2024—2025学年苏科版数学八年级上册 期末专题复习讲义专题二、勾股定理

南通市北城中学永怡校区学案 八年级上数学 主备人：申海学 审核人：李珲 编号：002 专题复习二、勾股定理 知识归纳 1．勾股定理： 如果直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，那么． （1）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦． 注意：由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（即斜边）的平方等于两短边(两直角边)的平方和，避免出现错误． （2）勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积(拼图)证明——对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明，这是最常见的一种方法． （3）勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作用有： ①已知直角三角形的任两边，求第三边问题； ②证明三角形中的某些线段的平方关系； ③作长为无理数的线段． 2．勾股定理的逆定理： 如果三角形三边长，，，满足 ，那么这个三角形是 ． 如何判定一个三角形是否是直角三角形？ （1）确定最大边（如）；（2）验证与+是否具有相等关系． 若+，则△ABC是 ；若+，则△ABC不是 ． 3．勾股数 （1）满足成立的三个正整数称为勾股数； 若，，是一组勾股数，则，， （k为正整数）也是勾股数． 下列各组数都是常见勾股数： ｛3k，4k，5k｝、 ｛5k，12k，13k｝、 ｛8k，15k，17k｝、 ｛7k，24k，25k｝、 ｛9k，40k，41k｝等． （2）记住常见的勾股数可以提高解题速度，如_3，4，5__、____ ___、____ ____等． 核心考点1：两个定理 定理1：勾股定理及认识 例题1： （1）如图，两个正方形的面积为9，25，则字母M所代表的正方形的面积是 ． ( （第 5 题） ) ( （第 3 题） ) ( （第 2 题） ) ( （第 1 题） ) （2）如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是 cm2． （3）如图，直角三角形三边上的等边三角形的面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（　　） A．S1+S2＞S3 B．S1+S2＜S3 C．S1+S2＝S3 D．S12+S22＞S32 （4）已知直角三角形三边为a，b，c．其中，，则＝　 　． ( （第 1 题） )（5）如图所示，一个长方体铁盒的长，宽，高分别是8cm，6cm，24cm，一根长28cm的木棒能否放在这个盒子里？　 　（填“能”或“不能”） 定理2：勾股定理的逆定理 例题2： （1）古埃及人画直角方法：把一根长绳打上等距离的13个结， 然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据　 　． （2）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的一组是（　　） A．2、4、6 B．4、6、8 C．8、10、12 D．6、8、10 （3）三角形的三边长a，b，c满足2ab＝（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是　 　三角形． （4）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．1，， C．2，3，4 D．5，12，13 核心考点2：几种典型问题 A计算问题： 1．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，已知如下数据：AM＝4米，BM＝米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，求警示牌CD的高． 2．“为了安全，请勿超速”，如图所示是一条已经建成并通车的公路，且该公路的某直线路段MN上限速17m/s，为了检测来往车辆是否超速，交警在MN旁设立了观测点C．若某次从观测点C测得一汽车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200m． （1）求观测点C到公路MN的距离； （2）请你判断该汽车是否超速？（参考数据：≈1.41，≈1.73） 3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？ B折叠问题： 1．如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积为． 2．图，将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，求DE的长． C最值问题： 1．如图，有一圆柱油罐，已知油罐的底面圆的周长是12米，高是5米，要从点A起环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好到达点A的正上方点B，则梯子最短长 米 2．如图，地面上有一个长方体，一只蜘蛛在这个长方体的顶点A处，一滴水珠在这个长方形的顶点C′处，已知长方体的长为6m，宽为5m，高为3m，蜘蛛要沿着长方体的表面从A处爬到C′处，则蜘蛛爬行的最短距离为　 　cm． D作图问题： 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交边AB于点D．若AC＝6，BC＝8，则BD的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 ( （第 3 题） ) ( （第 2 题） ) ( （第 1 题） ) 2．如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D．﹣1 3．如图，在Rt△OBC中，OC=1，OB=2，数轴上点A所表示的数为，则的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 核心考点3：三种数学思想 思想1：分类讨论的思想 1．直角三角形的两边长为6和8，则这个三角形的面积是 ． 2．在△ABC中，AB=20，AC=15，CB边上的高AD=12，求△ABC的面积． 3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 思想2：方程的思想 如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离． 思想3：转化的思想 如图，在安大公路（直线BD）的同侧有两个气象信息采集点A、E，点A、E到安大公路的距离AB＝12、ED＝3，两垂足间的距离BD＝20． （1）在线段BD上找一点C，铺设线路AC、CE，要使AC+CE最小，请在图中作出点C； （2）求出AC+CE的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$