1.2一定是直角三角形吗 课时作业2024-2025学年北师大版数学 八年级上册

北师大版八年级上册数学1.2一定是直角三角形吗 课时作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 2．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点是线段的中点，则，其中正确的序号是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 3．下列说法中正确的是（　　） A．在△ABC中，AB2+BC2＝AC2 B．在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB2+BC2＝AC2 D．AB、BC、AC是△ABC的三边，若AB2+BC2＝AC2，则△ABC是直角三角形 4．小明学了利用勾股定理在数轴．上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点，然后过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，设与数轴右侧交点为点，则点的位置在数轴上位于 （    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．如图，一个圆柱的底面半径为，，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中，点S，则移动的最短距离为（    ） A．10 B．12 C．14 D．20 6．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用、表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（　　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 7．下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（   ） A．1，1， B．1，， C．，， D．，， 8．如图所示，一只蚂蚁在正方体的一个顶点A处，它能爬到顶点B处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为（ ） A．8 B． C． D． 二、填空题 9．如图，，数轴上点A表示的数是 ． 10．如图，一个密封的圆柱形油罐底面圆的周长是10m，高为13m，一只壁虎在距底面1m的A处，C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到C处捕食，它爬行的最短路线长为 m． 11．如图，一个高，底面周长的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为 长． 12．.如图，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一棉线从顺着圆柱侧面绕3圈到，求棉线最短为 ． 13．请构图求出代数式的最小值为 ． 三、解答题 14．小丽家在装修，虽然房间比较小，但是小丽总想睡1.8米宽的大床，那样抱着她的大娃娃睡多好啊，妈妈说：“你已经八年级了，自己设计一下，怎样可以把1.8米宽的床放好，并且还比较美观？”下面是小丽的第一次设计图：1.8米宽的床一般长2.2米，床头柜一般需要50cm，门宽80cm，只能往房里开． 妈妈看了设计图以后，怀疑地说：“像你这样设计，门好像打不开啊．”请通过计算说明，此时门能否完全打开？ 小丽考虑将家具整体平移一下，她又设计了第二种方案，这时妈妈看了一会，问小丽：“你确定门能完全打开？”，小丽得意地笑了，请通过计算说明为什么这次可以了. 15．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE) ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE. 16．如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，若该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？ 17．1876年，美国总统加菲尔德利用下图验证了勾股定理．    (1)请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简）： 方法1：________；方法2：________． (2)利用“等面积法”，推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D B A D D C 1．D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．根据等面积法证明即可． 【详解】解：A、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、， 根据图形不能证明勾股定理； 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了以“赵爽弦图”为背景的勾股定理的运用，正方形面积的计算，根据设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边长为c，由此可得，小正方形的边长为，，由此可求出，图形结合，及正方形面积的计算方法，含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，斜边长为，则小正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∴，故②正确； 当时，，即， ∴，故③正确； 当点是的中点时，，即， ∴，即， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D ． 3．D 【分析】根据勾股定理即可解答 【详解】A、在△ABC中，不一定能够得到AB2+BC2＝AC2，故选项错误； B、在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB2+BC2＝AC2，故选项错误； C、在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB2+BC2＝AC2，故选项错误； D、AB、BC、AC是△ABC的三边，若AB2+BC2＝AC2，则△ABC是直角三角形，故选项正确． 故选D． 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于掌握勾股定理的内容 4．B 【分析】根据勾股定理求出OB的长，从而得OP的长，进而即可得到点P在数轴上的位置． 【详解】∵，，OA=2， ∴OB=， ∵以点为圆心，为半径作弧，与数轴右侧的交点为点， ∴OP=OB=， ∵3＜＜4， ∴点的位置在数轴上位于3和4之间． 故选B． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理以及数轴上的点所表示的数，是解题的关键． 5．A 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．先把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长． 【详解】如图所示， ∵在圆柱中，底面半径为，， ∴展开图中，，， ∴． 故选A． 6．D 【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形的面积的计算公式以及勾股定理按顺序判断即可． 【详解】①∵为直角三角形， ∴， 故①正确； ②由图可知：， 故②正确； ③由图可知：四个直角三角形与小正方形面积之和等于大正方形面积， 由此可得：，即：， 故③正确； ④由①③相加可得：， 即， 故， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为弦图，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解答本题的关键． 7．D 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可. 【详解】A、，能作为直角三角形的三边长，此项不符题意 B、，能作为直角三角形的三边长，此项不符题意 C、，能作为直角三角形的三边长，此项不符题意 D、，不能作为直角三角形的三边长，此项符合题意 故选：D. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，熟记定理是解题关键. 8．C 【详解】解：将正方体展开，如图所示： 在直角△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=2，BC=1， ∴AB=． 故选C． 9． 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴．根据勾股定理求得的长，根据数轴即可求点AA表示的数． 【详解】解：∵，，，， ∴， 数轴上点表示的数是， 故答案为：． 10．13 【分析】根据题意画出圆柱的侧面展开图的平面图形，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：AD=5m，CD=12m， 则AC=(m)， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题，正确画出平面图形是解题的关键． 11．20m． 【分析】试题分析：要求登梯的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】将圆柱表面按一周半开展开呈长方形，      ∵圆柱高16m，底面周长8m，设螺旋形登梯长为xm， ∴x2=（1×8+4）2+162=400， ∴登梯至少=20m 故答案为：20m 【点睛】本题考查圆柱形侧面展开图新问题，涉及勾股定理，掌握按要求将圆柱侧面展开图形的方法，会利用圆周，高与对角线组成直角三角形，用勾股定理解决问题是关键． 12． 【分析】将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可. 【详解】圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短； ∵圆柱底面半径为2cm， ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2=4πcm； 又∵圆柱高为9πcm， ∴小长方形的一条边长是3πcm； 根据勾股定理求得AC=CD=DB=5πcm； ∴AC+CD+DB=15πcm； 故答案为15π． 【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 13． 【分析】本题考查最短路线问题，勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，构造出符合题意的直角三角形是解题的关键，过点作，过点作，使，，，为上一点，连接，则，当三点共线时，取到最小值，最小值为的长，过点作交的延长线于点，在中根据勾股定理，可得答案. 【详解】解：如图所示，过点作，过点作，使，，，为上一点，连接． 设，则， ∴，， ∴， 当三点共线时，取到最小值，最小值为的长． 过点作交的延长线于点，得长方形， 则，． ∴， 在中， 由勾股定理得：． ∴的最小值为． 故答案是：． 14．门无法完全打开；门可以完全打开. 【分析】第一种方案根据勾股定理计算即可.第二种方案根据根据定理计算后进行比较即可. 【详解】经看图分析发现，门轴只能在左侧，于是第一种方案中，在中，由勾股定理可得， ＝，门无法完全打开； 第二种方案中，在Rt△BAC中，由勾股定理可得 ＝ ，门可以完全打开. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，关键是能在实际问题中建立勾股定理的模型. 15．风筝的高度CE为21.6米． 【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度． 【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝＝＝20(米)． ∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)． 答：风筝的高度CE为21.6米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 16．能通过，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．在上取G，使，过G作于F反向延长交半圆E，利用勾股定理求得，再根据车的宽求此时隧道壁离地面的高度，最后与车高比较即可． 【详解】解：能通过， 如图：在上取G，使，过G作于F反向延长交半圆E， 则，圆的半径， 由勾股定理，得， E点与的距离为； 所以能通过． 17．(1)； (2)见解析 【分析】（1）因为梯形的上底为a，下底为b，高为，则它的面积可表示为；此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即； （2）由（1）可得，即可． 【详解】（1）解：由题得：梯形面积为； 此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即； 故答案为：； （2）解：由（1）得：， 即． 【点睛】本题主要查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$