15.3分式方程（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

15.3 分式方程（第1课时） 主讲： 人教版数学八年级上册 第十五章 分式 1.理解分式方程的概念和分式方程产生无解的原因. 2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程. 学习目标 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时，根据题意可列方程 . 这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？ = 情境引入 定义： 此方程的分母中含有未知数X，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. = 新知探究 你能试着解这个分式方程吗？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ “去分母” = 新知探究 方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x) 解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得 90（30-x)=60(30+x)， 解得 x=6. 检验：将x=6代入原分式方程中，左边==右边， 因此x=6是原分式方程的解. x=6是原分式方程的解吗？ = 新知探究 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 新知探究 下面我们再讨论一个分式方程： 解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得 x+5=10， 解得 x=5. x=5是原分式方程的解吗？ = 新知探究 检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 = 的解， 实际上，这个分式方程无解. 新知探究 思考 上面两个分式方程中，为什么 = ① 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 = ②去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 新知探究 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程: 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0 = ① 新知探究 分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x+5=10 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0 = ② 新知探究 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 新知探究 例1 解方程 = . 解：方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x-3)≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 典例精析 例2 解方程 -1 = . 解：方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时，(x-1)(x+2) =0,因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 典例精析 1.下列说法中，正确的是(　　) A.分母中含有未知数的式子就是分式方程 B.含有字母的方程叫做分式方程 C.分式方程中，分母中一定含有未知数 D.分式方程就是含有分母的方程 C 随堂检测 解：(1)方程两边乘(x+1)(x-1)，得 2(x+1)=4 解得 x=1 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0， 因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 2.解方程：(1) = ; (2) = - 3 . 随堂检测 (2)方程两边乘(x-2),得 1=-(1-x)-3(x-2) 解得 x=2 检验:当x=2时, x-2=0， 因此x=2不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 2.解方程：(1) = ; (2) = - 3 . 随堂检测 解：方程两边同乘 (x＋2)(x-2) 得 2(x＋2)＋mx=3(x-2)，即 (m-1)x=-10. ①当m-1=0 时，此方程无解，此时 m=1； ②整式方程的解使分式方程的最简公分母为零，即 x=2 或 x=-2. 当x=2时，(m-1)×2=-10，解得 m=-4； 当x=-2 时，(m-1)×(-2)=－10，解得 m=6. ∴m的值是1，-4或6. 1.若关于x的分式方程 + = 无解，求m的值． 能力提升 2.若关于的方程 + = 2有增根，求的值． 解：方程两边都乘以（x-2）得， 2-x-m=2（x-2）， ∵分式方程有增根， ∴x-2=0， 解得x=2， ∴2-2-m=2（2-2）， 解得m=0． 能力提升 分式 方程 定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 注意 (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． 步骤 （去分母法） 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用） (3)忘记检验 课堂小结 1.若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为 ________________． 2.关于x的分式方程＋2＝的解为正实数，则k的取值范围是________________． 3.关于x的分式方程无解，则a的值是______． 且 k＞-2且k≠2 1或3 课后作业 4.解下列分式方程： (1)； (2)． 解：（1）方程两边同时乘以最简公分母得∶ 解得 检验：当 时，， ∴是原方程的的解． 课后作业 （2）方程两边同时乘以最简公分母得 ， ， ， ． 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴分式方程无解． 4.解下列分式方程： (1)； (2)． 课后作业 主讲： 人教版八年级数学上册 感谢聆听 $$