心角为，面积为， 则，即，即， 又，则. 故答案为：. 55．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得. 【解析】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. 56．若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出扇形半径和圆心角，根据周长得到方程，并表示出扇形面积，利用基本不等式求出最值，得到扇形的半径和圆心角，从而结合三角函数得到，求出答案. 【解析】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长， 故，则， 故扇形面积为， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故， 此时， 由对称性可知， 设内切圆的圆心为，因为，故， 过点作⊥于点， 则，在中，，即， 解得. 故选：B 题型十三 弧长与扇形面积的实际应用 57．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是 . 【答案】 【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解. 【解析】莱洛三角形的周长为，可得弧长， 则等边三角形的边长， 分别以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积均为， 等边的面积， 所以莱洛三角形的面积是. 故答案为：. 58．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ）    A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 【答案】C 【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十五步，外周一百二十五步，列关系式即可. 【解析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，,解得：， 则“该环田”的面积为平方步. 故选：C 59．扇子文化在中国源远流长.如图所示的扇面的外环弧长为60cm，内环弧长为15cm，径长（外环半径与内环半径之差）28cm，则该扇面的面积为（    ） A．1050cm2 B．840cm2 C．630cm2 D．210cm2 【答案】A 【分析】首先，由条件可知，再列出关于弧长的公式，利用扇形面积求解. 【解析】设外环圆的半径为，内环圆的半径为，圆心角为，则，，，则，所以该扇面的面积（cm2）. 故选：A 60．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（    ）平方米（其中，） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可. 【解析】如图所示，扇形的半径为， 所以扇形的面积为， 又三角形的面积为， 所以弧田的面积为， 又圆心到弦的距离等于，所示矢长为， 按照上述弧田的面积经验计算可得弦矢矢， 所以两者的差为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，以及我国古典数学的应用问题，其中解答中认真审题，合理利用扇形弧长和面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 一、填空题 1．与的终边重合的最大负角是 ，与的终边重合的最小正角是 ． 【答案】 【分析】根据终边相同的角相差的整数倍，利用集合的描述法可写出符合条件的集合，给赋值进行求解即可． 【解析】根据终边相同的角相差的整数倍， 故与终边相同的角可表示为：,． 则当时，，此时为最大的负角． 与角终边相同的角可表示为：, 当时，，此时为最小的正角． 故答案为：，. 2．如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则 . 【答案】/ 【分析】利用扇形半径表示直角三角形和扇形的面积，利用面积间的关系，列式求解. 【解析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为， 在中， 则的面积为， 由题意得 所以，所以. 故答案为： 二、单选题 3．在平面直角坐标系中，给出下列命题： ①终边经过点的角的集合是； ②将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是； ③若是第三象限角，则是第二象限角； ④若，则． 其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据终边所过点可求终边对应的角的集合，故可判断①的正误，根据正角的定义可判断②的正误，根据反例可判断③的正误，根据集合中元素的关系可判断④的正误. 【解析】对于①，若角的终边过，则角的终边为一、三象限的分角线， 终边对应的角的集合为，故①正确. 对于②，将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是，故②正确. 对于③，取，则为第三象限角，而， 故为第四象限角，故③错误. 对于④，因为任意，而，故， 故，故，故④正确. 故选：A. 三、解答题 4．已知角． (1)将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 【答案】(1)，角是第二象限角． (2)，． 【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. 【解析】（1）因为， 所以角与的终边相同， 又，所以角α是第二象限角． （2）因为与角终边相同的角（含角在内）为， 所以由，得． 因为， 所以或． 当时，； 当时，， 故在区间上与角终边相同的角是，． 5．已知扇形的面积为S，周长为p，中心角为. (1)若S是定值，则当为多少弧度时，周长p最小，并求此最小值（用S表示）. (2)若p是定值，则当为多少弧度时，面积S最大，并求此最大值（用p表示）. 【答案】(1)当时周长最小，为 (2)当时面积最小，为 【分析】（1）依题意，则，则，再利用基本不等式计算可得； （2）扇形周长，可得，利用扇形的面积公式，基本不等式即可求解． 【解析】（1）依题意，设扇形的半径为，则扇形的面积，所以， 所以， 当且仅当，即时，周长取得最小值. （2）扇形周长，则， 所以， 当且仅当，即时，扇形面积取得最大值． 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 正弦、余弦、正切、余切(第1课时) 题型一 锐角的正弦、余弦、正切、余切 1．如图，在中，，，，则的长是 .    2．若为锐角，，则 . 3．直角三角形ABC中（其中）．则以下式子中正确的是 ． ①； ②； ③； ④． 4．若三角形三边的比为，则最小角的正弦值为 ，余弦值为 . 5．正方形的边长为2，点是直线上一点，若，则的值是 . 题型二 角的有关概念与分类 6．角的概念的推广 定义 图示 正角 一条射线绕端点按 方向旋转所形成的角 负角 一条射线绕端点按 方向旋转所形成的角 零角 一条射线 形成的角 7．如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 8．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ． 题型三 象限角 9．象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与 重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限（这种角常称为轴线角）． 10．下列说法中正确的是 （填序号）． ①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限角； ③第二象限角为钝角； ④小于的角一定为锐角； ⑤角与的终边关于x轴对称． 11．给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③的角是第一象限的角；④小于的角是钝角、直角和锐角.其中错误的序号是 . 12．若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（    ） A． B． C． D． 13．已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是（    ） A． B． C． D． 题型四 终边相同的角及表示 14．已知角，都是锐角，且角的终边与角的终边相同，角的终边与角的终边相同，则 ， ． 15．在内与终边重合的角为 ． 16．将化为（，）的形式是（    ） A． B． C． D． 17．与角终边相同的最小正角是 ；最大负角是 ． 18．用角度表示出第一、三象限的角平分线上角的集合为 . 19．请用集合表示终边位于轴的角的集合 . 20．已知角和角，则下列说法正确的是（    ） A．若角是第一象限角，则角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．若角和角分别是角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 21．若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 题型五 判断任意角属于第几象限 22．角属于第 象限角． 23．已知角，则角的终边落在第 象限. 24．在直角坐标系中，是第 象限角. 25．如果角α为锐角，那么，所在的象限是 ． 题型六 根据图形写出角的范围 26．如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是    27．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么所有角形成的集合为 ． 28．如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．    题型七 n倍、n分角 29．已知为第三象限角，则是第 象限角，是 的角． 30．如果是第三象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 31．已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 题型八 弧度制的有关概念 32．弧度制的相关概念 （1）1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. （2）弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. ②记法：弧度单位用符号表示，读作弧度. 如图，在单位圆中，的长等于1，就是1弧度的角. （3）角度制和弧度制的互化： rad， . （4）扇形的弧长公式： 扇形的面积公式： .其中是半径，（）为弧所对圆心角. 33．度量角的两种制度 （1）角度制：1度角等于周角的 （2） ：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 ，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 34．度量角的两种单位制 角度制 定义 用“ ”作单位来度量角的单位制 1度的角 把周角分成360等份，每一份叫作1度的角 弧度制 定义 以“ ”为单位来度量角的单位制 1弧度的角 把长度等于 的弧所对的圆心角叫作1弧度的角．“弧度”用符号rad表示 35．弧度数 （1）正角：正角的弧度数是一个 ． （2）负角：负角的弧度数是一个 ． （3）零角：零角的弧度数是 ． （4）如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是 ． 36．时钟的时针走过了1小时40分钟，则分针转过的角度为 ． 37．若三角形三内角之比为4：5：6，则三内角的弧度数分别是 ． 题型九 用弧度制表示角的集合 38．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 39．写出与终边相同的角的集合是 . 40．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为 ． 41．终边在轴正半轴上的角的集合是 （用弧度表示） 42．设与终边相同的角的集合为M，则①；②M中最小正角是；③M中最大负角是，其中正确的有 .（选填序号） 题型十 角度与弧度的互化 43．角度与弧度的互化公式 弧度 弧度 弧度弧度 1弧度 44．把下列各角的弧度化成度： (1)； (2)； (3)； (4)． 45．将下列角度化为弧度，弧度转化为角度 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 46．把写成的形式是 . 47．写出一个与终边相同的正角： ．（用弧度数表示） 48．与600°终边相同的最小正角为 弧度． 49．已知. (1)将写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求与终边相同的角，满足． 题型十一 弧长的有关计算 50．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长为 . 51．若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长 ． 52．已知某扇形的弧长为厘米，半径为厘米，则该扇形的圆心角的弧度数为 ． 题型十二 扇形面积的有关计算及最值问题 53．一个扇形半径为4，圆心角为，则扇形的面积是 ． 54．已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 55．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 56．若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 题型十三 弧长与扇形面积的实际应用 57．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是 . 58．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ）    A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 59．扇子文化在中国源远流长.如图所示的扇面的外环弧长为60cm，内环弧长为15cm，径长（外环半径与内环半径之差）28cm，则该扇面的面积为（    ） A．1050cm2 B．840cm2 C．630cm2 D．210cm2 60．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（    ）平方米（其中，） A．14 B．16 C．18 D．20 一、填空题 1．与的终边重合的最大负角是 ，与的终边重合的最小正角是 ． 2．如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则 . 二、单选题 3．在平面直角坐标系中，给出下列命题： ①终边经过点的角的集合是； ②将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是； ③若是第三象限角，则是第二象限角； ④若，则． 其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、解答题 4．已知角． (1)将改写成（，）的形式，并指出是第几象限角； (2)在区间上找出与终边相同的角． 5．已知扇形的面积为S，周长为p，中心角为. (1)若S是定值，则当为多少弧度时，周长p最小，并求此最小值（用S表示）. (2)若p是定值，则当为多少弧度时，面积S最大，并求此最大值（用p表示）. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$