专题03巧用一元一次方程解决四种选择方案问题（四种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（冀教版2024）

专题03巧用一元一次方程解决四种选择方案问题（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01旅馆收费方案决策 【典例分析】 【例1-1】某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【例1-2】（22-23七年级上·江苏南通·期末）若干户外旅行者住民宿，如果每间客房住 6 人，那么有 6 人无房可住；如果每间客房住8人，那么就恰好空出1间客房． (1)求该民宿有客房多少间，户外旅行者多少人？ (2)假设对民宿进行改造后，房间数大大增加．现每间客房收200元，且每间客房最多入住5人，一次性订房12间及以上(含 12 间)，房价按 8 折优惠，若这些户外旅行者再次一起入住，他们如何订房较合算？ 【例1-3】（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设成人每人收费元，店主李三公推出两种订房方案：方案一：房客超过人，超过的按原价八折优惠，方案二：大人原价，小孩半价．若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 题型02租车方案决策 【典例分析】 【例2-1】（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）某中学七（2）班的同学举行“重走长征路”的野外考察活动，需要租用一辆大客车一天，现有甲、乙两辆客车的租用方案：甲车每天租金180元，另按实际路程每千米加收2元；乙车每天租金140元，另按实际路程每千米加收2.5元．当实际路程为多少千米时，两种方案的费用一样？ 【例2-2】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用客车若干辆．若租用载客量45人的客车，有15人没有座位；若租用载客量60人的客车，则可少租一辆车，且恰好坐满． (1)求原计划租用多少辆客车？ (2)已知载客量45人的客车租金为每辆1000元，载客量60人的客车租金为每辆1300元，若只租用同一类型（载客量相同）的车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 【例2-3】（21-22七年级上·山西太原·阶段练习）某中学组织七年级学生春游，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知座客车每日租金为每辆元， 座客车每日租金为每辆元，试求∶ (1)七年级有多少人？原计划租用座客车多少辆？ (2)若租同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租用更合算？ 解∶（1）设原计划租用座客车辆，将题意整理成下表（补充完整表格） 45座客车 60座客车 每车人数（人） 45 60 租用辆数（辆） x 学生总数（人） 列方程，得∶ 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）七年级师生计划冬游观景．若单独租用50座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车，则可少租一辆，也正好坐满． (1)求参加冬游观景的师生总人数？ (2)景区门票的购买与客车的租赁联手促销：50座的客车租赁费用为1600元/辆，门票原价20元/位打6折优惠；60座的客车租赁费用为2500元/辆，且免门票．请问单独租用哪种客车更划算？为什么？ 【变式2-2】（21-22七年级上·河北邢台·阶段练习）某中学组织一批学生去敬老院关爱老人，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆300元，60座客车租金为每辆400元． （1）求原计划租用45座客车的数量； （2）若租用同一种车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【变式2-3】（21-22七年级上·湖南永州·阶段练习）某县外出的农民工准备集体包车回家过春节，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余45个座位． （1）求准备包车回家过春节的农民工人数； （2）已知租用45座客车的租金为每辆车5000元，60座客车的租金为每辆车6000元，问租用哪种客车更合算？请说明理由． 题型03购买方案决策 【典例分析】 【例3-1】（22-23七年级上·内蒙古包头·期末）某单位要从商场购入、两种物品，预计需要花费元，其中种物品每件元，种物品每件元，且购买种物品的数量比种物品的倍还多件． (1)求购买、两种物品各多少件？ (2)实际购买时正赶上商场搞促销活动，种物品按折销售，种物品按折销售，则该单位此次购买可以省多少钱？ 【例3-2】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某高校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球x筒（），经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球25元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按付款． (1)请用含x的式子表示到甲商店购买需要支付________________元，到乙商店购买需要支付________________元； (2)若，请通过计算说明学校到甲、乙两家中的哪一家购买更优惠； (3)若两家的优惠方案相差400元，求x的值 【例3-3】（22-23七年级上·新疆·期末）新疆因独特的地理环境，盛产各种大枣，其中“若羌”灰枣因皮薄肉厚、口感甘甜醇厚而享誉国内外．某公司打算到灰枣基地购买一批优质灰枣，灰枣基地对购买量在100千克（含100千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克38元，由灰枣基地免费送包装礼盒并送货上门；方案二：每千克34元，由顾客自行购买礼盒并租车运回，购买礼盒并租车的费用大约需要860元．请问： (1)公司购买多少千克灰枣时，两种购买方案的付款费用相同； (2)若公司打算购买500千克灰枣，选择哪种方案付款费用少？为什么？ 【变式演练】 【变式3-1】（2024七年级上·河南·专题练习）某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，下图是1班班长与售票员咨询的对话： (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班的学生人数为，3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问3班有多少人？ 【变式3-2】（22-23七年级上·重庆·期末）青山中学准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价25元．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案： 甲网店：买一个篮球送一条跳绳； 乙网店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球20个，跳绳x条． (1)若在甲网店购买，需付款　①元；若在乙网店购买，需付款②　元；（用含x的代数式表示） (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当购买跳绳为多少条时，两家网店付款相同？ 【变式3-3】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）某校为纪念“一二·九运动”八十七周年，丰富校园文化生活，增强学生的身体素质，培养同学们的集体荣誉感和团结协作精神，特举办一场文体活动，全校各班都积极参与本次活动，为表彰在本次活动中表现出色的班级，学校将购买一些乒乓球和乒乓球拍作为活动奖励，经向两家商店进行价格咨询，了解情况如下： 若该校需购买乒乓球拍10副，乒乓球若干盒（不小于10盒） (1)当购买乒乓球多少盒时，甲、乙两家商店收费金额一样多？ (2)当购买30盒乒乓球时，从节约角度考虑，学校应该去哪家商店购买？为什么？ 题型04生产方案决策 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级上·四川成都·期末）学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多． (1)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？ (2)在（1）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？ 【例4-2】（21-22七年级上·河北邯郸·期末）某开发公司生产了若干件某种新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个加工厂都想加工这批产品．已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，且知单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天．又知若由甲厂单独做，公司需付甲厂每天费用80元；若由乙厂单独做，公司需付乙厂每天费用120元． （1）求这批新产品共有多少件？ （2）若公司董事会制定了如下方案：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成，但在加工过程中，公司需派一名工程师到厂进行技术指导，并由公司为其提供每天5元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由． 【例4-3】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）松雷中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个加工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服18套，乙工厂每天能加工这种校服27套，且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用10天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用75元、付乙厂每天费用115元． （1）求这批校服共有多少套； （2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工，而乙工厂每天的生产速度提高，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还少7天，求乙工厂共加工多少天； （3）经学校研究决定制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天15元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种最省钱的加工方案． 【变式演练】 【变式4-1】（21-22七年级上·广东珠海·期末）某公司需要加工一批零件，甲每天可以加工16个零件，乙每天可以加工24个零件，甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用20天，甲每天的人工费为80元，乙每天的人工费为120元． （1）问这批零件共有多少个？ （2）在加工零件过程中，公司要派一名质量监督员，并且每天支付他15元补助费，现有三种加工方案：①由甲单独加工这批零件；②由乙单独加工这批零件；③甲、乙合作同时加工这批零件，你认为哪种方案最省钱，为什么？ 【变式4-2】（2024七年级上·全国·专题练习）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为万元；经粗加工后销售，每吨利润可达万元；经精加工后销售，每吨利润涨至万元．当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案利润最大，为什么？ 【变式4-3】（21-22七年级上·河北邢台·期末）某经销商计划找工厂代理加工一批果干，现有甲、乙两厂都想代理加工，已知甲厂每天加工果干80箱，乙厂每天加工果干120箱，且单独加工这批果干甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，该经销商需付甲、乙厂每天的费用分别为400元和600元，另外，每个工厂需要一名营养师进行技术指导，并由经销商提供每天100元的指导费． （1）分别求甲、乙两厂单独加工这批果干所需的时间； （2）经甲、乙两厂与经销商协调，现有三种代理加工方案． 方案一：由甲厂单独完成； 方案二：由乙厂单独完成； 方案三：先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲厂停工，乙厂单独完成剩余部分，同时乙厂每天的生产速度提高25%（乙厂提速后，该经销商需付乙厂每天的费用涨到700元），且乙厂的全部工作时间比甲厂的2倍还多4天． ①方案三中，甲厂加工了多少天？ ②请你通过计算帮该经销商选择一种既省时又省钱的代理加工方案． 一、单选题 1．（2022七年级上·全国·专题练习）大丰新华书店推出售书优惠方案，如果李明同学一次性购书付款162元，那么李明同学所购书的原价可能是（　　） ①一次性购书不超过100元，不享受优惠 ②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折 ③一次性购书超过200元，一律打八折 A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元 2．（2024七年级·全国·竞赛）某商场举行促销活动，有两种优惠办法：第一种，顾客所购买商品一律按9折算；第二种，采取“满一百元送十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客消费每满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送10元购物券，满200元就送20元购物券，依此类推……现有两位顾客甲和乙，甲顾客选择第一种优惠办法，共付费10000元；乙顾客选择第二种优惠办法，第一次就付了10000元购物，并用所得购物券继续购物．按所享受的折扣算，谁享受的折扣更优惠？（精确到十分位）（    ）． A．甲、乙折扣一样 B．甲 C．乙 D．无法比较 二、填空题 3．（22-23七年级上·四川绵阳·期中）某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上一律享受八折优惠； 小明在该超市两次购物分别付款60元和288元．若小明把这两次购物改为一次性购物，则应付款 元． 4．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）国家发展改革委表示，今年国庆中秋小长假中，居民消费需求集中释放，进一步巩固了消费回升的好势头．小长假期间，某商场推出回馈消费者的打折活动，具体优惠情况如下表： 购物总金额（原价） 折扣 超过元且不超过元 全部商品打九折 超过元且不超过元 全部商品打八五折 超过元 全部商品打八折 某市民在该商场购买了一件原价元的商品和一件原价元的商品，实际付费元，则的值可能为 ．（注：两件商品可以单独付款或一起付款）． 三、解答题 5．（2024七年级上·全国·专题练习）秋天是一个丰收、美丽和温馨的季节，为了让学生更好的接触自然、增强身体素质，某校计划组织七年级学生开展一次“徒步赏秋”的秋游活动，去时步行，返回时坐车．小明发现：若租用45座的客车若干辆，则有25人没有座位；若租用60座的客车，则可以少租3辆，且有一辆空了20个座位．求此次秋游的人数． 6．（24-25七年级上·全国·期末）某牛奶加工厂现有鲜奶，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；若制成酸奶销售，每吨可获取利润1 200元；若制成奶片销售，每吨可获取利润2 000元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利较多？多获利多少？ 7．（23-24七年级上·广东惠州·期末）篝火晚会，学校统一为各班准备了发光手环，每名同学一个．1班有人，2班有人，考虑到发光手环易坏，学校又额外给1班、2班共个手环． (1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？ (2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价元．甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）．请问购进多少个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多？ 8．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． (1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． 9．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）某校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需采购一批某种菜苗开展种植活动．已知甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是元（菜苗的质量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同，如下所示． 甲菜苗基地：若购买不超过捆，则按标价付款；若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款； 乙菜苗基地：按标价的付款． (1)若学校决定购买该种菜苗捆，则在甲菜苗基地购买，需付款______元，在乙菜苗基地购买，需付款______元； (2)设学校购买该种菜苗捆，补全下列表格（需化简）； 的取值范围 在甲菜苗基地购买的费用（元） 在乙菜苗基地购买的费用（元） 小于等于 大于 (3)根据购买该种菜苗的捆数选择在哪个基地更省钱． 10．为拓宽学生视野，某中学决定组织部分师生去庐山西海开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带19个学生，还剩11个学生没人带；若每位老师带20个学生，就有一位老师少带7个学生，为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 30 50 租金/（元辆） 300 400 （1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ （2）这次活动全部租甲种客车行吗？如果行，怎样安排；如果不行，请说明理由． （3）学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过4100元，租用乙种客车不少于7辆，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03巧用一元一次方程解决四种选择方案问题（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01旅馆收费方案决策 【典例分析】 【例1-1】某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】（1）该店有客房8间，房客63人；（2）诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算． 【分析】（1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得出方程组，解方程组即可； （2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房18间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论． 【详解】解：（1）设该店有客房 x 间， 根据题意，得9( x －1)＝7 x ＋7， 解得 x ＝8， 则7 x ＋7＝7×8＋7＝63. 故该店有客房8间，房客63人. （2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320钱 若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8=288钱＜320钱； 答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算． 【例1-2】（22-23七年级上·江苏南通·期末）若干户外旅行者住民宿，如果每间客房住 6 人，那么有 6 人无房可住；如果每间客房住8人，那么就恰好空出1间客房． (1)求该民宿有客房多少间，户外旅行者多少人？ (2)假设对民宿进行改造后，房间数大大增加．现每间客房收200元，且每间客房最多入住5人，一次性订房12间及以上(含 12 间)，房价按 8 折优惠，若这些户外旅行者再次一起入住，他们如何订房较合算？ 【答案】(1)该店客房有7间，户外旅行者有48人； (2)他们再次入住订12间房时更合算． 【分析】（1）设客房有x间，由题意：如果每间客房住6人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出一间房．列出一元一次方程组，解方程组即可； （2）根据已知条件分别列出两种住房方法所用的钱数，进而比较即可． 【详解】（1）解：设客房有x间， 根据题意可得：， 解得：， ， 答：该店客房有7间，户外旅行者有48人； （2）解：如果每5人一个房间，需要，即10间客房， 总费用为（元）， 如果定12间，其中有四个人一起住，有五个人一起住， 则总费用（元）， ∵， 所以他们再次入住订12间房时更合算． 答：他们再次入住订12间房时更合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【例1-3】（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设成人每人收费元，店主李三公推出两种订房方案：方案一：房客超过人，超过的按原价八折优惠，方案二：大人原价，小孩半价．若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ， 解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算； 题型02租车方案决策 【典例分析】 【例2-1】（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）某中学七（2）班的同学举行“重走长征路”的野外考察活动，需要租用一辆大客车一天，现有甲、乙两辆客车的租用方案：甲车每天租金180元，另按实际路程每千米加收2元；乙车每天租金140元，另按实际路程每千米加收2.5元．当实际路程为多少千米时，两种方案的费用一样？ 【答案】当实际路程为千米时，两种方案的费用一样 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设当实际路程为千米时，两种方案的费用一样，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设当实际路程为千米时，两种方案的费用一样， 由题意得：， 解得：， 答：当实际路程为千米时，两种方案的费用一样． 【例2-2】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用客车若干辆．若租用载客量45人的客车，有15人没有座位；若租用载客量60人的客车，则可少租一辆车，且恰好坐满． (1)求原计划租用多少辆客车？ (2)已知载客量45人的客车租金为每辆1000元，载客量60人的客车租金为每辆1300元，若只租用同一类型（载客量相同）的车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)租45座客车5辆 (2)租60座客车4辆合算 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． （1）根据游客总数不变，列方程求解即可； （2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍． 【详解】（1）解：设原计划租客车辆． 根据题意列方程得：， 解得：． 答：原计划租45座客车5辆； （2）解：租45座客车：（辆），所以需租6辆， 租金为（元）， 租60座客车：（辆），所以需租4辆， 租金为（元）． ． 答：租用4辆60座客车更合算． 【例2-3】（21-22七年级上·山西太原·阶段练习）某中学组织七年级学生春游，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；若租用同样数量的座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知座客车每日租金为每辆元， 座客车每日租金为每辆元，试求∶ (1)七年级有多少人？原计划租用座客车多少辆？ (2)若租同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租用更合算？ 解∶（1）设原计划租用座客车辆，将题意整理成下表（补充完整表格） 45座客车 60座客车 每车人数（人） 45 60 租用辆数（辆） x 学生总数（人） 列方程，得∶ 【答案】(1)240人，5辆 (2)见解析 【分析】（1）根据题意，列出方程求解； （2）根据租用价格，求出两种方式各自的租用总金额，比较判断； 【详解】（1） 45座客车 60座客车 每车人数（人） 45 60 租用辆数（辆） x 学生总数（人） 根据题意得∶ 解得∶， 答∶这批学生有人，原计划租用座客车辆． （2）要使每位学生都有座位，租座客车需要辆，租座客车需要辆． (元)，(元)，， 若租用同一种客车，租辆座客车划算． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，审题明确等量关系列出方程是解题的关键 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）七年级师生计划冬游观景．若单独租用50座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车，则可少租一辆，也正好坐满． (1)求参加冬游观景的师生总人数？ (2)景区门票的购买与客车的租赁联手促销：50座的客车租赁费用为1600元/辆，门票原价20元/位打6折优惠；60座的客车租赁费用为2500元/辆，且免门票．请问单独租用哪种客车更划算？为什么？ 【答案】(1)参加冬游观景的师生有300人 (2)单独租用60座客车更加划算，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算等知识点，找出等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设单独租用50座客车x辆，则单独租用60座客车辆，根据参加冬游观景的师生总人数不变，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中即可解答； （2）分别求出单独租用50座客车及单独租用60座客车所需费用，比较后即可解答． 【详解】（1）解：设单独租用50座客车x辆，则单独租用60座客车辆， 根据题意得：， 解得：， ∴（人）． 答：参加冬游观景的师生有300人． （2）解：单独租用60座客车更加划算，理由如下： 单独租用50座客车所需费用为（元）， 单独租用60座客车所需费用为（元）， ∵， ∴单独租用60座客车更加划算． 【变式2-2】（21-22七年级上·河北邢台·阶段练习）某中学组织一批学生去敬老院关爱老人，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆300元，60座客车租金为每辆400元． （1）求原计划租用45座客车的数量； （2）若租用同一种车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】（1）5辆；（2）租用4辆60座客车合算 【分析】（1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是（45x＋15）人，根据“若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原计划租用45座客车的数量； （2）利用总租金＝每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及60座客车所需总租金，比较后即可得出租用4辆60座客车合算． 【详解】解：（1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是（45x＋15）人， 依题意得：45x＋15＝60（x−1）， 解得：x＝5， ∴45x＋15＝45×5＋15＝240． 答：原计划租用5辆45座客车． （2）租用45座客车所需费用为300×（5＋1）＝1800（元）， 租用60座客车所需费用为400×（5−1）＝1600（元）． ∵1800＞1600， ∴租用4辆60座客车合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 【变式2-3】（21-22七年级上·湖南永州·阶段练习）某县外出的农民工准备集体包车回家过春节，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余45个座位． （1）求准备包车回家过春节的农民工人数； （2）已知租用45座客车的租金为每辆车5000元，60座客车的租金为每辆车6000元，问租用哪种客车更合算？请说明理由． 【答案】（1）315人；（2）租7辆45座客车更合算，见解析 【分析】（1）设需单独租45座客车x辆，根据农民工人数不变即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，将其代入45x中即可得出结论； （2）根据（1）可知，需租7辆45座客车或6辆60座客车．分别求出两种租车方式需要的费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设需单独租45座客车x辆， 根据题意得：45x=60（x-1）-45， 解得：x=7， ∴45x=45×7=315． 答：准备回家过春节的农民工有315人； （2）由（1）知，需租7辆45座客车或6辆60座客车． 租7辆45座客车的费用为：7×5000=35000（元）， 租6辆60座客车的费用为：6×6000=36000（元）， ∵36000＞35000， ∴租7辆45座客车更合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据农民工人数不变列出关于x的一元一次方程；（2）分别求出两种租车方式的总费用． 题型03购买方案决策 【典例分析】 【例3-1】（22-23七年级上·内蒙古包头·期末）某单位要从商场购入、两种物品，预计需要花费元，其中种物品每件元，种物品每件元，且购买种物品的数量比种物品的倍还多件． (1)求购买、两种物品各多少件？ (2)实际购买时正赶上商场搞促销活动，种物品按折销售，种物品按折销售，则该单位此次购买可以省多少钱？ 【答案】(1)购买种物品件，购买种物品件 (2)学校此次购买可以省元 【分析】设购买种物品件，则购买种物品件，根据“需要花费元”找到等量关系，列出方程并解答即可； 根据节省的钱数原价优惠后的价格，即可求出结论． 【详解】（1）设购买种物品件，则购买种物品件， 依题意得：， 解得：． 所以． 答：购买种物品件，购买种物品件． （2）(元)． 答：学校此次购买可以省元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【例3-2】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某高校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球x筒（），经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球25元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按付款． (1)请用含x的式子表示到甲商店购买需要支付________________元，到乙商店购买需要支付________________元； (2)若，请通过计算说明学校到甲、乙两家中的哪一家购买更优惠； (3)若两家的优惠方案相差400元，求x的值 【答案】(1)， (2)甲商店购买合算 (3)或 【分析】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （2）把代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可； （3）根据甲、乙两家的优惠方案相差400元，可列方程即可． 本题考查了代数式的求值、列代数、由实际问题抽象出一元一次方程，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，根据题意列出算式是解题关键． 【详解】（1）解：依题意，甲商店购买需付款：元， 乙商店购买需付款：元； 故答案为：，； （2）解：当时， 则甲商店需（元）， 则乙商店需（元）； ∵， ∴甲商店购买合算； （3）解：∵两家的优惠相差400元， ∴． 解得； 或， 解得． ∴x的值为或． 【例3-3】（22-23七年级上·新疆·期末）新疆因独特的地理环境，盛产各种大枣，其中“若羌”灰枣因皮薄肉厚、口感甘甜醇厚而享誉国内外．某公司打算到灰枣基地购买一批优质灰枣，灰枣基地对购买量在100千克（含100千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克38元，由灰枣基地免费送包装礼盒并送货上门；方案二：每千克34元，由顾客自行购买礼盒并租车运回，购买礼盒并租车的费用大约需要860元．请问： (1)公司购买多少千克灰枣时，两种购买方案的付款费用相同； (2)若公司打算购买500千克灰枣，选择哪种方案付款费用少？为什么？ 【答案】(1)公司购买215千克灰枣时，两种购买方案的付款费用相同； (2)选择方案二付款最少．理由见解析． 【分析】（1）设公司购买x千克灰枣时，两种购买方案的付款费用相同，根据两种购买方案的付款费用相同得到：38x＝34x+860，解方程即可； （2）分别求得当x＝500时，分析38x与34x+860的大小关系，即可求解． 【详解】（1）解：设公司购买x千克灰枣时，选择两种购买方案的付款费用相同． 根据题意，得：38x＝34x+860， 解得：x＝215． 答：公司购买215千克灰枣时，两种购买方案的付款费用相同； （2）解：选择方案二付款最少．理由如下： 当x＝500时，38x＝38×500＝19000（元）， 34x+860＝34×500+860＝17860（元）， 19000＞17860， ∴选择方案二付款最少． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【变式演练】 【变式3-1】（2024七年级上·河南·专题练习）某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，下图是1班班长与售票员咨询的对话： (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班的学生人数为，3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问3班有多少人？ 【答案】(1)704元 (2)44人 (3)45人 【分析】本题考查有理数的乘法运算，一元一次方程的实际运用，解题的关键在于根据题意找出等量关系建立方程并求解． （1）根据题意列式计算即可； （2）设2班有人，根据“购票费用为702元，”列出方程求解，即可解题； （3）根据“无论选择哪种方案要付的钱是一样”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解： （元）． 答：1班购票需要704元． （2）解：设2班有人， 由题意，得， 解得． 答：2班有44人． （3）解：因为3班有人， 由题意，得， 解得． 答：3班有45人． 【变式3-2】（22-23七年级上·重庆·期末）青山中学准备在网上订购一批某品牌篮球和跳绳，在查阅天猫网店后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价25元．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案： 甲网店：买一个篮球送一条跳绳； 乙网店：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球20个，跳绳x条． (1)若在甲网店购买，需付款　①元；若在乙网店购买，需付款②　元；（用含x的代数式表示） (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当购买跳绳为多少条时，两家网店付款相同？ 【答案】(1)①；② (2)在甲网店购买较为合算 (3)购买跳绳为104条时，两家网店付款相同 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，根据数量关系列出代数式是正确计算的前提，理解各个网店的优惠方案是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可； （2）把代入两个代数式计算，得出结论； （3）根据在两家网店付款相同列方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意得： 在甲网店购买需付款：； 在乙网店购买需付款：； 故答案为：；； （2）解：当时， 若在甲网店购买，需付款， 若在乙网店购买，需付款：． 此时，在甲网店购买较为合算． （3）解：由． 解得：． 即购买跳绳为104条时，两家网店付款相同 【变式3-3】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）某校为纪念“一二·九运动”八十七周年，丰富校园文化生活，增强学生的身体素质，培养同学们的集体荣誉感和团结协作精神，特举办一场文体活动，全校各班都积极参与本次活动，为表彰在本次活动中表现出色的班级，学校将购买一些乒乓球和乒乓球拍作为活动奖励，经向两家商店进行价格咨询，了解情况如下： 若该校需购买乒乓球拍10副，乒乓球若干盒（不小于10盒） (1)当购买乒乓球多少盒时，甲、乙两家商店收费金额一样多？ (2)当购买30盒乒乓球时，从节约角度考虑，学校应该去哪家商店购买？为什么？ 【答案】(1)购买乒乓球40盒时，甲、乙两家商店收费金额一样 (2)当购买30盒乒乓球时，学校应该去甲商店购买；理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设购买乒乓球x盒时，甲、乙两家商店收费金额一样，根据甲、乙两家商店收费金额一样多，列出方程，解方程即可； （2）分别求出当购买30盒乒乓球时，两家商店需要的金额，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设购买乒乓球x盒时，甲、乙两家商店收费金额一样， 依题意可列方程得： ， 解得，， 答：购买乒乓球40盒时，甲、乙两家商店收费金额一样； （2）解：当购买30盒乒乓球时，学校应该去甲商店购买；理由如下： 当购买30盒乒乓球时，甲商店需支付元，乙商店需支付元，则： ， ， 因为， 所以当购买30盒乒乓球时，学校应该去甲商店购买 题型04生产方案决策 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级上·四川成都·期末）学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多． (1)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？ (2)在（1）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？ 【答案】(1)这批校服共有4800件 (2)乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）首先求得乙工厂每天加工这种校服的件数，设这批校服共有件，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）首先设甲工厂全部工作时间是天，则乙工厂的全部工作时间是天， 根据题意，列方程并求解，即可确定甲工厂全部工作时间；再设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件，列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意得，乙工厂每天加工这种校服（件）， 设这批校服共有件， 根据题意，可得， 解得（件）． 答：这批校服共有4800件； （2）设甲工厂全部工作时间是天，则乙工厂的全部工作时间是天， 根据题意，可得， 解得（天）， ∴甲工厂全部工作时间是12天； 设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件， 根据题意，可得， 解得（件）． 答：乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件 【例4-2】（21-22七年级上·河北邯郸·期末）某开发公司生产了若干件某种新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个加工厂都想加工这批产品．已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，且知单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天．又知若由甲厂单独做，公司需付甲厂每天费用80元；若由乙厂单独做，公司需付乙厂每天费用120元． （1）求这批新产品共有多少件？ （2）若公司董事会制定了如下方案：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成，但在加工过程中，公司需派一名工程师到厂进行技术指导，并由公司为其提供每天5元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由． 【答案】（1）这个公司要加工960件新产品；（2）甲、乙合作同时完成时，既省钱又省时间，理由见详解 【分析】（1）设这个公司要加工件新产品，根据题意，列出方程求解即可得； （2）根据题意，可以单独完成，也可以合作完成，分三种情况：①由甲厂单独加工；②由乙厂单独加工；③由两家工厂共同加工；分别计算三种方案的费用，即可得出省时又省钱的方案． 【详解】解：（1）设这个公司要加工件新产品， 由题意得：， 解得：（件， 答：这个公司要加工960件新产品； （2）①由甲厂单独加工：需要耗时为天， 需要费用为：元； ②由乙厂单独加工：需要耗时为天， 需要费用为：元； ③由两家工厂共同加工：需要耗时为天， 需要费用为：元． 所以，甲、乙合作同时完成时，既省钱又省时间． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，进行分情况讨论，选择最优方案是解题关键． 【例4-3】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）松雷中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个加工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服18套，乙工厂每天能加工这种校服27套，且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用10天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用75元、付乙厂每天费用115元． （1）求这批校服共有多少套； （2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工，而乙工厂每天的生产速度提高，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还少7天，求乙工厂共加工多少天； （3）经学校研究决定制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天15元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种最省钱的加工方案． 【答案】（1）540套；（2）13天；（3）方案一：2700元，方案二：2600元，方案三：2590元，最省钱是方案三 【分析】（1）设这批校服共有x件，则可知甲厂需天，乙厂需要天，单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，根据题意找出等量关系，根据此等量关系列出方程求解即可． （2）可设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工（2a-7）天，根据题意找出等量关系，根据此等量关系列出方程求解即可． （3）应分为三种情况讨论：①由甲厂单独加工；②由乙厂单独加工；③按（2）问方式加工，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出即省钱，又省时间的加工方案． 【详解】解：（1）设这个公司要加工x件新产品，由题意得：−＝10， 解得：x＝540． 答：这批校服共有540件； （2）设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工（2a-7）天，依题意有 （18＋27）a＋27×（1＋）（2a-7−a）＝540， 解得a＝10， 2a-7＝20-7＝13． 故乙工厂共加工13天； （3）①由甲厂单独加工：需要耗时为540÷18＝30天，需要费用为：30×（15＋75）＝2700元； ②由乙厂单独加工：需要耗时为540÷27＝20天，需要费用为：20×（115＋15）＝2600元； ③由两加工厂共同加工：需要耗时为13天，需要费用为：10×（15＋75）＋13×（115＋15）＝2590元． 所以，按（2）问的方式完成既省钱又省时间． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．对于要求最符合要求类型的题目，应将所有方案，列出来求出符合题意的那一个即可 【变式演练】 【变式4-1】（21-22七年级上·广东珠海·期末）某公司需要加工一批零件，甲每天可以加工16个零件，乙每天可以加工24个零件，甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用20天，甲每天的人工费为80元，乙每天的人工费为120元． （1）问这批零件共有多少个？ （2）在加工零件过程中，公司要派一名质量监督员，并且每天支付他15元补助费，现有三种加工方案：①由甲单独加工这批零件；②由乙单独加工这批零件；③甲、乙合作同时加工这批零件，你认为哪种方案最省钱，为什么？ 【答案】（1）这批零件共有960个；（2）方案③最省钱，理由见解析． 【分析】（1）设乙单独加工这批零件用天，则甲单独加工这批零件用天，由题意得出等量关系：甲加工的总零件数=乙加工的总零件数，列出方程求解，继而算出共有多少个零件． （2）分三种情况讨论：①由甲单独加工这批零件；②由乙单独加工这批零件；③甲、乙合作同时加工这批零件，分别比较三种情况下所耗费用，找出最省钱的方案． 【详解】（1）设乙单独加工这批零件用天，则甲单独加工这批零件用天， 依题意得： 解得： 答：这批零件共有960个． （2）方案③最省钱，理由如下： 方案①所需费用：（元） 方案②所需费用：（元） 方案③所需工作天数为：天 所需费用为：元      所以选择方案③最省钱． 【点睛】本题的关键在于理解题意，找出等量关系列出方程，对于选择最佳方案的问题，应将所有方案列出来，再找出符合题意的那一个即可 【变式4-2】（2024七年级上·全国·专题练习）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为万元；经粗加工后销售，每吨利润可达万元；经精加工后销售，每吨利润涨至万元．当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案利润最大，为什么？ 【答案】方案三获得利润最大，最大利润为75万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，方案选择问题，本题的关键是设未知数，通过方程计算出精加工和粗加工的天数，从而算出利润解题．由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工，计算可得到方案一的利润；由条件可知15天可精加工蔬菜75吨，计算可得到方案二的利润；设用天精加工蔬菜，则用天粗加工蔬菜，列方程求出的值，得精加工蔬菜50吨，粗加工蔬菜70吨，计算可得到方案三的利润，对比即可得到结果． 【详解】解：方案三获得利润最大，理由如下： 方案一：由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工， （万元）， 将蔬菜全部进行粗加工再销售，可获得利润60万元； 方案二：由条件可知15天可精加工蔬菜（吨）， 则剩下（吨）在市场上直接销售， （万元）， 尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售，可获得利润万元； 方案三：设用天精加工蔬菜，则用天粗加工蔬菜， 依题意得，， 解得， 得精加工蔬菜（吨），粗加工蔬菜（吨）， （万元）， ， 方案三获得利润最大，最大利润为75万元． 【变式4-3】（21-22七年级上·河北邢台·期末）某经销商计划找工厂代理加工一批果干，现有甲、乙两厂都想代理加工，已知甲厂每天加工果干80箱，乙厂每天加工果干120箱，且单独加工这批果干甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，该经销商需付甲、乙厂每天的费用分别为400元和600元，另外，每个工厂需要一名营养师进行技术指导，并由经销商提供每天100元的指导费． （1）分别求甲、乙两厂单独加工这批果干所需的时间； （2）经甲、乙两厂与经销商协调，现有三种代理加工方案． 方案一：由甲厂单独完成； 方案二：由乙厂单独完成； 方案三：先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲厂停工，乙厂单独完成剩余部分，同时乙厂每天的生产速度提高25%（乙厂提速后，该经销商需付乙厂每天的费用涨到700元），且乙厂的全部工作时间比甲厂的2倍还多4天． ①方案三中，甲厂加工了多少天？ ②请你通过计算帮该经销商选择一种既省时又省钱的代理加工方案． 【答案】（1）甲厂单独加工这批果干需要60天，乙厂单独加工这批果干需要40天；（2）①甲厂加工了12天；②选方案三既省时又省钱 【分析】（1）设甲厂单独加工这批果干需要x天，则乙厂单独加工这批果干需要（x-20）天，然后根据甲厂每天加工果干80箱，乙厂每天加工果干120箱，且单独加工这批果干甲厂比乙厂要多用20天，列出方程求解即可； （2）①先求出代理加工的这批果干共有60×80=4800（箱），设甲厂加工a天，则乙厂共加工（2a+4）天，然后根据先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲厂停工，乙厂单独完成剩余部分，同时乙厂每天的生产速度提高25%（乙厂提速后，该经销商需付乙厂每天的费用涨到700元），且乙厂的全部工作时间比甲厂的2倍还多4天，列出方程求解即可； ②分别计算出三种方案的费用，然后比较即可得到答案． 【详解】解：（1）设甲厂单独加工这批果干需要x天，则乙厂单独加工这批果干需要（x-20）天， 根据题意80x=120（x-20）， 解得x=60， ∴x-20=40， 答：甲厂单独加工这批果干需要60天，乙厂单独加工这批果干需要40天； （2）①代理加工的这批果干共有60×80=4800（箱）， 设甲厂加工a天，则乙厂共加工（2a+4）天， 根据题意得（80+120）a+120×（1+25%）（a+4）=4800， 解得a=12， 答：甲厂加工了12天； ②方案一需要60天，费用为60×（400+100）=30000（元）； 方案二需要40天，费用为40×（600+100）=28000（元）； 方案三需要12×2+4=28天，费用为12×（400+100）+12×（600+100）+（28-12）×（700+100）=27200（元）， ∴选方案三既省时又省钱． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键． 一、单选题 1．（2022七年级上·全国·专题练习）大丰新华书店推出售书优惠方案，如果李明同学一次性购书付款162元，那么李明同学所购书的原价可能是（　　） ①一次性购书不超过100元，不享受优惠 ②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折 ③一次性购书超过200元，一律打八折 A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元 【答案】C 【分析】不享受优惠即原价，打九折即原价，打八折即原价，分别得出等式求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴一次性购书付款162元，可能有两种情况． 当购买的书款9折销售时，设原价为x元，根据题意可得： ， 解得：， 当购买的书款8折销售时，设原价为y元，根据题意可得： ， 解得：， 故李明所购书的原价一定为180元或202.5元． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键是理解售书的三种方案． 2．（2024七年级·全国·竞赛）某商场举行促销活动，有两种优惠办法：第一种，顾客所购买商品一律按9折算；第二种，采取“满一百元送十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客消费每满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送10元购物券，满200元就送20元购物券，依此类推……现有两位顾客甲和乙，甲顾客选择第一种优惠办法，共付费10000元；乙顾客选择第二种优惠办法，第一次就付了10000元购物，并用所得购物券继续购物．按所享受的折扣算，谁享受的折扣更优惠？（精确到十分位）（    ）． A．甲、乙折扣一样 B．甲 C．乙 D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程与实际问题，计算第二种优惠享受的折扣是解题的关键．按照题中给出的优惠办法，计算出第二种折扣，与第一种进行比较即可． 【详解】解：甲顾客选择第一种优惠办法，享受9折优惠； 乙顾客选择第二种优惠办法，第一次付了10000元，赠送的购物券金额为， 1000元赠送的购物券金额为，100元赠送的购物券金额为，因而用10000元购买的商品的价值是（元）， ， ， 甲、乙折扣一样． 故选：． 二、填空题 3．（22-23七年级上·四川绵阳·期中）某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上一律享受八折优惠； 小明在该超市两次购物分别付款60元和288元．若小明把这两次购物改为一次性购物，则应付款 元． 【答案】304或336 【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100元，即是60元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过350元一律9折；一种是购物不低于350元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数． 【详解】解：第一次购物显然没有超过100元，即在第一次消费60元的情况下，他的实质购物价值只能是60元． 第二次购物消费288元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： 第一种情况：他消费超过100元但不足350元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有：，解得：． 第二种情况：他消费不低于350元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为a元，那么依题意有：，解得：． 即在第二次消费288元的情况下，他的实际购物价值可能是320元或360元． 综上所述，他两次购物的实质价值为或，均超过了350元．因此均可以按照8折付款：（元），（元）． 故答案为:304或336． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的288元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 4．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）国家发展改革委表示，今年国庆中秋小长假中，居民消费需求集中释放，进一步巩固了消费回升的好势头．小长假期间，某商场推出回馈消费者的打折活动，具体优惠情况如下表： 购物总金额（原价） 折扣 超过元且不超过元 全部商品打九折 超过元且不超过元 全部商品打八五折 超过元 全部商品打八折 某市民在该商场购买了一件原价元的商品和一件原价元的商品，实际付费元，则的值可能为 ．（注：两件商品可以单独付款或一起付款）． 【答案】； 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是进行分类讨论，根据不同情况列式求出的值．分情况讨论，分两件商品一起付款或单独付款两种情况分别列方程即可； 【详解】解：当两件商品分别付款时，第二件商品实际付款为：（元）， ，，， 或 解得：或（不合题意，舍去）， 当两件商品一起付款时， 解得： 故答案为：； 三、解答题 5．（2024七年级上·全国·专题练习）秋天是一个丰收、美丽和温馨的季节，为了让学生更好的接触自然、增强身体素质，某校计划组织七年级学生开展一次“徒步赏秋”的秋游活动，去时步行，返回时坐车．小明发现：若租用45座的客车若干辆，则有25人没有座位；若租用60座的客车，则可以少租3辆，且有一辆空了20个座位．求此次秋游的人数． 【答案】共有700人秋游 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． 先设租45座的客车辆，再根据“若租用45座的客车若干辆，则有25人没有座位；若租用60座的客车，则可以少租3辆，且有一辆空了20个座位”这个等量关系列方程即可． 【详解】解：设租45座的客车辆，则60座的客车为辆， ， 解得， ， 答：共有700人秋游． 6．（24-25七年级上·全国·期末）某牛奶加工厂现有鲜奶，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；若制成酸奶销售，每吨可获取利润1 200元；若制成奶片销售，每吨可获取利润2 000元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利较多？多获利多少？ 【答案】第二种方案获利较多，多获利元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 方案一：根据制成奶片，每天可加工，求出天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶求出利润即可； 方案二：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润比较即可得到结果． 【详解】解：方案一：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶． 利润为（元）． 方案二：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意，得， 解得：， 利润为（元）， （元）， 所以第二种方案获利较多，多获利元． 7．（23-24七年级上·广东惠州·期末）篝火晚会，学校统一为各班准备了发光手环，每名同学一个．1班有人，2班有人，考虑到发光手环易坏，学校又额外给1班、2班共个手环． (1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？ (2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价元．甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）．请问购进多少个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多？ 【答案】(1)应额外给1班8个手环 (2)购进个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设应额外给1班x个手环，则额外给2班个手环，根据1班、2班的手环数一样多，可列出关于 x 的一元一次方程，解之可得出结论； （2）设购进 y 个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多，利用总价＝单价 数量，结合两个批发商处给出的优惠方案，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设应额外给1班个手环，则额外给2班个手环 根据题意得             解得：                   答：应额外给1班8个手环 （2）解：①设购进个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多 对于甲批发商处进货价为：元               对于乙批发商处进货价为：元， ∵去两个批发商处的进货价一样多， ∴          解得：                                               答：购进个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多． 8．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． (1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． 【答案】(1)1班购票需要704元 (2)2班有46人 (3)当人数为63人时，两种方案所需钱数一样 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，找准题目间等量关系是解题的关键． （1）用人数44乘以票价20再乘以0.8即可； （2）设2班有人，列方程，求解即可得到答案； （3）设有人，由题意得，得，当班级人数为63人时，两种方案费用相等． 【详解】（1）解：（元， 答：1班购票需要704元； （2）解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有46人； （3）解：设有人，由题意得， 解得， 当班级人数为63人时，两种方案费用相等． 9．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）某校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需采购一批某种菜苗开展种植活动．已知甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是元（菜苗的质量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同，如下所示． 甲菜苗基地：若购买不超过捆，则按标价付款；若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款； 乙菜苗基地：按标价的付款． (1)若学校决定购买该种菜苗捆，则在甲菜苗基地购买，需付款______元，在乙菜苗基地购买，需付款______元； (2)设学校购买该种菜苗捆，补全下列表格（需化简）； 的取值范围 在甲菜苗基地购买的费用（元） 在乙菜苗基地购买的费用（元） 小于等于 大于 (3)根据购买该种菜苗的捆数选择在哪个基地更省钱． 【答案】(1)；； (2)；； (3)当小于时，在乙菜苗基地购买合算；当时，两个菜苗基地购买费用一样；当时，在甲菜苗基地购买合算． 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的实际应用，一元一次方程的方案选择问题，能根据题意正确地分段列出式子是解题的关键． （1）根据题意分别列式计算即可； （2）甲大于，利用“若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款”列式即可；乙利用“按标价的付款”列式即可； （3）先判断小于等于时，由，可知乙菜苗基地购买合算；大于时，先解方程，得，再分三种情况判断：小于时，时，时，即可解决． 【详解】（1）解：根据题意，在甲菜苗基地购买，需付款（元）； 在乙菜苗基地购买，需付款（元）； 故答案为：；； （2）解：设学校购买该种菜苗捆， 在甲菜苗基地购买时， 若小于等于，则费用为； 若大于，则费用为元； 在乙菜苗基地购买时， 若小于等于，则费用为元； 若大于，则费用为元； 故答案为：；；； （3）解：①小于等于时，由， 故乙菜苗基地购买合算； ②大于时，由， 解得：， 由乙菜苗基地购买费用， 当时，是负数， 则乙菜苗基地购买合算； 当时，是正数， 则甲菜苗基地购买合算； 综上，当小于时，在乙菜苗基地购买合算；当时，两个菜苗基地购买费用一样；当时，在甲菜苗基地购买合算． 10．为拓宽学生视野，某中学决定组织部分师生去庐山西海开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带19个学生，还剩11个学生没人带；若每位老师带20个学生，就有一位老师少带7个学生，为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 30 50 租金/（元辆） 300 400 （1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ （2）这次活动全部租甲种客车行吗？如果行，怎样安排；如果不行，请说明理由． （3）学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过4100元，租用乙种客车不少于7辆，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 【答案】（1）老师有18人，学生有353人；（2）不行，理由见解析；（3）见解析 【分析】（1）设有x个老师，根据学生数不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（19x+11）中即可求出学生人数； （2）利用租车数量=师生人数÷每辆车的载客量，可求出租用甲种客车的数量，结合每辆客车上至少要有2名老师及共有18名老师，即可得出这次活动不能全部租甲种客车； （3）先求出7辆乙种客车的载客人数，结合师生总数可求出剩余人数，根据甲、乙两种客车的载客量可找出各租车方案，分别求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设有x个老师， 依题意，得：19x+11=20x-7， 解得：x=18， ∴19x+11=353． 答：参加此次研学旅行活动的老师有18人，学生有353人． （2）（18+353）÷30=12（辆）……11（人）， 12+1=13（辆）， 13×2=26（人）， ∵18＜26， ∴老师数不足以每辆车分2人， ∴这次活动不能全部租甲种客车． （3）18+353-50×7=21（人），21＜30＜50， ∴有两种租车方案，方案1：租用1辆甲种客车，7辆乙种客车；方案2：租用8辆乙种客车． 方案1所需费用为300+400×7=3100（元）； 方案2所需费用为400×8=3200（元）． ∵3100＜3200， ∴方案1最省钱，即：租用1辆甲种客车，7辆乙种客车． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）求出全部租甲种客车需要的教师数；（3）找出乘坐7辆乙种客车外剩余的人数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$