第09讲 弧长与扇形面积、正多边形与圆（4大知识点+6大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（湘教版）

第09讲 弧长与扇形面积、正多边形与圆 课程标准 学习目标 1. 弧长与扇形面积公式 2. 正多边形与圆 1.能利用弧长公式求弧长、圆的半径和弧所对的圆心角; 2.会求扇形以及与圆、扇形有关的组合图形的面积: 3.了解正多边形的概念，以及正多边形和圆的关系，理解正多边形的中心的概念; 知识点01 弧长公式的应用 公式:半径为r的圆中,n°的圆心角所对的弧长 【即学即练1】 如图，两个同心圆的半径分别为和，大圆的弦与小圆相切，则劣弧的长为（　　） A． B． C． D． 知识点02 扇形面积公式的应用 扇形定义:圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.面积公式: (1) 半径为r的圆中,圆心角为的扇形的面积为 (2) 扇形的弧长为,半径为r,扇形的面积为 【即学即练1】 半径为1的圆中，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 知识点03 正多边形的画法 正多边形:各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形 圆内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分,依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形,这个圆是这个正多边形的外接圆. 正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心. 【即学即练1】 尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 知识点04 正多边形的有关计算 正多边形的性质: (1) 正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心. (2) 当n为偶数时,正n边形是中心对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的中心 【即学即练1】 如图，正六边形内接于圆，则六边形中心角的度数是 ． 题型01 求弧长 【典例1】如图，的半径为，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1】圆心角为，半径为3的扇形弧长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，CD是直径，弦，垂足为点E，连接AC，AD． (1)求证：． (2)若，，求的长度． 题型02 扇形面积公式的应用 【典例1】一个扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【变式1】将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与的延长线交于点D，已知C，D在直尺上对应的分刻度别为3和0，点C在量角器上对应的外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】山西民居砖雕的起源可以追溯到隋朝，其制作技艺花样繁多，套路复杂，画工精细，刀工别致，为国家级非物质文化遗产．如图是一块扇面形的山西砖雕作品，它的部分设计图如图所示，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角．若，，则阴影部分的面积为 ．（结果用含的代数式表示） 【变式3】如图，是的直径，的半径为2，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E． (1)连接，求阴影部分的面积； (2)求证：与相切． 题型03 求弓形及不规则图形面积 【典例1】杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图外侧两竹条的夹角为，长为，扇面的长为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留π）． 【变式1】如图，等边的边长为12，点D、E、F分别为边，的中点，若分别以E，D，F为圆心，6为半径，作三个的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式2】如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式3】利用圆的等分，在半径为的圆中作出六芒星图案，则图中阴影部分的面积为 ． 题型04 求正多边形的中心角 【典例1】一个正边形绕其中心旋转后能与自身重合，则可取的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式1】．如图，正五边形内接于，连接，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 题型05 已知正多边形的中心角求边数 【典例1】正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【变式1】如图，正六边形，对角线、交于点，，则正六边形外接圆的半径为 【变式2】若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是 ． 题型06 正多边形和圆的综合 【典例1】如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（   ） A．3 B． C． D． 【变式1】．如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为6，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．3、 B．、 C．、 D．、 【变式2】一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，轴，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．某校开展研学活动，其中有“列队训练”的项目．我们以“向右转”为例研究其中蕴含的数学知识，如图，把右脚鞋底抽象成一条线段，忽略鞋底的摩擦、弹性等误差．“向右转”时，以鞋跟O为圆心，顺时针旋转得线段．若某同学右脚鞋底长，那么鞋尖A在“向右转”的运动中路径长是（    ） A． B． C． D． 2．如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 4．“割圆术”是求圆周率的一种算法．公元263年左右，我国一位著名的数学家发现当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．请问上述著名数学家为（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．杨辉 D．秦九韶 5．是的外接圆，则点O是（     ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 6．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，的内接正六边形的边长为1，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．正方形内接于，其边长为，则的内接等边三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 9．在等腰直角中，已知，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，半径为5的，直径垂直于与，点为弧上一点，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．传送带是一种传送工具，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为，如果该转动轮转动了两周后又转过，那么传送带上的物体被传送的距离为（物体A始终在传送带上） ． 12．半径为，圆心角为的扇形面积是 ． 13．已知圆的半径为5，圆心角为，则圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 14．一个正六边形的边长为3，则它的外接圆半径为 ． 15．有一个正边形（为大于6的整数），绕某一点旋转后能与自身重合，请写出一个可能的值 ． 16．若多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，则这个多边形的边数是 ． 17．如图所示，若的半径为，正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 18．已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆半径为 ，内接正六边形的面积为 ． 19．如图，是正六边形的内切圆，分别切、于点M、N，P是优弧上的一点，则的度数为 ． 20．已知圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图的面积是 ． 21．如图，正的边长为2，O为坐标原点，A在轴上，B在第二象限．沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得，则翻滚2025次后中点M经过的路径长为 ． 三、解答题 22．日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 23．如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ①　　　； ②求阴影部分的周长和面积． 24．如图，是的直径，点B在上，点A为延长线上一点，过点O作交的延长线于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点F是的中点，的半径为6，求阴影部分的面积． 25．如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，，． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积．（结果保留） 26．如图，在Rt中，为中点，连接为的中点，以点为圆心，长为半径作，交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 27．如图，正方形内接于，P为上的一点，连接，． (1)求的度数： (2)若的半径为r，则阴影部分面积是________； (3)当点P为的中点时，是的内接正n边形的一边，则________． 28．点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 若正多边形为正三角形，扇形的圆心角时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m； (1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角时， ①如图3，求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度； ②如图4，正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明； (2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 弧长与扇形面积、正多边形与圆 课程标准 学习目标 1. 弧长与扇形面积公式 2. 正多边形与圆 1.能利用弧长公式求弧长、圆的半径和弧所对的圆心角; 2.会求扇形以及与圆、扇形有关的组合图形的面积: 3.了解正多边形的概念，以及正多边形和圆的关系，理解正多边形的中心的概念; 知识点01 弧长公式的应用 公式:半径为r的圆中,n°的圆心角所对的弧长 【即学即练1】 如图，两个同心圆的半径分别为和，大圆的弦与小圆相切，则劣弧的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了切线的性质，弧长公式，三角函数，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键． 设大圆的一条弦与小圆相切于点，连接，，由切线的性质，可得，根据已知条件可得：，进而求出的度数，则圆心角可求，根据弧长公式即可求出劣弧的长． 【详解】解：如图，设大圆的一条弦与小圆相切于点，连接，， ， ， 在中，， ， ， ， 劣弧的长， 故选：B． 知识点02 扇形面积公式的应用 扇形定义:圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.面积公式: (1) 半径为r的圆中,圆心角为的扇形的面积为 (2) 扇形的弧长为,半径为r,扇形的面积为 【即学即练1】 半径为1的圆中，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式计算即可，熟练掌握扇形的面积公式是解决此题的关键． 【详解】解：扇形的面积， 故选：B． 知识点03 正多边形的画法 正多边形:各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形 圆内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分,依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形,这个圆是这个正多边形的外接圆. 正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心. 【即学即练1】 尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 知识点04 正多边形的有关计算 正多边形的性质: (1) 正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心. (2) 当n为偶数时,正n边形是中心对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的中心 【即学即练1】 如图，正六边形内接于圆，则六边形中心角的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】此题考查了正多边形的中心角的知识．根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可． 【详解】解：正六边形的中心角为：． 故答案为：． 题型01 求弧长 【典例1】如图，的半径为，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握以上知识是解题的关键． 连接、，利用圆周角定理得出，再利用弧长公式求得即可． 【详解】解：连接、， ， ， 的长． 故选：D． 【变式1】圆心角为，半径为3的扇形弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形弧长的计算公式，掌握扇形弧长公式为是解题的关键．根据扇形弧长计算公式可得答案． 【详解】解：圆心角是，半径为3的扇形弧长为． 故选：C 【变式2】如图，在中，CD是直径，弦，垂足为点E，连接AC，AD． (1)求证：． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理及推论，弧长计算；连接辅助线，从而运用圆周角定理及推论得到角之间的关系是解题的关键． （1）连接，由垂径定理，得，由圆周角定理推论知，，所以． （2）如图，连接，，由圆周角定理可推出，根据弧长公式计算求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直径，弦， ∴． ∴． 又∵． ∴； （2）解：如图，连接，，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴的长度． 题型02 扇形面积公式的应用 【典例1】一个扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查扇形的面积公式（为圆心角的度数，为半径），熟练地掌握扇形的面积公式是解题的关键．设扇形的圆心角为，根据扇形的面积公式解方程即可． 【详解】设扇形的圆心角为，根据题意可得： ， 解得，即扇形的圆心角为， 故选：B． 【变式1】将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与的延长线交于点D，已知C，D在直尺上对应的分刻度别为3和0，点C在量角器上对应的外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，，由切线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长，然后根据即可求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：由题意可得： ，，，， ， ，即：， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 图中阴影部分的面积为： ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程，三角形的面积公式，求扇形面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【变式2】山西民居砖雕的起源可以追溯到隋朝，其制作技艺花样繁多，套路复杂，画工精细，刀工别致，为国家级非物质文化遗产．如图是一块扇面形的山西砖雕作品，它的部分设计图如图所示，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角．若，，则阴影部分的面积为 ．（结果用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解答本题的关键． 利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】如图，是的直径，的半径为2，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E． (1)连接，求阴影部分的面积； (2)求证：与相切． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）根据已知条件，易证是等边三角形，继而求出的面积和扇形的面积，即可求解； （2）根据等边三角形的性质，易证，继而证明，即可证得与相切． 【详解】（1）解：M是的中点，， 为的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 阴影部分的面积； （2）由（1）知是等边三角形，, ， 又， ， ， ， ， ， 是半径， 与相切． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等边三角形的性质，扇形的面积公式，平行线的判定定理和性质定理，切线的判定定理等知识点，熟练掌握并灵活应用这些性质和定理是解题的关键． 题型03 求弓形及不规则图形面积 【典例1】杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图外侧两竹条的夹角为，长为，扇面的长为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积．熟练掌握扇形面积公式，是解题的关键． 先求出小扇形的半径，再根据进行计算，即可． 【详解】解：∵大扇形的半径为,扇面的长为， ∴小扇形的半径为， ∴． ∴扇面的面积（阴影部分）是． 故答案为：． 【变式1】如图，等边的边长为12，点D、E、F分别为边，的中点，若分别以E，D，F为圆心，6为半径，作三个的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等边三角形的性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及正三角形的性质和菱形的判定方法是正确解答的关键．根据中点的定义以及正三角形、菱形的性质和判定方法可得四边形是菱形，求出菱形的高，再根据菱形面积以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可得，， 四边形是菱形， 在中，，， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查不规则图形的面积及旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出， 据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵绕顶点A顺时针旋转度后得到， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式3】利用圆的等分，在半径为的圆中作出六芒星图案，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，根据对称性得到阴影部分的面积和等于正六边形的面积，再根据正六边形的面积估算进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，阴影部分的面积和等于正六边形的面积， 由对称性可知，， 在中，，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 题型04 求正多边形的中心角 【典例1】一个正边形绕其中心旋转后能与自身重合，则可取的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正多边形性质及旋转性质，根据题意，分别计算等于各选项值时的中心角，逐项判断即可得到答案，熟记正多边形的性质及旋转后对称是解决问题的关键． 【详解】解：当时，， ∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项错误，不符合题意； 当时，， ∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项正确，符合题意； 当时，， ∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项错误，不符合题意； 当时，， ∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项错误，不符合题意； 故选：． 【变式1】．如图，正五边形内接于，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的性质，多边形的内角和，熟练掌握正多边形的性质和n边形的内角和公式为是解题关键．先计算正五边形的内角和正五边形的中心角，再作差即可． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴，， ∴． 故选D． 【变式2】如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 题型05 已知正多边形的中心角求边数 【典例1】正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可． 【详解】∵正多边形的中心角为， ∴这个多边形的边数是， ∴正多边形的边数是8． 故选：C． 【变式1】如图，正六边形，对角线、交于点，，则正六边形外接圆的半径为 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正多边形和圆的综合是解题的关键．设正六边形外接圆的圆心为点，连接，，由点是正六边形外接圆的圆心可得，，进而可得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为点， 如图，连接，， 点是正六边形外接圆的圆心， ，， 是等边三角形， ， 故答案为：． 【变式2】若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质；根据正多边形的每个中心角相等，且所有中心角的度数和为进行求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 这个正多边形的中心角是， ， ， 这个正多边形是九边形， 故答案为：9． 题型06 正多边形和圆的综合 【典例1】如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，三线合一，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握正多边形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，，由题意可知，根据正六边形的性质可得其中心角，由三线合一可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理即可求出这个正六边形的边心距的长． 【详解】解：如图，连接，， 由题意可知：， 是正六边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 【变式1】．如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为6，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．3、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】此题考查了圆和正多边形的相关计算、解直角三角形、弧长公式等知识．连接，由正是圆的内接多边形得到，，进一步得到，，则． 【详解】解：连接， ∵正是圆的内接多边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的内接正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键．过作于，根据圆内接正多边形的特点，求半径为的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，先利用等边三角形的判定及性质得，再利用勾股定理先求出，进而求得三角形的面积从而即可求解． 【详解】解：如图：过作于， 由题意可知，求半径为的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴该正六边形的面积为：， 故选：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，轴，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接、，设交轴于点，先证明为等边三角形，，求出，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、，设交轴于点， ∵边长为4的正六边形的中心与原点O重合，轴， ∴，轴，，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 一、单选题 1．某校开展研学活动，其中有“列队训练”的项目．我们以“向右转”为例研究其中蕴含的数学知识，如图，把右脚鞋底抽象成一条线段，忽略鞋底的摩擦、弹性等误差．“向右转”时，以鞋跟O为圆心，顺时针旋转得线段．若某同学右脚鞋底长，那么鞋尖A在“向右转”的运动中路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轨迹、弧长公式等知识点，正确理解题意及熟练利用弧长公式是解题的关键． 根据鞋尖A在“向右转”的运动中路径是以O为圆心为半径，圆心角为的一段弧，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：依题意可知：鞋尖A在 “向右转”的运动中路径长是一段弧长，其半径是,弧的圆心角为， ∴ 鞋尖A在“向右转”的运动中路径长. 故选：A． 2．如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得： 的长为； 故选B． 3．如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算．根据，先计算，再用弧长公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 4．“割圆术”是求圆周率的一种算法．公元263年左右，我国一位著名的数学家发现当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．请问上述著名数学家为（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．杨辉 D．秦九韶 【答案】A 【分析】此题考查了数学常识的知识，要多读书，了解一些有关数学的故事等． 根据数学史的了解进行选择． 【详解】解：上述著名数学家是刘徽． 故选：A． 5．是的外接圆，则点O是（     ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题关键．根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案． 【详解】解：是的外接圆，则点O是三条边的垂直平分线的交点， 故选：A． 6．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，由正八边形内接于知，． 【详解】解：正八边形内接于 ． 故选：C． 7．如图，的内接正六边形的边长为1，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，以及弧长公式，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．先求出，再证明是等边三角形，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】如图，连接、、 由题意得：， 正六边形是的内接正六边形， 中心角，则 又， 是等边三角形， ， 则的长为， 故选：C． 8．正方形内接于，其边长为，则的内接等边三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、，作于，先求出圆的半径，解即可解决问题． 【详解】解；如图，连接、、，作于， 四边形是正方形， ∴， 是直径，， ∴， ∵， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中， ∵，则 ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形与圆、垂径定理，等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 9．在等腰直角中，已知，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，由等腰直角三角形的性质得，，由旋转得，，，即得，再根据计算即可求解，掌握扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵等腰直角中，，， ∴，， 由旋转可得，，， ∴， ∴， 故选：． 10．如图，半径为5的，直径垂直于与，点为弧上一点，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，扇形面积公式等；由垂径定理得，矩形的判定及性质，，由平行四边形的判定及性质得，由扇形的面积公式即可求解；掌握垂径定理及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：直径垂直于与， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ； 故选：C． 二、填空题 11．传送带是一种传送工具，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为，如果该转动轮转动了两周后又转过，那么传送带上的物体被传送的距离为（物体A始终在传送带上） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解∶传送带上的物体A被传送的距离为 故答案为：． 12．半径为，圆心角为的扇形面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用．根据扇形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：扇形的面积， 故答案为：． 13．已知圆的半径为5，圆心角为，则圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式直接计算其可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 14．一个正六边形的边长为3，则它的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，掌握正六边形外接圆的半径与正六边形边长相等是解题的关键． 利用正六边形的半径与边长相等即可解决问题． 【详解】解：正六边形的中心角为， ∴正六边形外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形， ∴边长为的正六边形的外接圆半径为， 故答案为： ． 15．有一个正边形（为大于6的整数），绕某一点旋转后能与自身重合，请写出一个可能的值 ． 【答案】12（答案不唯一） 【分析】本题考查正多边形性质及旋转性质，根据题意，得到最少边数的正方形的每一条边所对中心角为满足题意，从而满足题意的正多边形边数为的整数倍，即可得到答案． 【详解】解：正方形绕中心旋转后与自身重合， 由正多边形性质可知，当一个正边形的边数是的整数倍时，正边形绕中心旋转后与自身重合， 正边形满足题意， 故答案为：12（答案不唯一）． 16．若多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等，则这个多边形的边数是 ． 【答案】10 【分析】本题考查正多边形的内角公式，已知正多边形的内角的和公式为（大于等于3且为整数），正多边形各内角度数为．关键在于对正多边形内角公式的准确记忆，以及正确计算出结果． 【详解】解：∵多边形的一个内角等于144°，且每个内角的度数相等， ∴此多边形为正多边形， 设这个正多边形的边数为， 根据正多边形内角度数公式可得：， 解得：． 故答案为：10． 17．如图所示，若的半径为，正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积、正多边形的中心角，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先求出正六边形的中心角，再利用扇形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵正六边形内接于， ∴， ∵的半径为1cm， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 18．已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆半径为 ，内接正六边形的面积为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查的是圆与正多边形的性质，勾股定理的应用，设的半径为，如图，连接，过作于，再进一步求解内接正三角形的面积，如图，连接，过作于，再进一步求解圆的内接正六边形的面积，再利用同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，再建立方程求解即可． 【详解】解：设的半径为， 如图，连接，过作于， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴内接正三角形的面积． 如图，连接，过作于， ∵六边形是的内接正六边形 ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴圆的内接正六边形的面积． ∵一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为， ∴， ∴（负值舍去）， ∴内接正六边形的面积为． 故答案为：， 19．如图，是正六边形的内切圆，分别切、于点M、N，P是优弧上的一点，则的度数为 ． 【答案】30 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及正多边形内角和的计算，掌握正六边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正六边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由四边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是正六边形的内切圆，分别切于点， ， 是正六边形， ， ， ， 故答案为：30． 20．已知圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先利用勾股定理求出底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式计算即可求解，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的母线长为，高为， ∴圆锥的底面圆的半径为， ∴圆锥侧面展开图的面积， 故答案为：． 21．如图，正的边长为2，O为坐标原点，A在轴上，B在第二象限．沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得，则翻滚2025次后中点M经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆弧的弧长公式及三角形翻滚的周期性，熟悉并灵活运用各知识是解题的关键．由圆弧的弧长公式及正翻滚的周期性可得出答案． 【详解】解：如图作轴于，可知，， ，，，    观察图象可知：三次一个循环，一个循环点的运动路径为 ， 翻滚2025次后中点经过的路径长为， 故答案为：． 三、解答题 22．日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积； （1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可； （2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴， ∴， ， ， 如图，连接， 设的半径， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为； （2）解∶∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ， ， ． 23．如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ①　　　； ②求阴影部分的周长和面积． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查了圆周角定理，含角度直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，扇形的面积公式和弧长公式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，，从而求得的值，最后根据垂径定理即可得出； （2）①根据含角度直角三角形和勾股定理可得的长，再根据垂径定理即可求得的长； ②连接，圆周角定理可得，从而可得，再根据含角度直角三角形和勾股定理可得的长，最后根据扇形的面积公式和弧长公式即可解题； 【详解】（1）解：为的直径， ， 为中点，为中点， 且 ， ， ， ∵弦于点， ， ； （2）①∵弦于点， ，， ，， ，， ． 故答案为： ②连接， ，， ， , 在中， ，，， ，， 的长， 阴影部分的周长， 阴影部分的面积； 24．如图，是的直径，点B在上，点A为延长线上一点，过点O作交的延长线于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点F是的中点，的半径为6，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ，即， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， ，是的中点， ， 的半径为 ，， ，， 是等边三角形， ， ， ，， 阴影部分的面积为： ， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键． 25．如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，，． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查圆的切线，扇形面积的计算，相似三角形，锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用． （1）连接，根据题意得，根据平行线的判定和性质，则，根据等边对等角，则，根据相似三角形的判定和性质，进行解答，即可； （2）根据题意，，设，则，根据，得到，根据勾股定理，求出，过点作于点，根据锐角三角函数，得，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设， ∴， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 如图，过点作于点， ∴， ∴阴影部分的面积是． 26．如图，在Rt中，为中点，连接为的中点，以点为圆心，长为半径作，交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)阴影部分的面积为 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握直角三角形的性质，圆的切线，扇形面积的计算，进行解答，即可． （1）连接，根据直角三角形的性质，则，得到，根据，则，根据等量代换，平行线的判定，则，根据，得到，即可； （2）过点作于点，根据题意，则，则，根据勾股定理求出，根据等边三角形的判定，则是等边三角形，根据，求出，由（1）得，，则，根据勾股定理求出，可得，根据阴影部分的面积等于，即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵在中，，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵阴影部分的面积等于， ∴阴影部分的面积为：． 27．如图，正方形内接于，P为上的一点，连接，． (1)求的度数： (2)若的半径为r，则阴影部分面积是________； (3)当点P为的中点时，是的内接正n边形的一边，则________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）连接，根据正方形内接于，结合圆周角定理可得； （2）根据即可求出答案； （3）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出的度数，进而得出答案． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形内接于， ∴， ∴． （2）由题意可得，阴影部分面积是： ， 故答案为： （3）解：连接，如图所示： ∵正方形内接于， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、正方形的性质、扇形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 28．点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 若正多边形为正三角形，扇形的圆心角时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m； (1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角时， ①如图3，求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度； ②如图4，正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明； (2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)度 【分析】（1）①根据正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为的长作答即可； ②如图1，连接，证明，则，，然后作答即可； （2）如图2，连接，根据，计算求解即可． 【详解】（1）①解：由题意知，， ∴正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为； ②解：正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为，证明如下； 如图1，连接， ∵为正方形的中心， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为； （2）解：如图2，连接， ∵正五边形， ∴， ∴当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$