第27章 圆与正多边形 章节整合练习（16个知识点+40题练习） -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第27章 圆与正多边形 章节整合练习（16个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点4．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点5．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点6．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点7．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点8．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点9．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点10．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点11．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点12．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点13．圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 知识点14．相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点． 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 知识点15．相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： 相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦． 注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系． （2）两圆的公切线性质： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上． 知识点16．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 章节题型整合练习 题型一．圆的认识 1．（上海模拟）如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是　　 A．4 B．5 C．6 D．10 【分析】因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上滚动正好一周，由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转，所以小圆在五个角处共滚动一周，可以求出小圆滚动的圈数． 【解答】解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转，所以小圆在五个角处共滚动一周．因此，总共是滚动了6周． 故选：． 【点评】本题考查的是对圆的认识，根据圆的周长与五边形的边长相等，可以知道圆在每边上滚动一周．然后由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转，可以知道圆在五个角处滚动一周．因此可以求出滚动的总圈数． 题型二．垂径定理 2．（2023•浦东新区三模）下列说法正确的是　　 A．平分弦的直径垂直于弦 B．两个长度相等的弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．的圆周角所对的弦是直径 【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、当两条弦都是直径时不成立，故本选项错误； 、在同圆或等圆中，两个长度相等的弧是等弧，故本选项错误； 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误； 、符合圆周角定理，故本选项正确． 故选：． 【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 3．（2023•杨浦区二模）如图，已知在扇形中，，半径，点在弧上，过点作于点，于点，那么线段的长为 　　． 【分析】先判断出点，，，四点均在同一个圆，即上，进而求出，即可得出结论． 【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，， 在和中，点是斜边的中点， ， 根据圆的定义可知，点，，，四点均在同一个圆，即上， 又， ， ， 过点作，垂足为点， 由垂径定理得，， 在中，，， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，四点共圆的方法，判断出点，，，四点均在同一个圆，即上，是解本题的关键． 4．（2024•静安区二模）已知：如图，是的直径，、、是的弦，． （1）求证：； （2）如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长． 【分析】（1）过点作，延长交与点，根据垂径定理得，，即，即可得出结论； （2）根据垂径定理得，设，则，根据勾股定理得，解方程即可． 【解答】（1）证明：过点作，延长交与点， 是的直径， ，， ，即， ； （2）解：， ， 设，则， 在中，有， ， 解得：， ． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 题型三．垂径定理的应用 5．（2023•青浦区二模）水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图所示，如果该截面油的最大深度为2分米，油面宽度为8分米，那么该圆柱形油槽的内半径为 　　分米． 【分析】连接、，在直角中利用勾股定理即可求得，然后根据垂径定理即可求得的长． 【解答】解：如图，作于点，连接， 由垂径定理知，点为的中点， 分米， 设半径为分米， 分米， 由勾股定理知，， ． 解得：， 该圆柱形油槽的内半径为5分米． 故答案为：5． 【点评】此题考查了勾股定理的应用和垂径定理的应用，圆中的有关半径，弦长，弦心距之间的计算一般是通过垂径定理转化为解直角三角形的问题． 6．（松江区二模）某公园有一圆弧形的拱桥，如图已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶到水面的距离米． （1）求水面宽度的大小； （2）当水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，若，求水面上升的高度． 【分析】（1）设拱桥所在圆的圆心为，由题意可知，点在的延长线上，连接，在中利用勾股定理求出的长，再由垂径定理求出即可得出答案； （2）设与相交于点，连接，由，，可知，，在中，由，可知，设水面上升的高度为米，即，则，则，在中，利用勾股定理即可求出的值，进而得出结论． 【解答】解：（1）设拱桥所在圆的圆心为，由题意可知，点在的延长线上，连接， ， ， 在中，，， ， ，是半径， ， 即水面宽度的长为16米． （2）设与相交于点，连接， ， ， ， 在中，， ， 设水面上升的高度为米，即，则， 在中，，，化简得 解得（舍去），， 答：水面上升的高度为2米． 【点评】本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 题型四．圆心角、弧、弦的关系 7．（青浦区二模）如图， 弧是半径为 6 的圆的圆周，点是上的任意一点，是等边三角形， 则四边形的周长的取值范围是　　 A ． B ． C ． D ． 【分析】四边形的周长就是四边形的四边的和， 四边中，，的长是长度确定， 因而本题就是确定的范围，一定大于 0 ，且小于或等于，只要求出的长就可以 ． 【解答】解：是等边三角形 ，得 的最大值为当点与重合的时刻， 的取值范围是． 故选：． 【点评】本题解题的关键是找到临界点， 将动态问题转化为普通的几何计算问题 ． 8． （2022春•徐汇区校级期中）中，点在直径上，，过点作弦，那么　 　 度． 【分析】连接，，根据，得，根据所对的直角边等于斜边的一半可得，进而得出的度数． 【解答】解：连接， ，， ， ， ． 故答案为：120． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握定理的内容是解题的关键． 题型五．圆周角定理 9．（2024•宝山区校级二模）如图，已知中，，．、分别是边、上的点，，且．如果经过点，且与外切，那么与直线的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【分析】设，，则，由，且可得及的长，作与交于点可得． 【解答】解：设，，则， ， ，， ， ，， ， 如图，与交于点，则， 在中，由可得， ， ， ，为半径， 与直线相切． 故选：． 【点评】本题考查与圆有关的位置关系，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握圆与直线位置关系的判断． 10．（2022秋•西湖区校级期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点、的读数分别为、，则的大小为　　． 【分析】设半圆圆心为，连，，则，根据圆周角定理得，即可得到的大小． 【解答】解：设半圆圆心为，连，，如图， ， 而， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半． 11．（2023•长宁区二模）如图1，点、分别在正方形的边、上，与交于点．已知． （1）求证：； （2）以点为圆心，为半径的圆与线段交于点，点为线段的中点，联结，如图2所示，求证：． 【分析】（1）由四边形是正方形，得到，由，，得到，即可证明，得到，由余角的性质得到，因此； （2）由等腰三角形的性质，得到，，得到，因此． 【解答】证明：（1）四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）知， ， 垂直平分， ， ， ， ， 为线段的中点， ， ， ． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由正方形的性质证明，由等腰三角形的性质得到，． 题型六．点与圆的位置关系 12．（2022•宝山区模拟）在直角坐标平面内，如果点在以为圆心，2为半径的圆内，那么的取值范围是　　 A． B． C． D．． 【分析】由点在以为圆心，2为半径的圆内知，据此可得答案． 【解答】解：点在以为圆心，2为半径的圆内， ， 则， 解得， 故选：． 【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 13．（2023•浦东新区三模）如图，已知矩形的边，，现以点为圆心作圆，如果、、至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径的取值范围是 　　． 【分析】根据勾股定理求出的长，根据点与圆的位置关系即可得出答案． 【解答】解：如图，连结，， 四边形是矩形， ， ， 以点为圆心作圆，如果、、至少有一点在圆内， ， 至少有一点在圆外， ， 半径的取值范围是：． 故答案为：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，掌握点与圆的位置关系有3种，设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外； ②点在圆上；③点在圆内是解题的关键． 14．（2022秋•厦门期中）已知：如图，是菱形内一点，，，垂足为点，且，联结． （1）求证：菱形是正方形； （2）当是线段的中点时，求证：点在以为半径的上． 【分析】（1）先利用证明，可证得，进而可证明结论； （2）连接，，利用证明可得，进而可证明结论． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， 在和中， ， ， ， ， ， 菱形为正方形； （2）连接，， 四边形为正方形， ，， 为的中点，， 是的垂直平分线， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在以为半径的上． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，菱形的性质，正方形的判定与性质，证明相关三角形全等是解题的关键． 题型七．确定圆的条件 15．（上海）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是　　 A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小． 【解答】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长． 故选：． 【点评】解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 题型八．三角形的外接圆与外心 16．（杨浦区三模）如果圆是的外接圆，，那么下列四个选项中，直线必过圆心的是　　 A． B．平分 C．平分 D．平分 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论． 【解答】解：圆是的外接圆， 点在三边的垂直平分线上． ， 当平分时，也是边的垂直平分线． 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心是解答此题的关键． 17．（2022春•虹口区期中）半径为4的圆的内接正三角形的边长为 　　． 【分析】欲求的边长，把中边当弦，作的垂线，在中，求的长；根据垂径定理知：，从而求正三角形的边长． 【解答】解：如图所示： 半径为4的圆的内接正三角形， ，，， ， ， ， 即它的内接正三角形的边长为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正多边形和圆，根据正三角形的性质得出是解题关键，此题难度一般，是一道比较不错的试题． 18．（2022•松江区二模）如图，已知是的外接圆，，． （1）求的正弦值； （2）求弦的长． 【分析】（1）延长交于点，连接，过点作，利用垂径定理可求解的长，由勾股定理可求解的长，再根据正弦的定义可求解； （2）由圆的基本概念可得，，利用（1）的结论可求解的长，进而可求解． 【解答】解：（1）延长交于点，连接，过点作， ， ， ， ， ； （2）， ，， ， 解得， ． 【点评】本题主要考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形，作合适的辅助线是解题的关键． 题型九．直线与圆的位置关系 19．（2024•宝山区二模）如图，中，，，，如果以点为圆心，半径为的与线段有两个交点，那么的半径的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有两个交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案． 【解答】解：，， ， 设，， ， ， ，， 过点作于点， ， 与线段有两个交点， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 20．（2024•静安区校级模拟）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点为圆心，为半径作．若对于符合条件的任意实数，一次函数的图象与总有两个公共点，则的最小值为 　　． 【分析】在中，令，则，于是得到一次函数的图象与轴交于，求得一次函数过定点，当过时，两者至少有一个交点，根据一次函数经过一、二、四象限，得到直线与圆必有两个交点，而当半径小于2时，圆与直线存在相离可能，于是得到结论． 【解答】解：在中，令，则， 一次函数的图象与轴交于， 一次函数过定点， 当过时，两者至少有一个交点， 一次函数经过一、二、四象限， 直线与圆必有两个交点， 而当半径小于2时，圆与直线存在相离可能， 半径至少为2， 故的最小值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 21．（2024春•浦东新区校级月考）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，点在边上，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质可得，，由余角的性质可求，可得结论； （2）由锐角三角函数可设，，在中，由勾股定理可求，在中，由勾股定理可求，即可求解． 【解答】解：（1）直线与相切，理由如下： 如图，连接， ，， ，， ， ， ， ， ， 又为半径， 是的切线， 直线与相切； （2）， 设，， ， ， ， ， ， ， 的半径为24． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆的有关知识，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用参数列方程是解题的关键． 题型一十．切线的性质 22．（闵行区二模）在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆一定　　 A．与轴和轴都相交 B．与轴和轴都相切 C．与轴相交、与轴相切 D．与轴相切、与轴相交 【分析】先根据点的坐标求出点到轴的距离是4，到轴的距离是3，再根据直线与圆的位置关系得出即可． 【解答】解：点， 点到轴的距离是4，到轴的距离是3， 在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆一定与轴相切，与轴相交， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，点的坐标，直线与圆的位置关系等知识点，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键． 23．（2022春•长宁区校级月考）如图，扇形的弧与相切于点，若，，，则图中阴影面积是 　　（结果保留． 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，如图，设的半径为，先根据切线的性质得到，则可判断四边形和四边形都为矩形，所以，，再证明得到，，接着在中利用勾股定理得到，解方程得到的半径为5，所以，，，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影面积梯进行计算． 【解答】解：连接，过点作于点，过点作于点，如图，设的半径为， 弧与相切于点， ， ， 四边形和四边形都为矩形， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 解得（舍去），， 的半径为5，，， ， 图中阴影面积梯 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形的面积公式． 24．（松江区模拟）如图，已知在中，，，，是边上的一个动点，的半径为定长．当点与点重合时，恰好与边相切；当点与点不重合，且与边相交于点和点时，设，． （1）求的半径； （2）求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当时，试比较与的大小，并说明理由． 【分析】（1）作，垂足为点．则就是的半径．根据已知条件可求得，即可得出，即的半径； （2）作，垂足为点，由垂径定理，得．即可表示出，从而得出关于的函数解析式． （3）当时，可求出、．可证出，从而得出与的大小． 【解答】解：（1）作，垂足为点 与边相切， 就是的半径． ， ．（1分） 又，， ．（2分） （2）作，垂足为点． 由垂径定理，得．（1分） 而，，（1分） ，即．（2分） 定义域为．（1分） （3）当时，．（1分） 证明如下： 当时，，，， ．（1分） ，， ．（1分） ，， ．（1分） 又， ． ．（1分） ．（1分） ． 【点评】本题是一道中考压轴题，考查了切线的性质和垂径定理以及相似三角形的判定，难度偏大． 题型一十一．切线的判定 25．（闸北区二模）下列直线中，可以判定为圆的切线的是　　 A．与圆仅有一个公共点的直线 B．垂直于圆的半径的直线 C．与圆心的距离等于直径的直线 D．过圆的半径外端的直线 【分析】根据切线的定义和切线的判定定理即可作出判断． 【解答】解：、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，故选项正确； 、垂直于圆的半径的直线，可能与圆相交或相离，故选项错误； 、与圆心的距离等于直径的直线与圆相离，故选项错误； 、过圆的半径外端的直线与圆相交或相切，故选项错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了切线的定义和切线的判定定理，是需要理解的内容． 26．（上海模拟）已知：如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经过，两点的交于点，交于点，恰为的直径． （1）求证：与相切； （2）当，时，求的半径． 【分析】（1）连接，证明，再结合等腰三角形的性质说明，进而证明； （2）结合已知求出，再证明，利用相似三角形的性质计算． 【解答】（1）证明：连接，则 平分 在中，，是角平分线 点在圆上， 与相切； （2）解：在中，，是角平分线 ， ， ， 在中， 设的半径为，则 解得 的半径为． 【点评】本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识点． 题型一十二．切线的判定与性质 27．（闸北区二模）下列说法中，正确的是　　 A．圆的切线垂直于经过切点的半径 B．垂直于切线的直线必经过切点 C．垂直于切线的直线必经过圆心 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【分析】根据切线的性质和切线的判定定理，对每个选项分析、判定即可． 【解答】解：、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确； 、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；故本选项错误； 、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；故本选项错误； 、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，要熟记切线的性质和切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 28．（静安区校级模拟）如图，在等腰三角形中，，以为直径作圆，与交于点，过点作，垂足为点， （1）求证：为的切线； （2）过点作的垂线，垂足为，求证：． 【分析】（1）连接，根据等边对等角，由得到，再由半径与相等得到，利用等量代换得到，由同位角相等两直线平行，得到与平行，再根据两直线平行内错角相等，由角为直角得到角为直角，又为圆的半径，根据切线的判断方法得到为的切线； （2）根据垂径定理，由与垂直，得到为中点即与相等，然后由两对角相等的两三角形相似得到，得到对应边成比例，把换为即可得证． 【解答】（1）证明：连接，，（1分） ，，（1分） ，，（1分） ，，（1分） 是圆的半径， 为的切线．（1分） （2）解：，，（1分） ， （2分）， （1分） ， ．（1分） 【点评】本题考查切线的性质和判定、垂径定理及相似三角形的性质与判定的综合运用．证明切线的方法有两种：有连接圆心与这点，证明夹角为直角；无点作垂线，证明垂线段长等于半径． 题型一十三．圆与圆的位置关系 29．（2024•普陀区校级三模）如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】根据所给圆的半径，对与和是外切还是内切，进行分类即可解决问题． 【解答】解：当与和一个外切一个内切时，如图所示， ． 当与和都外切时，如图所示， ． 当与和都内切时，如图所示， ． 综上所述，符合题意的最多有6个． 故选：． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，能根据题意画出示意图是解题的关键． 30．（2024•黄浦区三模）当相交的两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．已知点在线段上，的半径为1，如果以为半径的与 “内相交”，且，那么的取值范围是 　　． 【分析】设为的中点，则，画图分类讨论两种情况． 【解答】如图所示，设为的中点，则， 当与重合时，，如图所示，此时在圆上，则时，两圆“内相交”． 当时，两圆“内相交”． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆与圆的位置关系、新定义，根据题意画出草图，确定临界点，即可求解． 31．（徐汇区校级自主招生）如图，已知于，于，、交于点． （1）当以为直径作与以为直径的相切于点时，判断和之间的关系，说明理由，并直接写出切点到之间的距离； （2）若，以点为圆心作，使与直线相切，判断与以为直径的之间的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）结论：．如图1中，连接、、、，作两圆的公切线交于．想办法证明、、共线，、、共线，可得、公点； （2）连接．与直线相切于，连接．设，，．求出圆心距与两圆的半径之间的关系即可解决问题； 【解答】解：（1）结论：． 如图1中，连接、、、，作两圆的公切线交于． ，， 是两圆的公切线， ， ， ，是直径， ， ， 、、共线，、、共线， 交于， 与公点， ． ，， ，， ． （2）连接．与直线相切于，连接．设，，． ，，， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， 圆心距， 两圆内切． 【点评】本题考查两圆的位置关系、切线的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 题型一十四．相切两圆的性质 32．（2020•浦东新区二模）矩形中，，，如果分别以、为圆心的两圆外切，且点在圆内，点在圆外，那么圆的半径的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据点在内，点在外，求得的半径是大于5而小于12；再根据勾股定理求得，最后根据两圆外切的位置关系得到其数量关系． 【解答】解：在矩形中，，， ， 点在内，点在外， 的半径的取值范围为：， 当和外切时，圆心距等于两圆半径之和是13，设的半径是，即， 又， 则的取值范围是． 故选：． 【点评】此题综合运用了点和圆的位置关系以及两圆的位置关系与数量关系之间的等价关系．同时注意勾股定理的运用．特别注意两圆相切，可能内切或外切． 33．（2022•嘉定区二模）已知圆与圆外切，其中圆的半径是，圆心距，那么圆的半径是 　　． 【分析】利用两圆外切的性质解答即可． 【解答】解：设圆的半径是， 圆与圆外切，圆的半径是，圆心距， ， ． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了相切两圆的性质，利用外切两圆的圆心距等于两圆半径之和列出关系式是解题的关键． 34．（2020•宝山区二模）已知：如图，与相切于点，如果过点的直线交于点，交于点，于点，于点． 求：（1）求的值； （2）如果和的半径比为，求的值． 【分析】（1）根据垂径定理得出，，即可求出答案； （2）根据等腰三角形的性质和对顶角相等得出，求出，根据相似三角形的性质得出即可． 【解答】解：（1），，过，过， ，， ； （2）连接，必过切点，连接、， ，， ， 即，， ， ， 和的半径比为，即， ． 【点评】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，相切两圆的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 题型一十五．相交两圆的性质 35．（2022•浦东新区二模）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长可能是　　 A． B． C． D． 【分析】连接交于，根据勾股定理求出，求出和，再根据相交两圆的性质和点与圆的位置关系得出的范围即可． 【解答】解：连接交于，如图1， 在中，由勾股定理得：， 则， ，， ， 要使与相交，且点在外，必须， 即只有选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解此题的关键． 36．（2024•奉贤区二模）已知两个半径都为4的与交于点、，，那么圆心距的长是 　　． 【分析】根据两圆相交于，，可以得到垂直平分，然后根据勾股定理求出的长即可． 【解答】解：设和交于点，连接，，如图： 与交于点、， ，， 又， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相交圆的性质，根据勾股定理求解即可，题目较为简单． 37．（2024•松江区二模）如图，已知是 与 的公共弦， 与交于点， 的延长线与交于点，联结并延长，交 于点． （1）联结、，如果．求证：； （2）如果，求证：． 【分析】（1）连接，，，，由直角三角形的判定可知为直角三角形，然后根据圆周角定理求出的度数即可证明； （2）过作于，过作于，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可． 【解答】证明：（1）连接，，，，如图： ， 为直角三角形，， 由圆周角定理可知，，， 是 与 的公共弦， 垂直平分， ，， ， ； （2）过作于，过作于，如图： ， ， ， 由垂径定理可知，，， ， ． 【点评】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例是本题解题的关键． 题型一十六．正多边形和圆 38．（2022春•浦东新区校级期中）已知一个正多边形的中心角为，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据中心角的度数可求出圆内接正多边形的边数，再根据等腰三角形的定义和正八边形的性质进行判断即可． 【解答】解：由于一个正多边形的中心角为， 所以这个正多边形的边数为， 如图，以正八边形的顶点为顶点的等腰三角形（全等的三角形为同一类）有，，共3个， 故选：． 【点评】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的判定，掌握正多边形与圆的相关计算以及等腰三角形的判定是正确解答的前提． 39．（2023•嘉定区二模）如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是 　　． 【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数． 【解答】解：由题意可得： 边数为， 则它的边数是10． 故答案为10． 【点评】本题考查了正多边形的计算，根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题，本题是一个基本的问题． 40．（2024•上海模拟）如图，正五边形内接于，连结，交于点． （1）求证：． （2）若的半径为10，求正五边形的面积（结果精确到0.1，参考数据：，，． 【分析】（1）证明，可得结论； （2）过点作于点．解直角三角形求出，，可得结论． 【解答】解：（1）证明：如图，连接，，，． 是正五边形， ，， ，， ， ， ； （2）解：过点作于点．则，， 五边形的面积 ． 【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27章 圆与正多边形 章节整合练习（16个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点4．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点5．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点6．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点7．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点8．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点9．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点10．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点11．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点12．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点13．圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 知识点14．相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点． 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 知识点15．相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： 相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦． 注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系． （2）两圆的公切线性质： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上． 知识点16．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 章节题型整合练习 题型一．圆的认识 1．（上海模拟）如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是　　 A．4 B．5 C．6 D．10 题型二．垂径定理 2．（2023•浦东新区三模）下列说法正确的是　　 A．平分弦的直径垂直于弦 B．两个长度相等的弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．的圆周角所对的弦是直径 3．（2023•杨浦区二模）如图，已知在扇形中，，半径，点在弧上，过点作于点，于点，那么线段的长为 　　． 4．（2024•静安区二模）已知：如图，是的直径，、、是的弦，． （1）求证：； （2）如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长． 题型三．垂径定理的应用 5．（2023•青浦区二模）水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图所示，如果该截面油的最大深度为2分米，油面宽度为8分米，那么该圆柱形油槽的内半径为 　　分米． 6．（松江区二模）某公园有一圆弧形的拱桥，如图已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶到水面的距离米． （1）求水面宽度的大小； （2）当水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，若，求水面上升的高度． 题型四．圆心角、弧、弦的关系 7．（青浦区二模）如图， 弧是半径为 6 的圆的圆周，点是上的任意一点，是等边三角形， 则四边形的周长的取值范围是　　 A ． B ． C ． D ． 8． （2022春•徐汇区校级期中）中，点在直径上，，过点作弦，那么　 　 度． 题型五．圆周角定理 9．（2024•宝山区校级二模）如图，已知中，，．、分别是边、上的点，，且．如果经过点，且与外切，那么与直线的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 10．（2022秋•西湖区校级期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点、的读数分别为、，则的大小为　　． 11．（2023•长宁区二模）如图1，点、分别在正方形的边、上，与交于点．已知． （1）求证：； （2）以点为圆心，为半径的圆与线段交于点，点为线段的中点，联结，如图2所示，求证：． 题型六．点与圆的位置关系 12．（2022•宝山区模拟）在直角坐标平面内，如果点在以为圆心，2为半径的圆内，那么的取值范围是　　 A． B． C． D．． 13．（2023•浦东新区三模）如图，已知矩形的边，，现以点为圆心作圆，如果、、至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径的取值范围是 　　． 14．（2022秋•厦门期中）已知：如图，是菱形内一点，，，垂足为点，且，联结． （1）求证：菱形是正方形； （2）当是线段的中点时，求证：点在以为半径的上． 题型七．确定圆的条件 15．（上海）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是　　 A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 题型八．三角形的外接圆与外心 16．（杨浦区三模）如果圆是的外接圆，，那么下列四个选项中，直线必过圆心的是　　 A． B．平分 C．平分 D．平分 17．（2022春•虹口区期中）半径为4的圆的内接正三角形的边长为 　　． 18．（2022•松江区二模）如图，已知是的外接圆，，． （1）求的正弦值； （2）求弦的长． 题型九．直线与圆的位置关系 19．（2024•宝山区二模）如图，中，，，，如果以点为圆心，半径为的与线段有两个交点，那么的半径的取值范围是　　 A． B． C． D． 20．（2024•静安区校级模拟）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点为圆心，为半径作．若对于符合条件的任意实数，一次函数的图象与总有两个公共点，则的最小值为 　　． 21．（2024春•浦东新区校级月考）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，点在边上，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 题型一十．切线的性质 22．（闵行区二模）在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆一定　　 A．与轴和轴都相交 B．与轴和轴都相切 C．与轴相交、与轴相切 D．与轴相切、与轴相交 23．（2022春•长宁区校级月考）如图，扇形的弧与相切于点，若，，，则图中阴影面积是 　　（结果保留． 24．（松江区模拟）如图，已知在中，，，，是边上的一个动点，的半径为定长．当点与点重合时，恰好与边相切；当点与点不重合，且与边相交于点和点时，设，． （1）求的半径； （2）求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当时，试比较与的大小，并说明理由． 题型一十一．切线的判定 25．（闸北区二模）下列直线中，可以判定为圆的切线的是　　 A．与圆仅有一个公共点的直线 B．垂直于圆的半径的直线 C．与圆心的距离等于直径的直线 D．过圆的半径外端的直线 26．（上海模拟）已知：如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经过，两点的交于点，交于点，恰为的直径． （1）求证：与相切； （2）当，时，求的半径． 题型一十二．切线的判定与性质 27．（闸北区二模）下列说法中，正确的是　　 A．圆的切线垂直于经过切点的半径 B．垂直于切线的直线必经过切点 C．垂直于切线的直线必经过圆心 D．垂直于半径的直线是圆的切线 28．（静安区校级模拟）如图，在等腰三角形中，，以为直径作圆，与交于点，过点作，垂足为点， （1）求证：为的切线； （2）过点作的垂线，垂足为，求证：． 题型一十三．圆与圆的位置关系 29．（2024•普陀区校级三模）如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 30．（2024•黄浦区三模）当相交的两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．已知点在线段上，的半径为1，如果以为半径的与 “内相交”，且，那么的取值范围是 　　． 31．（徐汇区校级自主招生）如图，已知于，于，、交于点． （1）当以为直径作与以为直径的相切于点时，判断和之间的关系，说明理由，并直接写出切点到之间的距离； （2）若，以点为圆心作，使与直线相切，判断与以为直径的之间的位置关系，并说明理由． 题型一十四．相切两圆的性质 32．（2020•浦东新区二模）矩形中，，，如果分别以、为圆心的两圆外切，且点在圆内，点在圆外，那么圆的半径的取值范围是　　 A． B． C． D． 33．（2022•嘉定区二模）已知圆与圆外切，其中圆的半径是，圆心距，那么圆的半径是 　　． 34．（2020•宝山区二模）已知：如图，与相切于点，如果过点的直线交于点，交于点，于点，于点． 求：（1）求的值； （2）如果和的半径比为，求的值． 题型一十五．相交两圆的性质 35．（2022•浦东新区二模）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长可能是　　 A． B． C． D． 36．（2024•奉贤区二模）已知两个半径都为4的与交于点、，，那么圆心距的长是 　　． 37．（2024•松江区二模）如图，已知是 与 的公共弦， 与交于点， 的延长线与交于点，联结并延长，交 于点． （1）联结、，如果．求证：； （2）如果，求证：． 题型一十六．正多边形和圆 38．（2022春•浦东新区校级期中）已知一个正多边形的中心角为，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 39．（2023•嘉定区二模）如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是 　　． 40．（2024•上海模拟）如图，正五边形内接于，连结，交于点． （1）求证：． （2）若的半径为10，求正五边形的面积（结果精确到0.1，参考数据：，，． 学科网（北京）股份有限公司 $$