第07讲 垂线与平行线（12个知识点+7个易错点+50题强化练）-2025年四年级数学寒假专项提升（苏教版）

编者的话 寒假将至，首先祝愿每一位同学都能度过一个愉快而充实的假期！同时，也恭喜你们在本学期里通过辛勤的努力，取得了令人满意的成绩。在学习的过程中，你们不仅积累了丰富的知识，也逐步提升了自我学习和探究的能力。希望你们能够继续保持这种积极向上的学习态度，不断追求卓越。 本套资料是我们专为同学们寒假复习而精心准备的。它的目的在于帮助你们查漏补缺，温故而知新。我们希望通过全面的知识点回顾，让你们对所学知识有更深入的理解和掌握；通过对易错点的逐个剖析，让你们在今后的学习中避免再犯同样的错误；通过强化练习常考易错真题，提高你们应对考试的能力。 资料的解析思路力求通俗易懂，旨在帮助你们更好地理解知识点，提升学习效果。希望同学们能够充分利用这套资料，认真复习，为新学期打下更加坚实的基础！ 2025年四年级数学寒假专项提升 第07讲 垂线与平行线 （11个知识点+8个易错点+45题强化练） 1、认识射线和直线及两点间的距离。 射线和直线都是无限长的,射线可以向一端无限延长,直线可以向两端无限延长;经过一点可以画无数条直线,经过两点只能画一条直线。 2、认识角。 从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。这一点是角的顶点,这两条射线是角的边。角有一个顶点和两条边,角的两边可以无限延长。角通常用符号”∠”来表示。 3、认识量角器。 （1）三角尺上的角有大有小,用大小不同的角量指定的角,不可能得到一致的结果。 （2）为了准确测量出角的大小,要有统一的计量单位和度量工具。 （3）量角器是半圆形的。把这个半圆平均分成180等份,每一份所对的角是1°。内圈刻度和外圈刻度分别按逆时针和顺时针方向排列。 4、用量角器量角。 用量角器测量角的大小的基本方法和操作要领可以概括为“三个重合，一个注意”。三个重合:一是点点重合,即中心点与顶点重合;二是线边重合,即0°刻度线与一条边重合;三是线边重合,即刻度线与另一条边重合,读出度数。 一个注意:内圈刻度与外圈刻度不能混合使用。 5、角的分类。 几种角的大小关系：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角。 直角、平角与周角的关系：1个周角=2个平角=4个直角。 6、画角。 用量角器画指定度数的角,要注意做到“两重合”：量角器的中心与顶点重合;0°刻度线与所画的一条边重合。还要看准度数,所画的边对应的0°刻度线在内圈,看的就是内圈刻度,所画的边对应的0°刻度线在外圈,看的就是外圈刻度。 7、认识垂直。 两条直线相交成直角时,这两条直线就互相垂直,其中一条直线是另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫垂足。 8、点到直线的距离。 （1）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度,叫作这点到这条直线的距离。 （2）从直线外一点向已知直线所作的儿条线段中,垂直线段最短。 9、画垂线。 画两条互相垂直的直线的方法很多,可在方格纸上画,也可以用量角器画,还可以用直尺和三角尺画。 10、认识平行线。 同一平面内,不相交的两条直线互相平行,其中一条直线是另一条直线的平行线。同一平面内的两条直线的位置关系只有两种:相交或平行。因此同一平面内的两条直线不相交就一定平行。 11、画平行线。 用直尺和三角尺画平行线时,牢记“固定三角尺,画直线”“紧靠三角尺,固定直尺,平移三角尺”。 易错点1：误认为直线和射线能测量。 判断：小明在纸上画了一条长5厘米的直线。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】这句话错在没有理解直线的特征。直线没有端点,可以向两端无限延长,因而无法测量出它的长度,所以这句话是错的。 【正确解答】错误 易错点2：误认为过一点只能画一条射线或直线。 下图中可以找到几条射线? 【错误答案】可以找到2条射线。 【错解分析】错误解答错在认为从一点出发只能画一条射线。为了便于说明,假设两个点分别为A、B。射线只有一个端点,图中以A点为端点可以找到两条射线，一条向左无限延长，一条向右无限延长;同样以B点为端点也可以找到两条射线,所以可以找到四条射线。 【正确解答】可以找到4条射线。 易错点3：把该看内圈刻度还是外圈刻度混淆了。 读出下面角的度数。 【错误答案】60° 【错解分析】错误解答错在没有掌握用量角器量角的正确方法。图中这个角的一条边和量角器的右边0°刻度线重合,所以读数时要看内圈刻度。 【正确解答】120° 易错点4：量角器摆放位置不对或者说使用量角器的方法错误。 量出下面角的度数。 【错误答案】这个角是70°。 【错解分析】错误解答错在虽然将量角器的中心和角的顶点重合了,但是没有把量角器的0°刻度线和角的一条边重合。量角时应该做到三个重合,即量角器的中心和角的顶点重合,量角器的0°刻度线和角的一条边重合,刻度线与角的另一条边重合。 【正确解答】这个角是40°。 易错点5：误认为大于90°的角就是钝角。 判断：大于90°的角是钝角。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在对钝角的概念不理解,大于90"的角除了钝角还有其他的角,比如平角、周角,不能说平角是钝角,也不能说周角是钝角。“钝角都大于90°”这是正确的,反过来像上面这句“大于90°的角是钝角”就错了。 【正确解答】错误 易错点6：没有理解点到直线的距离就是这一点到直线的垂线。 画出表示点A到已知直线的距离的线段。 【错误答案】 【错解分析】错误解答错在所画的线段和直线不垂直,没有理解点到直线的距离。从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度,叫作这点到这条直线的距离,就是说所画的线段要和这条直线互相垂直。 【正确解答】 易错点7：对平行线的概念没有掌握,导致判断错误。 判断：不相交的两条线叫作平行线。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在对平行线中的“线”认识不清。平行线中的线必须是直线,且必须是在同一平面内的直线。如右图中,AB与CD不相交，但也不平行,因为它们不在同一平面内。应该说“同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线”。 【正确解答】错误 易错点8：误认为两条直线不相交就是平行。 判断:下图中的两条直线互相平行。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错误的原因有两个：一是没有意识到直线是可以无限延长的;二是认为“不相交"就是“互相平行”。这两条直线看上去没有相交,就认为是平行的。直线是可以无限延长的,把这两条直线延长后,它们相交,所以它们不互相平行。 【正确解答】错误 一、填空题 1．2时整钟面上的时针和分针形成的较小角是（ ）°；3时30分，时针和分针形成的较小角是（ ）角。 【答案】60 锐 【分析】钟面可以看成一个周角，钟面上一共有12个大格，可以用除法算出1个大格对应的度数。2时整，分针指着12，时针指着2（如下图）。 由图可知，时针和分针之间有2个大格，直接用乘法即可算出时针和分针形成的较小角是多少度。 3时30分，时针在3和4的正中间，分针指着6（如下图）。 由图可知，时针和分针形成的较小角是锐角。 【解答】360°÷12＝30°，30°×2＝60° 2时整钟面上的时针和分针形成的较小角是60°；3时30分，时针和分针形成的较小角是锐角。 2．已知：下图中，则（ ）。 【答案】90° 【分析】平角为180°，观察图可以发现，∠1、∠2和∠3组成平角，用180°减去∠1和∠3的度数，即可求出∠2的度数，据此解答即可。 【解答】180°－35°－55° ＝145°－55° ＝90° 所以∠2＝90°。 3．度量一个角，角的一条边对着量角器上内圈“100”的刻度，如果另一条边对着内圈“70”的刻度，这个角是（ ）度；如果另一条边对着外圈“50”的刻度，那么这个角是（ ）度。 【答案】30 30 【分析】用量角器内圈与角的一边重合大的刻度减去量角器内圈与角的一边重合小的刻度，可得出角的度数；同一刻度线上，量角器内圈度数和量角器外圈度数和是180°，如果另一条边对着外圈“50”的刻度，则另一条边对着内圈“180－50”的刻度，用量角器内圈与角的一边重合大的刻度减去量角器内圈与角的一边重合小的刻度，可得出角的度数；据此可解此题。 【解答】100－70＝30（度） 180－50＝130（度） 130－100＝30（度） 综上可知，如果另一条边对着内圈“70”的刻度，这个角是30度；如果另一条边对着外圈“50”的刻度，那么这个角是30度。 4．先估一估，再量一量。 【答案】见详解 【分析】根据角的开口大小，先估测角的度数；通过观察图片，第一张图片角大概是90°，第二张图片角大概是40°，第三张图片中的角大概是30°；测量时需要借助量角器，把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 【解答】第一张图片角大概是90°，第二张图片角大概是40°，第三张图片中的角大概是30°；    5．先回忆画平行线的方法，再判断下面检验两条直线是否互相平行的方法正确吗？ 画平行线的方法通常是：首先沿三角尺的一条直角边画一条直线，其次将直尺和三角尺的另一条直角边（ ），最后（ ）三角尺，再画一条直线。 根据画平行线的方法，可以判断题目中检验方法（ ）。 【答案】重合 平移 正确 【分析】用直尺和三角尺画已知直线的平行线的方法：①固定三角尺，沿三角尺的一条直角边先画一条直线；②用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺；③再沿和已知直线重叠的直角边画出已知直线的平行线；据此解题即可。 【解答】根据分析可知， 画平行线的方法通常是：首先沿三角尺的一条直角边画一条直线，其次将直尺和三角尺的另一条直角边重合，最后平移三角尺，再画一条直线。 根据画平行线的方法，可以判断题目中检验方法正确。 6．从小明家出发有三条小路通往公路上，它们的长度分别是268米、329米、190米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是（ ）米。 【答案】190 【分析】同一平面内，点到直线的所有连线中，垂线段最短。将小明家看作一个点，公路看作一条线，三条小路看作点到线的连线，有一条小路与公路是垂直的，即有一条连线垂直于线，那么该连线肯定是最短的，据此判断即可。 【解答】根据分析可知，将小明家看作一个点，公路看作一条线，三条小路看作点到线的连线，有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是最短的，而329＞268＞190。因此，这条小路的长度是190米。 7．如图，一只小蚂蚁想从自己的家去A、B、C、D、E五个朋友家去玩，则它去（ ）朋友家最近。 【答案】B 【分析】根据垂直的定义：直线外一点到已知直线的距离中，垂线段最短；据此填空即可。 【解答】一只小蚂蚁想从自己的家去A、B、C、D、E五个朋友家去玩，B点朋友家最近。 【点评】此题考查了垂直的应用，关键是明确：直线外一点到已知直线的距离中，垂线段最短。 8．数一数，填一填。 （ ）条射线，（ ）个角。 【答案】3 3 【分析】从一点向某一方向引出的直直的线就是射线，射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，据此数出图中射线的条数； 从一点引出两条射线组成的图形就是角，据此数出图中角的个数。 【解答】图中的射线有：，共3条； 图中的角有：，共3个。 所以，图中有3条射线，3个角。 9．如下图，四人同时过马路，他们的速度相同，（ ）和（ ）最先同时到达对边。 小明    小亮    小强      小杰 【答案】小亮 小杰 【分析】要走过人行横道，把人行横道的另一端看成一条直线，根据点到直线的距离可知，点到直线的距离，垂线段最短；据此解答。 【解答】根据分析可知，小亮和小杰走的是垂线，所以小亮和小杰用的时间最短；则四人同时过马路，他们的速度相同，小亮和小杰最先同时到达对边。 10．图中是一个城市的街道平面图，图中互相平行的两条路是（ ）和（ ）。 【答案】工农路 文昌路 【分析】根据平行线的概念可知，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。据此可知互相平行的两条路是工农路和文昌路。 【解答】由分析知，工农路和文昌路在同一平面内不相交。 所以图中互相平行的两条路是工农路和文昌路。 11．4时整，钟面上的时针和分针所成的角是（ ）°，再过2小时，时针和分针所成的角变成（ ）角。 【答案】120 平 【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，4时整，时针指向4，分针指向12，分针与时针相差4个大格数，所以钟面上时针与分针形成的夹角是：30°×4＝120°； 再过2个小时，是6时，时针指向6，分针指向12，分针与时针相差6个大格数，所以钟面上时针与分针形成的夹角是：30°×6＝180°，等于180°的角叫做平角；据此进行解答即可。 【解答】30°×4＝120° 30°×6＝180° 4时整，钟面上的时针和分针所成的角是120°，再过2小时，时针和分针所成的角变成平角。 12．将一张正方形的纸对折成下面的样子，说说它们各是什么角，再填空。 ∠2＝（ ）个∠1＝（ ）°，∠3＝（ ）个∠1＝（ ）个∠2＝（ ）° 【答案】2 180 4 2 360 【分析】把1张正方形纸平均折了2折，被平均分成4份，∠1占其中的1份，这4个角的中心点形成周角，等于360°，所以，所以∠1是直角；∠2占其中的2份，所以，所以∠2是平角；∠3＝360°是周角，据此解答即可。 【解答】根据解析可知，∠1＝90°，是直角；∠2＝180°，是平角；∠3＝360°，是周角； ，所以∠2＝2个∠1＝180°； ，，所以∠3＝4个∠1＝2个∠2＝360°。 13．在用量角器量角的度数时，把角的一条边对着量角器外圈刻度30，另一条边对着内圈刻度60（如图），这个角是（ ）°。 【答案】90 【分析】用量角器内圈与角的一边重合大的刻度减去量角器内圈与角的一边重合小的刻度，可得出角的度数；同一刻度线上，量角器内圈度数和量角器外圈度数和是180°，如果另一条边对着外圈“30”的刻度，则另一条边对着内圈“180－30”的刻度， 即“150”的刻度，因为角的一条边对着量角器上“60”的刻度，另一条边对着刻度“150”，说明从150度到60度之间的度数就是这个角的度数，用150°－60°即可解答。 【解答】180°－30°＝150° 150°－60°＝90° 这个角是90°。 14．下面的两个角都是用一副三角尺拼出的，其中∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】120 75 【分析】一副三角板中的各个角的度数分别是30°、45°（两个）、60°、90°（两个）把它们进行组合，即可得到某些特殊的角度。 【解答】∠1由90°角和30°角组成，∠1＝90°＋30°＝120°。 ∠2由45°角和30°角组成，∠2＝45°＋30°＝75°。 15．把一副三角尺像下图这样重叠在一起，那么拼成的∠1是（ ）°，重叠的这两个角还可以组合得到（ ）°的角。 【答案】15 105 【分析】观察上图可知，∠1是60°的角和45°的角重叠形成的角，度数等于60°减45°，这两个角拼在一起还可以组合成60°加45°的角，据此即可解答。 【解答】60°－45°＝15° 60°＋45°＝105° 把一副三角尺像下图这样重叠在一起，那么拼成的∠1是15°，重叠的这两个角还可以组合得到105°的角。 【点评】本题主要考查学生画角方法的掌握和灵活运用。 16．下图中的角是（ ）°。 【答案】100 【分析】从量角器的外圈来看，角的一条边指向50°，另一条边指向150°，即图中角的度数＝量角器外圈较大的刻度－量角器外圈较小的刻度。 【解答】150°－50°＝100°。 即下图中的角是100°。 17．如下图，某炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好命中敌机，这时炮筒与地面成40°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒与地面所成的角应（ ）（填“＞”“＜”或“＝”）40°；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒与地面所成的角应（ ）（填“＞”“＜”或“＝”）40°。 【答案】＞ ＜ 【分析】如下图，如果敌机继续往前飞，那么炮筒要逆时针方向转动；如果敌机向后方逃跑那么炮筒要顺时针方向转动，画出可能的两个角度与40°对比，据此即可解答。 【解答】根据分析可知，某炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好命中敌机，这时炮筒与地面成40°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒与地面所成的角应＞ 40°；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒与地面所成的角应＜40°。 18．钟面上的时间是9：00，时针和分针组成的较小的角是（ ）°。钟面上的时间是3：30，时针和分针组成的较小的角是（ ）角。 【答案】90 锐 【分析】钟面一周是360°有12大格，每一大格对应的夹角是30°，9：00时，分针指向12，时针指向9，9到12有3大格，所以时针和分针组成的角是：30°×3；钟面上的时间是3：30，时针指向3和4的中间，分针指向6，时针到分针有2大格半，时针和分针组成的角是：30°×2＋30°÷2；据此计算后再根据直角是90°的角，锐角是大于0°小于90°的角，钝角是大于90°小于180°的角，判断角的类型即可。。 【解答】360÷12＝30° 30°×3＝90° 30°×2＋30°÷2 ＝60°＋15° ＝75° 75°的角是锐角； 钟面上的时间是9：00，时针和分针组成的较小的角是90°。钟面上的时间是3：30，时针和分针组成的较小的角是锐角。 19．把一张长方形纸像下面这样折一折，可以折出一些新的角。图中∠1是（ ）°，∠2是（ ）°。 【答案】50 40 【分析】图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变。即∠1和2个20°的角组成一个直角，∠1＝90°－20°－20°。∠2和2个70°的角组成一个平角，∠2＝180°－70°－70°。 【解答】∠1＝90°－20°－20°＝50° ∠2＝180°－70°－70°＝40° 20．钟面3时整，时针和分针组成的角是（ ）角；4时整，时针和分针组成的角是（ ）角；（ ）时整，时针和分针组成的角是平角。 【答案】直 钝 6 【分析】根据每个大格对应的圆心角度数为360°÷12＝30°，看分针和时针中间有多少个大格，用乘法即可得到角度，90°角是直角，大于90°小于180°是钝角，小于90°大于0°是锐角，180°是平角，据此进行解答。 【解答】3时整，分针和时针之间有3大格，3×30°＝90°，所以3时整，时针和分针组成的角是直角； 4时整，时针分针之间有4个大格，4×30°＝120°，所以4时整，时针和分针组成的角是钝角； 6时整，时针和分针组成的角是平角。 二、选择题 21．下面度数的角中，（    ）的角不能用一副三角板画出来。 A．15° B．105° C．85° 【答案】C 【分析】一副三角尺上的度数有30°、45°、60°、90°，可以拼出的角有：15°（45°－30°或60°－45°）、75°（30°＋45°）、105°（45°＋60°）、120°（30°＋90°）、135°（45°＋90°）、150°（60°＋90°）、180°（90°＋90°）；据此解答。 【解答】A．45°－30°＝15°、60°－45°＝15°，则15°的角能用一副三角板画出来； B．45°＋60°＝105°，则105°的角能用一副三角板画出来； C．85°的角不能用一副三角板画出来。 故答案为：C 22．用量角器度量一个角，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度“100”，另一条边对着外圈刻度“30”，这个角是（    ）度。 A．70 B．130 C．140 【答案】A 【分析】由题意得，用量角器度量一个角，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度“100”，另一条边对着外圈刻度“30”，都是外圈刻度，那么直接用100°减去30°即可算出这个角的度数。 【解答】100°－30°＝70° 这个角是70°。 故答案为：A 23．一张长方形纸，对折两次后展开，折痕（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．可能互相垂直，也可能互相平行 【答案】C 【分析】把一张长方形的纸对折两次，两次折痕的位置关系，取决于对折的方法。一种情况是沿着一个方向（垂直方向或水平方向）连续对折两次，三条折痕是互相平行的；另一种情况是沿着两条边的两个方向对折，即先沿着垂直方向对折，再沿着水平方向对折（先沿水平，再沿垂直方向对折亦可），两条折痕是互相垂直的；如下图：据此解答。 【解答】由分析可得：一张长方形纸，对折两次后展开，折痕可能互相垂直，也可能互相平行。 故答案为：C 24．时针和分针成 180°的角时，时针和分针分别指向（    ）的位置。 A．3和8 B．2和7 C．6和12 D．无法判断 【答案】C 【分析】一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。平角的度数为180度。已知时针和分针成180°的角，也就是时针和分针在一条直线上，当6时整时针指向6，分针指向12，时针和分针成180°的角，据此解答。 【解答】当6时整时针指向6，分针指向12，时针和分针成180°的角。 故答案为：C 25．在下边的图形中，有（    ）组平行线。 A．2 B．4 C．8 【答案】B 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。找互相平行的线段就是找不相交的线段。据此解答。 【解答】每个正方形中有2组平行线，这个图形中有2个正方形，一共有4组平行线。 故答案为：B 26．两条平行线之间可以作（    ）条垂线。 A．无数 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】平行线的定义是在同一平面内永不相交的两条直线，从一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线，由于直线是由无数个点组成的，所以两条平行线之间可以作无数条垂线。这些线段的长度相等且平行，由此判断。 【解答】由分析可知，两条平行线之间可以作无数条垂线。 故答案为：A 27．把一张长方形纸折一下（如图），折出的∠2是80°，那么∠1的度数是（    ）。 A．50° B．100° C．无法确定 【答案】A 【分析】根据图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，可知2个∠1和1个∠2的角度数之和是一个平角的度数，平角为180°，那么用180°先减去∠2的度数，可以计算出2个∠1的度数，再除以2计算出∠1的度数；据此解答。 【解答】根据分析： （180°－80°）÷2 ＝100°÷2 ＝50° 所以∠1的度数是50°。 故答案为：A 28．红领巾有（    ）个角，五星红旗有（    ）个角。 A．3；4 B．4；3 C．5；4 【答案】A 【分析】从一点沿不同方向引出两条射线所形成的图形叫做角；红领巾是三角形，三角形是由3条线段围成，每两条线段形成1个角，所以红领巾一共有3个角；五星红旗是长方形，根据长方形有4条边4个直角的特点可知：五星红旗有4个角。据此解答。 【解答】根据分析可知： 红领巾有3个角，五星红旗有4个角。 故答案为：A 29．下图是用一副三角尺拼成的角，它是（    ）。 A．150° B．120° C．105° D．75° 【答案】C 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°；因此用60°加45°即可选择。 【解答】60°＋45°＝105° 图中的角是用一副三角尺拼成的角，它是105°。 故答案为：C 30．钟面上指针从“5”逆时针旋转（    ）°到“2”。 A．15 B．30 C．90 D．120 【答案】C 【分析】在钟面上一共12个大格，共360°。所以每个大格的度数：360°÷12＝30°，即一个大格是30°。而指针从“5”逆时针旋转到“2”，需要旋转3个大格，也就是30°×3，据此解答。 【解答】360°÷12＝30° 5－2＝3（个） 30°×3＝90° 故钟面上指针从“5”逆时针旋转90°到“2”。 故答案为：C 三、操作题 31．（1）量出下面角的度数是（    ）。 （2）过P点画出OA的平行线，过P点画出OB的垂线。 【答案】（1）135° （2）见详解 【分析】（1）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成：先把三角板的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺平移后，沿直角边画出另一条直线。 过直线上或直线外一点作作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上，沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。 【解答】（1）图中角的度数是135°。 （2）所作平行线和垂线如图所示： 32．下图是一条直线和直线外一点A。 （1）量出点A到直线的距离是（    ）毫米。 （2）过直线上点B作该直线的垂线。 （3）以B点为顶点，引一条射线与已知直线组成125°的角。 【答案】（1）13 （2）（3）见详解 【分析】（1）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，先过A点作这条直线的垂线段，再量出这条垂线段的长度，就是点A到直线的距离。 （2）过B点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使B点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 （3）使量角器的中心和B点重合，0刻度线和已知直线重合，在量角器上找到125°的地方点上一个点，以B点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，组成的图形就是125°的角，在角内标上角的符号和度数。 【解答】（1）量出点A到直线的距离是13毫米。 （2）（3）如下图： 33．在下面图形中，将你发现的互相垂直和互相平行的线用不同的颜色画出来。 【答案】见详解 【分析】根据同一平面内，不相交的两条直线互相平行，即可找出图中互相平行的线段；根据同一平面内， 相交成90°的两条直线互相垂直，即可找出图中互相垂直的线段。 【解答】如图： 34．以下面的射线为角的一条边，用量角器画出下面度数的角。 【答案】见详解 【分析】画角的步骤是：使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器35°、80°、95°、140°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，依次画图即可。 【解答】如图： 35．在钟面上画指针，使时针和分针形成指定度数的角。 【答案】见详解 【分析】时钟上的12个数字，把钟面平均分成了12大格，每一大格是30°；要使时针和分针形成的角度是90°，90°÷30°＝3（大格），即时针和分针之间有3大格，可能是3：00；要使时针和分针形成的角度是30°，30°÷30°＝1（大格），即时针和分针之间有1大格，可能是1：00；要使时针和分针形成的角度是150°，150°÷30°＝5（大格），即时针和分针之间有5大格，可能是5：00；要使时针和分针形成的角度是180°，180°÷30°＝6（大格），即时针和分针之间有6大格，是6：00；据此解答。 【解答】 （画法不唯一） 四、解答题 36．下面图形中，哪两条线段互相平行？哪两条线段互相垂直？ 【答案】答案见详解 【分析】首先把各图形的顶点标上字母，方便于描述各边之间的关系，根据互相平行的条件：在一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说是互相平行。根据互相垂直的条件：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。据此解答即可。 【解答】将各图形的顶点标上字母，如下图所示：       第一个图形中AD与BC互相平行，AB分别与AD、BC互相垂直。 第二个图形中AB与CD互相平行，AD与BC互相平行，AB分别与AD、BC互相垂直，CD分别与AD、BC互相垂直。 第三个图形中BC与DE平行，AD分别与BC、 DE互相垂直。 37．下图中，CD垂直于AB，已知∠1＝60°，求∠2，∠3，∠4的度数。 【答案】∠2＝30°；∠3＝60°；∠4＝30° 【分析】根据图意，可知∠1＋∠2＝90°，∠2＝90°－∠1，求出∠1的度数； 由∠2＋∠3＝90°，∠3＝90°－∠2，求出∠3的度数； 再由∠3＋∠4＝90°，∠4＝90°－∠3，据此求出∠4的度数。 【解答】∠2＝90°－60°＝30° ∠3＝90°－30°＝60° ∠4＝90°－60°＝30° 答：∠2＝30°，∠3＝60°，∠4＝30°。 38．5时整的时候，钟面上的时针与分钟的夹角是多少度？ 【答案】150度 【分析】钟面一圈是360°，把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°，5时整的时候，时针与分钟之间有5个大格。据此解答。 【解答】360÷12×5 ＝30×5 ＝150（度） 答：5时整的时候，钟面上的时针与分钟的夹角是150度。 39．在下图中，有几条射线？组成了几个角？ 【答案】3条；3个 【分析】图中有一个点，这个点既是射线的端点，也是角的顶点；这几条射线可以两两组合，再加上顶点，可以组成不同的几个角，据此解答。 【解答】从端点出发，向三个方向射出三条线，所以有3条射线； 如下图所示，射线a和射线b可以组成∠1，射线b和射线c可以组成∠2，射线a和射线c可以组成∠3，所以组成了3个角。 答：有3条射线，组成了3个角。 40．看一看，量一量，下图中有几个平角、几个直角、几个钝角、几个锐角？ 【答案】1个平角；3个直角；2个钝角；4个锐角 【分析】分别依据直角、钝角、锐角和平角的意义：等于90度的角是直角；等于180度的角是平角；大于0度且小于90的度的角是锐角；大于90度且小于180度的角是钝角；借助量角器和三角板即可将图中的角进行分类，并数清每种角的个数。据此解答。 【解答】如下图： 通过测量，上图中， 锐角有：∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE共4个； 直角有：∠AOC、∠BOD、∠COE共3个； 钝角有：∠AOD、∠BOE共2个； 平角有：∠AOE1个。 答：图中有1个平角、3个直角、2个钝角、4个锐角。 41．明明家要把大街边的自来水管接到自己家里，怎样接材料最省？请画出路线图，并用学过的知识解释为什么这样安排。 【答案】作图见详解 因为直线外一点到与直线上任意一点的连线中，垂直线段最短。 【分析】要使材料最省，则要使从明明家这一点连接自来水管道的连线最短，根据直线外一点到直线的距离可知：直线外一点与直线上任意一点的连线中，垂直线段最短；所以，从明明家这一点向自来水管道这条直线作垂直线段，就是接材料的路线；根据过直线外一点向已知直线作垂线的方法，用三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边与直线外一点重合，从这一点沿直角边向已知直线作线段即可。据此解答。 【解答】根据分析，作图如下： 因为直线外一点到与直线上任意一点的连线中，垂直线段最短。 42．小红、小林，小明和小丽的家在同一条路上。如果下图表示四个同学从家里到学校的上学路线，哪个同学的家离学校最近？为什么？ 【答案】小林；因为直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短。 【分析】直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，据此解答即可。 【解答】小林上学路线与家里的路呈直角。 答：小林家离学校最近，这是因为直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短。 43．先估计，再量一量。 估 计 实 际 ∠1 （    ）度 （    ）度 ∠2 （    ）度 （    ）度 ∠3 （    ）度 （    ）度 【答案】90°；90°；50°；45°；100°；100° 【分析】用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。在进行角度测量的时候一条边没有从零刻度线开始，在读数是应该用末端读数减去起始端读数；据此先观察各个角，估测出各个角大约多少度，再用量角器测量出各个角的度数，并完成填空。 【解答】我估测：∠1≈90°，∠2≈50°，∠3≈100°； 测量得：∠1＝90°，∠2＝45°，∠3＝100°。 填空如下： 估 计 实 际 ∠1 90度 90度 ∠2 50度 45度 ∠3 100度 100度 44．看图解答。 （1）你能在图上分别标出30°，60°，90°，120°，180°，270°的角吗？ （2）你能在图上找到两个50°的角吗？标一标。 （3）利用附页中的图1剪出你想要的角。 【答案】见详解 【分析】（1）已知周角是360°，把周角平均分成36份，每份是10°，30°角就是3个相邻的10°角组合在一起；60°角就是6个相邻的10°角组合在一起；以此类推，标出各个角； （2）根据（1）的画法，画出两个50°角即可； （3）利用附页，先根据（1）画出自己想要的角，再沿角的两边剪来即可。 【解答】（1）∠1＝30°，∠2＝60°，∠3＝90°，∠4＝120°，∠5＝180°，∠6＝270°； （2）能，见上图。 （3） （答案不唯一） 45．如图，这是乡村振兴项目中，改造后白云小街街区的示意图。 （1）量一量，∠1＝（    ）°。 （2）建设路经过图书馆，与人民路平行。请在图中画出来。 （3）张村需要安装天然气管道，主管道在人民路上，你认为应该怎样安装管道最短？请在图中画出来。你这样画的理由是：（                 ）。 【答案】（1）45 （2）见详解 （3）图片见详解，这样画的理由：直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。（2）画已知直线的平行线：把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和已知点重合，过点沿三角板的直角边画直线即是已知直线的平行线。 （3）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使安装管道最短，则从张村向人民路作垂线，这条垂线即为所求。 【解答】（1）∠1＝45°； （2）如图； （3）如图： 这样画的理由：直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编者的话 寒假将至，首先祝愿每一位同学都能度过一个愉快而充实的假期！同时，也恭喜你们在本学期里通过辛勤的努力，取得了令人满意的成绩。在学习的过程中，你们不仅积累了丰富的知识，也逐步提升了自我学习和探究的能力。希望你们能够继续保持这种积极向上的学习态度，不断追求卓越。 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（2）从直线外一点向已知直线所作的儿条线段中,垂直线段最短。 9、画垂线。 画两条互相垂直的直线的方法很多,可在方格纸上画,也可以用量角器画,还可以用直尺和三角尺画。 10、认识平行线。 同一平面内,不相交的两条直线互相平行,其中一条直线是另一条直线的平行线。同一平面内的两条直线的位置关系只有两种:相交或平行。因此同一平面内的两条直线不相交就一定平行。 11、画平行线。 用直尺和三角尺画平行线时,牢记“固定三角尺,画直线”“紧靠三角尺,固定直尺,平移三角尺”。 易错点1：误认为直线和射线能测量。 判断：小明在纸上画了一条长5厘米的直线。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】这句话错在没有理解直线的特征。直线没有端点,可以向两端无限延长,因而无法测量出它的长度,所以这句话是错的。 【正确解答】错误 易错点2：误认为过一点只能画一条射线或直线。 下图中可以找到几条射线? 【错误答案】可以找到2条射线。 【错解分析】错误解答错在认为从一点出发只能画一条射线。为了便于说明,假设两个点分别为A、B。射线只有一个端点,图中以A点为端点可以找到两条射线，一条向左无限延长，一条向右无限延长;同样以B点为端点也可以找到两条射线,所以可以找到四条射线。 【正确解答】可以找到4条射线。 易错点3：把该看内圈刻度还是外圈刻度混淆了。 读出下面角的度数。 【错误答案】60° 【错解分析】错误解答错在没有掌握用量角器量角的正确方法。图中这个角的一条边和量角器的右边0°刻度线重合,所以读数时要看内圈刻度。 【正确解答】120° 易错点4：量角器摆放位置不对或者说使用量角器的方法错误。 量出下面角的度数。 【错误答案】这个角是70°。 【错解分析】错误解答错在虽然将量角器的中心和角的顶点重合了,但是没有把量角器的0°刻度线和角的一条边重合。量角时应该做到三个重合,即量角器的中心和角的顶点重合,量角器的0°刻度线和角的一条边重合,刻度线与角的另一条边重合。 【正确解答】这个角是40°。 易错点5：误认为大于90°的角就是钝角。 判断：大于90°的角是钝角。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在对钝角的概念不理解,大于90"的角除了钝角还有其他的角,比如平角、周角,不能说平角是钝角,也不能说周角是钝角。“钝角都大于90°”这是正确的,反过来像上面这句“大于90°的角是钝角”就错了。 【正确解答】错误 易错点6：没有理解点到直线的距离就是这一点到直线的垂线。 画出表示点A到已知直线的距离的线段。 【错误答案】 【错解分析】错误解答错在所画的线段和直线不垂直,没有理解点到直线的距离。从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度,叫作这点到这条直线的距离,就是说所画的线段要和这条直线互相垂直。 【正确解答】 易错点7：对平行线的概念没有掌握,导致判断错误。 判断：不相交的两条线叫作平行线。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错在对平行线中的“线”认识不清。平行线中的线必须是直线,且必须是在同一平面内的直线。如右图中,AB与CD不相交，但也不平行,因为它们不在同一平面内。应该说“同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线”。 【正确解答】错误 易错点8：误认为两条直线不相交就是平行。 判断:下图中的两条直线互相平行。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答错误的原因有两个：一是没有意识到直线是可以无限延长的;二是认为“不相交"就是“互相平行”。这两条直线看上去没有相交,就认为是平行的。直线是可以无限延长的,把这两条直线延长后,它们相交,所以它们不互相平行。 【正确解答】错误 一、填空题 1．2时整钟面上的时针和分针形成的较小角是（ ）°；3时30分，时针和分针形成的较小角是（ ）角。 2．已知：下图中，则（ ）。 3．度量一个角，角的一条边对着量角器上内圈“100”的刻度，如果另一条边对着内圈“70”的刻度，这个角是（ ）度；如果另一条边对着外圈“50”的刻度，那么这个角是（ ）度。 4．先估一估，再量一量。 5．先回忆画平行线的方法，再判断下面检验两条直线是否互相平行的方法正确吗？ 画平行线的方法通常是：首先沿三角尺的一条直角边画一条直线，其次将直尺和三角尺的另一条直角边（ ），最后（ ）三角尺，再画一条直线。 根据画平行线的方法，可以判断题目中检验方法（ ）。 6．从小明家出发有三条小路通往公路上，它们的长度分别是268米、329米、190米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是（ ）米。 7．如图，一只小蚂蚁想从自己的家去A、B、C、D、E五个朋友家去玩，则它去（ ）朋友家最近。 8．数一数，填一填。 （ ）条射线，（ ）个角。 9．如下图，四人同时过马路，他们的速度相同，（ ）和（ ）最先同时到达对边。 小明    小亮    小强      小杰 10．图中是一个城市的街道平面图，图中互相平行的两条路是（ ）和（ ）。 11．4时整，钟面上的时针和分针所成的角是（ ）°，再过2小时，时针和分针所成的角变成（ ）角。 12．将一张正方形的纸对折成下面的样子，说说它们各是什么角，再填空。 ∠2＝（ ）个∠1＝（ ）°，∠3＝（ ）个∠1＝（ ）个∠2＝（ ）° 13．在用量角器量角的度数时，把角的一条边对着量角器外圈刻度30，另一条边对着内圈刻度60（如图），这个角是（ ）°。 14．下面的两个角都是用一副三角尺拼出的，其中∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 15．把一副三角尺像下图这样重叠在一起，那么拼成的∠1是（ ）°，重叠的这两个角还可以组合得到（ ）°的角。 16．下图中的角是（ ）°。 17．如下图，某炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好命中敌机，这时炮筒与地面成40°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒与地面所成的角应（ ）（填“＞”“＜”或“＝”）40°；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒与地面所成的角应（ ）（填“＞”“＜”或“＝”）40°。 18．钟面上的时间是9：00，时针和分针组成的较小的角是（ ）°。钟面上的时间是3：30，时针和分针组成的较小的角是（ ）角。 19．把一张长方形纸像下面这样折一折，可以折出一些新的角。图中∠1是（ ）°，∠2是（ ）°。 20．钟面3时整，时针和分针组成的角是（ ）角；4时整，时针和分针组成的角是（ ）角；（ ）时整，时针和分针组成的角是平角。 二、选择题 21．下面度数的角中，（    ）的角不能用一副三角板画出来。 A．15° B．105° C．85° 22．用量角器度量一个角，中心点对准顶点后，发现角的一条边对着量角器上外圈刻度“100”，另一条边对着外圈刻度“30”，这个角是（    ）度。 A．70 B．130 C．140 23．一张长方形纸，对折两次后展开，折痕（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．可能互相垂直，也可能互相平行 24．时针和分针成 180°的角时，时针和分针分别指向（    ）的位置。 A．3和8 B．2和7 C．6和12 D．无法判断 25．在下边的图形中，有（    ）组平行线。 A．2 B．4 C．8 26．两条平行线之间可以作（    ）条垂线。 A．无数 B．0 C．1 D．2 27．把一张长方形纸折一下（如图），折出的∠2是80°，那么∠1的度数是（    ）。 A．50° B．100° C．无法确定 28．红领巾有（    ）个角，五星红旗有（    ）个角。 A．3；4 B．4；3 C．5；4 29．下图是用一副三角尺拼成的角，它是（    ）。 A．150° B．120° C．105° D．75° 30．钟面上指针从“5”逆时针旋转（    ）°到“2”。 A．15 B．30 C．90 D．120 三、操作题 31．（1）量出下面角的度数是（    ）。 （2）过P点画出OA的平行线，过P点画出OB的垂线。 32．下图是一条直线和直线外一点A。 （1）量出点A到直线的距离是（    ）毫米。 （2）过直线上点B作该直线的垂线。 （3）以B点为顶点，引一条射线与已知直线组成125°的角。 33．在下面图形中，将你发现的互相垂直和互相平行的线用不同的颜色画出来。 34．以下面的射线为角的一条边，用量角器画出下面度数的角。 35．在钟面上画指针，使时针和分针形成指定度数的角。 四、解答题 36．下面图形中，哪两条线段互相平行？哪两条线段互相垂直？ 37．下图中，CD垂直于AB，已知∠1＝60°，求∠2，∠3，∠4的度数。 38．5时整的时候，钟面上的时针与分钟的夹角是多少度？ 39．在下图中，有几条射线？组成了几个角？ 40．看一看，量一量，下图中有几个平角、几个直角、几个钝角、几个锐角？ 41．明明家要把大街边的自来水管接到自己家里，怎样接材料最省？请画出路线图，并用学过的知识解释为什么这样安排。 42．小红、小林，小明和小丽的家在同一条路上。如果下图表示四个同学从家里到学校的上学路线，哪个同学的家离学校最近？为什么？ 43．先估计，再量一量。 估 计 实 际 ∠1 （    ）度 （    ）度 ∠2 （    ）度 （    ）度 ∠3 （    ）度 （    ）度 44．看图解答。 （1）你能在图上分别标出30°，60°，90°，120°，180°，270°的角吗？ （2）你能在图上找到两个50°的角吗？标一标。 （3）利用附页中的图1剪出你想要的角。 45．如图，这是乡村振兴项目中，改造后白云小街街区的示意图。 （1）量一量，∠1＝（    ）°。 （2）建设路经过图书馆，与人民路平行。请在图中画出来。 （3）张村需要安装天然气管道，主管道在人民路上，你认为应该怎样安装管道最短？请在图中画出来。你这样画的理由是：（                 ）。 学科网（北京）股份有限公司 $$