复习专题03 不等式（12考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

专题03 不等式 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：不等式关系与不等式 1、不等式的概念 用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫作不等式． 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 知识点2：等式与不等式的性质 1、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点3：基本不等式 1、基本不等式 （1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式． 2、最值定理 （1）最值定理：已知都是正数， ①若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． ②若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． （2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 3、基本不等式的变式与拓展 （1）基本不等式链 或．当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 （2）基本不等式的拓展 ①三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． ②元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 知识点4：一元二次函数、方程和不等式 1、一元二次不等式的相关概念 （1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． （2）一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数） （3）一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形． 2、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写出解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间． 知识点5：其他不等式的解法 1、分式不等式的解法：解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式． 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母． 2、高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“击过偶不过”； （5）写解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 3、含绝对值不等式 （1）绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． （4）绝对值不等式： ①的解集是，如图1． ②的解集是，如图2． ③． ④或． 考点剖析 【考点1 不等式的性质及判断】 1．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南通·期中）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高一上·江苏常州·月考）（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏南通·月考）（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 【考点2 求代数式的取值范围】 6．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 9．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知，则的取值范围为 ． 10．（24-25高一上·江苏徐州·月考）已知实数，满足，，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 【考点3 作差法或作商法比较大小】 11．（24-25高一上·河南·月考）若，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则与的大小关系为 ． 14．（24-25高一上·甘肃威武·月考）（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 15．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【考点4 无条件型不等式求最值】 16．（24-25高一上·江苏南通·月考）函数的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 17．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 18．（24-25高一上·广东·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 20．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的最大值为 ． 【考点5 有条件型不等式求最值】 21．（24-25高一上·海南·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 22．（24-25高一上·江苏·月考）已知，则的最小值是（    ） A．9 B． C．4 D．2 23．（23-24高一上·重庆·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 24．（24-25高一上·江苏南通·期中）（多选）已知，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值为4 B．的最小值为9 C．的最小值为10 D．的最小值为128 25．（24-25高一上·江苏·期中）已知，，若，则的最小值为 【考点6 基本不等式恒成立问题】 26．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（    ） A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是6 27．（24-25高一上·河北承德·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·福建福州·月考）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 29．（24-25高一上·辽宁大连·月考）当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·江苏·月考）已知不等式对任意恒成立，则正实数a的取值范围是 . 【考点7 基本不等式的实际应用】 31．（24-25高一上·江苏无锡·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到以下信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建在距离车站（    ）千米处，才能使两项费用之和最小. A．3 B．4 C．5 D．6 32．（24-25高一上·吉林长春·期中）下列问题中，是不相等的正数，比较的表达式．下列选项正确的是（    ） 问题甲：一个直径寸的披萨和一个直径寸的披萨，面积和等于两个直径都是寸的披萨的面积和； 问题乙：购买某物品所花钱数一定，第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元，则这两次的平均价格为， 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为（天平平衡），放右边时左边砝码质量为（天平平衡），物体的实际质量为． A． B． C． D． 33．（24-25高一上·浙江·月考）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在二次函数的图像上，其中与发射的方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 34．（24-25高一上·广西南宁·月考）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），面积为64平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元， (1)求的函数解析式，并求报价的最小值. (2)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 35．（24-25高一上·江苏扬州·期中）如图，长方形的周长为10. (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少? (2)沿折叠使点到点位置，交于点，请解决下面两个问题. （i）求的周长； （ii）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 【考点8 解一元二次不等式】 36．（23-24高一上·江苏南京·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 38．（24-25高一上·江苏无锡·月考）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·江苏苏州·期中）（多选）关于的不等式（）的解集可以是（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·河南驻马店·月考）已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【考点9 解分式/高次/绝对值不等式】 41．（24-25高一上·福建福州·月考）不等式的最小整数解为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高一上·江苏常州·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·江苏苏州·月考）不等式的解集是 ． 44．（24-25高一上·江苏·期中）已知关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 45．（24-25高一上·江苏·期中）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3). 【考点10 三个“二次”的关系应用】 46．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一上·湖南·期中）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一上·四川自贡·期中）（多选）已知不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一上·江苏盐城·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 50．（23-24高一上·山东临沂·期末）（多选）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【考点11 一元二次不等式恒成立问题】 51．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高一上·江苏无锡·期中）一元二次不等式则对一切实数 都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·江苏宿迁·月考）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 54．（24-25高一上·江苏扬州·月考）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ． 55．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【考点12 一元二次不等式的实际应用】 56．（24-25高一上·江苏苏州·期中）常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（    ） A．48元 B．49元 C．51元 D．50元 57．（24-25高一上·福建福州·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高一上·江苏南通·月考）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 59．（24-25高一上·山东·期中）如图，某小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为24m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2000元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺上塑胶，造价为100元/m2；在四个空角（图中四个三角形）内铺上草坪，造价为400元/m2.若要使总造价不高于24000元，则正方形周长的最小值为 m. 60．（23-24高一上·江苏南通·期中）如图，某小区有一个直角梯形休闲广场，其中，，百米，百米．规划修建两条直道、将广场分割为个区域：Ⅰ、Ⅱ为绿化区域（图中阴影部分），面积分别记为、：Ⅲ为休闲区域，面积记为．其中，区域Ⅲ是以为底的梯形，点、分别在、上．（道路宽度忽略不计） (1)试确定道路修建方案，使得； (2)记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划下该广场效能比的最大值． 过关检测 1．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东肇庆·月考）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知，均为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏·期中）（多选）设，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25高一上·江苏常州·期中）（多选）已知正数满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·山西朔州·期中）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（    ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 10．（24-25高一上·北京·期中）绝对值不等式的解集为 .. 11．（24-25高一上·江苏常州·期中）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 12．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若，则的最小值是 . 13．（24-25高一上·安徽·月考）（1）设，，比较与的大小； （2）求关于的不等式的解集. 14．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为. (1)求此二次函数的解析式； (2)关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围； (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 15．（24-25高一上·四川南充·月考）已知、、、为正实数，利用基本不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 不等式 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：不等式关系与不等式 1、不等式的概念 用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫作不等式． 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 知识点2：等式与不等式的性质 1、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点3：基本不等式 1、基本不等式 （1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式． 2、最值定理 （1）最值定理：已知都是正数， ①若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． ②若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． （2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 3、基本不等式的变式与拓展 （1）基本不等式链 或．当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 （2）基本不等式的拓展 ①三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． ②元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 知识点4：一元二次函数、方程和不等式 1、一元二次不等式的相关概念 （1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． （2）一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数） （3）一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形． 2、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写出解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间． 知识点5：其他不等式的解法 1、分式不等式的解法：解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式． 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母． 2、高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“击过偶不过”； （5）写解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 3、含绝对值不等式 （1）绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离． （4）绝对值不等式： ①的解集是，如图1． ②的解集是，如图2． ③． ④或． 考点剖析 【考点1 不等式的性质及判断】 1．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由不等式性质，，故A错误， 由，故B错误； 由，故C正确； 由，故D错误.故选：C 2．（24-25高一上·江苏南通·期中）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】A.令，满足，但，选项A错误. B.令，满足，但，选项B错误. C.当时，，选项C错误. D.由可知，由不等式的性质得，选项D正确.故选：D. 3．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，，但，故A错误； 对于B，由，可得，不等式两边同乘以， 得，即，故B错误； 对于C，， 因为，，所以，故C正确； 对于D，，当时，，故D错误.故选：C. 4．（24-25高一上·江苏常州·月考）（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由，利用同向不等式的可加性得：，故A对，B错； 再由，平方可得：， 再利用同向正数不等式的可乘性得：，故C对； 又由，可得：， 再利用同向正数不等式的可乘性得：， 两边同除以正数得：，故D对，故选：ACD. 5．（24-25高一上·江苏南通·月考）（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，取，，，， 则，，此时，故A错误； 对于B，由，，则， 则有，即，故B正确； 对于C，由，，则， 所以，即，故C正确； 对于D，由，， 所以， 即，故D正确.故选：BCD. 【考点2 求代数式的取值范围】 6．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴， 又，∴， 即的取值范围是.故选：C. 7．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，， 所以， 所以的取值范围为.故选：A. 8．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】D 【解析】对于A，因为， 所以，即， 所以的取值范围为，故A正确，不符合题意； 对于B，因为，所以， 因为，所以，即， 所以的取值范围为，故B正确，不符合题意； 对于C，因为，则， 所以，则， 所以的取值范围为，故C正确，不符合题意； 对于D，因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以取值范围为，故D错误，符合题意；故选：D. 9．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】已知， 所以 又因为，所以 则的取值范围是. 故答案为： 10．（24-25高一上·江苏徐州·月考）已知实数，满足，，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 【答案】； 【解析】因为，，故即， 设， 故，所以，故， 又，， 所以， 故答案为：. 【考点3 作差法或作商法比较大小】 11．（24-25高一上·河南·月考）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知， 因为，，所以， 则，即. 因为，，所以. 综上，.故选：A 12．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【解析】由，且，即， 可得，即，故选：A. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则与的大小关系为 ． 【答案】 【解析】由， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高一上·甘肃威武·月考）（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1），， ，. （2），，又， 又， ， . 15．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①；②；③； 【解析】① ， 因为， 所以，即；. ② ，. ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以... 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以.. 【考点4 无条件型不等式求最值】 16．（24-25高一上·江苏南通·月考）函数的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立，故选：B． 17．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】，则，当且仅当时取等号，，当且仅当取等号， 所以，当且仅当时取等号，因此所求最小值是4.故选：B． 18．（24-25高一上·广东·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】因为， 所以，， 当且仅当，即时，等号成立，故选：A 19．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【解析】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 20．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由基本不等式知，， 故， 当且仅当时，等号成立. 故答案为： 【考点5 有条件型不等式求最值】 21．（24-25高一上·海南·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【解析】由题设，又，，故，则， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8.故选：D 22．（24-25高一上·江苏·月考）已知，则的最小值是（    ） A．9 B． C．4 D．2 【答案】B 【解析】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号.故选：B 23．（23-24高一上·重庆·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.故选：A. 24．（24-25高一上·江苏南通·期中）（多选）已知，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值为4 B．的最小值为9 C．的最小值为10 D．的最小值为128 【答案】BD 【解析】因为， 所以，解得（负值已舍去），所以， 当且仅当，即时，的最小值取到，故A错误； 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取到最小值为9，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C错误； 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确.故选：BD 25．（24-25高一上·江苏·期中）已知，，若，则的最小值为 【答案】 【解析】， 由，，故，， 故， 即，当且仅当， 即，时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【考点6 基本不等式恒成立问题】 26．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（    ） A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是6 【答案】B 【解析】因为， ， 当且仅当，即时取等号， 又不等式恒成立，所以，即， 所以实数的最大值6，没有最小值，故B正确.故选：B. 27．（24-25高一上·河北承德·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式恒成立，即， ， 等号成立的条件是，即，与条件联立，解得， 所以的最小值是8，即，解得．故选：A 28．（24-25高一上·福建福州·月考）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由题知， 因为a，b为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当且，即，时，等号成立， 所以，即，所以， 整理得，解得， 所以正数x的最大值为2.故选：D. 29．（24-25高一上·辽宁大连·月考）当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当，时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 所以，即．故选：A. 30．（24-25高一上·江苏·月考）已知不等式对任意恒成立，则正实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】依题意，对任意，不等式恒成立， 当时，，当且仅当时取等号， 因此，所以正实数a的取值范围是. 故答案为： 【考点7 基本不等式的实际应用】 31．（24-25高一上·江苏无锡·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到以下信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建在距离车站（    ）千米处，才能使两项费用之和最小. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】设，则； 设，则， 所以总费用， 当且仅当时等号成立.故选：C 32．（24-25高一上·吉林长春·期中）下列问题中，是不相等的正数，比较的表达式．下列选项正确的是（    ） 问题甲：一个直径寸的披萨和一个直径寸的披萨，面积和等于两个直径都是寸的披萨的面积和； 问题乙：购买某物品所花钱数一定，第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元，则这两次的平均价格为， 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为（天平平衡），放右边时左边砝码质量为（天平平衡），物体的实际质量为． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】问题甲中，，即可， 问题乙中，设每次购买花的钱为，则， 问题丙中，设左右量词的臂长分别为，则，故， 由于，故， 又，所以， 因此，故选：B 33．（24-25高一上·浙江·月考）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在二次函数的图像上，其中与发射的方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 【答案】(1)千米；(2)飞行物的横坐标不超过千米时，炮弹可以击中它 【解析】（1）因为，令， 得，不合题意舍去，另一个根为， 又， 当且仅当时，等号成立， 所以炮的最大射程为千米； （2）飞行物的横坐标不超过千米时，炮弹可以击中它，理由如下： 因为飞行物的横坐标，即， 所以，即， 因为炮弹可以击中，所以关于的方程有正根， 所以，所以， 此时， 所以飞行物的横坐标不超过千米，炮弹可以击中它. 34．（24-25高一上·广西南宁·月考）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），面积为64平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元， (1)求的函数解析式，并求报价的最小值. (2)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)，报价的最小值为元；(2) 【解析】（1）依题意，储物室的长为米， 则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，报价的最小值为元. （2）依题意，得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，所以，即， 令，则， 则， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以，又，即， 所以的取值范围是. 35．（24-25高一上·江苏扬州·期中）如图，长方形的周长为10. (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少? (2)沿折叠使点到点位置，交于点，请解决下面两个问题. （i）求的周长； （ii）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)（i）5（ii）的面积存在最大值，此时 【解析】（1）当，，设， 则，根据基本不等式得， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值是； （2）（i）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以，所以， 所以， 所以的周长； （ii）设，则， 由（i）知，， 在中，有， 解得， 则， 根据基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值，此时. 【考点8 解一元二次不等式】 36．（23-24高一上·江苏南京·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以解集为.故选：D. 37．（24-25高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【解析】由题知，解得，原不等式的解集为．故选：B 38．（24-25高一上·江苏无锡·月考）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或.故选：D 39．（24-25高一上·江苏苏州·期中）（多选）关于的不等式（）的解集可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能.故选：ABD 40．（24-25高一上·河南驻马店·月考）已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即或， 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：或.故选：A 【考点9 解分式/高次/绝对值不等式】 41．（24-25高一上·福建福州·月考）不等式的最小整数解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原不等式可化为或或，解得， 所以所求最小整数解是.故选：C 42．（24-25高一上·江苏常州·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式， 当时，不等式显然成立； 当时，则原不等式等价于， 等价于，解得或， 综上可得原不等式的解集为.故选：D 43．（24-25高一上·江苏苏州·月考）不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】由题意，且， 所以，利用穿针引线法，在数轴上标根如下图：解得：不等式的解集为. 故答案为：. 44．（24-25高一上·江苏·期中）已知关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 【答案】3 【解析】解：不等式可化为， 可得，平方可得， 即 由不等式解集是可知和0是方程的两根， 故，且，解得 故答案为：3. 45．（24-25高一上·江苏·期中）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或；(2)或；(3) 【解析】（1）由得， 即，解得或， 故不等式的解集为或. （2）由得，即， 等价于，解得或， 故不等式的解集为或. （3）当时，原不等式可以化为，解得. 当时，原不等式可以化为，即，恒成立. 当时，原不等式可以化为.解得. 综上，原不等式的解集为. 【考点10 三个“二次”的关系应用】 46．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，二次函数的对称轴为，则， 且，即，所以，可得， 所以.故选：B 47．（24-25高一上·湖南·期中）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故； 乙的常数正确，故，故. 所以原不等式为，即，解得， 所以解集为.故选：D. 48．（24-25高一上·四川自贡·期中）（多选）已知不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】不等式的解集是，开口向下，所以， 的两根为-1和2， 所以，即，，故A错，D对； ，即，C对， ，B对，故选：BCD 49．（24-25高一上·江苏盐城·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【解析】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A错； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为，即，解得或， 因此，不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此，不等式的解集为，D对.故选：D. 50．（23-24高一上·山东临沂·期末）（多选）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【解析】依题意可得方程的两根分别为或，且； 由韦达定理可得，即； 对于A，由可得，即A正确； 对于B，易知，即B错误； 对于C，不等式即为，同时除以即可得， 所以不等式的解集为，即C正确； 对于D，不等式即为，也即； 所以，解得或， 即不等式的解集为或，可得D错误.故选：AC 【考点11 一元二次不等式恒成立问题】 51．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为.故选：D. 52．（24-25高一上·江苏无锡·期中）一元二次不等式则对一切实数 都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由一元二次不等式对一切实数x都成立， 则，解得. 满足一元二次不等式对一切实数x都成立的k的取值范围是.故选：C. 53．（24-25高一上·江苏宿迁·月考）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，不等式为恒成立，满足题意； 当时，不等式恒成立等价于，解得； 综上，，即实数的取值范围是. 故答案为：. 54．（24-25高一上·江苏扬州·月考）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，原不等式可化为，显然成立， 当时，因关于的不等式的解集为， 则，解得， 综上可知，实数的取值范围为， 故答案为： 55．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】要使不等式在上有解， 则，在上有解， 令，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故时，， 因此要使不等式在上有解，则， 故答案为：. 【考点12 一元二次不等式的实际应用】 56．（24-25高一上·江苏苏州·期中）常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（    ） A．48元 B．49元 C．51元 D．50元 【答案】D 【解析】根据题意可得，整理得，解得， 又，所以，该店铺的“叫花鸡”每只定价应为.故选：D. 57．（24-25高一上·福建福州·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这批灯的销售单价为x元，由题意可得， 由题意可得， 即，解得， 可得x的范围为．故选：C． 58．（24-25高一上·江苏南通·月考）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】第一次将桶中药液倒出5升后，桶中药液还有升， 则加满水后药液含量占容积比例为.第二次倒出的4升液体中， 药液有升，则加满水后药液含量占容积比例为， 由题有，，解得， 又因为第一次将桶中药液倒出5升，所以， 故答案为：. 59．（24-25高一上·山东·期中）如图，某小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为24m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2000元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺上塑胶，造价为100元/m2；在四个空角（图中四个三角形）内铺上草坪，造价为400元/m2.若要使总造价不高于24000元，则正方形周长的最小值为 m. 【答案】4 【解析】设正方形边长为(m)，则矩形的长、宽分别为(m)、(m)， 所以，，， 所以，总造价，且， 所以，则，可得， 故(m)，即正方形周长的最小值为4(m). 故答案为：4 60．（23-24高一上·江苏南通·期中）如图，某小区有一个直角梯形休闲广场，其中，，百米，百米．规划修建两条直道、将广场分割为个区域：Ⅰ、Ⅱ为绿化区域（图中阴影部分），面积分别记为、：Ⅲ为休闲区域，面积记为．其中，区域Ⅲ是以为底的梯形，点、分别在、上．（道路宽度忽略不计） (1)试确定道路修建方案，使得； (2)记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划下该广场效能比的最大值． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）延长、相交于点， 因为，，，所以，， 所以，，则为的中点，所以，， 由区域Ⅲ是以为底的梯形，可得， 于是，则， 设，，所以，，故， 由图可知，，所以，， 所以，，， 因为，则，即，所以，， 所以，当道路米时，. （2）因为， 广场效能比为， 设，则二次函数的图象开口向上， 当时，函数取得最小值，即， 所以， 所以此规划下该广场效能比的最大值为． 过关检测 1．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】B 【解析】不等式化为：，即， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为或.故选：B 2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，故且， 所以，故， 由于，，所以，即， 故最小值为，此时，故选：B. 3．（24-25高一上·广东肇庆·月考）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.故选：B 4．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知，均为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，均为正实数，，均为正实数，且， 则， 整理得：，因为，， 所以， 即，当且仅当时，即时，等号成立.故选：C 5．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为不等式的解集为， 所以且，即. 不等式转化为，解得， 即不等式的解集为.故选：A 6．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式可化为， 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得； 当时，原不等式等价于， 其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是.故选：B. 7．（24-25高一上·江苏·期中）（多选）设，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】对于A，若，则不等式两边同时乘以，由，则，故A正确； 对于B，若，则不等式两边同时乘以，由，则，故B错误； 对于C，若，则，利用不等式的可乘方性，则，故C正确； 对于D，若，，则，，则，故D错误；故选：AC. 8．（24-25高一上·江苏常州·期中）（多选）已知正数满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，由题可得，即，故A正确； 对于B，为正数，为正数，， 所以，当且仅当时，等号成立，故B不正确； 对于C，为正数，， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，为正数，， 当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：ACD 9．（24-25高一上·山西朔州·期中）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（    ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】当时，由，解得，故A错误； 若不等式对恒成立，则当时，恒成立， 当时，，且，解得， 综上，， 则整数的取值集合为，故B正确； 若不等式对恒成立，则， 即解得，故C正确； 若恰有一个整数使得不等式成立，则， 又因为，且对称轴为，所以该整数解为， 结合二次函数的图象，可得 即解得，故D正确.故选：BCD 10．（24-25高一上·北京·期中）绝对值不等式的解集为 .. 【答案】 【解析】不等式化为：，整理得，解得或， 所以的解集为. 故答案为： 11．（24-25高一上·江苏常州·期中）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【解析】由，得， ， 当且仅当，即时，等号成立 ∵恒成立，∴， ∴，∴或. 故答案为：或. 12．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若，则的最小值是 . 【答案】 【解析】由题意， 若存在使得，则， 因此，但， 因此假设错误，不存在使得， 所以的最小值不小于， 又时，， 所以的最小值为， 故答案为：． 13．（24-25高一上·安徽·月考）（1）设，，比较与的大小； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【解析】（1）因为，， 则， 故，当且仅当时取等号. （2）当时，不等式可化为一次不等式：，则有； 当时，不等式可化为二次不等式. ①当时，，可得或. ②当时，. 时，则；时，解集为；时，则. 综上所述： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 14．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为. (1)求此二次函数的解析式； (2)关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围； (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由不等式的解集为， 得且是关于的方程的两个根， 因此， 所以函数的图象开口向上，其对称轴为， 而该图象与直线有且仅有一个公共点，则图象的顶点为， 于是，解得， 所以此二次函数的表达式为，即. （2）由（1）知不等式为， 整理得，即， 依题意，不等式的解集中恰有一个正整数，则， 当时，解得，即不等式的解集为，此时解集中不含正整数，故舍去； 当时，解得，不等式的解集为，要使解集中恰有一个正整数， 则， 所以实数的取值范围是. （3）对，不等式恒成立， 即对，不等式恒成立， 令，，则，解得， 即实数的取值范围为. 15．（24-25高一上·四川南充·月考）已知、、、为正实数，利用基本不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)当矩形菜园平行于墙的一边的长为15m，与之相邻的边的长为m时，菜园的面积最大，最大面积是 【解析】（1）因为、、、为正实数， 所以，，当且仅当，时等号成立， 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. （3）设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，菜园的面积为， 则，，其中，即， 由基本不等式得 ， 当，即，时，菜园的面积最大，最大面积是. 因此，当矩形菜园平行于墙的一边的长为15m，与之相邻的边的长为m时， 菜园的面积最大，最大面积是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$