精品解析：辽宁省葫芦岛市兴城市2024-2025学年九年级上学期11月阶段测试数学试卷

2024—2025学年度第一学期九年级学情反馈 数 学 试 卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 参考公式：抛物线（）顶点坐标为 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断即可． 【详解】解：一元二次方程根的判别式为， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．根据“如果一个平面图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线是它的对称轴；把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做旋转中心”，判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形而不是轴对称图形； B、是中心对称图形而不是轴对称图形； C、是轴对称图形而不是中心对称图形； D、既是轴对称图形也是中心对称图形； 故选：D． 3. 若点与关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横、纵坐标都护卫相反数，求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：点与关于原点对称， ，， ， 故选：C． 4. 一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，设所围的羊舍与墙平行的边长为，则根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设所围的羊舍与墙平行的边长为，根据长方形的面积公式可得方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设所围的羊舍与墙平行的边长为，根据题意可得方程为： ， 故选：B． 5. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，理解旋转的性质是解题的关键．利用旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，且点共线， ， ∴． 故选：． 6. 在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象的综合判断，根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：当时，，则抛物线过原点，故选项B不符合题意， A、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，抛物线中，，，即，一致，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．令，求出y的值，即得出图象与y轴交点的坐标可判断A；由顶点式可直接得出对称轴是直线，顶点坐标为，可判断B和C；由，对称轴是直线，可得出当时，y随x的增大而增大，可判断D． 【详解】解：对于，令，则， ∴图象与y轴交点的坐标是，故A选项错误，不符合题意； 由二次函数解析式为，可直接得出对称轴是直线，顶点坐标为，故B选项错误，不符合题意、C选项正确，符合题意； ∵， ∴该抛物线开口向下． 又∵对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D选项错误，不符合题意． 故选C． 8. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】连接， ，分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【详解】 或 解得或 ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴． ∴方程的正数解是线段的长． 故选：C． 10. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解． 【详解】解：连接交于点， 依题得：米，，米， 设，即， 中，， 即， 解得， 即米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米． 故选：． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题；每小题3分，共15分） 11. 若是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键是熟练的掌握一元二次方程根的性质，整体代入法求代数式的值，是解题的关键． 根据方程根的定义，得出，把原式变形即可得出答案． 【详解】∵是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 12. 如图是某座抛物线形的廊桥示意图．抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，仔细观察图形并理解题意，准确建立并求解方程是解题关键．根据题意可知、两点是关于轴对称的，且纵坐标都为，则代入解析式可分别求解出两点的横坐标，从而计算出的长度． 【详解】解：由题意得，、两点是关于轴对称，纵坐标都为，代入解析式，得 ，解得：，， ∴米， 故答案为：． 13. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据，可得，然后根据三角形的内角和定理求出，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是的内接四边形，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 用破损量角器按如图方式测量的度数，让的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为，则的度数为 ___________． 【答案】140°##140度 【解析】 【分析】先抽象出几何图形，然后应用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可解答． 【详解】解：连接，设⊙O的直径为，如图： 由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，根据题意抽象出图形是解题关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴正半轴上，是边长为的等边三角形，点，分别在边和上，是边长为的等边三角形．现将绕点顺时针旋转，得到，旋转角为，点，的对应点分别是点和，连接，，若点，分别是，的中点，连接，，，得，设的面积是，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，先证明，进而证明，进而得出是等边三角形，延长至，使，连接，过作于点，可推出，四边形是平行四边形，从而，由三角形三边关系，进一步得出结果，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形及熟练掌握知识点的应用． 【详解】和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 延长至，使，连接，过作于点， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的实数根． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的加减，分式的有意义，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程，分式的加减运算法则是解题的关键； （1）根据配方法解一元二次方程求解即可； （2）先化简分式，再根据因式分解法解一元二次方程，根据分式的有意义即可确定a的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：原式 ， ， ， 解方程，得， 是一元二次方程的实数根，， ， 原式 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，. （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，画出，并写出点的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标. 【答案】（1）如图见解析；；（2）如图见解析；；（3）. 【解析】 【分析】（1）分别将OA、OB、OC绕O点逆时针旋转90°，得到A1、B1、C1,然后连接，最后直接读出C1坐标即可. （2）分别将A1、B1、C1向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到A2、B2、C2, ,然后连接，最后直接读出C2坐标即可. （3）连接A A2, B B2然后分别作它们的垂直平分线，垂直平分线的交点即为旋转中心，写出坐标即可. 【详解】解： （1）图如下： ； （2）图如下： . （3）如图：点E为旋转中心，坐标为. . 【点睛】本题主要考查了旋转变换，寻找旋转后的对应点和确定旋转中心是解答本题的难点. 18. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象与性质． … … … … （1）列表，写出表中和的值：________，________；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． （2）观察函数图象，回答下列问题： ①函数有最________值，是________； ②当自变量的取值范围是________时，函数的值随自变量的增大而增大． （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集是________． 【答案】（1）；；补全函数图象见解析 （2）①小；；② （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象和性质，函数与不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）把对应的的值代入即可求出值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象； （2）观察图象即可判断； （3）找出函数的图象比函数的图象低时对应的的范围即可． 【小问1详解】 解：当时，； ， 当时，， 补全函数图象，如图所示； 故答案为：； 【小问2详解】 ①观察图象可知，当时，函数有最小值，最小值为； 故答案为：小，； ②观察图象可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； 故答案为：； 【小问3详解】 不等式是指的图象比函数的图象低， 因此观察图象，即可得到的解集为：或； 故答案为：或 19. 如图，一圆弧形桥拱圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米． 求： （1）桥拱的半径； （2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度． 【答案】（1）桥拱的半径为50米； （2）水面上涨的高度为10米． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用． （1）根据垂径定理和勾股定理求解； （2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可． 【小问1详解】 解：如图1， 设圆半径是r， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； 【小问2详解】 解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 20. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克利润元时，每天可售出千克，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，市场调研发现若每千克每涨价元，每天销售量就会减少千克，设每千克涨价为元，若使商场每天的利润最大，则每千克应涨价多少元？此时每天的最大利润是多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）若使商场每天的利润最大，则每千克应涨价元，此时每天的最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设每次下降的百分率为，根据题意列出方程即可求解； （2）根据题意列出关于的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 每次下降的百分率为； 【小问2详解】 设每千克涨价为元， 由题意得： ， 当时，取得最大值，最大值为元， 答：若使商场每天的利润最大，则每千克应涨价元，此时每天的最大利润是元． 21. 如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，点为的下面半圆的中点，连接交于，若． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，由，可得，根据，推出，根据垂径定理可得，推出，即可证明； （2）由，可得，设半径为，则，在中，根据勾股定理求出，进而求出，最后根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， 点为的下面半圆的中点，， ，即， ， ，即， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， 设半径为，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ， ． 22. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）； ①平行四边形；②正方形；③有一个角为的菱形；④有一个角为直角的任意凸四边形． （2）如图1，图2均为的正方形网格，点，，均在格点上，请在图中标出格点，并连接，，使得四边形符合下列要求：图1中的四边形是勾股四边形，并且是中心对称图形；图2中的四边形是勾股四边形且对角线相等，但不是中心对称图形； （3）如图3，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结、，，求证：四边形是勾股四边形； （4）如图4，等腰，，，点是延长线上的一点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，再将绕点逆时针方向旋转得到，连接，交于点，连接，若，时，求的长度． 【答案】（1）②④ （2）见解析 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据勾股四边形的定义逐一判断即可； （2）由于，要使四边形是勾股四边形，并且是中心对称图形，则四边形为矩形，点使得四边形为矩形即可求解；由于，要使四边形是勾股四边形，但不是中心对称图形，只要取的点不构成中心对称图形即可； （3）连接，由旋转知，，得到，，推出是等边三角形，得到，，推出，则，推出，即可证明； （4）连接，由旋转知，，结合，，可证明，得到，，推出，根据将绕点逆时针方向旋转得到，可得，，推出，可证明，得到，进而得到，最后根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：勾股四边形是②正方形，④有一个角为直角的任意凸四边形， 故答案为：②④； 【小问2详解】 如图1，四边形即为所求， 如图2，四边形即为所求； 【小问3详解】 如图3，连接， 由旋转知，， ，， 旋转角， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， 又，， ， 即四边形是勾股四边形； 【小问4详解】 如图4，连接， 由旋转知，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 将绕点逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 23. 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． （1）直线上的“友好点”坐标为________； （2）若“友好二次函数”的图象与直线的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； （3）若二次函数是“友好二次函数”，点，，抛物线的对称轴与交于点； ①当时，点在线段上，设点的横坐标为，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 【答案】（1） （2）这个“友好二次函数”的表达式为或 （3）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是理解题意，掌握“友好二次函数”和“友好点”的定义． （1）根据友好点”的定义求解即可； （2）根据题意可得该二次函数顶点坐标为，由是“友好二次函数”，可得，再求出的图象与直线的交点坐标，再根据“友好点”的定义可得，联立，求出、即可求解； （3）根据“友好二次函数”定义求出该二次函数的解析式为．①当时，，，得到，设，则，得到，，进而得到，分当时，当时，两种情况即可求解；②先求出该二次函数的顶点坐标为，在直线上运动，当时，与抛物线只有一个交点，当运动到点上方且在点下方时，与抛物线只有一个交点，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， ， 直线上的“友好点”坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 是“友好二次函数”，其顶点坐标为， ，整理得：， 又的图象与直线的交点是“友好点”， 其交点为， 则，整理得：， 联立， 解得：或， 这个“友好二次函数”的表达式为或； 【小问3详解】 二次函数是“友好二次函数”，其顶点坐标为， ， 解得：， 该二次函数的解析式为； ①当时，，， ， 设，则， ，， ， 当时，， 当时，， 综上，； ②二次函数的解析式为， 顶点坐标为， 如图2，在直线上运动，当时，与抛物线只有一个交点，当运动到点上方且在点下方时，与抛物线只有一个交点， 当时，，当时，， ，， 当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期九年级学情反馈 数 学 试 卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 参考公式：抛物线（）顶点坐标为 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点与关于原点对称，则的值为（ ） A 1 B. C. 5 D. 4. 一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，设所围的羊舍与墙平行的边长为，则根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（ ） A. B. C D. 7. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 10. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题；每小题3分，共15分） 11. 若是方程的一个根，则的值为_______． 12. 如图是某座抛物线形的廊桥示意图．抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是______米． 13. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为________． 14. 用破损量角器按如图方式测量的度数，让的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为，则的度数为 ___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴正半轴上，是边长为的等边三角形，点，分别在边和上，是边长为的等边三角形．现将绕点顺时针旋转，得到，旋转角为，点，的对应点分别是点和，连接，，若点，分别是，的中点，连接，，，得，设的面积是，则的取值范围为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的实数根． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，. （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，画出，并写出点的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标. 18. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象与性质． … … … … （1）列表，写出表中和的值：________，________；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． （2）观察函数图象，回答下列问题： ①函数有最________值，是________； ②当自变量的取值范围是________时，函数的值随自变量的增大而增大． （3）已知函数图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集是________． 19. 如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米． 求： （1）桥拱的半径； （2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度． 20. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克利润元时，每天可售出千克，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，市场调研发现若每千克每涨价元，每天销售量就会减少千克，设每千克涨价为元，若使商场每天的利润最大，则每千克应涨价多少元？此时每天的最大利润是多少元？ 21. 如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，点为的下面半圆的中点，连接交于，若． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 22. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）； ①平行四边形；②正方形；③有一个角为的菱形；④有一个角为直角的任意凸四边形． （2）如图1，图2均为的正方形网格，点，，均在格点上，请在图中标出格点，并连接，，使得四边形符合下列要求：图1中的四边形是勾股四边形，并且是中心对称图形；图2中的四边形是勾股四边形且对角线相等，但不是中心对称图形； （3）如图3，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结、，，求证：四边形是勾股四边形； （4）如图4，等腰，，，点是延长线上的一点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，再将绕点逆时针方向旋转得到，连接，交于点，连接，若，时，求的长度． 23. 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． （1）直线上的“友好点”坐标为________； （2）若“友好二次函数”的图象与直线的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； （3）若二次函数是“友好二次函数”，点，，抛物线的对称轴与交于点； ①当时，点在线段上，设点的横坐标为，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $