精品解析：山东省烟台市招远市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期第一学段测试 初三数学试题 说明：1考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 将分解因式，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 为了了解某班级学生2024年10月10日参加体育锻炼的情况，从该班级学生中随机抽取7名学生进行调查，经统计，他们这天体育锻炼时间（单位：分钟）分别为，，，，，，，这组数据的众数是（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 4. 若，则（ ）中的数是（ ） A. B. C. D. 任意实数 5. 若一组数据，，，，的中位数和平均数相等，则的值为（ ） A. 0 B. 5 C. D. 0或5 6. 把多项式□分解因式的结果为，则“□”中的数为（ ） A. B. C. 8 D. 16 7. 如果不等式的解集在数轴上表示如图，那么关于的取值说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 新华书店举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某天售书情况如表所示： 售价 3元 4元 5元 6元 数目 140本 110本 100本 150本 下列说法正确的是（ ） A. 这天所售图书的总收入是2260元 B. 这天所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4元 C. 这天所售图书价格组成的一组数据中，众数是150本 D. 这天所售图书价格组成的一组数据中，平均数是565元 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 某天，“包子客餐厅”的包子打8折出售，小明的妈妈去该店买包子花了48元钱，比平时多买了3个．求平时每个包子卖多少元？设平时每个包子卖元，列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 分式的值为，则的值为______． 12. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：______． 13. 某校规定：学生的平日测试、期中测试、期末测试三项成绩分别按、、的比例计入学期总评成绩．小明平日测试、期中测试、期末测试的数学成绩依次是90分，92分，95分，则小明这学期的数学总评成绩为______分． 14. 对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为______． 15. 若：，则分式的值为______． 16. 若关于的分式方程无解，则的值为______． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 把下列各式分解因式： （1） （2） （3）． 18. 解方程 （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 20. 小皮的寒假社会实践任务是调查某车间每个工人的日均生产能力，他想用条形统计图来反映这个调查成果，并进行数据分析． （1）以下排乱的统计步骤：①将每个工人的日均生产件数整理成统计表；②通过访谈记录下每个工人的日均生产件数；③利用统计图分析该工厂数据；④按统计表的数据绘制成统计图． 正确的统计步骤应该是______． （2）小皮按照正确统计步骤绘制出如下统计图． ①求出这16名工人日均生产件数的平均数、中位数、众数． ②若要使超过75%的工人都能完成任务，应选①中的哪个统计量作为日生产件数的定额？ 21. 参考某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 则 ， 请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解． （1）； （2）． 22. “一题多解”能够培养和锻炼发散思维，在我们解决问题时思路会朝着各种可能的方向扩散，从而灵活的得到创新性的方法．先阅读下列解法，再解答后面的问题： 已知：，求、的值 解法一： 右边整理为： 所以可得：，即，解之得： 解法二： 当时，原等式整理为：，即： 当时，原等式整理为：，即： 所以：即，解之得： 请认真学习材料中的方法，解决下列两个问题．要求两个解法都要用到：若（1）题用解法一，那么（2）题要用解法二；或者（1）题用解法二，那么（2）题要用解法一． （1）若：，请求出：、的值； （2）若：，请求出：、的值 23. 如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空 ； 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： ； 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解： 尝试运用：例题把多项式因式分解： ； 请依次解决下列问题： （1）将“观察猜想”，“说理验证”的括号内序号处填上相应的内容； （2）利用上述方法因式分解：； （3）利用上述方法因式分解：． 24. 聊城市某党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用600元购买乙种树苗的棵数恰好与用480元购买甲种树苗的棵数相同. （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？ （2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过2000元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？ 25. 阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，求的值； （3）拓展：已知，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期第一学段测试 初三数学试题 说明：1考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义判断即可．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：A．不是分式，故选项不符合题意； B．不是分式，故选项不符合题意； C．是分式，故选项符合题意； D．不是分式，故选项不符合题意； 故选：C． 2. 将分解因式，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 3. 为了了解某班级学生2024年10月10日参加体育锻炼的情况，从该班级学生中随机抽取7名学生进行调查，经统计，他们这天体育锻炼时间（单位：分钟）分别为，，，，，，，这组数据的众数是（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数，众数是指一组数据中出现次数最多的数据．根据众数的定义求解即可． 【详解】解：在，，，，，，中，出现次数最多的是， ∴这组数据的众数是， 故选；B． 4. 若，则（ ）中的数是（ ） A. B. C. D. 任意实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行计算． 把和两个式子相加即可． 【详解】解： = = 所以（ ）中的数是， 故选B． 5. 若一组数据，，，，的中位数和平均数相等，则的值为（ ） A. 0 B. 5 C. D. 0或5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数和中位数．求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数．同时运用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：当时，数据排序为0，1，4，4，11，中位数为4， 平均数为，则符合题意； 当时，数据排序为1，4，4，5，11，中位数为4， 平均数为，则不符合题意； 当时，数据排序为，1，4，4，11，中位数为4， 平均数为，则不符合题意； 故选：A． 6. 把多项式□分解因式的结果为，则“□”中的数为（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义成为解题的关键． 先将展开，然后与已知多项式对比即可解答． 【详解】解：， ∵多项式□分解因式的结果为， ∴□， ∴“□”中的数为8． 故选C． 7. 如果不等式的解集在数轴上表示如图，那么关于的取值说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴上表示不等式的解集，解分式方程，掌握不等式的性质，求不等式解集的方法，解分式方程的方法，数轴表示不等式解集的方法是解题的关键． 根据不等式的性质可得，由图示可得，即不等号的方向改变，则有当时，，所以有，解分式方程并检验根，由此即可求解． 【详解】解：， 不等式两边同时减去6得，， 根据图示可得，， ∴不等号的方向改变， ∴，即当时，， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为0，有意义， ∴， 故选：D ． 8. 新华书店举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某天售书情况如表所示： 售价 3元 4元 5元 6元 数目 140本 110本 100本 150本 下列说法正确的是（ ） A. 这天所售图书的总收入是2260元 B. 这天所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4元 C. 这天所售图书价格组成的一组数据中，众数是150本 D. 这天所售图书价格组成的一组数据中，平均数是565元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数及平均数，熟练掌握定义是解题关键． 把所有数据相加可对A进行判断；利用中位数和众数的定义对B、C进行判断；利用平均数的计算公式计算平均数即可判断D． 【详解】解：该班级所售图书的总收入为（元），故A选项正确； 第250个数为4，第251个数为5， 所以这组数据的中位数为，故B选项错误； ∵这组数据6元出现15次，出现次数最多， ∴这组数据的众数为6，故C选项错误； ∴这组数据的平均数为，故D选项错误． 故选：A． 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用公式法分解因式、有理数的乘方．首先把等式的左边分解因式可得：，从而可得，然后整体代入求值即可． 【详解】解： 整理得：， 分解因式可得：， ， ． 故选：C． 10. 某天，“包子客餐厅”的包子打8折出售，小明的妈妈去该店买包子花了48元钱，比平时多买了3个．求平时每个包子卖多少元？设平时每个包子卖元，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设平时每个包子卖x元，根据数量=总价÷单价结合花了48元钱比平时多买了3个，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设平时每个包子卖x元， 依题意，得：． 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 分式的值为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为；掌握分式为零的条件是解答本题的关键． 根据若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为进行解答即可． 【详解】解：分式的值为， 且， 且， 故答案为：． 12. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：______． 【答案】(答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查多项式的因式分解．根据提取公因式、平方差公式或完全平方公式等知识解答即可． 【详解】解：∵一个多项式，把它因式分解后有一个因式为， 设另一个因式为， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 某校规定：学生的平日测试、期中测试、期末测试三项成绩分别按、、的比例计入学期总评成绩．小明平日测试、期中测试、期末测试的数学成绩依次是90分，92分，95分，则小明这学期的数学总评成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解本题的关键．小明这学期的体育总评成绩为平时测试、期中测试、期末测试的成绩与其对应百分比的乘积之和． 【详解】解：小明这学期的体育总评成绩为：（分）． 故答案为：． 14. 对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 由题意给出的定义新运算可得，然后利用提公因式法及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15. 若：，则分式的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了异分母的分式的加法，整体代入值求代数式的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键，将左边进行通分，得到，整理成，可知，将代入即可求得答案． 【详解】解： 故答案为：． 16. 若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，熟知分式方程无解的两种情形是解题的关键．分式方程无解分两种情况，一是化为整式方程，该整式方程无解，二是方程有增根，据此分两种情况求解即可． 【详解】解：方程两边都乘，得，， 即， 当时，这个方程无解，此时， 关于的分式方程有增根， 或，即或， 当时，代入，得，此方程无解， 当时，代入，得，解得， 综上所述，的值是或， 答案为：或． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 把下列各式分解因式： （1） （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式，即可分解因式； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式，即可分解因式； （3）利用平方差公式和完全平方公式，即可分解因式． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式． ． 18. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程，进而解方程即可求解，最后要检验； （2）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程，进而解方程即可求解，最后要检验. 本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 【小问1详解】 解：方程两边都乘，得： 解得： 检验：当时时， 所以是原分式方程的增根，舍去 原分式方程无解； 【小问2详解】 解：方程两边都乘，得： 解得： 检验：当时， 所以是原分式方程的根 原分式方程的解为 19. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、分式的化简求值．首先解不等式组求出不等式组的解集为，可知不等式组的整数解是，再把分式化简可得：原式，把代入化简后的代数式中计算求值即可． 【详解】解： 解不等式得：； 解不等式得：； 不等式组的解集为：， 又取整数， ， ， 当时， 原式． 20. 小皮的寒假社会实践任务是调查某车间每个工人的日均生产能力，他想用条形统计图来反映这个调查成果，并进行数据分析． （1）以下排乱的统计步骤：①将每个工人的日均生产件数整理成统计表；②通过访谈记录下每个工人的日均生产件数；③利用统计图分析该工厂数据；④按统计表的数据绘制成统计图． 正确的统计步骤应该是______． （2）小皮按照正确统计步骤绘制出如下统计图． ①求出这16名工人日均生产件数的平均数、中位数、众数． ②若要使超过75%的工人都能完成任务，应选①中的哪个统计量作为日生产件数的定额？ 【答案】（1）②①④③ （2）①平均数12.625，中位数12.5，众数12；②选择众数有13人能完成任务，作为日生产件数的定额能满足条件． 【解析】 【分析】(1)根据统计步骤即可解答； (2)①平均数=加工零件总数÷总人数，中位数是将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数就是中间两个数的平均数，众数是指一组数据中出现次数最多的数据； ②应根据平均数、中位数和众数和本题的75%可知选择哪个统计量比较合适． 【小问1详解】 解：正确的统计步骤为：②①④③． 故答案为：②①④③； 【小问2详解】 解：①平均数：； 将这组数据从小到大排列第8、9个数的平均数是中位数，第8个数为12，第9个数为13，故中位数为12.5； 12出现的次数最多，故众数为12； ②由①可知，选择众数有13人能完成任务，作为日生产件数的定额能满足条件． 【点睛】本题考查了做数据统计的步骤，平均数、众数、中位数的求法，根据众数做决策，从统计图中读取相关信息是解决本题的关键． 21. 参考某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 则 ， 请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查换元法的运用，公式法因式分解，掌握换元思想，公式法分解因式的方法是解题的关键． （1）运用换元法设，再运用完全平方公式因式分解即可； （2）方法一：设；方法二：设；再运用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：设， 则 ； 【小问2详解】 解：方法一：设， 则 ； 方法二：设， 则 ． 22. “一题多解”能够培养和锻炼发散思维，在我们解决问题时思路会朝着各种可能的方向扩散，从而灵活的得到创新性的方法．先阅读下列解法，再解答后面的问题： 已知：，求、的值 解法一： 右边整理为： 所以可得：，即，解之得： 解法二： 当时，原等式整理为：，即： 当时，原等式整理为：，即： 所以：即，解之得： 请认真学习材料中的方法，解决下列两个问题．要求两个解法都要用到：若（1）题用解法一，那么（2）题要用解法二；或者（1）题用解法二，那么（2）题要用解法一． （1）若：，请求出：、的值； （2）若：，请求出：、的值 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法与乘法运算、二元一次方程组的应用，读懂阅读材料中的两种解法是解题关键． （1）解法一：等式右边通分，去括号化简可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组即可得；解法二：分别取和可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组即可得； （2）解法一：等式右边通分，去分母，去括号化简可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组即可得；解法二：分别取和可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组即可得． 【小问1详解】 解：解法一： 右边整理为： ， 所以可得：， 即， 解之得：； 解法二： 当时，原等式整理为：，即：， 当时，原等式整理为：，即：， 所以：即，解之得：； 【小问2详解】 解：解法一： 右边整理为： ， 所以可得：， 即， 解之得：； 解法二： 当时，原等式整理为： 当时，原等式整理为： 所以：即， 解之得：． 23. 如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空 ； 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： ； 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解： 尝试运用：例题把多项式因式分解： ； 请依次解决下列问题： （1）将“观察猜想”，“说理验证”的括号内序号处填上相应的内容； （2）利用上述方法因式分解：； （3）利用上述方法因式分解：． 【答案】（1）①，②（①、②两处内容可以互换），③，④，⑤，⑥（⑤、⑥两处内容可以互换） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、整式的乘法与图形面积，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）观察猜想：根据三个小长方形和一个小正方形的面积之和等于大长方形的面积即可得①和②；说理验证：根据提取公因式的方法分解因式即可得③④⑤⑥； （2）将改写成，参考“说理验证”的方法分解因式即可得； （3）将改写成，参考“说理验证”的方法分解因式即可得． 【小问1详解】 解：观察猜想：∵三个小长方形和一个小正方形的面积之和等于大长方形的面积， ∴， 说理验证： ， 故答案为：①，②（①、②两处内容可以互换），③，④，⑤，⑥（⑤、⑥两处内容可以互换）． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 24. 聊城市某党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用600元购买乙种树苗的棵数恰好与用480元购买甲种树苗的棵数相同. （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？ （2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过2000元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？ 【答案】(1) 40元， 50元;(2) 14棵. 【解析】 【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用600元购买乙种树苗的棵数恰好与用480元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可； （2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过2000元，列出不等式求解即可． 【详解】解：(1)设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是（+10）元，依题意有 ， 解得：x=40． 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意. ∴x+10=40+10=50． 答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是50元． （2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有 40×（1﹣10%）（50﹣y）+50y≤2000， 解得y≤， ∵y为整数， ∴y最大为14． 答：他们最多可购买14棵乙种树苗． 【点睛】此题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于列出方程 25. 阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，求的值； （3）拓展：已知，，，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． 根据可得，根据求出的值，可得； 仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； 仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【小问1详解】 解：，可知， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，可知， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，，，可知，，， ，，， ，，， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $