1.1探索勾股定理 课时作业2024-2025学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理 课时作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，CD⊥AB于D，则CD长为（　　） A．4 B． C． D． 2．在四边形ABCD中．∠B＝∠C＝90°，AB＋DC＝AD，BC＝6，则AB·DC的值为（    ） A． B． C．9 D．12 3．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊接一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（    ） A．米 B．5米 C．米 D．米或米 4．在学习勾股定理时，小明利用右图验证了勾股定理．若图中，，则阴影部分直角三角形的面积为（    ）    A．5 B． C． D． 5．下列各组数据为勾股数的是（   ） A．9，40，41 B．9，16，20 C． D． 6．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2018的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方形网格中，每个正方形的边长为，则网格上的中，边的长度是（　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，，过点作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得，依照此方法继续作下去，得 ． 10．在△ABC中，∠B＝90度，BC＝6，AC＝8，则AB＝ ． 11．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ； （2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 ． 12．如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边上的点处，则点到的距离 ． 13．七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．下面的两幅图是乐乐同学由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图1）的边长为6，则拼成的“扬帆起航”图案（如图2）阴影部分的面积为 ． 三、解答题 14．计算图中四边形ABCD的面积. 15．如图，在中，，以B为圆心，为半径画弧，交线段于点D，以A为圆心，为半径画弧，交线段于点E，连接．    (1)若，求的度数； (2)若，求及的长． 16．如图，在中，于点．求： (1)的长； (2)的长． 17．在中，，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D D A C C A 1．B 【分析】根据勾股定理求出AB，再根据面积法求出CD即可． 【详解】解：由勾股定理得：AB＝＝＝13， ∵S△ACB＝＝， 即AC×BC＝AB×CD， ∴5×12＝13×CD， 解得：CD＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，能根据三角形的面积得出AC×BC=AB×CD是解此题的关键． 2．C 【分析】过A作于E，利用题干条件得出，再利用勾股定理即可整理出. 【详解】过A作于E， ∴ ， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴. 在中：， ∴， ∴， ∴. 故选：C. 【点睛】此题考查了勾股定理的运用，正确表达出线段的关系，利用勾股定理找到数量关系是解题的关键. 3．D 【分析】分两种情况讨论：①第三根铁棒的长为斜边；②第三根铁棒的长为直角边． 【详解】解：①第三根铁棒为斜边时，其长度为：米， ②第三根铁棒的长为直角边时，其长度为：米． 故选：D． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 4．D 【分析】本题考查勾股定理，根据图形及勾股定理求出c，再利用三角形面积公式求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 5．A 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，符合题意； B、，不能构成三角形，故不是勾股数，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意， 故选：A． 6．C 【分析】仔细阅读题目，找出其中规律并根据规律进行解答即可. 【详解】根据面积公式可得S1＝22＝（）﹣2，通过解直角三角形可得以CD为斜边的等腰直角三角形的直角边长为，所以S2＝（）2＝（）﹣1，同理可得，S3＝12＝(）0，S4＝（）2＝（）1，⋯，以此类推，Sn＝（）n－3，则S2018＝（）2015.故选C. 【点睛】本题主要考查规律探索，列出前几项的计算式并寻找规律是此类问题的解决关键. 7．C 【分析】构造直角三角形，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：以为斜边，构造直角三角形，如图： 则， 故选：C． 【点睛】本题以网格为背景，考查勾股定理的计算．解题的关键是能构造出直角三角形解题． 8．A 【分析】本题主要考查了根据网格利用勾股定理求三角形的边长，根据是两个正方形的边长2和3个正方形的边长3组成的直角三角形的斜边，根据勾股定理直接求出即可． 【详解】解：由图可得， ， 故选：A． 9． 【分析】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．根据勾股定理找到规律即可． 【详解】解：由勾股定理，得 以此类推，可得 故答案为：． 10．2 【详解】由勾股定理得，AB=2. 11． 11，60，61 和 【分析】（1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一组勾股数：11、60、61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一． 【详解】解：（1）∵， ∴下一组勾股数为：11、60、61； 故答案为：11，60，61． （2）后两个数表示为和， ∵， ， ∴， 又∵，且为奇数， ∴由n，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：和． 【点睛】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． 12．3 【分析】首先根据勾股定理求出AB的长，然后利用折叠的性质求出AC′的长，在△AC′D中，设DC′=x，则AD=8-x，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10． 根据折叠的性质，BC=BC′，CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°． ∴AC′=10-6=4． 在△AC′D中，设DC′=x，则AD=8-x，根据勾股定理得 （8-x）2=x2+42． 解得x=3． ∴DC′=CD=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等． 13． 【分析】由题意得阴影部分是等腰直角三角形，再由已知求出直角边，可得面积． 【详解】解：如图，由题意可知，”扬帆起航”图案阴影部分是最小的等腰直角三角形，BD=CD，AC=BC，AB=6， 由勾股定理得：AC=BC=， ∴BD=BC=， ∴阴影部分的面积为=， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，根据已知得出阴影部分的边长是解题的关键． 14．246 【分析】根据观察图形可以看出四边形ABCD的面积为△ABD和△BCD的面积之和，根据AD，AB可以计算△ABD的面积和BD的长，根据CD，BD可以计算△BCD的面积，即可解题． 【详解】解：在Rt△ABD中，BD为斜边， AD=12，AB=16， 则BD=， 故四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD=×12×16+×15×20=96+150=246． 答：四边形ABCD的面积为246． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积计算方法，本题中正确的计算△ABD和△BCD的面积是解题的关键． 15．(1) (2)的长为4，的长为 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据作图可知，，再由直角三角形的性质得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，即可得出结论； （2）根据作图可知，，在中，由勾股定理得出方程，求出，则，过点C作于点F，再由三角形面积求出，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据作图可知，， ， ， ， ， ； （2）根据作图可知，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 如图，过点C作于点F，    则， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， 即的长为4，的长为． 16．(1)12 (2)9 【详解】解：（1）在中，，． 由勾股定理，得． ， ． ， ， ， 的长是12． （2）于点， ． 在中，， 由勾股定理，得， 的长是9． 17． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据题意勾股定理可得，结合，，即可获得答案． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$