5.4.2正、余弦函数的周期性和奇偶性四维限时练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2正、余弦函数的周期性和奇偶性--四维限时练--解析版 1、 单选题 1．下面关于正弦函数的性质中，错误的是（    ）． A．最小正周期是2π； B．值域是； C．是偶函数； D．定义域是实数集R． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的图象和性质逐个分析判断 【详解】根据的图象直接可得其函数性质． ，如图： 根据图象，可得的定义域为R， 值域是，图象关于原点对称，是奇函数， 所以ABD正确，C错误． 故选：C． 2.已知函数，则“”是“为奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据诱导公式以及三角函数的奇偶性结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意可知：的定义域为， 若，可得， 若为偶数，则为奇函数； 若为奇数，则为奇函数； 即充分性成立； 若为奇函数，则，即必要性成立； 综上所述：“”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C. 3．已知函数，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用正余弦函数性质，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，为偶函数； 反之，为偶函数，则或， 所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 4．下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的奇偶性、周期性即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，是以为最小正周期的奇函数，故A不符合题意； 对于B，是以为最小正周期的偶函数，故B不符合题意； 对于C，若，则，为偶函数，故C不符合题意； 对于D，若，显然其定义域为全体实数，且，所以是奇函数，且它的最小正周期为，故D符合题意. 故选：D. 5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出为奇函数，排除CD；由排除B，得到答案. 【详解】定义域为R， ，函数为奇函数， 图象关于原点对称，排除CD； 又，排除B. 故选：A 6．已知函数为偶函数，则（    ） A．－1 B．－2 C．0 D．2 【答案】B 【分析】利用偶函数的性质进行求解即可. 【详解】由且， 由， 因为该函数是偶函数， 所以定义域关于原点对称，因此有， 即，定义域为， 因为， 所以该函数是偶函数，符合题意， 故选：B 7..现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如图，则按照从左到如图像对应的函数序号正确的一组是（    ） A．①③②④ B．①④③② C．③①②④ D．③①④② 【答案】A 【分析】判断已知的四个函数的奇偶性，结合它们的函数值正负情况以及零点情况，即可判断出答案. 【详解】设，定义域为R，满足， 即为偶函数，对应的图象为图， 设，定义域为R，满足， 即为奇函数，且当时，，对应的图象为图； 设，定义域为R，满足， 为奇函数，且零点为，对应的图象为图； 设，定义域为R，满足， 为奇函数，且零点为0和，对应的图象为图4. 故选：A. 8.已知函数是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据奇函数定义可得恒成立，可得，并代入求定义域检验即可. 【详解】由题意可得： ， 若是奇函数，则， 即恒成立，则，解得， 若，则， 显然，且，即， 可知的定义域为，关于原点对称， 此时为定义在上的奇函数，即符合题意. 故选：D 2、 多选题 9.下列的函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意结合正、余弦函数的奇偶性逐项分析判断. 【详解】因为函数的定义域为， 对于选项A：因为， 可知不是偶函数，故A错误； 对于选项B：因为， 所以是偶函数，故B正确； 对于选项C：因为， 所以是偶函数，故C正确； 对于选项D：因为， 所以是偶函数，故D正确； 故选：BCD. 10．已知为偶函数，则和的可能取值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据偶函数的定义建立方程，求得值，逐项判断即可. 【详解】因为为偶函数，其对称轴为轴，即 所以为任意实数， ,B，C选项符合题意． 故选：． 11．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先用诱导公式对函数进行化简，再判别奇偶性及周期. 【详解】由， 则该函数为偶函数，且周期为，故A正确； ， ∵，故该函数为偶函数， 周期为周期的一半，故，故B正确； ，故是偶函数， ,周期，故C错误； 为非奇非偶函数，故D错误； 故选：AB. 3、 填空题 12．函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】根据余弦函数性质可得最小正周期. 【详解】由已知， 所以最小正周期为， 故答案为：. 13.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性与三角函数的奇偶性求解即可. 【详解】因为当时，， 所以当时，则，所以， 又函数是定义在上的偶函数，所以. 故答案为：. 14.设函数，若，则 ． 【答案】2024 【分析】构造新函数，利用新函数的奇偶性进行求解即可. 【详解】函数的定义域为，令，， 则，所以为奇函数， 又，所以， 所以． 故答案为：2024 4、 解答题 15.已知函数，证明：为函数的一个周期． 【答案】证明见解析 【分析】根据周期定义结合正弦函数的周期证明即可. 【详解】因为 所以为函数的一个周期． 16.判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）根据奇函数定义判断即可； （2）先求定义域，然后可得，然后根据对称性可得. 【详解】（1），的定义域为R， 又， 所以，为奇函数. （2）由解得， 所以， 易知，的图象既关于原点对称，又关于y轴对称， 所以，为既是奇函数又是偶函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4.2正、余弦函数的周期性和奇偶性--四维限时练--原卷版 (考察范围： 求周期，奇偶性的判断及应用 ) 【1】知识总览（1-2分钟，快速阅读，重点查看不熟悉的知识点） 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 补充 函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的最小正周期为：T＝. ******************************************************************************* 【2】限时练习（约40分钟，全心投入，旨在检测自己的学习效果） 1、 单选题 1．下面关于正弦函数的性质中，错误的是（    ）． A．最小正周期是2π； B．值域是； C．是偶函数； D．定义域是实数集R． 2.已知函数，则“”是“为奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数为偶函数，则（    ） A．－1 B．－2 C．0 D．2 7..现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如图，则按照从左到如图像对应的函数序号正确的一组是（    ） A．①③②④ B．①④③② C．③①②④ D．③①④② 8.已知函数是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 2、 多选题 9.下列的函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 10．已知为偶函数，则和的可能取值分别为（   ） A． B． C． D． 11．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（　　） A． B． C． D． 3、 填空题 12．函数的最小正周期为 . 13.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 14.设函数，若，则 ． 4、 解答题 15.已知函数，证明：为函数的一个周期． 16.判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). ******************************************************************************* 【3】核对简略答案（5-10分钟，筛选需要仔细研究的题目），详解请看解析版！ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C A D A B A D BCD ABC AB 12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】2024 15.【答案】证明见解析 16.【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数 ******************************************************************************* 【4】反思总结（3-5分钟，重在做好错因分析和查漏补缺，但不一定都写出来） 解题点睛:求周期的方法： ①定义法：对于函数ƒ(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有ƒ(x＋T)＝ƒ(x)，那么函数ƒ(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． ②图象法：可画出三角函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法． ③公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用公式T＝来求. 个人感悟： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$