线段的运算讲义2024-2025学年北师大版数学七年级上册

线段的运算 思维点拨 1、进行线段运算时，一般情况下都是：计算长线段用加法，计算短线段用减法，不能直接表示的线段可利用整体思想进行方程的加减. 2、 线段有比值，可设参数减少运算. 已知点 C 在线段 AB 上， AC = 2BC，点 D， E 在直线 AB 上，点 D 在点 E 的左侧.1、 （1）若 AB = 15,DE = 6, 线段 DE 在线段 AB 上移动. ①如图，当 E 为 BC 的中点时，求 AD 的长； ②点 F(异于点 A,B,C) 在线段 AB 上,AF = 3AD,CF = 3, 求 AD 的长. （2）若 AB = 2DE, 线段 DE 在直线 AB 上移动, 且满足关系式，求的值。 【解析】解:(1) ∵ AC = 2BC,AB = 15, ∴ BC = 5,AC = 10. ① ∵ E 为 BC 的中点, ∴ CE = 2.5. ∵ DE = 6, ∴ CD = 3.5, ∴ AD = AC - CD = 10 - 3.5 = 6.5. ②如图 1, 当点 F 在点 C 的右侧时, ∵ CF = 3,AC = 10, ∴ AF = AC + CF = 13, ∴ AD = 如图 2, 当点 F 在点 C 的左侧时, ∵ AC = 10,CF = 3, ∴ AF = AC - CF = 7, ∴ AF = 3AD = 7, ∴ AD =. 综上所述， AD 的长为或. (2) 如图 3, 当点 E 在线段 BC 上时, 设 BC = x, 则 AC = 2BC = 2x, ∴ AB = 3x. ∵ AB = 2DE, ∴ DE = 1.5x. 设 CE = y, 则 AE = 2x + y, ∴ BE = AB - AE = x - y, ∴ AD = AE - DE = 2x +y - 1.5x = 0.5x + y.∵，∴，∴，∴∴ CD = DE - CE = 1.5x - y = 1.5，BD=AB-AD=，∴. 如图4,当点 E 在点 A 的左侧时,设 BC=x,则AC=2x,AB=3x,DE=1.5x. 设CE=y,∴CD=CE+DE=y+1.5x,∴AD=CD-AC=y+1.5x-2x=y-0.5x. ∵∴y=4x,∴CD=y+1. 5x=4x+1. 5x=5.5x,BD=CD+BC=y+1.5x+x=6.5x,∴CD= 当点 D 在点A 左侧，点E 在点 A 右侧时，不合题意，舍去。 如图5，当点D在点A 右侧，点E在点C 左侧时，设BC=x,则AC=2BC=2x,∴AB=3x. ∵AB=2DE,∴DE=1.5x.设CE=y,∴AD=AC-DE-CE=0.5x-y,BE=BC+CE=x+y.∵ 不合题意，舍去 真题演练 如图，将一段长为 30 厘米绳子 AB 拉直铺平后折叠(绳子无弹性，折叠处长度忽略不计)，使绳子与自身一部分重叠. 1、 若将绳子 AB 沿 M 、 N 点折叠，点 A、 B 分别落在 A， B 处. (1) 如图 2，若 A， B 恰好重合于点 O 处，展开拉直后如图 3，求 MN 的长； (2) 若点 A 落在 B 的左侧，且 AB = 10cm，画出展开拉直后的图形，并求 MN 的长度； (3) 若点 A 落在 B 的右侧，且 AB = 10cm，画出展开拉直后的图形，并求 MN 的长度. 【解析】(1)解: ∵绳子AB沿M、N点折叠, 点A、 B分别落在A'、 B'处, A'、 B'恰好重合于点O处, （2） 根据题意得, M、 N分别为AA'、 BB'的中点, (3)当点A'落在点B'的右侧时， 如图，点 C 为线段 AD 上一点，点 B 为 CD 的中点，且 AD = 13cm， BC = 3cm．2、 (1) 图中共有多少条线段，请写出这些线段； (2) 求 AC 的长； 若点 E 在直线 AD 上，且 EA = 4cm，求 BE 的长。 【解析】(1)解: 图中的线段有AC, AB, AD, CB, CD, BD共6条, (2)∵点B为CD的中点, BC=3cm, ∴CD=2BC=6cm.∵AD=13cm,∴AC=AD-CD=13-6=7(cm); (3)分两种情况讨论： ①如图，当点E在AC上时， ∴BE=AB-AE=10-4=6(cm); ②如图，当点E在CA延长线上时， 如图，有一根木棒 MN 放置在数轴上，它的两端点 M ， N 分别落在点 A， B 处. 将木棒在数轴上水平移动，当 MN 的中点移动到点 B 时，点 N 所对应的数为 17.5；当 MN 的右三等分点移动到点 A 时，点 M 所对应的数为 4.5. 木棒 MN 的长度为 .3、 【详解】设木棒 MN的长度为x.根据题意，得 解得x=6.即木棒MN的长度为6. 如图，在长方形纸片ABCD中， 且 将长方形纸片ABCD沿直线DM翻折，使点A落在CD边上，记作点N，再将沿直线MN向右翻折，使点D落在射线NC上，记作点P，若N，C，P三点中有一点是另外两点的中点，则 的值为 .4、 【解析】∵将长方形纸片 ABCD 沿直线DM翻折，∴ 如图1，将 沿直线MN 向右翻折，当点 D落在线段NC 上时， 点 P 是 NC 的中点, 如图2，当点D落在线段NC 的延长线上时， 点C是NP 的中点， 综上所述， 的值为3或 。 如图，点 O 是数轴的原点，点 A 在数轴上位于原点左侧，点 B 在数轴上位于原点右侧,AB5、 = m. (1) 当 m = 8,AB = 4OB 时, 点 A 表示的数为, 点 B 表示的数为. (2) 若 C， D 是数轴上任意两点， M 是线段 AC 的中点， N 是线段 BD 的中点. ①当点 C 与点 D 重合时，探究 AB 与 MN 的数量关系，并说明理由； ②当 CD = n 时，直接写出 MN 的长度.(用含 m， n 的式子表示) 【解析】 （1）∵AB=m=8,AB=4OB,∴OB=2,∴OA=6,∴点A,B在数轴上表示的数分别为-6,2. (2)解: ①理由如下: 当点 C与点D 重合时,∵M是AC的中点,N是BD(即BC)的中点, ∴ 如图1，当点 C在线段AB 上时， 如图2，当点 C在BA 的延长线上时， 如图3，当点 C在AB 的延长线上时， 综上所述 ②或 已知线段.AB = m(m 为常数)， C 为直线 AB 上一点(不与点 A， B 重合)，点 M ,N 分别在线段6、 BC,AC 上, 且满足 CN = 3AN ,CM = 3BM . (1) 如图，当点 C 恰好在线段 AB 的中点处，且 m = 8 时， MN = . (2) 若点 C 在点 A 左侧，且点 M 在线段 AB 上(不与点 A， B 重合)，请判断 CN + 2AM - 2MN 的值是否与 m 有关，并说明理由. (3) 若 C 是直线 AB 上一点(不与点 A， B 重合)，且点 M 在线段 AB 上(不与点 A， B 重合)，求 MN 的长度. (用含 m 的代数式表示) 【解析】解:(1)设. 则(CN=3x,CM=3y.∵AB=AN+CN+CM+BM=m,∴x+3x+3y+y=m=8,∴x+y=2,∴MN=CN+CM=3x+3y=3(x+y)=6. (2)CN+2AM-2MN的值与m 无关.理由如下:如图1,∵CN=3AN,∴CN+2AM-2MN=3AN+2AM-2 的长与m的取值无关，. 的值与m 无关. (3)设 则 ①如图 2,当点 C在点 B 右边时,∵满足 CM=3BM,M在线段AB 上,∴此时M不是线段BC 上的点,不合题意，舍去. ②如图3,当点C在点A 的左边时,∵AB=CB-CA=(CM+MB)-(CN+AN)=m,∴(3y+y)-(x+3x) ③如图4,当点 C在线段AB 上时,∵AB=CB+CA=(CM+MB)+(CN+AN)=m,∴(3y+y)+(3x+x) 学科网（北京）股份有限公司 $$