专题08 三角恒等变式（7基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题08 三角恒等变式 同角三角函数关系求值 1．（23-24高二下·四川凉山·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（23-24高一上·四川雅安·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川成都·期末）（多选）已知，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·四川绵阳·期末）已知角的终边在第一象限，，则 ． 7．（23-24高一上·四川泸州·期末）在中，已知， (1)求的值； (2)求的值． 两角和与差公式的应用 8．（23-24高一下·四川达州·期末）下列计算不正确的是（    ）． A． B． C． D． 9．（22-23高一下·四川巴中·期末）的值为（    ） A． B． C．0 D． 10．（21-22高一下·四川成都·期末）等于（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高一下·四川成都·期末）（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·四川成都·期末）（多选）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高一下·四川成都·期末）（多选）下列选项中，与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一下·四川成都·期末）（多选）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 二倍角公式的应用 15．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·四川成都·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·四川·期末）已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 19．（23-24高一上·四川宜宾·期末）角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知，则 ． 21．（22-23高一下·四川成都·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 辅助角公式及应用 23．（22-23高一下·四川绵阳·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 24．（21-22高一下·四川成都·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二下·四川达州·期末）（多选）已知，则（    ） A．函数的周期为 B．曲线关于直线对称 C．函数在上单调递增 D． 26．（21-22高一下·四川泸州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·四川德阳·期末）若函数的最大值为，则实数 ． 三角函数给角求值 28．（23-24高一下·四川成都·期末）求值（    ） A． B． C．1 D． 29．（23-24高一下·四川内江·期末）下列式子计算结果为的有（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·四川成都·期末） ． 31．（22-23高一下·四川成都·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高一下·四川·期末）（    ） A． B．1 C． D．2 33．（20-21高一下·四川南充·期末）______. 34．（23-24高二上·四川成都·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 三角函数给值求值 35．（22-23高一下·四川凉山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 36．（22-23高一下·四川凉山·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一下·四川成都·期末）已知角，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 39．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知是函数的一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 40．（22-23高一下·四川成都·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 41．（22-23高一下·四川内江·期末）在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，，则（    ） A． B． C． D． 42．（22-23高一下·四川遂宁·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 43．（22-23高一下·四川成都·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 44．（22-23高一下·四川达州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高二上·四川成都·期末）已知锐角，满足，， 则的值为 . 46．（23-24高一下·四川眉山·期末）函数.若两相邻对称轴之间的距离为. (1)求的单调增区间； (2)若，，求. 三角函数中给值求角 47．（23-24高一·四川成都·期末）已知，为锐角，且，，则 ． 48．（23-24高一下·四川内江·期末）已知，是方程的两个根，且，，则的值是 . 49．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知，，其中，则 . 50．（22-23高一下·四川成都·期末）已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 51．（22-23高一下·四川成都·期末）已知，. (1)求； (2)若，，求的值. 52．（21-22高一上·四川宜宾·期末）在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.已知，___________，. (1)求； (2)求. 三角恒等变式和三角函数性质综合 53．（22-23高一下·四川·期末）（多选）已知函数，，则正确的是（    ） A． B．是函数的零点 C．函数是非奇非偶函数 D．为图象的一条对称轴 54．（22-23高一下·四川德阳·期末）（多选）已知（    ） A．的最大值为 B．的最小正周期为 C．若在处取得最大值，且，则的取值范围为 D．若在处取得量大值，则关于的方程在无实数根 55．（22-23高一下·四川成都·期末）（多选）已知函数，则下列结论中正确的有（    ） A．函数解析式化简后为： B．的对称轴为， C．的对称中心为， D．的单调递增区间为， 56．（22-23高一下·四川泸州·期末）已知函数，． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数在上有零点，求实数a的取值范围． 57．（22-23高一下·四川宜宾·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值域. 58．（22-23高一下·四川德阳·期末）已知函数的最小正周期为. (1)求实数的值及的单调递增区间； (2)将的图象向左平移个单位后的图象关于直线对称，求实数的最小值. 59．（22-23高一下·四川自贡·期末）已知． (1)化简； (2)若，求． 60．（22-23高一下·四川绵阳·期末）已知函数. (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度后，再把横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象.若，且为锐角，，求的值. 61．（22-23高一下·四川成都·期末）已知函数的最大值为. (1)求实数的值和函数的对称中心； (2)将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的解，求实数m的取值范围. 三角恒等变式综合应用 62．（22-23高一下·四川南充·期末）已知函数的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的值； (2)证明：； (3)令，记方程，在上的根从小到大依次为，若，试求的值． 63．（22-23高一下·四川巴中·期末）已知函数在区间上的最大值为1. (1)求常数m的值； (2)当时，求函数的最小值，以及相应x的集合. 64．（22-23高一上·四川遂宁·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)若函数，若在上有最大值，求的取值范围. 65．（21-22高一下·四川眉山·期末）已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)若，且，求的值． 66．（21-22高一下·四川遂宁·期末）已知函数． (1)求函数的最小值，并写出当取最小值时x的取值集合； (2)若，，求的值． 67．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数，图象中相邻两条对称轴的距离为. (1)求函数的解析式和在区间的单调递增区间； (2)方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 新定义题 68．（22-23高一下·四川遂宁·期末）（多选）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则有（    ） A．函数的对称中心为 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，且，则圆心角为，半径为的扇形的面积为 69．（23-24高一下·四川·期末）在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Coversed或coversedsine），记作． (1)设函数，求函数的单调递减区间； (2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围． 70．（22-23高一下·四川·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的联合向量，同时称函数为向量的联合函数． (1)设函数，试求函数的联合向量的坐标； (2)记向量的联合函数为，当且时，求的值； (3)设向量，的联合函数为，的联合函数为，记函数，求在上的最大值． 71．（22-23高一下·四川成都·期末）已知函数的最小值为． (1)求函数的单调递减区间； (2)英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：（结果精确到小数点后4位，参考数据：，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角恒等变式 同角三角函数关系求值 1．（23-24高二下·四川凉山·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为，解得， 所以. 故选：D 2．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式和同角关系式计算． 【详解】由题意， 故选：B． 3．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】把化为，再利用齐次式进行弦化切代入求解. 【详解】 . 故选：D 4．（23-24高一上·四川雅安·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角公式，结合的范围求出，再利用二倍角公式计算即得. 【详解】由，得，由，得， 整理得，则有， 所以. 故选：C 5．（23-24高一上·四川成都·期末）已知，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用三角函数基本关系和完全平方公式、三角函数值的正负求解. 【详解】将平方得， 因为，所以， 因为，所以，，， 所以， 因为，所以， 根据解得， 所以. 故选：ACD. 6．（23-24高一下·四川绵阳·期末）已知角的终边在第一象限，，则 ． 【答案】 【分析】运用同角三角函数关系式，结合差角正弦计算即可. 【详解】角的终边在第一象限，的终边在x轴上方， 则， 则. 故答案为：. 7．（23-24高一上·四川泸州·期末）在中，已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系式求解即可； （2）利用诱导公式进行化简得原式，再结合（1）即可得答案. 【详解】（1）由，可得 因为，所以， 亦可得， 由，则， 解得. （2）原式． 两角和与差和二倍角公式的应用 8．（23-24高一下·四川达州·期末）下列计算不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别应用两角和差公式计算判断A，D，应用二倍角公式结合诱导公式计算判断B，C. 【详解】对于A：，A选项错误； 对于B：，B选项正确； 对于C：，C选项正确； 对于D：，D选项正确. 故选：A. 9．（22-23高一下·四川巴中·期末）的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦公式化简求得表达式的值. 【详解】 . 故选：B 10．（21-22高一下·四川成都·期末）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，逆用差角的余弦公式变形即得. 【详解】. 故选：C 11．（21-22高一下·四川成都·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用正切两角差公式即可求解. 【详解】∵ ， ∴ ， ； 故选：C. 12．（23-24高一下·四川成都·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据和差角公式即可求解A，根据二倍角公式即可求解BCD. 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，，B错误， 对于C，，C正确， 对于D，，D正确， 故选：ACD 13．（22-23高一下·四川成都·期末）下列选项中，与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A. 利用三角函数诱导公式求解判断； B.利用二倍角的正弦公式求解判断；C.利用两角和的余弦公式和二倍角的正弦公式求解判断；D.利用两角和的正切公式求解判断. 【详解】对于A， ，故正确； 对于B， ，故正确； 对于C， ，故错误； 对于D，因为，所以 ， 所以，故正确； 故选：ABD 14．（22-23高一下·四川成都·期末）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据两角和的正、余弦公式及诱导公式、同角三角函数关系化简即可求解. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：ACD. 二倍角公式的应用 15．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的范围，求的范围，再由，结合二倍角公式求即可. 【详解】因为，所以， 因为，又， 所以， 所以，又， 所以. 故选：B. 16．（23-24高一下·四川成都·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由二倍角公式即可求解. 【详解】由题意. 故选：D. 17．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式即可代入求解. 【详解】， 故选：D 18．（23-24高一下·四川·期末）已知，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系及诱导公式得到，结合平方关系求出，再由两角差的正弦公式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 即，即， 所以， 又，所以， 解得或（舍去）， 所以，即， 所以. 故选：B 19．（23-24高一上·四川宜宾·期末）角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义及正切的二倍角公式计算即可. 【详解】由三角函数的定义知， 所以根据正切的二倍角公式有. 故选：A 20．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据二倍角公式及诱导公式计算即可. 【详解】由， 所以. 故答案为：. 21．（22-23高一下·四川成都·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案. 【详解】， ， 且， 故选：D. 22．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换求出，再利用诱导公式及二倍角公式求解即得. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：C 辅助角公式及应用 23．（22-23高一下·四川绵阳·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数解析式化简，利用正弦函数的周期公式可得. 【详解】因为， 所以最小正周期. 故选：C 24．（21-22高一下·四川成都·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合和的正弦公式和辅助角公式即可求出. 【详解】因为，即， 即，即，所以. 故选：D. 25．（23-24高二下·四川达州·期末）已知，则（    ） A．函数的周期为 B．曲线关于直线对称 C．函数在上单调递增 D． 【答案】BCD 【分析】首先化解函数，再根据周期的公式判断A，以及利用代入的方法判断BC，根据周期计算函数值的和，判断D. 【详解】， A.函数的最小正周期，所以不是函数的周期，故A错误； B.，所以曲线关于直线对称，故B正确； C.当，则，函数在上单调递增，故C正确； D.因为函数的最小正周期为2，且， ，故D正确. 故选：BCD 26．（21-22高一下·四川泸州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和的余弦公式可得，即可求解. 【详解】 ， . 故选：C 27．（23-24高一下·四川德阳·期末）若函数的最大值为，则实数 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式变形后，求出其最大值，列方程可求出的值. 【详解】 （其中） 所以当时，取得最大值， 因为函数的最大值为， 所以，解得. 故答案为： 三角函数给角求值 28．（23-24高一下·四川成都·期末）求值（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式和辅助角公式化简即可. 【详解】因为； ； ， 所以 . 故选：D. 29．（23-24高一下·四川内江·期末）下列式子计算结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意利用诱导公式以及三角恒等变换分析求解. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确； 故选：BCD. 30．（23-24高一下·四川成都·期中） ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，代入题意运算求解即可. 【详解】因为， 则 ， 所以. 故答案为：. 31．（22-23高一下·四川成都·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用两角和的正切公式计算可得. 【详解】. 故选：C 32．（22-23高一下·四川·期末）（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系式、辅助角公式求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 33．（20-21高一下·四川南充·期末）______. 【答案】1 【分析】根据同角三角函数的基本关系与三角恒等变换化简求值即可 【详解】 故答案为：1 34．（23-24高二上·四川成都·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解. 【详解】 ， 故选：C 三角函数给值求值 35．（22-23高一下·四川凉山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对两边平方整理即可得答案. 【详解】因为， 两边平方得， 所以. 故选：B. 36．（22-23高一下·四川凉山·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式和倍角公式进行求解. 【详解】 . 故选：B 37．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法，以及三角函数的诱导公式和二倍角公式，即可求解. 【详解】令，则， 故， 故选：D. 38．（23-24高一下·四川成都·期末）已知角，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用拆角变换由和求得，再将拆角后展开，代入以上结论即得. 【详解】由， 因，代入可得，， 则. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查和（差）角公式在求解函数值上的应用，属于难题. 解题的关键在于两次拆角变换，①，利用题设求得；②，利用已知和所得结论求解. 39．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知是函数的一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】依题意，所以， 所以. 故选：B 40．（22-23高一下·四川成都·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，再根据两角和与差的三角函数公式，即可得出答案． 【详解】，， ，则， ． 故选：D． 41．（22-23高一下·四川内江·期末）在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义求出角的正弦值和余弦值，求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】因为点为角终边上一点，由三角函数定义可得，， 易知为第一象限角，不妨设， 因为，则，因为，则， 所以，， 所以，      . 故选：D. 42．（22-23高一下·四川遂宁·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对已知条件利用二倍角公式和同角三角函数的关系化简计算求出，然后利用两角差的正切公式可求得结果. 【详解】由，得， 所以，所以， 所以 . 故选：B 43．（22-23高一下·四川成都·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用余弦的倍角公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为， 则. 故选：B. 44．（22-23高一下·四川达州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，再由二倍角公式求出，，最后根据计算可得. 【详解】因为，所以， 又，， 所以，， 所以，， 所以 . 故选：D 45．（23-24高二上·四川成都·期末）已知锐角，满足，， 则的值为 . 【答案】 【分析】根据已知结合同角关系消去得，再根据二倍角公式化弦为切得，然后利用同角三角函数关系求得，然后代入计算可得. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 所以，即，又， 所以，又为锐角，解得，或（舍去）， 所以，所以. 故答案为： 46．（23-24高一下·四川眉山·期末）函数.若两相邻对称轴之间的距离为. (1)求的单调增区间； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换得，再利用正弦型函数的图象与性质求解； （2）由三角恒等变换求解． 【详解】（1）， 由两相邻对称轴之间的距离为，得周期，即， 所以， 由，可得， 所以的单调增区间为； （2）由，可得，所以， 因为，所以， 若，则，又，所以， 所以，所以， 所以. 三角函数中给值求角 47．（23-24高一·四川成都·期末）已知，为锐角，且，，则 ． 【答案】 【分析】先根据题目范围可得到的范围以及的值，再根据的范围求出，即可得出的值． 【详解】因为，且，， 所以，，． 故， 由于， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查给值求角问题的解法，解题关键是根据角度的范围计算恰当的三角函数值，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 48．（23-24高一下·四川内江·期末）已知，是方程的两个根，且，，则的值是 . 【答案】 【分析】结合根与系数关系可得，，进而可得，即可得解. 【详解】由根与系数关系可得，， 所以，， 又，， 所以，，， 则， 所以， 故答案为：. 49．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知，，其中，则 . 【答案】 【分析】利用两角差的余弦可求的值，故可求的值. 【详解】因为，故，而，故， 而，故，而， 故，故， 故， 而，故， 故答案为： 50．（22-23高一下·四川成都·期末）已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出和，可得； （2）根据求出，再根据角的范围可得结果. 【详解】（1）因为，所以，化简得， 因为，所以， 所以， 所以，， 所以. （2）由（1）知，，所以 所以，解得， 因为，，所以， 所以. 51．（22-23高一下·四川成都·期末）已知，. (1)求； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，即可解得的值； （2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角差的余弦公式求出的值，再结合角的取值范围可求得角的值. 【详解】（1）解：因为，由题意可得，解得. （2）解：因为，，则， 又因为，所以，， 故， 所以， ，因此，. 52．（21-22高一上·四川宜宾·期末）在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.已知，___________，. (1)求； (2)求. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）选①：根据题意利用二倍角公式和同角三角函数关系式，可求出，，从而利用正弦的和角公式即可求出的值； 选②：根据题意利用正切的二倍角公式可求出，从而根据同角三角函数关系式可求出，，然后利用正弦的和角公式即可求出的值； 选③：根据题意利用正弦，余弦的二倍角公式可求出，从而根据同角三角函数关系式，可求出，，然后利用正弦的和角公式即可求出的值； （2）根据，利用同角三角函数关系式，同时结合角的范围可求出，然后根据和差公式及凑角即可求出答案. 【详解】（1）选①：因为，所以， 因为，所以，所以. 所以. 选②：因为，所以， 所以，因为，所以，， 所以. 选③：因为，所以， 所以， 所以，因为，所以，， 所以. （2）由（1）知，，因为，，所以； 因为，所以， 又，所以，所以， 所以 ， 因为，所以. 三角恒等变式和三角函数性质综合 53．（22-23高一下·四川·期末）已知函数，，则正确的是（    ） A． B．是函数的零点 C．函数是非奇非偶函数 D．为图象的一条对称轴 【答案】ACD 【分析】由三角恒等变换将函数化简得，根据正弦型三角函数的值域、零点、奇偶性、对称性逐项判断即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 由于，故不是函数的零点，故B不正确； ，且，故函数是非奇非偶函数，故C正确； 由于，所以为图象的一条对称轴，故D正确. 故选：ACD. 54．（22-23高一下·四川德阳·期末）已知（    ） A．的最大值为 B．的最小正周期为 C．若在处取得最大值，且，则的取值范围为 D．若在处取得量大值，则关于的方程在无实数根 【答案】BD 【分析】利用辅助角公式化简函数即可求解最值可判断A；利用函数周期的性质判断B；利用正弦函数最值时的结论得，然后利用正切函数的值域求解m范围，判断C；利用极值点及方程消去m得，然后了解正切函数方程即可判断D. 【详解】，其中， 所以函数的最大值为，故选项A错误； 因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 根据周期函数的性质知，的最小正周期为，故选项B正确； 由函数在处取得最大值，所以， 即，所以， 因为，所以，所以，所以，故选项C错误； 由及知，，所以， 即，若，则， 所以，即，无解， 所以关于的方程在无实数根，故选项D正确. 故选：BD 55．（22-23高一下·四川成都·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（    ） A．函数解析式化简后为： B．的对称轴为， C．的对称中心为， D．的单调递增区间为， 【答案】ABD 【分析】根据题意利用三角恒等变换化简得，再结合三角函数性质逐项分析判断. 【详解】因为， 故A正确； 令，解得，， 所以的对称轴为，，故B正确； 令，解得，， 所以的对称中心为，，故C错误； 令，解得，， 所以的单调递增区间为，，故D正确； 故选：ABD. 56．（22-23高一下·四川泸州·期末）已知函数，． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数在上有零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二倍角公式降幂，由两角差的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后可求周期； （2）将题设转化为在上有解，确定在上的单调性，即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）因为     所以 （2）函数在上有零点，可转化为在上有解， 由（1）知，因为时，所以， 由图像与性质知，当，即时，单调递减， 当，即时，单调递增， 又，，， 故函数在上有零点时，则. 57．（22-23高一下·四川宜宾·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二倍角以及辅助角公式化简,即可由整体法求解单调区间， （2）根据得，即可结合正弦函数的单调性求解. 【详解】（1） 令， 所以， 所以的单调递增区间为， （2）因为，所以 ，所以 所以在上的值域为. 58．（22-23高一下·四川德阳·期末）已知函数的最小正周期为. (1)求实数的值及的单调递增区间； (2)将的图象向左平移个单位后的图象关于直线对称，求实数的最小值. 【答案】(1)；的单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，利用周期求出解析式，代入增区间结论求解即可； （2）先利用平移变换求得新函数解析式，然后根据函数的对称性求解，求解即可. 【详解】（1）， 由得：，即， 由得：， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）知的图象关于直线对称， 所以，所以， 又，所以. 59．（22-23高一下·四川自贡·期末）已知． (1)化简； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式及诱导公式化简； （2）利用两角和的余弦公式求值. 【详解】（1）. （2）∵，∴， ∵， ∴. 60．（22-23高一下·四川绵阳·期末）已知函数. (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度后，再把横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象.若，且为锐角，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，然后代入正弦函数单调增区间结论结合已知范围求解； （2）利用图象变换法则求出，进一步求出，再利用两角差余弦公式求解即可. 【详解】（1） ， 由，得， 即. 因为，所以函数的单调递增区间为. （2）先将函数的图象向左平移个单位得函数， 再横坐标伸长为原来的2倍得函数. 因为，所以. 又，且为锐角，，所以. 所以 . 61．（22-23高一下·四川成都·期末）已知函数的最大值为. (1)求实数的值和函数的对称中心； (2)将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据最大值求出，再根据正弦函数的图象的对称性，得出结论． （2）由题意，根据函数的图象变换规律，求得的解析式，结合正弦函数的图象和性质，求得实数的取值范围． 【详解】（1）由于函数， 函数的最大值为2，，即． 由，可得， 的对称中心为 （2）将图象上所有点向右平移个单位得， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变， 可得的图像． 在上有两个不同的解转化为 与在有两个不同的交点． 如图为函数在上的图象，    ，故由图可得有，即， 故的取值范围为． 三角恒等变式综合应用 62．（22-23高一下·四川南充·期末）已知函数的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的值； (2)证明：； (3)令，记方程，在上的根从小到大依次为，若，试求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，由最小正周期可求得的值； （2）利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简证明即可； （3）将问题转化为与交点的横坐标的求解，采用数形结合的方式，结合正弦型函数的对称性可求得结果. 【详解】（1）； 的相邻两对称轴间的距离为，的最小正周期， 即，解得：. （2）由（1）得：，则， ， . （3）由（1）得：， 当时，， ，的根等价于与交点的横坐标， 作出图象如下图所示，    由图象可知：方程，在上的根从小到大依次为， 由对称性得：，. 【点睛】关键点点睛：本题求解方程根之和的关键是将问题转化为两函数交点横坐标之和的求解问题，采用数形结合的方式，结合正弦型函数的对称性来进行求解. 63．（22-23高一下·四川巴中·期末）已知函数在区间上的最大值为1. (1)求常数m的值； (2)当时，求函数的最小值，以及相应x的集合. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先利用二倍角公式及两角和的正弦公式化成标准形式，根据的范围求函数的最大值，然后让最大值等于1即可求解； （2）当时，根据正弦函数的性质求函数的最小值及取到最小值时的的值. 【详解】（1） ，因为，所以， 所以当即时，函数取得最大值， 于是有，解得； （2）由（1）得， 当时，函数的最小值为， 此时，解得 即时取最小值， 所以所求集合为. 64．（22-23高一上·四川遂宁·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)若函数，若在上有最大值，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用两角差的正弦公式，二倍角公式和辅助角公式对函数进行化简，然后利用正弦函数的性质进行求解即可； （2）利用第（1）问先得到，分和两种情况进行讨论，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解 【详解】（1） 所以函数的最小正周期， 令即， 所以函数的对称中心为 （2）， 当时， 因为，所以， 要使在上有最大值，只需让区间包含，即， 解得； 当时， 因为，所以， 要使在上有最大值，所以在上有最小值，只需让区间包含，即，解得， 综上，所以的取值范围是 65．（21-22高一下·四川眉山·期末）已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，再由可求出函数的增区间， （2）由可得，然后求出的范围，再求出的值，而，两边取余弦化简可求得结果 【详解】（1） 令，，得， 所以函数的单调增区间为，． （2）由可得， 又因为，所以 而，所以， 所以； 所以 ； 66．（21-22高一下·四川遂宁·期末）已知函数． (1)求函数的最小值，并写出当取最小值时x的取值集合； (2)若，，求的值． 【答案】(1)最小值， (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由，即可求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，再根据二倍角公式求出、，最后利用两角和的正弦公式计算可得； 【详解】（1）解： ． 当，即时，取得最小值． 此时的取值集合为． （2）解：由（1）知，， 又，所以，即， 因为，所以， 所以，， 所以． 67．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数，图象中相邻两条对称轴的距离为. (1)求函数的解析式和在区间的单调递增区间； (2)方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，然后根据题意得到周期，代入周期的计算公式可得，然后根据正弦函数单调增区间代入即可求解； （2）用换元法，由（1）得，转化为关于的一元二次方程根分布问题即可求解. 【详解】（1） 因为图象中相邻两根对称轴的距离为，所以周期，所以， 又因为，所以，所以， 令，解得 所以的单调递增区间为， 当时，当时， 所以在区间的单调递增区间为； （2）由（1），令， 由，可得，则， 由题意可知，关于的方程有两个不等的实根， 且与在上均有两个不等的实根， 因为的图象如图所示，故，    所以关于的方程在上有两个不等的实根， 令，则，即， 解得 故实数的取值范围. 【点睛】利用辅助角公式将函数化简，考查正弦函数性质的应用，以及函数与方程的综合问题，第二问解题的关键是通过换元将问题转化为二次方程有两个根，再利用根分布问题讨论即可求解，体现了转化的数学思想方法. 新定义题 68．（22-23高一下·四川遂宁·期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则有（    ） A．函数的对称中心为 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，且，则圆心角为，半径为的扇形的面积为 【答案】BCD 【分析】根据新定义，对原式进行化简求解即可. A选项，化简出，由三角函数的图象与性质找出对称中心； B选项化简得，由齐次式化简求值； C选项，利用换元法令，将原式转换为二次函数，求出最大值； D选项，令，解出，利用扇形面积公式求解即可. 【详解】对于A选项， 令，故对称中心为，A选项错误； 对于B选项，， ，故B选项正确； 对于C选项，， 令， 则， 对称轴为，所以当时，取到最大值，此时故C选项正确； 对于D选项，， 因为，所以 因为，所以，所以扇形面积. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查的是新定义的理解，需要对概念进行理解与转换，然后再结合三角函数的概念、三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的综合应用，属于综合题. 69．（23-24高一下·四川·期末）在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Coversed或coversedsine），记作． (1)设函数，求函数的单调递减区间； (2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题干所给条件化简的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）①首先化简的解析式，即可分析的单调性，画出函数图象，数形结合即可求出的取值范围；②由可知，，再结合所给定义将转化为的式子，再利用换元法及对勾函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为 ， 令，解得， 所以的单调递减区间为. （2）①因为 ， 又，所以当时，当时， 所以， 当时，且在上单调递增，在上单调递减， 当时，则，则在上单调递减， 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 且，，，，的图象如下所示： 因为有三个实数根，即与有三个交点，所以； ②由①可知，，则， 所以，， 所以 ， 令，则， 所以， 因为在上单调递增，当时， 当时， 即，所以， 所以，所以， 即. 【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题准确理解并应用所给定义是解决这一类问题的关键. 70．（22-23高一下·四川·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的联合向量，同时称函数为向量的联合函数． (1)设函数，试求函数的联合向量的坐标； (2)记向量的联合函数为，当且时，求的值； (3)设向量，的联合函数为，的联合函数为，记函数，求在上的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量； （2）先求得，由求得，进而求得，从而求得； （3）先求得，然后根据三角函数的值域与二次函数最值分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为， 所以函数的联合向量的坐标为. （2）依题意， 由，得，即， 又因为， 所以， 所以. （3）由题知， ， 所以 因为，， 所以，， 令， 所以，问题转化为函数上的最大值问题. 因为函数的对称轴为， 所以，当，即时， 的最大值在处取得， 此时； 当，即时， 的最大值在处取得， 此时； 当，即时， 的最大值在处取得， 此时； 综上，在上的最大值为. 【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法. 71．（22-23高一下·四川成都·期末）已知函数的最小值为． (1)求函数的单调递减区间； (2)英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：（结果精确到小数点后4位，参考数据：，） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简函数，进而根据正弦函数的性质即可求解； （2）结合诱导公式化简，进而结合泰勒公式求解即可. 【详解】（1） ， 所以，即， 所以， 令，， 即，， 所以函数的单调递减区间，． （2）由（1）知， 所以， 由泰勒公式得：， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$