精品解析：上海市杨浦区2025届高三上学期模拟质量调研（一模）数学试题

杨浦区2024学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学试卷 2024.12 一､填空题（本大题满分54分，共12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分） 1. 已知集合，则的子集个数为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用子集概念列举出即可得到答案. 【详解】集合,则集合的子集有： 所以集合的子集个数有个. 故答案为：4. 2. 函数 的最小正周期是___________． 【答案】 【解析】 【详解】 的最小正周期是 ， 故答案为： 3. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先将分式不等式转化为二次不等式，利用一元二次不等式的解法，求得其解集即可. 【详解】分式不等式可以转化为，解得 ， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 4. 已知函数是偶函数，则实数的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据偶函数的性质即可求解. 【详解】由题意可知， 由于为偶函数，故，即，即， 故， 故答案为：0 5. 已知，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】应用分类讨论去绝对值符号求解. 【详解】由， 当时，则，解得（舍）， 当时，则，解得（舍）， 当时，则恒成立. 所以实数的的取值范围为. 故答案为： 6. 已知 ，若，则向量与的夹角的余弦值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案. 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 7. 已知一个正四棱锥的每一条棱长都为2，则该四棱锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，求出正四棱锥的高，由锥体体积公式进行求解. 【详解】如图，正四棱锥，正方形的对角线相交于点，连接， 则⊥平面， 因为平面，所以⊥， 其中， 故， 所以该四棱锥的体积为. 故答案为： 8. 某次杨浦区高三质量调研数学试卷中的填空题第八题，答对得5分，答错或不答得0分，全区共4000人参加调研，该题的答题正确率是，则该次调研中全区同学该题得分的方差为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据平均数和方差的定义计算求解即可. 【详解】同全区同学中答对的人数为人，答错或不答的人数为人， 所以全区同学该题得分的平均数为分， 则全区同学该题得分的方差为. 故答案为：6. 9. 将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，得到圆柱形工件的侧面积为，再结合基本不等式求解侧面积的最大值. 【详解】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，， 则圆柱形工件的侧面积为， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以， 故答案为：. 10. 已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知有两根，通过方程求解即可. 【详解】由题意可知：有两根，结合在和都是单调递增， 所以有一解，解得： ， 有一解，解得：， 所以， 故答案为：. 11. 中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为__________.（精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆上点到焦点距离最小值为，到焦点距离最大值为 ，列式运算得解. 【详解】设变轨前的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为， 变轨后的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为， 由题意可得，化简得， 即，解得（负值舍去）. 故答案为：. 12. 已知实数，是虚数单位，设集合，集合，如果，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：明确集合A，B的几何意义，数形结合，根据几何意义即可求得参数范围. 解法二：先证明不属于的复数，恰好是那些区间上的实数，再利用该结论得到取值范围. 【详解】解法一：由于，设， 则 ， 设z对应点，则， 所以，其中， 当时，该方程的几何意义为表示所有椭圆的并集， 即平面上除去线段的点的集合，其中， 集合表示复平面上的圆，圆心为，半径为a， 如果，则该圆与线段无公共点， 结合图形可知的取值范围为； 解法二： 先证明：不属于的复数，恰好是那些区间上的实数. 下设是复数. ①情况一：不是实数，也不是纯虚数. 设，，并令，. 则对，有，即. 假设，则，矛盾，所以，从而. 又因为， 所以. 此时，假设：由于， 故. 同理，根据可以得到. 对和相加和相减， 就能得到，. 若假设 ，则，从而或 ， 这和情况一的定义矛盾，所以. 若假设 ，则，从而 ，这和情况一的定义矛盾，所以 . 这就得到，所以，所以， 即. 这就得到. 所以或，无论哪种情况都能得到是实数，故可设. 若，则，得是实数，这和情况一的定义矛盾. 若 ，则，得是纯虚数，这和情况一的定义矛盾. 故前面的假设不成立，所以结合可知， 一定存在使得，结合可知. ②情况二：是纯虚数. 此时设，则满足， 且 . 故. ③情况三：是实数，且. 此时满足， 且，故. ④情况四：是实数，且. 此时满足， 且，故. ⑤情况五：是实数，且. 假设，则存在复数使得，且，设. 则. 从而，，而由可知， 所以，故. 这就得到，矛盾. 所以假设不成立，从而. 综合上面五种情况，就得到了结论：不属于的复数，恰好是那些区间上的实数. 现在回到原题，结合上面的结论，条件等价于中包含的每个实数都不属于. 一方面，若中包含一个实数，满足. 则，，从而. 另一方面，若，则实数满足，. 故中包含一个实数，满足. 这就说明，中包含一个实数满足的充要条件是. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对复数知识和三角恒等变换的使用. 二､选择题（本大题满分18分，共4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分.） 13. 已知实数，则“ ”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分也非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式化简可得 或 ，即可根据集合间的关系求解. 【详解】由得，解得 或 ， 由于或， 故“ ”是“”的充分不必要条件， 故选：A 14. 如果 是独立事件，分别是 的对立事件，那么以下等式不一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件的定义以及性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,由于 是独立事件，故，A正确， 对于B，由于 是独立事件，则也是相互独立事件，故，B正确， 对于C，,故由于不一定为0，故C错误， 对于D, 由于 是独立事件，则也是相互独立事件，,D正确， 故选：C 15. 小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大； ②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了 秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法可以比较两人淋雨量判断①，结合函数的单调性可判断②③. 【详解】①若两人结伴迎风行走，设体型较高大魁梧的人身高为，宽度为，厚度为，另一人身高为，宽度为，厚度为， 则， 又，，， 则，， 即， 即体型较高大魁梧的人淋雨是较大，①正确； ②若某人迎风行走，则， 则随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小； 若某人逆风行走，则， 当时，随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小， 当时，，随的增大而减小，即走得越慢淋雨量越小， 当时，淋雨量与无关，②错误； ③若某人迎风行走了 秒，则为定值，且 ， 则， 所以随的增大而增大，即行走距离越长淋雨量越大，③正确； 综上所述合理的解释有个， 故选：C. 16. 设无穷数列的前项和为，且对任意的正整数，则的值可能为（ ） A. B. 0 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的关系，探索数列的结构特点，分别求出和，再根据 及数列是无穷数列对各选项进行判断. 【详解】当时，. 当时，，所以， 两式相减得：，因为 ，所以. 所以数列的奇数项是以为首项，1为公差的等差数列，且. 所以. 同理，数列的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以. 所以. 若 ，则数列各项均不为0，数列是无穷数列，故A正确； 若 ，这与矛盾，故B错误； 若 ，根据奇数项成公差为1的等差数列，则 ，则无法求出，这与数列是无穷数列矛盾，故C错误； 若 ，根据奇数项成公差为1的等差数列，则，则无法求出，这与数列是无穷数列矛盾，故D错误. 故选：A 【点睛】关键点点睛：观察出数列的特点后，一定要注意 及数列是无穷数列这两个条件的应用. 三､解答题（本大题满分78分，共5题.） 17. 如图，在正方体中，点、分别是棱、的中点. （1）求证：； （2）求二面角 的大小. 【答案】（1） 如图所示，连接，，， 由为正方体， 可知， 平面，又 平面， ， ，分别为，中点， ， ， ，且， 平面， 平面， 平面， ； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证线线垂直； （2）法一：利用几何法可得二面角，法二：建立空间直角坐标系，利用坐标法求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设正方体棱长为， 法一： 如图所示，设 ，连接 ， 由（1）得平面， ， 平面， ， ， 二面角 的平面角即为 ， 又 ， 在 中，， ， 所以，所以， 所以二面角 的余弦值为，即二面角 的大小为； 法二： 如图所示，以点为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 ， 则，，，， 即，， 设平面 的法向量，则，则， 令，则， 易知平面 的一个法向量为， ， 二面角 为锐二面角， 二面角 的余弦值为， 即二面角 的大小为. 18. 已知的内角所对边的长度分别为. （1）若，求的面积； （2）若，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题设及余弦定理可得，进而结合三角形面积公式求解即可； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而结合平方关系求解即可. 【小问1详解】 由，得， 由余弦定理得 ，即， 所以，即， 所以的面积为. 【小问2详解】 由，由正弦定理得， 可得， 则， 因为，所以 ， 则，又， 所以. 19. 为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. （1）学校高中三个年级一共有多少个学生？ （2）若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. （3）从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 【答案】（1）1600 （2） （3） 【解析】 【分析】根据分层抽样，按比例抽取即可得到答案． 根据极差可得 ，再结合学生总数量为100，可求出，再根据求第 百分位数的方法即可求得. 根据古典概型的概率计算，如果一次实验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件包含的结果有个，那么事件的概率为，即可解得. 【小问1详解】 设学校高中三个年级一共有个学生, 因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本， 在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人， 所以高三抽取的人数为：人， 又因为高三年级一共512人，所以有：，解得. 所以学校高中三个年级一共有1600个学生. 【小问2详解】 因为抽取100名学生的样本极差为2，所以 又因为，所以样本的第40百分位数为： 【小问3详解】 因为100名学生的样本中随机抽取三个学生的总情况数为： 其中至少有1个数据来自高三学生的情况为： 所以至少有1个数据来自高三学生的概率为： 20. 如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为 . （1）求拋物线的焦点坐标； （2）求证：点三点共线； （3）若，求四边形的面积. 【答案】（1） （2）证明如下： 设. 若，则直线AB，CD斜率不存在， 由对称性，可知M，N，H均在x轴上，则三点共线； 若，则直线斜率存在， 直线方程为：，结合， 则， 同理可得方程：，方程：， BD方程：.设， 因，则. 则直线MN与x轴平行，设直线MN与线段AC，BD交点为. 将代入直线AC方程， 则； 将代入直线BD方程， 则. 注意到 ，又，则P，Q两点重合， 即P，Q为线段与交点H，且点三点共线； （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线方程可直接得焦点坐标； （2）当直线AB，CD斜率不存在时，由对称性可证明结论；当直线AB，CD斜率存在时，设直线MN与线段AC，BD交点为P，Q，证明P，Q重合即P，Q为H时可证明结论； （3）由（2）结合，可得，后由，可得与四边形面积组成部分的比例关系，即可得答案. 【小问1详解】 因抛物线方程为 ，则焦点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2），直线MN与x轴平行， 则. 又，同理可得， 又由（2）， 则， 由，则， 即. 则 . 如图，过B作MN平行线，交CD为E，则四边形MBEN为平行四边形， 结合，则，. 因，则，结合， 则，又M为AB中点，则N为DE中点. 则， 则四边形的面积. 【点睛】关键点睛：对于所涉点较多的圆锥曲线综合问题，常不设直线，而改为设点，并用点的坐标结合曲线方程化简直线方程；对于不规则图形面积，常分割为多个三角形求面积. 21. 已知是定义域为的函数，实数，称函数为函数的“ -生成函数”，记作. （1）若 ，求函数的值域； （2）若，函数满足 对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若满足：①；②在上存在导函数，且在上是严格增函数；③对于任意的“ -生成函数”的图像是一段连续曲线，求证：函数在上是严格增函数. 【答案】（1） （2） （3） ，， 由于，故， ， 因为在上是严格增函数， ， 所以 ， ， 故在上单调递增， 又 ，故在恒成立， 两边同时除以 得， 由于 为上的任意数，故函数在上是严格增函数. 【解析】 【分析】（1）由题意得到，，结合，求出函数的最值，得到值域； （2），，故 对任意的恒成立，构造函数，，结合特殊点函数值，多次求导，由端点值效应得到时，满足要求，并得到时，不满足要求，得到答案； （3）得到，求导得到， 由的单调性，得到在上单调递增，又 ，故，两边同时除以 得，证明出结论. 【小问1详解】 ，， 因为，所以，，所以当， 即时，取得最小值，最小值为， 当 ，即时，取得最大值，最大值为2， 故函数值域为； 【小问2详解】 ，故，， ，， 对任意的恒成立， 令，， 则 ，其中，， 显然 ，令，， 则，， 令，， ， 令，则在上单调递减， 又 在上单调递增， ，故 在上恒成立， 故 在恒成立， 故在上单调递增， 其中，若 ，即时， 在上恒成立， 在上单调递增， ， 故在上单调递增， ，满足要求， 若，则 ，故存在适当的，使得时， ， 故在上单调递减，又 ， 故 在恒成立，不合要求， 综上，实数的取值范围是； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨浦区2024学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学试卷 2024.12 一､填空题（本大题满分54分，共12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分） 1. 已知集合，则的子集个数为__________. 2. 函数 的最小正周期是___________． 3. 不等式的解集为__________. 4. 已知函数是偶函数，则实数的值为__________. 5. 已知，则实数的取值范围为_____. 6. 已知 ，若，则向量与的夹角的余弦值为__________. 7. 已知一个正四棱锥的每一条棱长都为2，则该四棱锥的体积为__________. 8. 某次杨浦区高三质量调研数学试卷中的填空题第八题，答对得5分，答错或不答得0分，全区共4000人参加调研，该题的答题正确率是，则该次调研中全区同学该题得分的方差为__________. 9. 将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为__________. 10. 已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为__________. 11. 中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为__________.（精确到0.01） 12. 已知实数，是虚数单位，设集合，集合，如果，则的取值范围为__________. 二､选择题（本大题满分18分，共4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分.） 13. 已知实数，则“ ”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分也非必要 14. 如果 是独立事件，分别是 的对立事件，那么以下等式不一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 15. 小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大； ②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了 秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为（ ） A. B. C. D. 16. 设无穷数列的前 项和为，且对任意的正整数，则的值可能为（ ） A. B. 0 C. 6 D. 12 三､解答题（本大题满分78分，共5题.） 17. 如图，在正方体中，点、分别是棱、的中点. （1）求证：； （2）求二面角 的大小. 18. 已知的内角所对边的长度分别为. （1）若，求的面积； （2）若，求 的值. 19. 为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. （1）学校高中三个年级一共有多少个学生？ （2）若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. （3）从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 20. 如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为 . （1）求拋物线的焦点坐标； （2）求证：点三点共线； （3）若，求四边形的面积. 21. 已知是定义域为的函数，实数，称函数为函数的“-生成函数”，记作. （1）若 ，求函数的值域； （2）若，函数满足 对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若满足：①；②在上存在导函数，且在上是严格增函数；③对于任意的“-生成函数”的图像是一段连续曲线，求证：函数在上是严格增函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $