4.4探索三角形相似的条件(1) 导学案2024-2025学年北师大版九年级数学上册

4.4探索三角形相似的条件(1) 【新知探究】 ★知识点一：相似三角形的预备定理 1.平行于三角形一边的直线截其他两边所得三角形的三边与原三角形三边对应 . 符号语言： 2.判定定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得三角形与原三角形 . 例1.如图，点是边上的一点，的延长线交的延长线于点，则图中相似的三角形有　　 A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 变式训练一： 1.如图，在▱ABCD中，E是CD上的一个动点（不与C、D重合），BE的延长线交AD的延长线于点F，则图中共有　 　对相似三角形． 2.如图，中，是延长线上一点，交于点，交于点，则下列结论错误的是 A． B． C． D． ★知识点二：相似三角形的概念 1.相似三角形的定义： 的两个三角形叫做相似三角形. 2.相似三角形的性质：相似三角形对应角 ，对应边 . 几何语言： 3.相似三角形的判定定理1： 的两个三角形叫做相似三角形. 几何表述： 例2.如图，在矩形中，点为上一点，连接，过点作于点. 求证：． 变式训练二： 3. 如图，∠DAB＝∠EAC，请补充一个条件：　 　，使△ADE∽△ABC（只写一个答案即可）． 4．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上．只需添加一个条件即可证明△ADE∽△ACB，这个条件可以是　 　．（写出一个即可） 5.如图，在平行四边形ABCD中，点N在BC上，连接DN，点M在DN上，连接AM，且∠AMN＝∠B．求证：△ADM∽△DNC． ★知识点三：射影定理 在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项. 符号语言： 例3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边AB上的高.其中正确的命题是 （　 　） ①AB2=BD·BC ②AD2=BD·CD ③AC2=CD·CB ④AB·AC=AD·CB A.①②③ B.①②③④ C.①④ D.①③④ 变式训练三： 6.如图，在中，，于点,,,则的长是 ；的长是 （6题图） （7题图） 7.如图，在中，，于，则图中相似的三角形有　　 A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【典例精析】 例4如图，D、E是△ABC的边AC、AB上的点，且∠ADE=∠B. 求证：①△ADE∽△ABC.②AD·AC=AE·AB. 例5如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F． （1）求证：△ABF∽△ECF； （2）如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的长． 【挑战自我】 1.下列说法不正确的是　　 A．有一个角等于的两个等腰三角形相似 B．有一个底角等于的两个等腰三角形相似 C．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 D．有一个锐角相等的两个直角三角形相似 2.如图，中，，垂足为，，垂足为点，与交于点，则图中相似三角形有几对　　 A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 2题图 3题图 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，D，E分别是边AB，BC的中点，CD交AE于点O，则OD的长是　　 A.1.5 B.1.8 C.2 D.2.4 4.如图，在平行四边形中，为上一点，连接，为上一点，且． 求证：． 5.在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=8，AD=6.4，求BC和BD. 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G. （1）若，求线段DC的长； （2）求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$