4.4探索三角形相似的条件(3) 导学案2024-2025学年北师大版数学九年级上册

4.4探索三角形相似的条件（3) 【新知探究】 ★知识点一：相似三角形的判定定理 1.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 符号语言： 2.一线三直角 3.一线三等角 例1.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 变式训练一： 1.已知在△ABC和△DEF中，AB=4，BC=5，AC=8，DE=6，DF=12，那么EF= 时，△ABC∽△DEF. 2.如图，已知，求证：△ABC∽△DBE． 【典例精析】 例2.如图，已知A（3，0），B（0，4），C（4，2）， 作CD⊥x轴于D，连接AB，BC，AC， 证明：△ABC∽△ACD． 例3.如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD=1，FC=3时，求BE的长. 例4.如图1，已知A、E、B三点在同一直线上，且 ∠A=∠B=∠DEC=90°. （1）求证：AE·BE=AD·BC； （2）一位同学在尝试了上题后还发现：如图2、图3，只要A、E、B三点在同一条直线上，且∠A=∠B=∠DEC，则（1）中的结论总成立.你同意嘛？请选择其中之一说明理由. 【挑战自我】 1．已知一个三角形的三边长分别为6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形的三边长分别为12cm，15cm，18cm，则这两个三角形 　 （填“相似”或“不相似”）． 2．△ABC的三边长为，，2，△A'B'C'的两边长为1，，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A'B'C'的第三条边长是　 　． 3.在△ABC和△A′B′C′中，有下列条件：①＝； ②＝； ③∠A＝∠A′；④∠B＝∠B′；⑤∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（　　） A．4组 B．5组 C．6组 D．7组 4.如图，E为正方形ABCD的边上的中点，AB=1，MN⊥DE交AB延长线于点M，交DC的延长线于点N，则CN= ， NE= . 4题图 5题图 5.如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的重点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE=30°；②CE2=AB·CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF，其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°， AB＝6，BC＝6，CE＝3． （1）求CD的长； （2）求证：△CDE∽△BDC． 7.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． （1）求证；△ABP∽△DPC（2）求AP的长． 8.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E、点F分别是AB、AC上的点，与EF交于点P． （1）如图1，若∠AFE＝∠B，求证：AP•AB＝AD•AF； （2）在（1）的条件下，若＝，AB＝12，点E为AB的中点，求AC的长； （3）如图2，连接BP，若EF⊥AD，BP平分∠ABC，BE＝5，CF＝2．求EF的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$