精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2024-2025学年高二12月考试 数学试题 一、选择题（共8题，共40分） 1. 已知向量，且，则实数的值等于（ ） A. B. C. D. 或 2. 直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 90° 3. 已知，若三向量共面，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知P（1，2）点为圆（x+1）2+y2=9的弦AB的中点，则直线AB的方程为 A. x–y–3=0 B. x+y+3=0 C. x+y–3=0 D. x–y+3=0 5. 圆与圆的位置关系是． A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 内含 6. 两个圆与的公切线恰好有2条，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 设，两直线与垂直，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m，n)也重合，则m+n的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，共18分） 9. （多选）已知两点到直线的距离相等，则实数的值可以是（ ） A. B. 3 C. D. 1 10. 已知圆，圆，圆，圆，直线，则（ ） A. 与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B. 与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C. 过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D. 与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 11. 直线和圆交于点和，且的面积为整数，则所有满足要求的正整数的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 三、填空题（共3题，共15分） 12. 倾斜角为，在轴上截距为的直线方程为__________． 13. 在平行六面体中，，，，，则________. 14. 直线的斜率为，若，则直线的倾斜角的范围是__. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在的直线方程． 16. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且∠ABC，AB＝2，PA⊥平面ABCD． （1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC⊥平面QBD． （2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为时，求PA的长． 17. 已知 （1）求与方向相同的单位向量； （2）若与单位向量垂直，求，. 18. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点． （1）求证：D1F∥平面BDE； （2）求直线D1E与平面BDE所成角的正弦值； （3）求直线D1F与平面BDE之间的距离． 19. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且，侧棱，D，E分别是，的中点． （1）求直三棱柱的体积（用字母a表示）； （2）若点E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G， ①求直线EB与平面ABD所成角的余弦值； ②求点到平面ABD的距离 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二12月考试 数学试题 一、选择题（共8题，共40分） 1. 已知向量，且，则实数的值等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行得坐标的比相同，即可解得实数的值. 【详解】由向量，且得， 解得. 故选：B. 2. 直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程求得斜率，再由 求解. 【详解】直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为 则， 因为 ， 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题. 3. 已知，若三向量共面，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意存在，使得，代入坐标，计算可求得的值. 【详解】若三向量共面，则存在，使得， 又因为， 所以，所以，解得， 故等于4. 故选：C. 4. 已知P（1，2）点为圆（x+1）2+y2=9的弦AB的中点，则直线AB的方程为 A. x–y–3=0 B. x+y+3=0 C. x+y–3=0 D. x–y+3=0 【答案】C 【解析】 【分析】若P（1，2）为弦的中点，则圆心与P的连线与AB垂直，可得AB的斜率，即可写出AB的方程. 【详解】圆（x+1）2+y2=9的圆心坐标为C（–1，0），又P（1，2），∴， 则直线AB的斜率为–1，又∵直线AB过点P， ∴以P为中点的弦AB所在直线方程为y–2=–1（x–1），即x+y–3=0．故选C． 【点睛】本题主要考查了圆的弦的几何性质，直线方程的求法，属于中档题. 5. 圆与圆的位置关系是． A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心之间的距离与半径的和与差的关系判断即可 【详解】将圆的方程标准化可得，可得，圆的方程标准化可得，所以，所以，所以圆外切． 故选：C． 6. 两个圆与的公切线恰好有2条，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出两圆的圆心和半径，由两圆的公切线恰好有2条知两圆相交，则，即可列出不等式求解m. 【详解】两个圆化为标准方程可得，， 圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 圆心距， 因为两圆的公切线恰好有2条， 所以两圆相交，则，解得. 故选：B 【点睛】若两圆相离,则有4条公切线；若两圆外切,则有3条公切线(两外切,一内切)；两圆相交,则有2条公切线(外切)；若两圆内切,则有1条公切线；若两圆内含,则有0条公切线. 7. 设，两直线与垂直，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为直线与垂直， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 8. 将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m，n)也重合，则m+n的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知A与点B关于直线l对称，可求出直线l方程，C与点D也关于直线l对称，可得CD中点在直线l上，且kCD=-，即可求出结果. 【详解】根据题意不妨设点A与点B关于直线l对称，则点C与点D也关于直线l对称. 易知kAB=-，所以直线l的斜率为2，又易知AB的中点坐标为(2，1)， 则直线l的方程为y-1=2(x-2)，即y=2x-3， 因为CD中点在直线l上，且kCD=-， 所以可列方程组为解得所以m+n=. 故选：A 【点睛】本题考查了点关于点的对称直线，考查了计算能力，属于一般题目. 二、多选题（共3题，共18分） 9. （多选）已知两点到直线的距离相等，则实数的值可以是（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】AB 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式可得关于的方程，进而可求出实数的值. 【详解】解：由题意得，解得或3. 故选:AB. 【点睛】本题考查了点到直线距离公式的应用，属于基础题. 10. 已知圆，圆，圆，圆，直线，则（ ） A. 与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B. 与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C. 过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D. 与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据几何关系确定，A正确，，B正确，根据抛物线定义知C正确，确定，得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是双曲线的一支，正确； 对选项B：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是椭圆，正确； 对选项C：设圆心为，半径为，故到定点和定直线的距离相等为， 圆心轨迹是抛物线，正确； 对选项D：设圆心为，半径为，则，，故， 在两圆外，圆心轨迹是两条射线，错误； 故选：ABC. 11. 直线和圆交于点和，且的面积为整数，则所有满足要求的正整数的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，利用点线距离公式与圆的弦长公式，得到的面积关于的表达式，再判断检验即可得解. 【详解】直线，即， 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 则弦长， 故的面积为， 令，得， 又为正整数，所以的可能取值为， 当时，，不为整数， 当时，，为整数， 当时，，不为整数， 当时，，不为整数， 当时，，不为整数， 当时，，为整数， 所以只有或时，满足要求，即AD正确，BC错误. 故选：AD. 三、填空题（共3题，共15分） 12. 倾斜角为，在轴上截距为的直线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线的倾斜角求出斜率，然后直接由直线方程的斜截式得答案． 【详解】因为， 所以所求直线的斜率为， 又直线在轴上的截距为， 由直线方程的斜截式得：， 化为一般式得：． 故答案为：． 13. 在平行六面体中，，，，，则________. 【答案】. 【解析】 【分析】 在平行六面体中，利用对角线向量，利用向量的平方等于向量模的平方，结合向量数量积的运算律求得结果. 【详解】由平行六面体的特征可知， 所以 ， 所以， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关空间向量的问题，涉及到的知识点有空间向量的运算，空间向量的平方等于向量模的平方，向量数量积的运算法则，属于简单题目. 14. 直线的斜率为，若，则直线的倾斜角的范围是__. 【答案】，， 【解析】 【分析】利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】解：直线的斜率为，倾斜角为，， 所以，又， 所以，，. 故答案为：，，. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在的直线方程． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个圆的方程，作差得出直线AB的方程. 【详解】两圆与相交于、两点， 两圆的方程作差可得 ， 所以公共弦所在的直线方程为：. 16. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且∠ABC，AB＝2，PA⊥平面ABCD． （1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC⊥平面QBD． （2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为时，求PA的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是一个菱形，∴AC⊥BD， 又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD， 又AC∩PA=A，则BD⊥平面PAC， ∵BD在平面QBD内， ∴平面PAC⊥平面QBD； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明BD⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设P(0,1,a)（a>0），求出平面PBC与平面PDC的法向量，利用向量夹角公式建立关于a的方程，解出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设AC，BD交于点O，分别以OB，OC所在直线为x轴，y轴，以平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设P(0,1，a)(a>0)， 则， 设平面PBC的一个法向量为， 则，则， 同理可求平面PDC的一个法向量为， ∴，解得a2=2， ∴． 【点睛】本题考查了面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查了计算能力，属于中档题． 17. 已知 （1）求与方向相同的单位向量； （2）若与单位向量垂直，求，. 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据已知向量除以模长得出单位向量； （2）应用垂直坐标表示及模长公式列式求解即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ∵，， ∴，． 联立解得或． 18. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点． （1）求证：D1F∥平面BDE； （2）求直线D1E与平面BDE所成角的正弦值； （3）求直线D1F与平面BDE之间的距离． 【答案】（1）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形， AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点． ∴D1F∥BE， ∵D1F⊄平面BDE，BE⊂平面BDE， ∴D1F∥平面BDE； （2） ； （3） ． 【解析】 【分析】（1）推导出D1F∥BE，由此能证明D1F∥平面BDE； （2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1E与平面BDE所成角的正弦值； （3）由D1F∥平面BDE，（0，0，2），平面DBE的法向量（1，﹣1，1），利用向量法能求出直线D1F与平面BDE之间的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 则D1（0，0，2），F（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），E（0，1，1）， （0，1，﹣1），（1，1，0），（0，1，1）， 设平面DBE的法向量（x，y，z）， 则，取x＝1，得（1，﹣1，1）， 设直线D1E与平面BDE所成角为， 则sin． ∴直线D1E与平面BDE所成角的正弦值为． 【小问3详解】 ∵D1F∥平面BDE，（0，0，2），平面DBE的法向量（1，﹣1，1）， ∴直线D1F与平面BDE之间的距离为： d． 19. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且，侧棱，D，E分别是，的中点． （1）求直三棱柱的体积（用字母a表示）； （2）若点E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G， ①求直线EB与平面ABD所成角的余弦值； ②求点到平面ABD的距离 【答案】（1）；（2）①；②． 【解析】 【分析】 （1）直接由体积公式计算； （2）取的中点，连接，得是矩形，由是的重心，平面，求出， ①是直线与平面所成的角，在直角三角形中计算可得； ②由点到平面ABD的距离等于点到平面ABD的距离可得． 【详解】（1）由题意； （2）如图，取的中点，连接， 由，，是中点得，， 由直三棱柱可得是矩形，设，则，．，是的重心，则，， 又平面，平面，∴， ∴，即，解得， ∴， ①由平面，知是直线与平面所成的角， ，， ∴， ∴． ②∵，平面，面，∴面， ∴点到平面ABD的距离等于点到平面ABD的距离为． 【点睛】关键点点睛：本题考查求棱柱的体积，求直线与平面所成的角及点到平面的距离．本题关键是由点E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G求出，然后根据直线与平面所成角的定义得出这个角后计算即可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $