6.3.3 余角和补角-【数学一起课件】新教材初中数学七年级上册同步PPT课件（人教版2024）

授课：XXX 余角和补角 第六章 几何图形初步 学习目标 01 理解余角、补角的概念，会求一个角的余角或补角. 02 探索并掌握余角和补角的性质，并能运用其性质解决相关问题. 知识回顾 角的比较与运算 角的平分线 角的等分线 角度的乘除运算 线段的中点 类比 线段的等分点 类比 新知探究 在一副三角尺中，每块都有一个角是，而其他的两个角之间有怎样的数量关系呢？ 问题 1 新知探究 下面每个图中的两个角之间有怎样的数量关系? 问题 2 新知探究 一般地，如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角. 余 角 1 2 如果 ， 就说 是 的余角，或 是 的余角，或 与 互为余角. 数学语言 新知探究 注 意 余角是成对出现的. 两个角互余是两个角之间的数量关系，只与它们的度数有关，与它们的位置无关. 跟踪训练 1. 图中给出的各角中，哪些互为余角？ 跟踪训练 2. 已知 ，则它的余角为（ ） A. B. C. D. 【解析】 根据余角的定义可知， 的余角是 新知探究 与，都互为余角，与的大小有什么关系？ 问题 3 因为 与 ， 都互为余角， 所以 ，， 所以 ，， 所以 . 同角的余角相等 新知探究 因为 与 互为余角， 与 互为余角， 所以 ，， 又因为 ， 所以 . 等角的余角相等 与互为余角，与互为余角，且，那么与的大小又有什么关系？ 问题 4 新知探究 余角的性质 同角（等角）的余角相等. 如果 ，，那么 . 如果 ，，且 ，那么 . 跟踪训练 如图，点在一条直线上，于点，如果与互余，那么图中相等的角有（ ） A. 5对 B. 4对 C. 3对 D. 2对 【解析】 ∵ ，∴ ， ∴ ，， ∵ 与互余， ∴ ， ∴ ，，，， ∴ 图中相等的角有5对. 新知探究 类似地，下图中的两个角之间有怎样的数量关系? 问题 5 新知探究 一般地，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 补 角 如果 ， 就说 是 的补角，或 是 的补角，或 与 互为补角. 数学语言 3 4 新知探究 注 意 补角是成对出现的. 两个角互补是两个角之间的数量关系，只与它们的度数有关，与它们的位置无关. 跟踪训练 1. 图中给出的各角中，哪些互为补角？ 跟踪训练 2. 若一个角的补角加上后等于这个角余角的3倍，则这个角的度数为 （ ） A. B. C. D. 【解析】 设这个角为 ， 则它的余角为，补角为，根据题意得， 解得 新知探究 与，都互为补角，与的大小有什么关系？ 问题 6 因为 与 ， 都互为补角， 所以 ，， 所以 ，， 所以 . 同角的补角相等 新知探究 因为 与 互为补角， 与 互为补角， 所以 ，， 又因为 ， 所以 . 等角的补角相等 与互为补角，与互为补角，且，那么与的大小又有什么关系？ 问题 7 新知探究 补角的性质 同角（等角）的补角相等. 如果 ，，那么 . 如果 ，，且 ，那么 . 例题解析 例4 如图，点在同一条直线上，射线和射线分别平分和，图中哪些角互为余角？ 分析： 互为余角的两个角的和是90°， 而已知条件中隐含互为补角的条件， 再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角. 点 在同一条直线上 例题解析 例4 如图，点在同一条直线上，射线和射线分别平分和，图中哪些角互为余角？ 解： 因为点 在同一条直线上，所以和互为补角. 又因为射线和射线分别平分和，所以 例题解析 例4 如图，点在同一条直线上，射线和射线分别平分和，图中哪些角互为余角？ 解： 所以，和互为余角. 同理， 和，和，和也互为余角. 课堂小结 余角和补角 互余 互补 两个角的和等于90° 两个角的和等于180° 同角或等角的 余（补）角相等 随堂练习 1. 互为补角的两个角的比是，则较小角的余角等于（ ） 【解析】 ∵ 互为补角的两个角的比是 ， ∴ 较大的角， 较小的角， ∴ 较小角的余角. A. B. C. D. 随堂练习 2. 下列角的图形中，能与角互余的是（ ） 【解析】 能与角互余的角的度数为，结合选项，可知B项符合题意. A B C D 随堂练习 3. 如图，已知，，垂足是，则图中与互余的角有（ ） 【解析】 ∵ ，∴ ； 又 ∵ ，∴ ， ∴ ， 故图中与互余的角有2个. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 随堂练习 4. 已知和互余，且，则的补角是（ ） 【解析】 因为 和 互余，， 所以 ， 所以 的补角为 A. B. C. D. 随堂练习 5. 已知与互补，下列说法：①若是锐角，则一定是钝角；③若，则；③若，，则与互余. 其中正确的个数是 （ ） 【解析】 ①若是锐角，则一定是钝角，故此选项符合题意； ②若，则，故此选项符合题意； ③若，，则与互余，故此选项符合题意. 其中正确的个数是3个. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 随堂练习 【解析】 ①当在外部时，如图1， 因为，与互为补角， 所以， 因为是的平分线， 所以， 所以. 图1 6. 已知，与互为补角，是的平分线，则的度数为 . 随堂练习 6. 已知，与互为补角，是的平分线，则的度数为 . 【解析】 ②当在内部时，如图2， 因为，与互为补角， 所以， 因为是的平分线， 所以， 所以. 图2 110°或30° 随堂练习 7. 如图，已知点是直线上的一点，，. 【解析】 （1）∵ ，， ∴ ， 则的度数为 . （1）当时，的度数是多少？ （2）当比的余角大，的度数是多少？ 随堂练习 7. 如图，已知点是直线上的一点，，. 【解析】 （1）当时，的度数是多少？ （2）当比的余角大，的度数是多少？ （2）由题意得，. ∵ ， ∴ 随堂练习 7. 如图，已知点是直线上的一点，，. 【解析】 （1）当时，的度数是多少？ （2）当比的余角大，的度数是多少？ ∴ ∴ ∴ 随堂练习 7. 如图，已知点是直线上的一点，，. 【解析】 （1）当时，的度数是多少？ （2）当比的余角大，的度数是多少？ ∴ ∴ 则的度数为 . 随堂练习 8. 如图，要测量两堵围墙所形成的的度数，但人不能进入围墙，如何测量？ 【解析】 ①借助直尺，从墙角作射线的反向延长线，则. ②借助量角器测出 的度数. ③ . 授课：XXX 谢谢观看 第六章 几何图形初步 $$ 授课：XXX 余角和补角 第六章 几何图形初步 学习目标 01 理解余角、补角的概念，会求一个角的余角或补角. 02 探索并掌握余角和补角的性质，并能运用其性质解决相关问题. 知识回顾 角的比较与运算 角的平分线 角的等分线 角度的乘除运算 线段的中点 类比 线段的等分点 类比 新知探究 在一副三角尺中，每块都有一个角是，而其他的两个角之间有怎样的数量关系呢？ 问题 1 新知探究 下面每个图中的两个角之间有怎样的数量关系? 问题 2 新知探究 一般地，如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角. 余 角 1 2 如果 ， 就说 是 的余角，或 是 的余角，或 与 互为余角. 数学语言 新知探究 注 意 余角是成对出现的. 两个角互余是两个角之间的数量关系，只与它们的度数有关，与它们的位置无关. 跟踪训练 1. 图中给出的各角中，哪些互为余角？ 跟踪训练 2. 已知 ，则它的余角为（ ） A. B. C. D. 【解析】 根据余角的定义可知， 的余角是 新知探究 与，都互为余角，与的大小有什么关系？ 问题 3 因为 与 ， 都互为余角， 所以 ，， 所以 ，， 所以 . 同角的余角相等 新知探究 因为 与 互为余角， 与 互为余角， 所以 ，， 又因为 ， 所以 . 等角的余角相等 与互为余角，与互为余角，且，那么与的大小又有什么关系？ 问题 4 新知探究 余角的性质 同角（等角）的余角相等. 如果 ，，那么 . 如果 ，，且 ，那么 . 跟踪训练 如图，点在一条直线上，于点，如果与互余，那么图中相等的角有（ ） A. 5对 B. 4对 C. 3对 D. 2对 【解析】 ∵ ，∴ ， ∴ ，， ∵ 与互余， ∴ ， ∴ ，，，， ∴ 图中相等的角有5对. 新知探究 类似地，下图中的两个角之间有怎样的数量关系? 问题 5 新知探究 一般地，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 补 角 如果 ， 就说 是 的补角，或 是 的补角，或 与 互为补角. 数学语言 3 4 新知探究 注 意 补角是成对出现的. 两个角互补是两个角之间的数量关系，只与它们的度数有关，与它们的位置无关. 跟踪训练 1. 图中给出的各角中，哪些互为补角？ 跟踪训练 2. 若一个角的补角加上后等于这个角余角的3倍，则这个角的度数为 （ ） A. B. C. D. 【解析】 设这个角为 ， 则它的余角为，补角为，根据题意得， 解得 新知探究 与，都互为补角，与的大小有什么关系？ 问题 6 因为 与 ， 都互为补角， 所以 ，， 所以 ，， 所以 . 同角的补角相等 新知探究 因为 与 互为补角， 与 互为补角， 所以 ，， 又因为 ， 所以 . 等角的补角相等 与互为补角，与互为补角，且，那么与的大小又有什么关系？ 问题 7 新知探究 补角的性质 同角（等角）的补角相等. 如果 ，，那么 . 如果 ，，且 ，那么 . 例题解析 例4 如图，点在同一条直线上，射线和射线分别平分和，图中哪些角互为余角？ 分析： 互为余角的两个角的和是90°， 而已知条件中隐含互为补角的条件， 再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角. 点 在同一条直线上 例题解析 例4 如图，点在同一条直线上，射线和射线分别平分和，图中哪些角互为余角？ 解： 因为点 在同一条直线上，所以和互为补角. 又因为射线和射线分别平分和，所以 例题解析 例4 如图，点在同一条直线上，射线和射线分别平分和，图中哪些角互为余角？ 解： 所以，和互为余角. 同理， 和，和，和也互为余角. 课堂小结 余角和补角 互余 互补 两个角的和等于90° 两个角的和等于180° 同角或等角的 余（补）角相等 随堂练习 1. 互为补角的两个角的比是，则较小角的余角等于（ ） 【解析】 ∵ 互为补角的两个角的比是 ， ∴ 较大的角， 较小的角， ∴ 较小角的余角. A. B. C. D. 随堂练习 2. 下列角的图形中，能与角互余的是（ ） 【解析】 能与角互余的角的度数为，结合选项，可知B项符合题意. A B C D 随堂练习 3. 如图，已知，，垂足是，则图中与互余的角有（ ） 【解析】 ∵ ，∴ ； 又 ∵ ，∴ ， ∴ ， 故图中与互余的角有2个. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 随堂练习 4. 已知和互余，且，则的补角是（ ） 【解析】 因为 和 互余，， 所以 ， 所以 的补角为 A. B. C. D. 随堂练习 5. 已知与互补，下列说法：①若是锐角，则一定是钝角；③若，则；③若，，则与互余. 其中正确的个数是 （ ） 【解析】 ①若是锐角，则一定是钝角，故此选项符合题意； ②若，则，故此选项符合题意； ③若，，则与互余，故此选项符合题意. 其中正确的个数是3个. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 随堂练习 【解析】 ①当在外部时，如图1， 因为，与互为补角， 所以， 因为是的平分线， 所以， 所以. 图1 6. 已知，与互为补角，是的平分线，则的度数为 . 随堂练习 6. 已知，与互为补角，是的平分线，则的度数为 . 【解析】 ②当在内部时，如图2， 因为，与互为补角， 所以， 因为是的平分线， 所以， 所以. 图2 110°或30° 随堂练习 7. 如图，已知点是直线上的一点，，. 【解析】 （1）∵ ，， ∴ ， 则的度数为 . （1）当时，的度数是多少？ （2）当比的余角大，的度数是多少？ 随堂练习 7. 如图，已知点是直线上的一点，，. 【解析】 （1）当时，的度数是多少？ （2）当比的余角大，的度数是多少？ （2）由题意得，. ∵ ， ∴ 随堂练习 7. 如图，已知点是直线上的一点，，. 【解析】 （1）当时，的度数是多少？ （2）当比的余角大，的度数是多少？ ∴ ∴ ∴ 随堂练习 7. 如图，已知点是直线上的一点，，. 【解析】 （1）当时，的度数是多少？ （2）当比的余角大，的度数是多少？ ∴ ∴ 则的度数为 . 随堂练习 8. 如图，要测量两堵围墙所形成的的度数，但人不能进入围墙，如何测量？ 【解析】 ①借助直尺，从墙角作射线的反向延长线，则. ②借助量角器测出 的度数. ③ . 授课：XXX 谢谢观看 第六章 几何图形初步 $$