第19期 2.4过不共线三点作圆 2.5直线与圆的位置关系（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 １６．（１）因为ＢＣ是 ⊙Ｏ 的 直 径， 所 以 ∠ＢＡＣ＝９０°，因为 ＡＢ ＝２，∠ＡＣＢ＝３０°，所 以ＢＣ＝２ＡＢ＝４，所以 ＯＢ＝ＯＣ＝１２ＢＣ＝２． （２）因为∠ＢＡＣ＝ ９０°，∠ＡＣＢ＝３０°，所以 ∠Ｂ＝１８０°－∠ＢＡＣ－ ∠ＡＣＢ＝６０°，因为四边 形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接 四边形，所以 ∠Ｄ ＝ １８０°－∠Ｂ＝１２０°，因 为点Ｄ为 ) ＡＣ的中点，所 以 ＡＤ ＝ ＣＤ， 所 以 ∠ＤＡＣ ＝ ∠ＤＣＡ ＝ １ ２（１８０° － ∠Ｄ） ＝ ３０°． １７．（１）连接 ＥＯ， 设⊙Ｏ半径为 ｒ，因为 ＥＧ⊥ＡＢ，所以ＣＥ＝ＣＧ ＝ １２ＥＧ＝４，因为 ＡＣ ＝２，所以 ＯＣ＝ｒ－２， 在Ｒｔ△ＣＥＯ中，由勾股 定理，得 ＯＥ２ ＝ＣＥ２＋ ＯＣ２，即 ｒ２ ＝４２＋（ｒ－ ２）２，解得 ｒ＝５，所以 ⊙Ｏ的半径为５． （２）证 明：连 接 ＯＥ，ＯＦ，因为ＡＣ＝ＢＤ， ＯＡ＝ＯＢ，所以 ＯＣ＝ ＯＤ，因为 ＥＧ⊥ ＡＢ，ＦＨ ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＯＣＥ＝ ∠ＯＤＦ ＝ ９０°， 在 Ｒｔ△ＣＯＥ和 Ｒｔ△ＤＯＦ 中，因为 ＯＣ＝ＯＤ，ＯＥ ＝ＯＦ，所以Ｒｔ△ＣＯＥ≌ Ｒｔ△ＤＯＦ，所以 ∠ＡＯＥ ＝∠ＢＯＦ，所以 ) ＡＥ ＝ ) ＢＦ． １８．（１）证明：因为 ∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＢ，所以 ) ) ＡＢ＝ＢＣ，所以 ∠ＡＤＢ ＝∠ＣＤＢ，即 ＤＢ平分 ∠ＡＤＣ． （２）因为 ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＤ＝ 书 上期２版 ２．１圆的对称性 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．内； ５．３６°． ６．∠ＥＡＤ的度数为２７°． 能力提高　７．证明：取ＢＣ的中点Ｆ，连接ＤＦ，ＥＦ． 因为ＢＤ，ＣＥ是△ＡＢＣ的高，所以△ＢＣＤ和△ＢＣＥ都是 直角三角形．所以 ＤＦ，ＥＦ分别为 Ｒｔ△ＢＣＤ和 Ｒｔ△ＢＣＥ 斜边上的中线，所以ＤＦ＝ＥＦ＝ＢＦ＝ＣＦ．所以Ｅ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四点在以Ｆ点为圆心，１２ＢＣ为半径的圆上． ２．２．１圆心角 基础训练　１．Ｄ；　２．１２０°． ３．（１）连接 ＡＣ，ＢＤ，因为 ∠ＡＯＢ＝９０°，Ｃ，Ｄ为 ) ＡＢ 的三等分点，所以∠ＡＯＣ＝１３∠ＡＯＢ＝３０°，因为ＯＡ＝ ＯＢ，所以∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝４５°，因为∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ ＝３０°，所以∠ＡＥＣ＝∠ＯＡＢ＋∠ＡＯＣ＝７５°． （２）证明：连接 ＡＣ，ＢＤ，因为 ＯＡ＝ＯＣ，∠ＡＯＣ＝ ３０°，所以∠ＡＣＥ＝７５°，所以∠ＡＣＥ＝∠ＡＥＣ，所以ＡＣ ＝ＡＥ，同理可证ＢＦ＝ＢＤ，因为Ｃ，Ｄ是 ) ＡＢ的三等分点， 所以ＡＣ＝ＣＤ＝ＢＤ，所以ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＤ． 能力提高　４．因为 ) ) ) ＣＤ＝ＡＣ＋ＢＤ，所以∠ＣＯＤ＝ ∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ，因为 ∠ＣＯＤ＋∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ ＝ １８０°，所以∠ＣＯＤ＝∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ＝ １２ ×１８０°＝ ９０°．因为ＯＣ＝ＯＤ，所以∠ＯＤＣ＝∠ＯＣＤ＝４５°．因为 ＰＣ＝ＣＯ，所以∠Ｐ＝∠ＣＯＰ，又因为 ∠Ｐ＋∠ＣＯＰ＝ ∠ＯＣＤ＝４５°，所以∠Ｐ＝∠ＣＯＰ＝２２．５°，所以∠ＤＯＢ ＝∠Ｐ＋∠ＰＤＯ＝６７５°． ２．２．２圆周角 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．２４；　４．９９°；　５．４０°． 能力提高 　６．因为 ＡＢ是直径，所以 ∠ＡＣＢ＝ ∠ＡＤＢ＝９０°，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１０ｃｍ，ＡＣ＝６ｃｍ，所 以ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝８（ｃｍ），因为ＣＤ平分∠ＡＣＢ， 所以∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ，所以 ) ) ＡＤ＝ＤＢ，所以ＡＤ＝ＢＤ，在 Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２，所以ＡＤ ＝ＢＤ＝ １００槡２ ＝ 槡５２（ｃｍ）．所以四边形ＡＣＢＤ的面积 ＝△ＡＢＣ的面积 ＋△ＡＢＤ的面积 ＝１２×６×８＋ １ ２× 槡５２× 槡５２＝４９（ｃｍ ２）． ２．３垂径定理 基础训练 　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．答案不惟一，大于等 于４小于５即可，如４．２；　４．１．３． 能力提高　５．纸杯的直径为５ｃｍ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｃ 二、９．４条；　１０．４；　１１．５０°；　１２．５２．５°； １３．槡２９－２． 三、１４．证明：因为ＯＡ＝ＯＢ，ＡＤ＝ＢＥ，所以 ＯＤ＝ ＯＥ，又因为ＣＤ＝ＣＥ，ＯＣ＝ＯＣ，所以△ＯＣＤ≌△ＯＣＥ， 所以∠ＣＯＤ＝∠ＣＯＥ，所以 ) ) ＡＣ＝ＢＣ，即Ｃ为 ) ＡＢ的中点． １５．证明：因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，点Ｅ是弦ＣＤ的中 点，所以ＡＢ⊥ＣＤ，所以 ) ) ＡＤ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠Ｆ，因为 ＣＦ∥ＢＤ，所以∠ＡＧＦ＝∠Ｂ，所以∠ＡＧＦ＝∠Ｆ，所以 ＡＧ＝ＡＦ． 书 １．（２０２４洛阳二模）已知：点Ｐ是⊙Ｏ外一点． （１）尺规作图：如图１，以ＯＰ为直径作⊙Ｏ′交⊙Ｏ 于Ｅ，Ｆ两点，连接 ＯＰ，ＰＥ，ＰＦ（保留作图痕迹，不要求 写作法）； （２）在（１）的条件下，求证：ＰＥ，ＰＦ是⊙Ｏ的切线． ２．如图２，△ＡＢＣ内接于 ⊙Ｏ，ＡＢ为 ⊙Ｏ的直径， ∠ＡＣＢ的平分线交⊙Ｏ于点Ｄ，过点Ｄ作直线ＤＥ交ＣＢ 的延长线于点Ｅ，且∠ＢＤＥ＝∠ＤＣＥ． （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若⊙Ｏ的半径为 ５２，求ＤＢ的长． １．如图１，Ｄ为△ＡＢＣ内一点，且∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ， ＢＤ⊥ＣＤ．作ＤＨ⊥ＡＢ于Ｈ，ＨＤ的延长线交ＡＣ于Ｅ，若 ＤＥ＝３，ＡＢ＝５，则ＢＣ＝ ． ２．（２０２４福州期中）如图２，在半径为４的⊙Ｏ中， 弦ＡＣ＝ 槡４２，Ｂ是⊙Ｏ上的一动点（不与点Ａ重合），Ｄ 是ＡＢ的中点，Ｍ为 ＣＤ的中点，则 ＡＭ的最大值为 ． 书 【提示】 １．作△ＡＢＤ的外接圆交ＣＤ延长线于Ｃ′，连接 ＡＣ′，ＢＣ′，根据圆周角定理及等量代换得出∠ＢＣＤ＝ ∠ＢＣ′Ｄ，确定ＣＢ＝Ｃ′Ｂ，再由中位线的判定和性质得 出ＤＥ是△ＡＣＣ′的中位线，则ＡＣ′＝２ＤＥ＝６，最后利 用勾股定理求解即可． ２．连接ＡＯ，ＢＯ，取ＡＯ的中点Ｅ，连接ＤＥ，根据三 角形中位线的性质得到ＤＥ＝１ ２ＯＢ＝２，得到点Ｄ在 以Ｅ为圆心，以２为半径的圆上运动，连接ＣＥ，取ＣＥ 的中点Ｇ，连接ＧＭ，ＡＧ，同理得到点Ｍ在以点Ｇ为圆 心，以１为半径的圆上运动，进而得到当点Ａ，Ｇ，Ｍ三 点共线时，ＡＭ取得最大值，即ＡＧ＋ＧＭ的长度，取线 段ＯＥ的中点Ｆ，连接ＧＦ，然后利用勾股定理求解即 可． 书 与圆有关的探索性问题在数学学习中屡见不鲜． 现列举两例介绍其解法，供大家学习时参考． 例１　如图１－①，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＣ是⊙Ｏ的 弦，ＯＤ⊥ＢＣ于点Ｅ，交 ) ＢＣ于点Ｄ． （１）请写出三个不同类型 獉獉獉獉 的正确结论； （２）如图１－②，连接ＣＤ，设∠ＣＤＢ＝α，∠ＡＢＣ＝β， 试找出α与β之间的一个关系式，并给予证明． 解析：（１）由 ＯＤ＝ＯＢ，可得 △ＯＢＤ是等腰三角 形； 由ＡＢ是⊙Ｏ的直径，可得∠ＡＣＢ＝９０°，△ＡＢＣ是 直角三角形； 由ＢＣ是⊙Ｏ的弦，ＯＤ⊥ＢＣ于点Ｅ，交 ) ＢＣ于点Ｄ， 可得ＢＥ＝ＣＥ， ) ) ＢＤ＝ＣＤ，∠ＢＥＤ＝∠ＯＥＢ＝９０°； 由∠ＯＥＢ＝９０°，可得ＯＥ２＋ＢＥ２ ＝ＯＢ２等． 任选其中三个都符合要求． （２）α＝９０°＋β． 证明：因为α＋∠ＢＡＣ＝１８０°，∠ＡＣＢ＋β＋∠ＢＡＣ ＝１８０°，所以α＝∠ＡＣＢ＋β． 因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°，所以α ＝９０°＋β． 例２　 如图２，在 △ＡＢＣ中， ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为线段ＢＣ上异于Ｂ，Ｃ 的一动点，以Ａ为圆心，ＡＤ的长为 半径作⊙Ａ与ＡＢ，ＡＣ分别交于Ｅ， Ｆ，连接 ＤＥ，ＤＦ，若 ∠Ｂ＝５０°，随 着点Ｄ的运动，∠ＢＤＥ＋∠ＣＤＦ的 值是否为定值？若不是，请说明理 由；若是，请求出该定值． 解 析：∠ＢＤＥ ＋ ∠ＣＤＦ ＝ ４０°，为定值．理由如下： 如图３，在⊙Ａ上取任意一点 Ｇ，连接ＥＧ，ＦＧ，则四边形ＥＤＦＧ是 圆内接四边形． 因为ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＝５０°，所 以∠Ｃ＝∠Ｂ＝５０°，所以∠ＢＡＣ ＝８０°，所以 ∠Ｇ＝ １２∠ＢＡＣ＝４０°，所以 ∠ＥＤＦ＝ １８０°－∠Ｇ＝１４０°． 因为 ∠ＡＥＤ ＝∠Ｂ＋∠ＢＤＥ＝５０°＋∠ＢＤＥ， ∠ＡＦＤ＝∠Ｃ＋∠ＣＤＦ＝５０°＋∠ＣＤＦ，ＡＥ＝ＡＤ＝ ＡＦ，所以 ∠ＥＤＡ＝∠ＡＥＤ＝５０°＋∠ＢＤＥ，∠ＦＤＡ＝ ∠ＡＦＤ＝５０°＋∠ＣＤＦ，所以∠ＥＤＦ＝∠ＥＤＡ＋∠ＦＤＡ ＝１００°＋∠ＢＤＥ＋∠ＣＤＦ＝１４０°，所以 ∠ＢＤＥ＋ ∠ＣＤＦ＝４０°，为定值． 书 结论１：如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝ａ，ＡＣ ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，内切圆⊙Ｏ的半径为ｒ，Ｄ，Ｅ，Ｆ为切点，则ｒ ＝ １２（ａ＋ｂ－ｃ）． 证明：如图１，连接 ＯＤ，ＯＥ，ＯＦ，则四边形 ＣＤＯＥ为 正方形．所以ＣＤ＝ＯＥ＝ｒ． 由题意，易得ＡＦ＝ＡＥ，ＣＥ＝ＣＤ，ＢＦ＝ＢＤ． 所以ａ＋ｂ－ｃ＝（ＢＤ＋ＤＣ）＋（ＡＥ＋ＥＣ）－（ＡＦ＋ ＢＦ）＝２ＣＤ＝２ｒ． 所以ｒ＝ １２（ａ＋ｂ－ｃ）． 结论２：如图２，若⊙Ｏ为 △ＡＢＣ的内切圆，则∠ＡＯＢ ＝９０°＋１２∠ＡＣＢ． 证明：因为⊙Ｏ为 △ＡＢＣ的内切圆， 所以∠１＝ １２∠ＣＡＢ，∠２＝ １ ２∠ＡＢＣ． 所以 ∠ＡＯＢ ＝１８０°－（∠１＋∠２） ＝１８０°－ １ ２（∠ＣＡＢ＋∠ＡＢＣ）＝１８０°－ １ ２（１８０°－∠ＡＣＢ）＝９０° ＋１２∠ＡＣＢ． 结论３：如图３，在△ＡＢＣ中，内切圆⊙Ｏ和ＢＣ，ＡＣ， ＡＢ分别相切于点Ｅ，Ｆ，Ｄ，则∠ＦＤＥ＝９０°－１２∠ＡＣＢ． 证明：如图３，连接ＯＥ，ＯＦ，则ＯＦ⊥ＡＣ，ＯＥ⊥ＢＣ． 因为四边形ＣＦＯＥ的内角和为３６０°， 所以∠ＦＯＥ＋∠ＡＣＢ＝１８０°． 因为∠ＦＤＥ＝ １２∠ＦＯＥ， 所以∠ＦＤＥ＝９０°－１２∠ＡＣＢ． 结论４：如图４，△ＡＢＣ的三边长 ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ分别为 ａ，ｂ，ｃ，其面积为 Ｓ，内切圆 ⊙Ｉ的半径为 ｒ，则 ｒ＝ ２Ｓ ａ＋ｂ＋ｃ． 证明：如图４，连接ＩＡ，ＩＢ，ＩＣ． 因为Ｓ＝Ｓ△ＡＩＢ＋Ｓ△ＡＩＣ＋Ｓ△ＢＩＣ ＝ １ ２ＡＢ·ｒ＋ １ ２ＡＣ· ｒ＋１２ＣＢ·ｒ＝ １ ２（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ，所以ｒ＝ ２Ｓ ａ＋ｂ＋ｃ． 书 例１　（２０２４武汉月考）如图１，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外 接圆，连接ＡＯ，若∠ＢＡＣ＋∠ＯＡＢ＝９０°． （１）求证：ＡＢ＝ＢＣ； （２）如图２，作ＣＤ⊥ＡＢ交于Ｄ，ＡＯ的延长线交ＣＤ 于Ｅ，若ＡＯ＝３，ＡＥ＝４，求线段ＡＣ的长． 解析：（１）证明：连接ＢＯ并延长，交ＡＣ于Ｔ．因为ＡＯ ＝ＢＯ，所以∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ，又因为∠ＢＡＣ＋∠ＯＡＢ＝ ９０°，所以∠ＢＡＣ＋∠ＯＢＡ＝９０°，所以∠ＢＴＡ＝９０°，所 以ＢＴ垂直平分ＡＣ，所以ＡＢ＝ＢＣ． （２）延长ＡＯ交⊙Ｏ于Ｆ，连接ＣＦ．因为ＣＤ⊥ＡＢ，所 以∠ＣＤＡ＝９０°，所以 ∠ＯＡＢ＋∠ＡＥＤ ＝９０°，因为 ∠ＢＡＣ＋∠ＯＡＢ＝９０°，所以∠ＡＥＤ＝∠ＢＡＣ＝∠ＦＥＣ． 因为ＡＦ为⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＦ＝９０°，因为∠ＦＣＥ ＋∠ＡＣＤ＝９０°，∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＤ＝９０°，所以∠ＦＣＥ＝ ∠ＢＡＣ，所以∠ＦＥＣ＝∠ＦＣＥ，所以ＦＥ＝ＦＣ，因为ＡＯ＝ ３，ＡＥ＝４，所以ＯＥ＝１，ＦＥ＝ＦＣ＝ＯＦ－ＯＥ＝ＡＯ－ＯＥ ＝２．所以在Ｒｔ△ＦＣＡ中，ＡＣ＝ ＡＦ２－ＣＦ槡 ２ ＝ 槡４２． 例２　（２０２４江门月考） 如图３，点Ｃ为△ＡＢＤ的外接 圆上的一动点（点 Ｃ不在 ) ＢＡＤ上，且不与点 Ｂ，Ｄ重 合），∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＤ＝４５°． （１）求证：ＢＤ是该外接 圆的直径； （２）连接ＣＤ，则ＡＣ，ＢＣ，ＣＤ三条线段满足什么等量 关系？请证明． 解析：（１）证明：因为 ) ) ＡＢ＝ＡＢ，所以 ∠ＡＤＢ＝ ∠ＡＣＢ，又因为∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＤ＝４５°，所以 ∠ＡＢＤ＝ ∠ＡＤＢ＝４５°，所以∠ＢＡＤ＝９０°，所以ＢＤ是该外接圆的 直径． （２）槡２ＡＣ＝ＢＣ＋ＣＤ．证明：如图３，把△ＡＣＤ绕点 Ａ顺时针旋转９０°得到△ＡＥＢ，连接ＣＥ，所以ＡＣ＝ＡＥ， ＢＥ＝ＣＤ，∠ＣＡＥ＝９０°，∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＣ，所以△ＡＣＥ为 等腰直角三角形，所以ＣＥ＝槡２ＡＣ，因为∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ ＝１８０°，所以∠ＡＢＣ＋∠ＡＢＥ＝１８０°，所以点Ｅ在ＣＢ的 延长线上，所以ＣＥ＝ＢＣ＋ＢＥ＝ＢＣ＋ＣＤ，所以槡２ＡＣ＝ ＢＣ＋ＣＤ． 书 第一招：有直径，直接证 例 １　（２０２４广元三模） 如图 １，已知 ＡＢ是 ⊙Ｏ的直 径，ＢＣ交⊙Ｏ于点 Ｄ，Ｅ是 ) ＢＤ 的中点，ＡＥ与 ＢＣ交于点 Ｆ， ∠Ｃ＝２∠ＥＡＢ．求证：ＡＣ是 ⊙Ｏ的切线． 证明：连接ＡＤ，因为Ｅ是 ) ＢＤ的中点，所以 ) ) ＤＥ＝ＢＥ， 所以∠ＥＡＢ＝∠ＥＡＤ． 因为∠ＡＣＢ＝２∠ＥＡＢ，所以∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＢ． 因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＤＢ＝９０°， 所以∠ＤＡＣ＋∠ＡＣＢ＝９０°， 所以∠ＤＡＣ＋∠ＤＡＢ＝∠ＢＡＣ＝９０°， 所以ＡＣ⊥ＡＢ， 因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以ＡＣ是⊙Ｏ的切线． 第二招：连半径，证垂直 例２　（２０２４深圳三模）如 图２，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｃ在 ⊙Ｏ上，且点Ｃ为 ) ＢＥ的中点，连 接ＡＥ并延长交ＢＣ的延长线于 点Ｄ．过点Ｃ作 ＣＦ⊥ ＡＤ，垂足 为点 Ｆ．求证：ＣＦ是 ⊙Ｏ的切 线． 证明：连接ＡＣ，ＯＣ， 因为点Ｃ为 ) ＢＥ的中点，所以∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＥ． 又因为ＡＢ是直径，所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＝９０°，ＡＣ ＝ＡＣ， 所以△ＢＡＣ≌△ＤＡＣ．所以∠Ｂ＝∠Ｄ． 又因为∠Ｂ＝∠ＯＣＢ， 所以∠ＯＣＢ＝∠Ｄ．所以ＯＣ∥ＡＤ． 因为ＣＦ⊥ＡＤ，所以ＯＣ⊥ＣＦ． 因为ＯＣ是⊙Ｏ的半径，所以ＣＦ是⊙Ｏ的切线． 第三招：作垂直，证半径 例 ３　（２０２４西安模 拟）如图３，在△ＡＢＣ中，以 边ＡＣ上一点Ｏ为圆心，ＯＡ 为半径作 ⊙Ｏ，与 ＡＢ相切 于点Ａ．作 ＣＤ⊥ ＢＯ交 ＢＯ 的延长线于点 Ｄ，且 ∠ＣＢＤ＝∠ＤＣＯ．求证：ＢＣ是 ⊙Ｏ 的切线． 证明：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＢＣ于点Ｅ， 因为ＡＢ与⊙Ｏ相切于点Ａ，ＣＤ⊥ＢＯ， 所以∠ＢＡＯ＝∠Ｄ＝９０°． 又因为∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，所以∠ＡＢＯ＝∠ＤＣＯ， 因为∠ＣＢＤ＝∠ＤＣＯ，所以∠ＡＢＯ＝∠ＤＢＣ， 又因为ＯＡ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＢＣ， 所以ＯＥ＝ＯＡ，所以ＢＣ是⊙Ｏ的切线． 【对应练习见《重点集训营》】 ! !" #$% ! ! ! " # $ % & ' # ! " & $ ! ! " ! # !# ( & " ! $ #& $ % ! ' """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""" ! ! # " ' $ ! & # " ' $ ! & ! " ! &' ( ) ! &' * + $ ! & # ! ! $ ! & # ' " ! " " ! & # ! $ ' $ # ' % & "! ! ! $ ! " # ! " % ' & $ ! " & # ! $ $ ) ! ! $ ! " '" # ! & ! # ' " * & ! ! $ ! # " & + ! ! ! ,- . / & ! % " # ' ! $ , & ! % " # ' ! " ! ! " #! !!!!" $"% !" "%"#&!!'&( !"#$ !"#$%& 012 !3"4567 859:;<=5>? !" @ % ! '()* !"#$%&'" ()*+,-'. AB#CDEFG HI>JKL1@M ,-NOP:QR ,-NP=STUVWXY ,-NPZ[\]^_`aQb 9cDdefg4 dhijkl mnopqrg4sti'(!#)%&%&*0+M ) *+ jkl , ) *+ .uv , # - .+ wxl , ) *+ y z , ) *+ { | -./01+ w } 23/01+ w~ -4506+ €  -4578+ ‚ƒ„ u…† ‡ ˆ ‰Š‹ Œ  Ž .‘’ Œ“~ ( ƒ ”•‹ –—k ‡˜™ š˜› .kœ |5 žŸˆ    ¡¢£ u¤¥ 91-.+ š¦§ 91:;+ ¨•© <=-.+ ª˜« >?-.+ ¬ ­ @ABC+ ®¯° ±12 !²# 4567 ±³´ # 4I>JK7 #CDµ¶µ4 #·šµg4 #ef»¼½i%$-!)-"&!"-. #CD¾¿i,-ÀÁÂÊÄÅÆÇÈ !$" t9cDd859:ef» #ÉÊeËi%$%%%. #ÃÌ»ÍDÎÏi%$-!#-"&!!"- %$-!#-"&!"$&±VÐ7 #ÍÑiÒÓCDÃÌ»¿ÔÕÖm×ØÉÙ±Ú7 #ÉÊÍÑÎÏi!!!/- #ÛÜÝÞÍßàÍáâÍ #CDãÖm×À±Ã7ä=åæçD #èé\]#Ûêti!#%%%%#%%%!!% #è黼½i%$-!#-"&!"-- #CDëì'%íVWîï^_`a±ðñÃòóÅôõö÷øTUù !! t7úî3û^îüýþÿF²ÒÓCDÃÌ»¿Ô!" 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２４青岛一模）已知平面内有⊙Ｏ和点Ａ，Ｂ，若 ⊙Ｏ的半径为３ｃｍ，线段ＯＡ＝４ｃｍ，ＯＢ＝３ｃｍ，则直线 ＡＢ与⊙Ｏ的位置关系为 （　　） Ａ．相离 Ｂ．相交 Ｃ．相切 Ｄ．相交或相切 ２．（２０２４台州二模）如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＣＤ切 ⊙Ｏ于点Ｃ，连接ＡＣ，ＢＣ，若∠ＢＣＤ＝５０°，则∠Ｂ的度数 为 （　　） Ａ．４０° Ｂ．４５° Ｃ．５０° Ｄ．５５° ３．（２０２４济宁月考）如图２，⊙Ｏ与正方形ＡＢＣＤ的 两边ＡＢ，ＡＤ相切，且ＤＥ与⊙Ｏ相切于Ｅ点．若⊙Ｏ的半 径为４，且ＡＢ＝１０，则ＤＥ的长度为 （　　） 槡Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ． ３０ Ｄ． １１ ２ ４．如图３，将△ＡＢＣ放在每个小正方形边长为１的 网格中，点 Ａ，Ｂ，Ｃ均落在格点上，用一个圆面去覆盖 △ＡＢＣ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是 （　　） 槡 槡Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．２ Ｄ． ５ ２ ５．（２０２４聊城一模）如图４，点Ｉ为等边△ＡＢＣ的内 心，连接ＡＩ并延长交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｄ，已知外接 圆的半径为２，则线段ＤＢ的长为 （　　） 槡Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．２３ ６．（２０２４衡水月考）如图５，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是 ⊙Ｏ上一点，Ｄ是⊙Ｏ外一点，过点Ａ作ＡＥ⊥ＣＤ，垂足为 Ｅ，连接ＯＣ．若使ＣＤ切⊙Ｏ于点Ｃ，添加的下列条件中， 不正确的是 （　　） Ａ．ＯＣ∥ＡＥ Ｂ．∠ＯＡＣ＝∠ＣＡＥ Ｃ．∠ＯＣＡ＝∠ＣＡＥ Ｄ．ＯＡ＝ＡＣ ７．（２０２４武汉期末）如图６，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＣ， ＢＣ是⊙Ｏ的弦，Ｉ是△ＡＢＣ的内心，连接ＯＩ，若ＯＩ＝槡２， ∠ＢＯＩ＝４５°，则ＢＣ的长是 （　　） Ａ．槡２２＋槡 槡３ Ｂ．２＋ 槡３ ２ Ｃ．１＋槡２ Ｄ．１＋槡３ ８．如图７，半径ｒ＝ 槡２２的 ⊙Ｍ在ｘ轴上平移，且圆心 Ｍ 在ｘ轴上，当⊙Ｍ与直线ｙ＝ｘ ＋２相切时，圆心Ｍ的坐标为 （　　） Ａ．（０，０） Ｂ．（２，０） Ｃ．（０，０）或（－６，０） Ｄ．（２，０）或（－６，０） 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．（２０２４佳木斯三模）如图８，在⊙Ｏ中，ＡＢ是直径， ＡＣ是弦，过点Ｃ的切线与ＡＢ的延长线交于点Ｄ，若∠Ａ ＝２５°，则∠Ｄ的度数为 ． １０．如图９，△ＡＢＣ的内切圆⊙Ｏ与ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ分别 相切于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，且ＡＢ＝８，ＢＣ＝１７，ＣＡ＝１５，则阴影 部分（即四边形ＡＥＯＦ）的面积是 ． １１．（２０２４银川期中）如 图１０，将一枚圆形铜钱的模型 放入一个矩形袋子 ＡＢＣＤ中， 铜钱模型与矩形袋子的下边 沿 ＢＣ相切于点 Ｅ，与上边沿 ＡＤ交于点Ｆ，Ｇ，若ＡＢ＝４，ＦＧ ＝１０，则该圆形铜钱模型的半径为 ． １２．（２０２４信阳期末）在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ ４，ＢＣ＝３，则△ＡＢＣ的外接圆半径Ｒ与内切圆半径ｒ的 差Ｒ－ｒ＝ ． １３．（２０２３江门一模）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１３， ＢＣ＝２４，点Ｄ为 △ＡＢＣ的对称轴上一动点，过点 Ｄ作 ⊙Ｏ与ＢＣ相切，点Ｏ在△ＡＢＣ的对称轴上，ＢＤ与⊙Ｏ相 交于点Ｅ，那么ＡＥ的最大值为 ． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（２０２４潮州期末，８分）如图１１，已知线段ＡＢ是 ⊙Ｏ的一条弦． （１）实践与操作：用尺规作图法作出圆心Ｏ（保留作 图痕迹，不要求写作法）； （２）应用与计算：若弦ＡＢ＝１０，圆心Ｏ到ＡＢ的距离 为４，求⊙Ｏ的半径． １５．（２０２４厦门二模，８分）如图１２，ＡＢ是⊙Ｏ的直 径，点Ｄ，Ｅ在⊙Ｏ上，位于直径ＡＢ两侧，连接ＥＤ，ＥＢ，连 接ＢＤ并延长至点Ｃ，使得∠ＡＣＢ＝∠ＢＥＤ． （１）求证：ＡＣ是⊙Ｏ的切线； （２）若点Ｅ是弧ＡＢ的中点，ＡＢ＝槡２，求ＥＢ的长． １６．（２０２４湖南模拟，１０分）如图１３，⊙Ｏ与 △ＡＢＣ 的ＡＣ边相切于点Ｃ，与ＡＢ，ＢＣ边分别交于点Ｄ，Ｅ，ＤＥ∥ ＯＡ，ＣＥ是⊙Ｏ的直径． （１）求证：ＡＢ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＢＤ＝４，ＥＣ＝６，求ＡＣ的长． １７．（２０２４镇江一模，１０分）如图 １４，等腰三角形 ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｉ是△ＡＢＣ的内心，连接ＢＩ 并延长交 ⊙Ｏ于点 Ｄ，点 Ｅ在 ＢＤ的延长线上，满足 ∠ＥＡＤ＝∠ＣＡＤ．试证明： （１）ＯＡ所在的直线经过点Ｉ； （２）点Ｄ是ＩＥ的中点． １８．（１２分）如图１５，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ 与∠ＡＢＣ的角平分线相交于点Ｅ，ＡＥ的延长线交△ＡＢＣ 的外接圆于点Ｄ，连接ＢＤ． （１）求证：∠ＢＡＤ＝∠ＤＢＣ； （２）求证：点 Ｂ，Ｅ，Ｃ在以点 Ｄ为圆心的同一个圆 上； （３）若ＡＢ＝５，ＢＣ＝８，求△ＡＢＣ内心与外心之间 的距离                                                                                                                                                                 ． 书 ２．４过不共线三点作圆 １．已知△ＡＢＣ的外接圆⊙Ｏ，那么点Ｏ是△ＡＢＣ的 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．三条中线交点 Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点 Ｄ．三条角平分线交点 ２．如图１，⊙Ｏ是等边△ＡＢＣ的外接圆，若ＡＢ＝３， 则⊙Ｏ的半径是 （　　） Ａ．３２ Ｂ． 槡３ ２ 槡Ｃ．３ Ｄ． ５ ２ ３．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块 碎片如图２所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样 大小的圆形镜子的碎片是 （　　） Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．均不可能 ４．已知Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝５，ＢＣ＝１２， 则△ＡＢＣ的外接圆半径是 ． ５．过三点 Ａ（２，２），Ｂ（６，２），Ｃ（２，４）的圆的圆心坐 标为 ． ６．如图３，⊙Ｏ是 △ＡＤＢ，△ＢＤＣ的外接圆，∠ＤＢＣ ＝２∠ＡＤＢ，若 ＡＢ＝ 槡２５，ＣＤ＝８，则 ⊙Ｏ的半径为 ． ７．如图４，⊙Ｏ是 △ＡＢＣ的外接圆，∠ＡＢＣ＝３０°， ＢＣ＝４，且ＢＣ为直径，点Ｄ在边ＢＣ上，点Ｍ是点Ｄ关 于边ＡＢ的对称点，过点Ｄ的直线平行于边ＡＢ，且与ＭＡ 的延长线交于点Ｎ，则线段ＭＮ的最小值为 ． ８．（２０２４绍兴二模）如图５，方格纸上每个小正方 形的边长均为１个单位长度，点Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃ在格点（两条 网格线的交点叫格点）上，以点Ｏ为原点建立直角坐标 系． （１）过 Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆的圆心 Ｍ 的坐标为 ； （２）请通过计算判断点Ｄ（－３，－２）与⊙Ｍ的位置 关系． ２．５．１直线与圆的位置关系；２．５．２圆的切线 １．（２０２４西宁二模）已知⊙Ｏ的半径等于８ｃｍ，圆 心Ｏ到直线ｌ上某点的距离为８ｃｍ，则直线ｌ与⊙Ｏ的 公共点的个数为 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．１或２ Ｄ．０或１ ２．（２０２４河源二模）如图１，ＰＡ，ＰＢ是⊙Ｏ的切线， 切点分别为Ａ，Ｂ，点Ｃ为⊙Ｏ上一点，∠Ｐ＝６６°，则∠Ｃ 的度数为 （　　） Ａ．６６° Ｂ．６３° Ｃ．５７° Ｄ．６０° ３．如图２，在平面直角坐标系中，过格点 Ａ，Ｂ，Ｃ画 圆弧，则点Ｂ与下列格点连线所得的直线中，能够与该 圆弧相切的格点坐标是 （　　） Ａ．（５，２） Ｂ．（２，４） Ｃ．（１，４） Ｄ．（６，２） ４．如图３，Ａ，Ｂ是⊙Ｏ上的两点，ＡＣ是过Ａ点的一 条直线，如果∠ＡＯＢ＝１２０°，那么当∠ＣＡＢ的度数等于 度时，ＡＣ才能成为⊙Ｏ的切线． ５．（２０２３松原二模）如图４，在平面直角坐标系中， 半径为２的⊙Ｐ的圆心Ｐ的坐标为（－３，０），将⊙Ｐ沿 ｘ轴正方向平移，使⊙Ｐ与ｙ轴相交，则平移的距离ｄ的 取值范围是 ． ６．（２０２４钦州一模）如图５，四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的 内接四边形，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，过点 Ｃ作 ＣＥ⊥ ＡＤ交 ＡＤ的延长线于点 Ｅ，已知 ＡＣ平分 ∠ＥＡＢ．求证：ＣＥ是 ⊙Ｏ的切线． ７．（２０２４南京一模）如图６，⊙Ｏ经过菱形ＡＢＣＤ的 顶点Ｂ，Ｄ，与边ＢＣ，ＣＤ分别相交于点Ｅ，Ｆ． （１）若ＡＢ与⊙Ｏ相切，求证：ＡＤ与⊙Ｏ相切； （２）求证：ＢＥ＝ＤＦ． ２．５．３切线长定理；２．５．４三角形的内切圆 １．（２０２４南阳二模）如图１，点Ｏ是△ＡＢＣ外接圆 的圆心，点Ｉ是△ＡＢＣ的内心，连接ＯＢ，ＩＡ．若∠ＯＢＣ＝ ２０°，则∠ＣＡＩ的度数为 （　　） Ａ．２０° Ｂ．２５° Ｃ．３０° Ｄ．３５° ２．（２０２４衡阳模拟）如图２所示，△ＡＢＣ的内切圆 ⊙Ｏ分别与ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ相切于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，且ＡＤ＝６，ＢＥ ＝４，ＣＦ＝８，则△ＡＢＣ的周长为 （　　） Ａ．３６ Ｂ．３８ Ｃ．４０ Ｄ．４２ ３．如图３，直线ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ分别与⊙Ｏ相切于Ｅ，Ｆ， Ｇ，且ＡＢ∥ＣＤ，若ＢＯ＝６ｃｍ，ＯＣ＝８ｃｍ，则ＢＥ＋ＣＧ的 长为 ｃｍ． ４．如图４，在 △ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝７０°，△ＡＢＣ的内 切圆⊙Ｏ与ＡＢ，ＢＣ分别相切于点Ｄ，Ｅ，连接ＤＥ，ＡＯ的 延长线交ＤＥ于点Ｆ，则∠ＡＦＤ＝ ． ５． 如 图 ５，⊙Ｏ 是 △ＡＢＣ的内切圆，切点分别 为 Ｄ，Ｅ，Ｆ，且 ∠Ａ＝９０°， ＢＣ＝ ５２，ＣＡ＝２，则 ⊙Ｏ 的半径是 ． ６．（２０２４广东二模）如图６，Ｐ是 ⊙Ｏ外一点，ＰＡ， ＰＢ是⊙Ｏ的两条切线，切点分别为Ａ，Ｂ，Ｃ为劣弧 ) ＡＢ上 一点，过点Ｃ作⊙Ｏ的切线，分别交ＰＡ，ＰＢ于点Ｄ，Ｅ． （１）若△ＰＤＥ的周长为１２，求ＰＡ的长； （２）若∠ＤＯＥ＝７２°，求∠ＡＰＢ的度数． ７．如图７，Ｏ是△ＡＢＣ的外心，Ｉ是△ＡＢＣ的内心， 连接ＡＩ并延长交ＢＣ和⊙Ｏ于点Ｄ，Ｅ． （１）求证：ＥＢ＝ＥＩ； （２）若ＡＢ＝８，ＡＣ＝６，ＢＥ＝４，求ＡＩ的长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! " # $ ! ! % & ' ( ! " 书 ∠ＣＢＤ，所以 ) ) ＡＤ＝ＣＤ， 所以 ) ) ) ＡＢ＋ＡＤ＝ＢＣ＋ ) ＣＤ，即 ) ) ＢＡＤ＝ＢＣＤ，所 以 ＢＤ是直径，所以 ∠ＢＡＤ＝９０°． （３）因 为 ＣＦ∥ ＡＤ，所以 ∠Ｆ＋∠ＢＡＤ ＝１８０°，因为∠ＢＡＤ＝ ９０°，所以∠Ｆ＝９０°．因 为 ) ) ＡＤ＝ＣＤ，所以ＡＤ＝ ＤＣ．因为 ＡＣ＝ＡＤ，所 以ＡＣ＝ＡＤ＝ＣＤ，所以 △ＡＤＣ是等边三角形， 所以 ∠ＡＤＣ＝６０°．因 为ＢＤ平分∠ＡＤＣ，所以 ∠ＣＤＢ＝ １２∠ＡＤＣ＝ ３０°．因为 ＢＤ是 ⊙Ｏ的 直径，所以 ∠ＢＣＤ ＝ ９０°，所以 ＢＣ＝ １２ＢＤ． 因为四边形ＡＢＣＤ是圆 内接 四 边 形， 所 以 ∠ＡＤＣ ＋ ∠ＡＢＣ ＝ １８０°，所以 ∠ＡＢＣ ＝ １２０°，所以 ∠ＦＢＣ ＝ ６０°，所以∠ＦＣＢ＝９０° －６０°＝３０°，所以ＦＢ＝ １ ２ＢＣ．因为 ＢＦ＝２，所 以ＢＣ＝４，所以 ＢＤ＝ ２ＢＣ＝８． 因为ＢＤ是直径，所 以此 圆 半 径 的 长 为 １ ２ＢＤ＝４． 上期４版 重点集训营 １．６０°； 槡　２．３３； 槡３．７． ４． （１） 四 边 形 ＡＢＥＤ是矩形，理由如 下： 因为ＣＤ是 ⊙Ｏ的 直径，所以 ∠ＣＥＤ ＝ ９０°，所 以 ∠ＢＥＤ ＝ ９０°，因为 ＡＤ∥ ＢＣ，所 以 ∠ＡＢＣ ＋ ∠Ａ ＝ １８０°，因为 ∠Ａ＝９０°， 所以 ∠ＡＢＣ＝９０°，所 以四边形 ＡＢＥＤ是矩 形． （２）因为 ∠Ａ ＝ ９０°，∠ＡＢＤ＝３０°，所以 ＢＤ＝２ＡＤ ＝６，因为 ２ＤＦ＝ＢＦ，所以 ＢＦ＝ ４，ＤＦ＝２，因为四边形 ＡＢＥＤ是 矩 形，所 以 ∠ＦＤＥ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ３０°，所 以 ∠ＦＣＥ ＝ ∠ＦＤＥ＝３０°，因为 ＣＤ 是 ⊙Ｏ的直径，所以 ∠ＣＦＤ ＝ ９０°，所 以 ∠ＢＦＣ＝９０°，所以 ＢＣ ＝８，ＣＦ＝ 槡４３，所以 ＣＤ＝ ＣＦ２＋ＤＦ槡 ２ ＝ 槡２ １３，所以 ⊙Ｏ的半 径是槡１３．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