复习专号 第1章 分式 知识经纬-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 １８期２版 专题一　二次根式的运算 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．８；　４．３２；　５．－４． ６．（１）槡１４；　（２）６；　（３） ３ ４；　（４）－ 槡２ ２； （５） 槡２０３３ － 槡３ ３０；　（６） 槡２ １５． 专题二　二次根式的化简求值 １．Ａ；　２．Ａ；　３．１０－ 槡４５． ４．（１）原式 ＝槡ａ２． 当ａ＝２时，原式 ＝槡２２． （２）原式 槡＝－ ｘｙ． 当ｘ＝ ３２，ｙ＝３时，原式 ＝－ 槡３２ ２． ５．（１）答案不惟一，如２－槡３； （２）原式 ＝（７－ 槡４３）（２＋槡３）２＋（２－槡３）（２＋槡３）＋ 槡３＝（７－ 槡４３）（７＋ 槡４３）＋（２－槡３）（２＋槡３）＋槡３＝７２－ （槡４３）２＋２２－（槡３）２＋槡３＝２＋槡３． １８期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ａ Ｃ Ａ Ｂ 二、１１．ｘ≥１９；　１２．３；　１３．３；　１４．２－槡３；　１５．槡２３； １６．－２ａ－ｂ；　１７．６；　１８．１０． 三、１９．（１）－ 槡５３；　（２）－６－ 槡２７． ２０．原式 ＝（３ａ－１）槡ａ．当ａ＝ １ ２时，原式 ＝ 槡２ ４． ２１．因为ａ＝槡２＋３，ｂ＝槡 ２ ２ ＋３，所以原式 ＝（ａ－ｂ） ２＝ （槡２＋３－槡 ２ ２ －３） ２ ＝（槡２２） ２ ＝ １２． ２２．（１）根据题意，得ｈ＝２０×３＝６０（米）．所以ｔ＝ ２ｈ槡ｇ ＝ ２×６０槡１０ ＝ 槡２３（秒）． 答：该物品落地的时间为 槡２３秒． （２）该玩具最低的下落高度ｈ＝ ６４１０×０．１＝６４（米）．所以 ｔ＝ ２ｈ槡ｇ ＝ ２×６４ 槡１０ ＝ 槡８５ ５ ≈３．５７７６（秒）． 答：最少经过３．５７７６秒落地就可能会伤害到楼下的行人． ２３．因为 ａ 槡２－１ － ｂ 槡２ ＝ ａ（槡２＋１） （槡２－１）（槡２＋１） －槡２２ｂ＝槡２ａ ＋ａ－槡２２ｂ＝（ａ－ １ ２ｂ）槡２＋ａ＝３－ 槡２２，ａ，ｂ都是正整数，所 以ａ－１２ｂ＝－２，ａ＝３．解得ｂ＝１０． ２４．（１）长方形绿地的周长为：（槡１２８＋槡５０）×２＝ 槡２６２（米）． （２）通道的面积为：槡１２８×槡５０－２×（槡１３＋１）× （槡１３－１）＝５６（平方米）．购买地砖需要花费：６×５６＝ ３３６（元）． ２５．（１） ４＋槡 １ ６ ＝５槡 １ ６． （２） ｎ＋ １ｎ＋槡 ２＝（ｎ＋１） １ ｎ＋槡 ２．证明如下： ｎ＋ １ｎ＋槡 ２＝ ｎ２＋２ｎ＋１ ｎ＋槡 ２ ＝ （ｎ＋１）２ ｎ＋槡 ２ ＝（ｎ＋１） １ｎ＋槡 ２． （３）原式 ＝ 槡２００００２． ２６．（１）ｍ２＋７ｎ２，２ｍｎ； （２）因为ａ＋槡６３＝（ｍ＋ｎ槡３）２＝ｍ２＋３ｎ２＋２ｍｎ槡３，ａ，ｍ， ｎ都是正整数，所以ａ＝ｍ２＋３ｎ２，２ｍｎ＝６．所以ｍｎ＝３．所以 ｍ＝１，ｎ＝３或ｍ＝３，ｎ＝１．当ｍ＝１，ｎ＝３时，ａ＝１２＋３ ×３２＝２８；当ｍ＝３，ｎ＝１时，ａ＝３２＋３×１２＝１２．综上所述， ａ的值为２８或１２． （３）原式 ＝ 槡２５． 复习专号参考答案 《分式》专项练习 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．Ｃ；　５．Ｃ；　６．Ｂ；　７．Ｂ； ８．Ｃ；　９．－２３ｘｙ． １０．（１）最简公分母是２ａ２ｂ２ｃ． ３ ２ａ２ｂ ＝ ３ｂｃ ２ａ２ｂ２ｃ ， ａ－ｂ ａｂ２ｃ ＝２ａ ２－２ａｂ ２ａ２ｂ２ｃ ． （２）最简公分母是（ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ）． ｘ ｘ－ｙ ＝ ｘ（ｘ＋ｙ）２ （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ， ｙ ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２ ＝ ｙ（ｘ－ｙ） （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ， ２ ｘ２－ｙ２ ＝ ２（ｘ＋ｙ） （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ． １１．Ｄ． １２．（１） ａ ａｂ２－ｂ３ ；　（２） ２ａ＋ｂ；　（３） ａ＋１ ａ－１． １３．原式 ＝ｍ２－４ｍ＋３．当ｍ＝４时，原式 ＝３． １４．Ａ；　１５．Ａ． １６．ａ ４ｎ２ ９ｍ４ ． １７．１．０３×１０－７；　１８．Ａ；　１９．Ｂ． ２０．（１）ｘ＝－１；　（２）无解． ２１．（１）设排球的单价为 ｘ元，则篮球的单价为（ｘ＋ ３０）元． 根据题意，得 ３３０ ｘ＋３０＝ ２４０ ｘ．解得ｘ＝８０． 经检验，ｘ＝８０是原分式方程的解，且符合题意． 所以ｘ＋３０＝１１０． 答：篮球的单价为１１０元，排球的单价为８０元． （２）设购买篮球ｙ个，则购买排球（２０－ｙ）个． 根据题意，得１１０ｙ＋８０（２０－ｙ）≤１８００． 解得ｙ≤６２３．所以ｙ的最大值为６． 答：最多购买６个篮球． 《分式》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ａ 二、１１．ｍ；　１２．１．２×１０－８；　１３．５４；　１４．５，１；　１５．６； １６．８０；　１７．３４；　１８．－４或６． 三、１９．（１）－ｂ ６ｃ ８；　（２） １ ｘ． ２０．（１）无解；　（２）ｘ＝４． ２１．任务一：①一，分式的基本性质；②二，去括号时 －２没 有变号． 任务二：（ ｘ ｘ２－４ － １ｘ＋２）÷ ２ ｘ－２＝（ ｘ ｘ２－４ －ｘ－２ ｘ２－４ ）· ｘ－２ ２ ＝ ｘ－ｘ＋２ ｘ２－４ · ｘ－２ ２ ＝ ２ （ｘ＋２）（ｘ－２）· ｘ－２ ２ ＝ １ ｘ＋２． ２２．设每辆小货车的货运量是 ｘ吨，则每辆大货车的货运 量是（ｘ＋４）吨． 根据题意，得 ８０ ｘ＋４＝ ６０ ｘ．解得ｘ＝１２． 经检验，ｘ＝１２是原分式方程的解，且符合题意． 所以ｘ＋４＝１６． 答：每辆大货车的货运量是１６吨，每辆小货车的货运量是 １２吨． ２３．解分式方程 ｘｘ＋１＋ ２ ｘ－１＝１，得ｘ＝－３．经检验，ｘ＝ －３是原分式方程的解．将ｘ＝－３代入 ａｘａ＋１－ ２ ｘ＋１＝２，得ａ ＝－１４．经检验，ａ＝－ １ ４是原分式方程的解．所以（８ａ＋１） ２３ ＝［８×（－１４）＋１］ ２３ ＝（－１）２３ ＝－１． ２４．（１）新能源车的每千米行驶费用为：６０×０．６ａ ＝ ３６ ａ（元）． （２）①根据题意，得４０×９ａ － ３６ ａ ＝０．５４．解得ａ＝６００．经 检验，ａ＝６００是原分式方程的解，且符合题意． 所以 ４０×９ ａ ＝０．６， ３６ ａ ＝０．０６． 答：燃油车的每千米行驶费用为０．６元，新能源车的每千 米行驶费用为０．０６元． ②设每年行驶里程为ｘ千米． 根据题意，得０．６ｘ＋４８００＞０．０６ｘ＋７５００． 解得ｘ＞５０００． 答：当每年行驶里程大于５０００千米时，买新能源车的年费 用更低． ２５．（１）是． （２）设 ａ－ｂ２ａ＋３ｂ的“关联分式”是 Ｎ．则 ａ－ｂ ２ａ＋３ｂ－Ｎ ＝ ａ－ｂ ２ａ＋３ｂ·Ｎ．所以（ ａ－ｂ ２ａ＋３ｂ＋１）·Ｎ ＝ ａ－ｂ ２ａ＋３ｂ．所以 Ｎ ＝ ａ－ｂ ３ａ＋２ｂ，即分式 ａ－ｂ ２ａ＋３ｂ的“关联分式”是 ａ－ｂ ３ａ＋２ｂ． （３） ｙｘ＋ｙ． ２６．（１）设甲操控Ａ型号收割机每小时收割ｘ亩水稻，则乙 操控Ｂ型号收割机每小时收割（１－４０％）ｘ亩水稻． 根据题意，得 ６ （１－４０％）ｘ－ ６ ｘ ＝０．４． 解得ｘ＝１０． 经检验，ｘ＝１０是原分式方程的解，且符合题意． 所以（１－４０％）ｘ＝６． 答：甲操控Ａ型号收割机每小时收割１０亩水稻，乙操控Ｂ 型号收割机每小时收割６亩水稻． （２）设安排甲收割ｙ小时，则乙收割（１００－１０ｙ）亩水稻． 根据题意，得 １０ｙ×３％ ＋（１００－１０ｙ）×２％ ≤ １００× ２．４％．解得ｙ≤４． 答：最多安排甲收割４小时． 《三角形》专项练习 １．Ｂ；　２．１２＜ｙ＜１８；　３．Ｄ；　４．０．５或１．５． ５．（１）△ＡＢＣ，△ＡＢＤ，３． （２）因为∠ＢＡＣ＝９０°，∠Ｂ＝３５°，所以 ∠Ｃ＝１８０°－ ∠ＢＡＣ－∠Ｂ＝５５°．因为ＡＦ⊥ＢＣ，所以 ∠ＡＦＣ＝９０°．所以 ∠ＣＡＦ＝１８０°－∠ＡＦＣ－∠Ｃ＝３５°． ６．Ａ． ７．因为∠Ｂ比∠Ｃ大２０°，所以∠ＢＡＣ＝１８０°－∠Ｂ－∠Ｃ ＝１８０°－（∠Ｃ＋２０°）－∠Ｃ＝１６０°－２∠Ｃ．因为 ＡＦ平分 ∠ＢＡＣ，所以∠ＢＡＦ＝ １２∠ＢＡＣ＝８０°－∠Ｃ．由对顶角相等， 得∠ＤＥＦ＝∠ＡＥＢ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＢＡＦ＝１８０°－（∠Ｃ＋ ２０°）－（８０°－∠Ｃ）＝８０°．因为ＦＤ⊥ＢＣ，所以∠ＥＤＦ＝９０°． 所以∠Ｆ＝１８０°－∠ＥＤＦ－∠ＤＥＦ＝１０°． ８．Ｃ；　９．１００°；　１０．Ａ；　１１．Ｃ；　１２．３； １３．４０°或１００°． １４．（１）因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ，所以∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ．因为 ＤＥ∥ＡＣ，所以∠ＡＤＥ＝∠ＣＡＤ．所以∠ＡＤＥ＝∠ＥＡＤ．因为 ＡＤ⊥ＢＤ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＥ＋∠ＢＤＥ＝９０°．所以∠ＥＡＤ ＋∠ＡＢＤ＝１８０°－∠ＡＤＢ＝９０°．所以∠ＢＤＥ＝∠ＡＢＤ．                                                                                                                                                                                   所以 !"#$%&'() ! !" !"#$ 书 ＤＥ＝ＢＥ，即△ＢＤＥ是等腰三角形． （２）因为ＣＤ∥ ＡＢ，所以 ∠ＣＤＡ＝∠ＥＡＤ＝∠ＥＤＡ．在 △ＡＣＤ和 △ＡＥＤ中， ∠ＣＤＡ＝∠ＥＤＡ， ＡＤ＝ＡＤ， ∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ { ， 所 以 △ＡＣＤ≌ △ＡＥＤ（ＡＳＡ）．所以ＣＤ＝ＥＤ．所以ＣＤ＝ＢＥ． １５．５． １６．因为 △ＡＢＣ为等边三角形，所以 ＡＣ＝ＢＣ，∠Ｂ＝ ∠ＡＣＢ＝６０°．因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°＝ ∠Ｂ．在 △ＤＡＣ和 △ＥＢＣ中， ＡＤ＝ＢＥ， ∠ＤＡＣ＝∠Ｂ， ＡＣ＝ＢＣ { ， 所以 △ＤＡＣ≌ △ＥＢＣ（ＳＡＳ）．所以ＤＣ＝ＥＣ，∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ．所以∠ＥＣＤ＝ ∠ＡＣＤ＋∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＥ＋∠ＡＣＥ ＝∠ＡＣＢ ＝６０°．所以 △ＤＥＣ为等边三角形． １７．Ｂ；　１８．４０°． １９．因为∠ＥＢＣ＝∠Ａ＋∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＥ，所以ＣＥ＝ＢＥ． 所以点Ｅ在ＢＣ的垂直平分线上． ２０．Ｄ；　２１．Ａ；　２２．Ｃ；　２３．Ｂ． ２４．△ＡＤＥ≌△ＣＡＢ．理由如下： 因为∠ＤＣＥ＝∠ＣＥＤ，所以ＣＤ＝ＤＥ．因为ＡＢ＝ＣＤ，所 以ＡＢ＝ＤＥ．在△ＡＤＥ和△ＣＡＢ中， ＡＥ＝ＣＢ， ＤＥ＝ＡＢ， ＡＤ＝ＣＡ { ， 所以△ＡＤＥ≌ △ＣＡＢ（ＳＳＳ）． 《三角形》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ｄ Ａ 二、１１．三角形的稳定性；　１２．５；　１３．３０°；　１４．２０，２０； １５．１０°；　１６．１５０°；　１７．５；　１８．７０． 三、１９．图略． ２０．因为∠ＡＣＤ＝１２０°，∠Ａ＝６０°，所以∠Ｂ＝∠ＡＣＤ－ ∠Ａ＝６０°，∠ＡＣＢ＝１８０°－∠ＡＣＤ＝６０°．所以△ＡＢＣ是等边 三角形． ２１．因为 ∠ＢＡＣ＝６８°，ＡＥ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＣＡＥ＝ １２∠ＢＡＣ＝３４°．因为∠ＡＣＤ＝１１６°，所以∠ＡＥＣ＝ ∠ＡＣＤ－∠ＣＡＥ＝８２°． ２２．过点Ｆ作ＦＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，图略．所以∠ＡＧＦ＝∠ＥＤＣ ＝９０°，ＦＧ＝ＢＥ＝２０米，ＢＧ＝ＥＦ＝１米．因为∠１与∠２互 余，所以∠１＋∠２＝９０°．因为∠１＋∠ＥＣＤ＝９０°，所以∠２＝ ∠ＥＣＤ．在 △ＡＦＧ和 △ＥＣＤ中， ∠ＡＧＦ＝∠ＥＤＣ， ＦＧ＝ＣＤ， ∠２＝∠ＥＣＤ { ， 所以 △ＡＦＧ≌△ＥＣＤ（ＡＳＡ）．所以ＡＧ＝ＥＤ＝ＢＤ－ＢＥ＝３８米．所 以ＡＢ＝ＡＧ＋ＢＧ＝３９米． 答：单元楼ＡＢ的高为３９米． ２３．（１）因为∠Ａ＝∠ＡＤＥ，所以ＤＥ＝ＡＥ．因为ＢＥ是边 ＡＣ上的中线，所以ＡＥ＝ＣＥ．因为ＢＤ＝ＣＥ，所以ＢＤ＝ＤＥ．所 以点Ｄ在ＢＥ的垂直平分线上． （２）因为ＢＤ＝ＤＥ，所以 ∠ＡＢＥ＝∠ＤＥＢ．所以 ∠Ａ＝ ∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＥ＋∠ＤＥＢ＝２∠ＡＢＥ．所以 ∠ＢＥＣ＝∠Ａ＋ ∠ＡＢＥ＝３∠ＡＢＥ． ２４．（１）△ＢＣＭ≌△ＡＣＮ．理由如下： 因为ＣＡ＝ＣＢ，ＢＮ＝ＡＭ，所以ＣＡ－ＡＭ＝ＣＢ－ＢＮ，即ＣＭ ＝ＣＮ．在 △ＢＣＭ和 △ＡＣＮ中， ＣＭ ＝ＣＮ， ∠Ｃ＝∠Ｃ， ＣＢ＝ＣＡ { ， 所以 △ＢＣＭ≌ △ＡＣＮ（ＳＡＳ）． （２）因为△ＢＣＭ≌△ＡＣＮ，所以 ∠ＣＢＭ ＝∠ＣＡＮ．因为 ＡＥ＝ＤＥ，所以∠ＥＡＤ＝∠ＥＤＡ．因为ＡＧ∥ＢＣ，所以∠ＧＡＣ＝ ∠ＡＣＢ＝α，∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ．所以 ∠ＡＤＢ＝∠ＣＡＮ．所以 ∠ＢＤＥ＝∠ＡＤＢ＋∠ＥＤＡ＝∠ＣＡＮ＋∠ＥＡＤ＝１８０°－∠ＧＡＣ ＝１８０°－α． ２５．（１）７５°． （２）在ＥＢ上截取ＥＮ＝ＣＥ，连接ＣＮ，图略．所以∠ＥＣＮ＝ ∠ＥＮＣ．因为 ＣＦ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＡＥＣ＝９０°．所以 ∠ＥＮＣ＝ １ ２∠ＡＥＣ＝４５°＝∠Ｆ，∠ＮＡＣ＋∠ＡＣＥ＝１８０°－∠ＡＥＣ＝ ９０°．因为 ∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＥ＋∠ＦＣＤ＝９０°，所以 ∠ＮＡＣ＝ ∠ＦＣＤ．在 △ＡＣＮ和 △ＣＤＦ中， ∠ＡＮＣ＝∠Ｆ， ∠ＮＡＣ＝∠ＦＣＤ， ＡＣ＝ＣＤ { ， 所以 △ＡＣＮ≌△ＣＤＦ（ＡＡＳ）．所以ＡＮ＝ＣＦ．所以ＡＮ－ＥＮ＝ＣＦ－ ＣＥ，即ＡＥ＝ＦＥ． ２６．（１）过点Ｐ作ＰＦ∥ＡＣ交ＢＣ于点Ｆ，图略．所以∠ＰＦＢ ＝∠ＡＣＢ，∠ＰＦＤ＝∠ＱＣＤ，∠ＤＰＦ＝∠Ｑ．因为点Ｐ和点Ｑ同 时出发，且速度相同，所以ＢＰ＝ＣＱ．因为ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝ ∠ＡＣＢ．所以∠Ｂ＝∠ＰＦＢ．所以ＢＰ＝ＰＦ．所以ＰＦ＝ＣＱ．在 △ＰＦＤ和 △ＱＣＤ中， ∠ＰＦＤ＝∠ＱＣＤ， ＰＦ＝ＱＣ， ∠ＤＰＦ＝∠Ｑ { ， 所 以 △ＰＦＤ≌ △ＱＣＤ（ＡＳＡ）．所以ＤＰ＝ＤＱ＝ １２ＰＱ＝５． （２）线段ＤＥ的长保持不变．理由如下： 当点Ｐ在线段ＡＢ上时，由（１）得△ＰＦＤ≌△ＱＣＤ，ＰＢ＝ ＰＦ．所以ＦＤ＝ＣＤ．因为ＰＥ⊥ＢＣ，所以ＥＦ＝ １２ＢＦ．所以ＤＥ＝ ＥＦ＋ＦＤ＝ １２ＢＦ＋ １ ２ＣＦ＝ １ ２ＢＣ＝３． 当点Ｐ在ＢＡ的延长线上时，过点Ｐ作ＰＧ∥ＡＣ交ＢＣ的延 长线于点 Ｇ，图略．所以 ∠Ｇ＝∠ＱＣＤ＝∠ＡＣＢ，∠ＤＰＧ＝ ∠Ｑ．因为ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ．所以∠Ｂ＝∠Ｇ．所以 ＧＰ＝ＢＰ．因为ＰＥ⊥ＢＣ，所以ＥＧ＝ １２ＢＧ．因为ＢＰ＝ＣＱ，所 以ＧＰ＝ＣＱ．在 △ＰＧＤ和 △ＱＣＤ中， ∠ＤＰＧ＝∠Ｑ， ＧＰ＝ＣＱ， ∠Ｇ＝∠ＱＣＤ { ， 所以 △ＰＧＤ≌△ＱＣＤ（ＡＳＡ）．所以ＤＧ＝ＤＣ．所以ＤＥ＝ＥＧ－ＤＧ＝ １ ２ＢＧ－ １ ２ＣＧ＝ １ ２ＢＣ＝３． 综上所述，线段ＤＥ的长保持不变． 《实数》专项练习 １．±１２，１２，－７；　２．２５；　３．４． ４．有理数集合：｛３槡５１２，３．１４１５９２６，－０．４５６，０， ５ １１， （－７）槡 ２，…｝； 无理数集合：｛π，－３槡９， ０．槡 １，３．１３１１３１１１３…（相邻两个 ３之间１的个数逐次加１），…｝； 正实数集合：｛ ３ 槡５１２，π，３．１４１５９２６， ５ １１， ０．槡 １， ３．１３１１３１１１３…（相邻两个３之间１的个数逐次加１）， （－７）槡 ２， …｝； 整数集合：｛ ３ 槡５１２，０， （－７）槡 ２，…｝． ５．Ｂ；　６．槡３，２－槡５，槡５－２；　７．Ｄ；　８．Ｄ． ９．因为２ａ－１的算术平方根是３，所以２ａ－１＝９．解得ａ ＝５．因为３ａ＋ｂ－９的立方根是２，所以３ａ＋ｂ－９＝８．解得ｂ ＝２．因为ｃ是槡１７的整数部分，而４＜槡１７＜５，所以ｃ＝４． 所以ａ＋２ｂ＋ｃ＝１３． １０．（１）＜，（２）＞． １１．从左到右各点对应的实数分别为：Ａ＝－π，Ｅ＝－槡５，Ｂ ＝－１．５，Ｄ＝０．４，Ｆ＝槡３，Ｃ＝槡１５． 根据数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，得槡１５ ＞槡３＞０．４＞－１．５＞－槡５＞－π． １２．Ｂ． １３．（１）２＋槡３；　（２）０．３． １４．（１）ｘ＝ ３２；　（２）ｘ＝－ 槡６ ３；　（３）ｘ＝－１或２． 《实数》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ 二、１１．１－槡３；　１２．５， ３ 槡１０；　１３．１；　１４．（１）＞，（２）＜； １５．槡５＋２；　１６．槡８－４；　１７．－ １３ ９；　１８．槡２６． 三、１９．无理数集合：｛０．１２１１２１１１２…（每相邻两个２之间 １的个数逐次加１），｜－槡６｜， １ ３π，…｝； 负整数集合：｛－２３，－２２，…｝； 分数集合：｛３．１４，（－１１３） ２，２０％，…｝． ２０．（１）２．８５；　（２）槡５－ ３ ５． ２１．（１）ｘ＝１１２或ｘ＝－ １１ ２；　（２）ｘ＝１． ２２．因为 ３ｘ－槡 ３ － ３２ｘ＋槡 １ ＝０，所以 ３ｘ－槡 ３ ＝ ３２ｘ＋槡 １．所以ｘ－３＝２ｘ＋１．解得ｘ＝－４．所以ｘ２＋ｘ－３＝ １６－４－３＝９．所以ｘ２＋ｘ－３的算术平方根是３． ２３．因为Ｍ＝３ｍ＋２ｎ＋１１４ｎ－槡 ３是１４ｎ－３的算术平方根，Ｎ ＝２ｍ＋５ｍ＋槡 ６５是ｍ＋６５的立方根，所以 ３ｍ＋２ｎ＋１＝２， ２ｍ＋５＝３{ ． 解 得 ｍ＝－１， ｎ＝２{ ． 所以 Ｍ ＝ １４×２－槡 ３ ＝ 槡２５ ＝５，Ｎ ＝ ３－１＋槡 ６５＝ ３ 槡６４＝４．所以（Ｎ－Ｍ）７５ ＝（４－５）７５＝－１． ２４．因为从四个顶点处分别剪掉一个面积为２５ｃｍ２的正 方形，所以剪掉的正方形的边长为５ｃｍ． 设原正方形铁皮的边长为ｘｃｍ． 由题意，得５（ｘ－１０）２ ＝１８０． 解得ｘ＝１６或ｘ＝４（不合题意，舍去）． 答：原正方形铁皮的边长为１６ｃｍ． ２５．（１）ｃ＝槡２－１． （２）由题意，得ｍ＝－（ｃ－槡２）＝－（槡２－１－槡２）＝１， ｎ＝｜ｃ－３｜＝｜槡２－１－３｜＝４－槡２．所以６ｍ＋ｎ＝６×１＋ （４－槡２）＝１０－槡２．因为１＜槡２＜２，所以 －２＜－槡２＜－１． 所以８＜１０－槡２＜９．所以６ｍ＋ｎ的整数部分是８， ３ 槡８＝２，即 ６ｍ＋ｎ的整数部分的立方根是２． ２６．（１）２，１０，槡１０；　（２）１０，５０，槡５０； （３）由（１）（２）可知，正方形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的面积是：２×５＝ １０，边长为槡１０；正方形Ａ２Ｂ２Ｃ２Ｄ２的面积是：１０×５＝２×５２＝ ５０，边长为槡５０；…．以此类推，正方形ＡｎＢｎＣｎＤｎ的面积是２× ５ｎ，边长为 ２×５槡 ｎ． 《一元一次不等式（组）》专项练习 １．Ｂ；　２．＜；　３．Ｄ． ４．４×１０＋（３０－１０－３）ｘ＞１７６． ５．Ａ；　６．Ｄ． ７．数轴表示略．（１）ｘ＞－２；　（２）ｘ＜３． ８．Ｂ；　９．Ｄ． １０．数轴表示略．（１）１≤ｘ＜２；　（２）ｘ＞２． １１．４０． １２．（１）设Ａ组工人有ｘ人，Ｂ组工人有（１５０－ｘ）人． 根据题意，得７０ｘ＋５０（１５０－ｘ）＝９３００． 解得ｘ＝９０．所以１５０－ｘ＝６０． 答：Ａ组工人有９０人，Ｂ组工人有６０人． （２）设Ａ组工人每人每小时加工ａ只手套，则Ｂ组工人每 人每小时加工（２００－ａ）只手套． 根据题意，得９０ａ＋６０（２００－ａ）≥１６０００                                                                                                                                                                                   ． !"#$%&'() !"#$ !" 书 解得ａ≥１３３１３． 因为ａ为正整数，所以ａ可取最小值１３４． 答：Ａ组工人每人每小时至少加工１３４只手套． １３．８３． 《一元一次不等式（组）》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ 二、１１．ａ＜－５８；　１２．＜－４；　１３．１０ｘ－５（１５－ｘ）≥９０； １４．１；　１５．２６；　１６．０＜ａ≤１； １７．６；　１８．ｘ＝４３７或ｘ＝ １０７ １４． 三、１９．数轴表示略．（１）ｘ＞－２；　（２）－２≤ｘ＜５． ２０．（１）①不等式基本性质２或者不等式的两边都乘（或 除以）同一个正数，不等号的方向不变； ②三，移项没有变号． （２）ｘ＜１． （３）去分母时，不等号两边每一项都乘以所有分母的最小 公倍数，不漏乘（答案不惟一）． ２１．设需要ｘ名八年级学生参加活动，则需要（１００－ｘ）名 七年级学生参加活动． 根据题意，得１０（１００－ｘ）＋１５ｘ≥１２００．解得ｘ≥４０． 答：至少需要４０名八年级学生参加活动． ２２．解不等式①，得ａ＞２．解不等式②，得ａ＜４． 所以不等式组的解集是２＜ａ＜４． 所以不等式组的整数解是３． 所以方程组为 ３ｘ－２ｙ＝－７， ２ｘ＋３ｙ＝４{ ．解得 ｘ＝－１， ｙ＝２{ ． 所以ｘ２－ｘｙ＋ｙ２ ＝１＋２＋４＝７． ２３．（１）１２； （２）由题意，得ｘ２＝２ｘ－３２（ｘ＋２）＝ １ ２ｘ－３，（－２） （ｘ＋４）＝２×（－２）－３２（－２＋ｘ＋４）＝－ ３ ２ｘ－７．因 为ｘ２＞（－２）（ｘ＋４），所以 １２ｘ－３＞－ ３ ２ｘ－７．解得 ｘ＞－２．所以不等式的负整数解为 －１． ２４．（１）设第一次批发Ａ种头盔ｘ个，Ｂ种头盔ｙ个． 根据题意，得 ｘ＋ｙ＝１２０， ６０ｘ＋４０ｙ＝５６００{ ．解得 ｘ＝４０， ｙ＝８０{ ． 答：第一次批发Ａ种头盔４０个，Ｂ种头盔８０个． （２）设第二次批发 Ａ种头盔 ａ个，则批发 Ｂ种头盔 ７２００－６０ａ ４０ 个． 根据题意，得（８０－６０）ａ＋（５０－４０）×７２００－６０ａ４０ ≥ ７２００×３０％．解得ａ≥７２． 答：该商店第二次至少批发Ａ种头盔７２个． ２５．（１）解方程组 ２ｘ＋ｙ＝１， ｘ－ｙ＝５－３ａ{ ，得 ｘ＝２－ａ， ｙ＝２ａ－３{ ． 因为方程组的解都为非负数，所以 ２－ａ≥０， ２ａ－３≥０{ ． 解得 ３ ２≤ａ≤２． （２）因为２ａ－ｂ＝－１，所以ａ＝ｂ－１２ ． 所以 ３ ２≤ ｂ－１ ２ ≤２．解得４≤ｂ≤５．所以 １１ ２≤ａ＋ｂ≤７． ２６．（１）设长益段高铁全长为ｘ千米，长益城际铁路全长为 ｙ千米． 根据题意，得 ｙ＝ｘ＋４０， ｙ ６０＝ ｘ １６× １３ ３０ { ．解得 ｘ＝６４，ｙ＝１０４{ ． 答：长益段高铁全长为 ６４千米，长益城际铁路全长为 １０４千米． （２）设甲工程队后期每天施工ａ千米． 甲原来每天的施工长度为：６４÷４０×７１６＝０．７（千米）， 乙每天的施工长度为：６４÷４０×９１６＝０．９（千米）． 根据题意，得０．７×５＋０．９×（４０－３）＋（４０－３－５）ａ≥ ６４．解得ａ≥０．８５． 答：甲工程队后期每天至少施工０．８５千米． 《二次根式》专项练习 １．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｃ；　４．Ｂ；　５．Ｂ；　６．２５；　７．Ｄ； ８．３－槡５；　９．Ｄ；　１０．Ｄ；　１１． １ ２；　１２．Ｃ． １３．（１）１１＋ 槡６２；　（２）槡３；　（３）４＋槡６；　（４）槡２＋２． １４．（１）原式 槡 槡＝ ｂ－ｂａ． 当ａ＝２，ｂ＝８时，原式 ＝－槡６２． （２）原式 ＝ｘ２＋槡２ｘ． 当ｘ＝槡２＋１时，原式 ＝５＋ 槡３２． 《二次根式》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｄ Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ 二、１１． 槡３ １０；　１２．答案不惟一，如 －槡２；　１３．＜； １４．槡６２；　１５．－２；　１６．２；　１７．槡７－槡５； １８．槡２２＋２或槡２＋４． 三、１９．（１） 槡３２１０；　（２） ７ ３． ２０．ｘ＜槡６４． ２１．因为 １ 槡２６＋５ ＜１，所以ｘ－１＜０．所以原式 ＝ｘ－１－１ｘ ＝ｘ ２－ｘ－１ ｘ ．当ｘ＝ １ 槡２６＋５ ＝５－槡２６时，原式 ＝－槡４６－１． ２２．（１）根据题意，得ＡＣ＝（槡５５＋ 槡２ １０）－槡４５－槡４０ ＝ 槡２５（ｃｍ）． （２）根据题意，得ＡＣ边上的高为：２（ 槡２０６＋槡４５）÷槡２５＝ （ 槡４ ３０＋４）ｃｍ． ２３．当ｘ＝３－槡２２ ，ｙ＝ １＋槡２ ２ 时， （１）原式 ＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＝（３－槡２２ ＋ １＋槡２ ２ ）× （ ３－槡２ ２ － １＋槡２ ２ ）＝２－ 槡２２； （２）原式 ＝（ｘ－ｙ）２＝（３－槡２２ － １＋槡２ ２ ） ２＝（１－槡２）２ ＝３－ 槡２２． ２４．（１）槡２２； （２）根据题意，得（槡３－１）×（ｍ－槡３）＝－２．所以ｍ－槡３ ＝－ ２ 槡３－１ ＝－（槡３＋１）＝－１－槡３．所以ｍ＝－１． ２５．（１）猜想：ａ＋ｂ≥２槡ａｂ（ａ≥０，ｂ≥０）．理由如下： 因为ａ＋ｂ－２槡ａｂ＝（槡ａ）２＋（槡ｂ）２－２槡ａｂ＝（槡ａ－ 槡ｂ）２≥０，所以ａ＋ｂ≥２槡ａｂ． （２）设对角线的长分别为ａ厘米，ｂ厘米．由对角线互相垂 直，得四边形ＡＢＣＤ的面积为 １２ａｂ．则 １ ２ａｂ＝８００．所以ａｂ＝ １６００．因为ａ＋ｂ≥２槡ａｂ＝２×槡１６００＝８０，所以用来做对 角线的竹条至少要用８０ｃｍ． ２６．（１）ｘ＝±槡３９． （２）（ ４ｘ２＋６ｘ－槡 ５＋ ４ｘ２－２ｘ－槡 ５）（ ４ｘ２＋６ｘ－槡 ５ － ４ｘ２－２ｘ－槡 ５）＝（ ４ｘ２＋６ｘ－槡 ５）２－（ ４ｘ２－２ｘ－槡 ５）２ ＝ （４ｘ２＋６ｘ－５）－（４ｘ２－２ｘ－５）＝８ｘ．因为 ４ｘ２＋６ｘ－槡 ５＋ ４ｘ２－２ｘ－槡 ５＝４ｘ，所以 ４ｘ２＋６ｘ－槡 ５－ ４ｘ２－２ｘ－槡 ５＝ ８ｘ÷４ｘ＝２．所以 ４ｘ２＋６ｘ－槡 ５＝２ｘ＋１， ４ｘ２－２ｘ－槡 ５＝２ｘ －１．所以（ ４ｘ２＋６ｘ－槡 ５）２＝（２ｘ＋１）２．所以４ｘ２＋６ｘ－５＝ ４ｘ２＋４ｘ＋１．解得ｘ＝３．同理解 ４ｘ２－２ｘ－槡 ５＝２ｘ－１，得ｘ ＝３．所以方程 ４ｘ２＋６ｘ－槡 ５＋ ４ｘ２－２ｘ－槡 ５＝４ｘ的解是ｘ ＝３． 八年级第一学期期末综合质量检测卷（一） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ａ Ｄ Ｄ Ｄ Ａ Ａ Ｃ Ａ Ａ 二、１１．三角形具有稳定性；　１２．５＜ｃ＜１１；　１３．１２； １４．答案不惟一，如ＰＡ＝ＰＢ；　１５．－２＜ｘ＜－１； １６．－１；　１７．３０°；　１８．１或 ７２或１２． 三、１９．（１）－２；　（２）１０－槡５． ２０．数轴表示略．（１）ｘ＞－２；　（２）－６≤ｘ＜２． ２１．（１）ｘ＝ ３２；　（２）ｘ＝－ ２ ５． ２２．ＡＦ⊥ＤＥ．理由如下： 因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＧ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上的中线，所以∠ＢＡＧ ＝∠ＣＡＧ．由对顶角相等，得 ∠ＤＡＦ ＝∠ＢＡＧ，∠ＥＡＦ ＝ ∠ＣＡＧ．所以∠ＤＡＦ＝∠ＥＡＦ．又因为ＡＤ＝ＡＥ，所以ＡＦ⊥ＤＥ． ２３．因为ａｂ＝４，ａ＋ｂ＝－４，所以槡ａｂ＝２，ａ＜０，ｂ＜０． 所以ｂ ａ槡ｂ ＋ａ ｂ 槡ａ ＝ｂ 槡ａｂ ｂ槡２ ＋ａ槡ａｂ ａ槡 ２ ＝－２槡ａｂ＝－４． ２４．去分母，得ｘ２－ａｘ－３ｘ＋３＝ｘ２－ｘ．整理，得（ａ＋２）ｘ ＝３．当ａ＋２＝０，即ａ＝－２时，方程无解；当ａ＋２≠０时，解 得 ｘ＝ ３ａ＋２．由分式方程无解可得ｘ＝０或ｘ＝１．当ｘ＝０时， ａ无解；当ｘ＝１时，ａ＝１．综上所述，ａ的值为 －２或１． ２５．（１）因为 ＡＥ∥ ＢＣ，所以 ∠ＤＡＥ＝∠Ｂ，∠ＥＡＣ＝ ∠ＡＣＢ．因为Ｅ为△ＡＢＣ的外角平分线上的一点，所以∠ＤＡＥ ＝∠ＥＡＣ．所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ．所以ＡＢ＝ＡＣ，即△ＡＢＣ是等腰 三角形． （２）在△ＡＢＦ和 △ＣＡＥ中， ＡＢ＝ＣＡ， ∠Ｂ＝∠ＥＡＣ， ＢＦ＝ＡＥ { ， 所以 △ＡＢＦ ≌△ＣＡＥ（ＳＡＳ）．所以ＡＦ＝ＣＥ． ２６．（１）设甲种牛奶的进价为每件ｘ元，则乙种牛奶的进价 为每件（ｘ＋５）元． 根据题意，得 ９０ ｘ ＝ １００ ｘ＋５．解得ｘ＝４５． 经检验，ｘ＝４５是原分式方程的解，且符合题意． 所以ｘ＋５＝５０． 答：甲种牛奶的进价为每件４５元，乙种牛奶的进价为每件 ５０元． （２）设购进乙种牛奶ｙ件，则购进甲种牛奶（３ｙ－５）件． 根据题意，得 ３ｙ－５＋ｙ≤９５， ４（３ｙ－５）＋５ｙ＞３７１{ ． 解得２３＜ｙ≤２５． 因为ｙ为整数，所以ｙ＝２４或２５． 所以共有两种方案： 方案一：购进甲种牛奶６７件，乙种牛奶２４件； 方案二：购进甲种牛奶７０件，乙种牛奶２５件． 八年级第一学期期末综合质量检测卷（二） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ 二、１１．－５３；　１２．３－槡６；　１３．ｘ－１；　１４．６５°； １５．１５；　１６．５６；　１７．ａ＞－２；　１８．２                                                                                                                                                                                   ． !"#$%&'() ! !" !"#$ 书 三、１９．（１）１；　（２） 槡１１７＋２． ２０．（１）ｘ＜３；　（２）ｘ＝０． ２１．解不等式组 ｘ－１ ２ ＞ｘ－３， ２（ｘ－３）≤ｘ－４ { ， 得ｘ≤２．解方程１＋ｘ ＝ｍ，得ｘ＝ｍ－１．所以ｍ－１≤２．解得ｍ≤３． ２２．因为 ＣＥ平分 ∠ＡＣＢ，∠ＡＣＢ＝８０°，所以 ∠ＡＣＥ＝ １ ２∠ＡＣＢ＝４０°，∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°－∠ＡＣＢ＝１００°．因为∠Ａ 比∠Ｂ大２０°，所以∠Ａ－∠Ｂ＝２０°．所以∠Ａ＝６０°．因为ＣＤ 是边ＡＢ上的高，所以 ∠ＣＤＡ＝９０°．所以 ∠ＡＣＤ＝１８０°－ ∠ＣＤＡ－∠Ａ＝３０°．所以∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＥ－∠ＡＣＤ＝１０°． ２３．设小强的爸爸平常开车到小强奶奶家的速度是ｘ千米 ／时． 根据题意，得 １２０ ｘ ＋ １２０ ｘ－２０＝ ５ ４ × ２４０ ｘ．解得ｘ＝６０． 经检验，ｘ＝６０是原分式方程的解，且符合题意． 答：小强的爸爸平常开车到小强奶奶家的速度是６０千米／时． ２４．因为∠１＝∠２，所以∠１＋∠ＤＡＣ＝∠２＋∠ＤＡＣ，即 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ．因为ＤＡ平分∠ＢＤＥ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＥ． 因为 ＡＢ＝ＡＤ，所以 ∠Ｂ＝∠ＡＤＢ．所以 ∠Ｂ＝∠ＡＤＥ．在 △ＡＢＣ和 △ＡＤＥ中， ∠Ｂ＝∠ＡＤＥ， ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ { ， 所 以 △ＡＢＣ≌ △ＡＤＥ（ＡＳＡ）． ２５．（１）槡７３－８． （２）因为１６＜１９＜２５，所以４＜槡１９＜５．所以０＜槡１９ －４＜１．因为ａ是槡１９－４的整数部分，ｂ是槡１９－４的小数部 分，所以ａ＝０，ｂ＝槡１９－４．所以（ａ＋１）３＋（ｂ＋４）２＝１＋ １９＝２０． （３）因为１＜３＜４，所以１＜槡３＜２．所以３＜２＋槡３＜ ４．因为ｍ是２＋槡３的整数部分，ｎ是２＋槡３的小数部分，所以 ｍ＝３，ｎ＝２＋槡３－３＝槡３－１．所以ｍ－ｎ的相反数为：－（ｍ－ ｎ）＝ｎ－ｍ＝槡３－４． ２６．（１）因为∠Ａ＝８０°，所以∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°－ ∠Ａ＝１００°．因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，ＣＤ平分∠ＡＣＢ，所以∠ＤＢＣ ＝ １２∠ＡＢＣ，∠ＤＣＢ＝ １ ２∠ＡＣＢ．所以 ∠ＥＤＣ＝∠ＤＢＣ＋ ∠ＤＣＢ＝ １２（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝５０°． （２）在ＣＢ上截取ＣＭ＝ＣＥ，连接ＤＭ，图略．因为ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，ＣＤ平分 ∠ＡＣＢ，所以 ∠ＡＢＤ ＝∠ＭＢＤ，∠ＥＣＤ ＝ ∠ＭＣＤ．在 △ＣＤＥ和 △ＣＤＭ中， ＣＥ＝ＣＭ， ∠ＥＣＤ＝∠ＭＣＤ， ＣＤ＝ＣＤ { ， 所以 △ＣＤＥ≌△ＣＤＭ（ＳＡＳ）．所以ＤＥ＝ＤＭ，∠ＣＥＤ＝∠ＣＭＤ．所 以∠ＣＥＤ－∠ＡＢＤ＝∠ＣＭＤ－∠ＭＢＤ，即∠Ａ＝∠ＢＤＭ．因为 ∠Ａ＝２∠ＢＤＦ，所以∠ＢＤＭ＝２∠ＢＤＦ＝∠ＭＤＦ＋∠ＢＤＦ．所 以∠ＭＤＦ＝∠ＢＤＦ．因为ＧＤ＝ＤＥ，所以ＧＤ＝ＤＭ．在△ＤＧＦ 和 △ＤＭＦ 中， ＤＧ＝ＤＭ， ∠ＧＤＦ＝∠ＭＤＦ， ＤＦ＝ＤＦ { ， 所 以 △ＤＧＦ ≌ △ＤＭＦ（ＳＡＳ）．所以ＦＧ＝ＦＭ．所以 ＣＦ＝ＦＭ＋ＣＭ ＝ＦＧ＋ ＣＥ． 八年级第一学期期末综合质量检测卷（三） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ 二、１１．槡７，槡３－１．７；　１２．真；　１３．＜；　１４．８；　１５．＜； １６．ｍ≥１；　１７．７；　１８．６０°． 三、１９．（１）－１；　（２）５－槡２． ２０．（１）１；　（２）ｘ＝ １３． ２１．根据题意，得２ａ＋１＝９，３ａ－ｂ－１＝８．解得ａ＝４，ｂ ＝３．所以ａ＋２０ｂ＝６４．因为６４的立方根是４，所以ａ＋２０ｂ的 立方根是４． ２２．因为这块草地的周长为（ 槡１０６－ 槡２２）ｍ，宽为（槡６－ 槡２）ｍ，所以这块草地的长为： １ ２×（ 槡１０６－槡２２）－（槡６－槡２） ＝ 槡４６（ｍ）．所以这块草地的面积为：槡４６（槡６－槡２）＝（２４－ 槡８３）ｍ２． ２３． ｘ－１ ２ －２＜ ７－ｘ ２ ，　① ３ｘ－ａ＞－３ｘ． { ② （１）解不等式①，得ｘ＜６． 当ａ＝６时，不等式②可表示为３ｘ－６＞－３ｘ，解得ｘ＞１． 所以原不等式组的解集是１＜ｘ＜６． （２）由（１）得不等式①的解集为ｘ＜６．解不等式②，得ｘ ＞ ａ６．因为该不等式组只有２个整数解，即为４，５，所以３≤ ａ ６ ＜４．解得１８≤ａ＜２４． ２４．（１）因为ＡＥ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＣＥ，所以ＡＤ是ＣＥ的垂直平 分线．所以ＤＥ＝ＣＤ．所以∠ＤＥＣ＝∠ＤＣＥ． （２）①因为 ＡＣ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＣＥ，ＡＥ＝ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝ ∠ＢＣＥ＝∠ＢＡＣ，∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥ．所以∠ＡＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＣＥ ＝２∠Ｂ．在△ＡＥＣ中，∠ＡＣＥ＋∠ＡＥＣ＋∠ＢＡＣ＝２∠Ｂ＋２∠Ｂ ＋∠Ｂ＝１８０°．解得∠Ｂ＝３６°． ②ＡＢ－ＡＣ＝ＢＣ－ＤＥ．理由如下： 由（１）得∠ＤＣＥ＝∠ＤＥＣ＝∠Ｂ＝３６°．所以∠ＢＤＥ＝ ∠ＤＣＥ＋∠ＤＥＣ＝７２°．所以∠ＢＥＤ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＢＤＥ＝ ７２°＝∠ＢＤＥ．所以ＢＥ＝ＢＤ．所以ＡＢ－ＡＣ＝ＢＣ－ＤＥ． ２５．（１）设一台Ｂ型收割机平均每天收割小麦ｘ公顷，则一 台Ａ型收割机平均每天收割小麦（ｘ＋２）公顷． 根据题意，得 １５ ｘ＋２＝ ９ ｘ．解得ｘ＝３． 经检验，ｘ＝３是原分式方程的解，且符合题意． 所以ｘ＋２＝５． 答：一台Ａ型收割机平均每天收割小麦５公顷，一台Ｂ型收 割机平均每天收割小麦３公顷． （２）设安排ｍ台Ａ型收割机，则安排（１２－ｍ）台Ｂ型收割 机． 根据题意，得５ｍ＋３（１２－ｍ）≥５０．解得ｍ≥７． 答：至少要安排７台Ａ型收割机． ２６．（１）因为∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ，所以ＡＢ＝ＢＣ＝１０．因为 ＢＦ＝８，所以ＣＦ＝ＢＣ－ＢＦ＝２． （２）延长ＣＤ至点Ｍ，使ＤＭ＝ＤＣ，连接ＦＭ，图略．因为点 Ｄ为 ＡＦ的中点，所以 ＡＤ ＝ＦＤ．在 △ＡＣＤ和 △ＦＭＤ中， ＤＣ＝ＤＭ， ∠ＡＤＣ＝∠ＦＤＭ， ＡＤ＝ＦＤ { ， 所以△ＡＣＤ≌△ＦＭＤ（ＳＡＳ）．所以∠ＡＣＤ ＝∠Ｍ，ＡＣ＝ＦＭ．因为∠ＡＣＥ＝∠Ｂ，所以∠ＡＣＥ＋∠ＢＣＥ＝ ∠Ｂ＋∠ＢＣＥ，即 ∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＣ，∠ＣＦＭ ＝１８０°－∠Ｍ－ ∠ＭＣＦ＝１８０°－∠ＡＣＤ－∠ＭＣＦ＝１８０°－∠ＡＣＥ－∠ＢＣＥ＝ １８０°－∠Ｂ－∠ＢＣＥ＝∠ＢＥＣ．因为 ∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＣ，所以 ∠ＡＥＣ＝∠ＢＡＣ．所以ＡＣ＝ＣＥ．所以ＦＭ＝ＣＥ．因为ＡＢ＝ＢＣ， ＡＥ＝ＢＦ，所以ＡＢ－ＡＥ＝ＢＣ－ＢＦ，即ＢＥ＝ＣＦ．在△ＣＭＦ和 △ＢＣＥ中， ＭＦ＝ＣＥ， ∠ＣＦＭ＝∠ＢＥＣ， ＣＦ＝ＢＥ { ， 所以 △ＣＭＦ≌ △ＢＣＥ（ＳＡＳ）． 所以∠Ｍ＝∠ＢＣＥ．所以∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ． 八年级第一学期期末综合质量检测卷（四） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｂ Ｄ Ｄ Ｂ Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ 二、１１．绝对值相等的两个数相等； １２．－３２；　１３．６８；　１４．３０；　１５．０；　１６．１； １７．ａ≤－５或ａ≥５；　１８．８０°或１００°． 三、１９．（１）槡２２－３；　（２）ｘ＝３． ２０．（１）槡２２； （２）因为ｘ－ｙ＝槡３＋槡２－（槡３－槡２）＝ 槡２２，ｘｙ＝（槡３ ＋槡２）（槡３－槡２）＝１，所以ｘ２＋ｙ２－５ｘｙ＝（ｘ－ｙ）２－３ｘｙ＝ （槡２２）２－３×１＝５． ２１．（１）因为２ａ＋３的立方根是３，ａ＋ｂ－１的算术平方根 是４，所以２ａ＋３＝２７，ａ＋ｂ－１＝１６．解得ａ＝１２，ｂ＝５．因 为３＜槡１１＜４，所以槡１１的整数部分是３．所以ｃ＝３． （２）因为ａ＝１２，ｂ＝５，ｃ＝３，所以ａ－４ｂ＋３ｃ＝１．因为 １的平方根是 ±１，所以ａ－４ｂ＋３ｃ的平方根是 ±１． ２２．设该景点在设施改造后平均每天的用水量为 ｘ吨，则 设施改造前平均每天的用水量为２ｘ吨． 根据题意，得 ２０ ２ｘ＋５＝ ２０ ｘ．解得ｘ＝２． 经检验，ｘ＝２是原分式方程的解，且符合题意． 答：该景点在设施改造后平均每天的用水量为２吨． ２３．（１）因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＡＢＣ＝∠ＥＣＤ．在△ＡＢＣ和 △ＥＣＤ中， ∠ＡＢＣ＝∠ＥＣＤ， ∠Ａ＝∠Ｅ， ＡＣ＝ＥＤ { ， 所以 △ＡＢＣ≌ △ＥＣＤ（ＡＡＳ）． 所以ＢＣ＝ＣＤ． （２）因为ＢＣ＝ＣＤ，所以∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＢ．所以∠ＡＢＣ＋ ∠ＣＢＤ＝∠ＥＣＤ＋∠ＣＤＢ，即∠ＡＢＤ＝∠ＥＢＤ． ２４．（１）根据题意，得纸片①上的代数式是：ｘ ２＋４ ｘ２－４ ＋ ｘ２－ｘ ＝ ｘ ２＋４ （ｘ＋２）（ｘ－２）－ ｘ（ｘ＋２） （ｘ＋２）（ｘ－２）＝ ｘ２＋４－ｘ２－２ｘ （ｘ＋２）（ｘ－２） ＝ －２（ｘ－２） （ｘ＋２）（ｘ－２）＝－ ２ ｘ＋２． （２）根据题意，得－ ２ｘ＋２＝ ３ ｘ．去分母，得－２ｘ＝３ｘ＋６． 解得ｘ＝－６５．检验：把ｘ＝－ ６ ５代入ｘ（ｘ＋２），ｘ（ｘ＋２）≠０． 所以原分式方程的解为ｘ＝－６５，即李老师心中的数为 － ６ ５． ２５．（１）①根据题意，得 －（ｍ－ｎ）＝０， ８ｎ＝８{ ． 解得 ｍ＝１， ｎ＝１{ ． ②根据题意，得 （２ｐ＋２－ｐ）（２ｐ＋４－２ｐ）＞４， （４ｐ＋３－２ｐ）（４ｐ＋６－４ｐ）≤{ ａ． 解得 －１＜ｐ≤ａ－１８１２ ． 因为不等式组恰好有３个整数解， 所以２≤ａ－１８１２ ＜３． 解得４２≤ａ＜５４． （２）根据题意，得（ｍｘ＋ｎｙ）（ｘ＋２ｙ）＝（ｍｙ＋ｎｘ）（ｙ＋ ２ｘ）．所以ｍｘ２＋（２ｍ＋ｎ）ｘｙ＋２ｎｙ２＝２ｎｘ２＋（２ｍ＋ｎ）ｘｙ＋ｍｙ２． 因为对任意实数ｘ，ｙ都成立，所以ｍ＝２ｎ． ２６．（１）因为ＡＤ＝ＡＣ，所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＤ．所以１８０°－ ∠ＡＤＣ＝１８０°－∠ＡＣＤ，即 ∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＥ．在 △ＡＤＢ和 △ＡＣＥ中， ＡＤ＝ＡＣ， ∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＥ， ＢＤ＝ＥＣ { ， 所以△ＡＤＢ≌△ＡＣＥ（ＳＡＳ）．所 以ＡＢ＝ＡＥ． （２）ＰＣ＝２ＢＤ．证明如下： 在线段ＰＣ上取一点Ｇ，使ＣＧ＝ＢＤ，连接ＡＧ，图略．由（１） 得△ＡＤＢ≌△ＡＣＧ．所以∠ＡＧＢ＝∠Ｂ＝６０°．所以∠ＡＧＰ＝ １８０°－∠ＡＧＢ＝１２０°．因为ＤＦ＝ＤＢ，∠Ｂ＝６０°，所以△ＤＢＦ 是等边三角形，∠ＡＰＧ＋∠ＰＡＦ＝１８０°－∠Ｂ＝１２０°．所以 ∠ＦＤＢ＝∠ＤＦＢ＝６０°．所以∠ＰＦＤ＋∠ＰＦＡ＝１８０°－∠ＤＦＢ ＝１２０°，∠ＰＤＦ＝１８０°－∠ＦＤＢ＝１２０°＝∠ＡＧＰ．因为ＰＡ＝ ＰＦ，所以∠ＰＡＦ＝∠ＰＦＡ．所以∠ＡＰＧ＝∠ＰＦＤ．在△ＡＰＧ和 △ＰＦＤ中， ∠ＡＧＰ＝∠ＰＤＦ， ∠ＡＰＧ＝∠ＰＦＤ， ＰＡ＝ＦＰ { ， 所以 △ＡＰＧ≌ △ＰＦＤ（ＡＡＳ）． 所以ＰＧ＝ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＧ．所以ＰＣ＝２                                                                                                                                                                                   ＢＤ． !"#$%&'() !"#$ !" ! !"#$ 书 考点１：分式的定义 例１　下列各式中，是分式的是 （　　） 　　　 　　 　　　　　　　　　 　Ａ．ｘ２ Ｂ． ｘ ｘ＋１ Ｃ． ｘ π Ｄ．ｘ３＋１ 解析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母， 如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是分式． ｘ ２， ｘ π ， ｘ ３ ＋１的分母中均不含字母，都是整式， ｘ ｘ＋１的分母中含有字母，是分式． 故选Ｂ． ●专项练习 １．在代数式３ｘ ２ π ， ２ ３ｘｙｚ， ３ ｘ＋７，３－ ３ ｘ， ２ｘ５＋５ｘ ２ｘ 中， 分式有 （　　） Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 ２．若分式 ｘ＋２ ｘ２－２ｘ＋１ 的值为正数，则ｘ的取值范围 是 （　　） Ａ．ｘ＞－２ Ｂ．ｘ＜１ Ｃ．ｘ＞－２且ｘ≠１ Ｄ．ｘ＞１ 考点２：分式有无意义的条件 例２　若分式 ２ｘ－１有意义，则 ｘ的取值范围是 ． 解析：分式有意义的条件是分母不为０． 因为分式 ２ ｘ－１有意义， 所以ｘ－１≠０． 解得ｘ≠１． 故填ｘ≠１． ●专项练习 ３．当ｘ为任意实数时，下列分式有意义的是 （　　） Ａ．ｘ＋２ ｘ２ Ｂ． ｘｘ－１ Ｃ． ２ ｘ＋１ Ｄ． ｘ ｘ２＋１ ４．根据表格中的信息，ｙ可能为 （　　） ｘ … －２ －１ ０ １ ２ … ｙ …  无意义  －１  … Ａ．ｘ＋３ｘ－１ Ｂ． ｘ－３ ｘ－１ Ｃ． ｘ－３ ｘ＋１ Ｄ． ｘ＋３ ｘ＋１ 考点３：分式的值为０的条件 例３　当ｘ＝ 时，分式 ２ｘｘ＋２的值为零． 解析：分式的值为０的条件是分子为０且分母不为０． 因为分式 ２ｘ ｘ＋２＝０， 所以２ｘ＝０且ｘ＋２≠０． 解得ｘ＝０且ｘ≠－２． 故填０． ●专项练习 ５．使式子ｘ ２－４ｘ＋３ ｘ－３ 的值为０的ｘ的值为（　　） Ａ．３或１ Ｂ．３ Ｃ．１ Ｄ．－３或 －１ 考点４：分式的基本性质 例４　不改变分式的值，将分式０．０２ｘ＋０．５ｙｘ＋０．００４ｙ中的 分子、分母的系数都化为整数，其结果为 （　　） Ａ．２０ｘ＋５００ｙ１０００ｘ＋４ｙ Ｂ． ２０ｘ＋５００ｙ １００ｘ＋４ｙ Ｃ．２ｘ＋５０ｙ１０００ｘ＋４ｙ Ｄ． ２ｘ＋５ｙ ｘ＋４ｙ 解析：此题考查分式的基本性质．分式的分子与分 母乘（或除以）同一个不等于０的整式，分式的值不变． 将分子、分母同时乘以 １０００，０．０２ｘ＋０．５ｙｘ＋０．００４ｙ ＝ ２０ｘ＋５００ｙ １０００ｘ＋４ｙ． 故选Ａ． ●专项练习 ６．下列各式中，正确的是 （　　） Ａ．ａ＋ｍｂ＋ｍ＝ ａ ｂ Ｂ． ｘ－ｙ ｘ２－ｙ２ ＝ １ｘ＋ｙ Ｃ．ａ＋ｂａ＋ｂ＝０ Ｄ． ａｂ－１ ａｃ－１＝ ｂ－１ ｃ－１ ７．把分式 ２ｘ ２ ２ｘ＋ｙ中的ｘ和ｙ都扩大２倍，分式的值 （　　） Ａ．不变 Ｂ．扩大２倍 Ｃ．缩小２倍 Ｄ．扩大４倍 考点５：分式的约分、通分 例５　先约分，再求值： ａ ３－４ａｂ２ ａ３－４ａ２ｂ＋４ａｂ２ ，其中 ａ ＝－２，ｂ＝ １２． 解析：分式约分需注意：①分式约分的结果可能是 最简分式，也可能是整式；②当分子与分母含有负号时， 一般把负号提到分式本身的前面；③约分时，分子与分 母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先因式分解． 原式 ＝ａ＋２ｂａ－２ｂ． 当ａ＝－２，ｂ＝ １２时，原式 ＝ １ ３． ●专项练习 ８．下列分式属于最简分式的是 （　　） Ａ．６ｘｙ ５ｘ２ Ｂ．ｘ－ｙｙ－ｘ Ｃ．ｘ ２＋ｙ２ ｘ＋ｙ Ｄ． ｘ２－９ｙ２ ｘ＋３ｙ ９．约分：－１８ｘｙ ２７ｘ２ｙ２ ＝ ． １０．通分： （１） ３ ２ａ２ｂ 与 ａ－ｂ ａｂ２ｃ ； （２） ｘｘ－ｙ， ｙ ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２ ， ２ ｘ２－ｙ２ ． 考点６：分式的运算 例６　试卷上一个正确的式子（ １ａ＋ｂ＋ １ ａ－ｂ）÷ ★ ＝ ２ａ＋ｂ被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部 分的代数式为 （　　） Ａ． ａａ－ｂ Ｂ． ａ－ｂ ａ Ｃ． ａａ＋ｂ Ｄ． ４ａ ａ２－ｂ２ 解析：此题考查分式的混合运算，解题的关键是掌 握分式的混合运算顺序和运算法则． （下转第４版                                                                                                         ） 书 知识要点回顾 １．分式的概念 一般地，如果Ａ是整式，Ｂ是非零整式并且 Ｂ中含 有字母，那么式子 Ａ Ｂ叫作 ．其中Ａ叫作分式的 ，Ｂ叫作分式的 ． ２．分式的值不存在的条件 对于分式 Ａ Ｂ，当 时，分式的值存在；当 时，分式的值不存在． ３．分式的值为０的条件 当 时，分式的值为０． ４．分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个 整式，分式的值不变． 用式子表示为 Ａ Ｂ ＝ Ａ·Ｃ Ｂ·Ｃ， Ａ Ｂ ＝ Ａ÷Ｃ Ｂ÷Ｃ（Ｃ是不等 于０的整式）． ５．分式的运算 （１）分式的乘法法则： 分式乘分式，用 作为积的分子， 作为积的分母． （２）分式的除法法则： 分式除以分式，把 后，与被除式 相乘． （３）分式的加减法法则： 同分母分式相加减， 不变，把 相 加减；异分母分式相加减，先 ，变为 ，再加减． （４）分式的乘方： 分式的乘方是把 各自乘方． ６．整数指数幂 同底数幂的除法： ａｍ ａｎ ＝ （ａ≠０）． 零次幂：ａ０ ＝ （ａ≠０）． 负整数指数幂：ａ－ｎ ＝ （ａ≠０，且 ｎ为正整 数）． 科学记数法：ａ×１０－ｎ，１≤｜ａ｜＜１０，ｎ是一个正整 数． ７．分式方程 分母中含 的方程叫作分式方程． ８．解分式方程的步骤 （１）方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为 ； （２）解这个整式方程； （３）检验，即将整式方程的解代入 ，看结 果是否为０，若是０，则此解为增根，若不是０，则此解为 原方程的解； （４）写出此方程的解． ９．分式方程的应用 解分式方程应用题的分析方法、解题步骤与前面 我们学过的列方程解应用题的基本相同，不同之处在 于它侧重于用分式列代数式表示数量关系和寻找相等 关系列方程，并且最后要进行“双验根”． ! !" #$% 书 （上接第３版） 　　　 　　 　　　　　　　　　 　 被墨汁遮住部分的代数式是：（ １ ａ＋ｂ＋ １ ａ－ｂ）÷ ２ ａ＋ｂ＝ ａ－ｂ＋ａ＋ｂ （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）· ａ＋ｂ ２ ＝ ａ ａ－ｂ． 故选Ａ． ●专项练习 １１．若ｍ－ｎ＝２，则代数式ｍ ２－ｎ２ ｍ · ２ｍ ｍ＋ｎ的值是 （　　） Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－４ Ｄ．４ １２．计算： （１）（ａ－ｂａｂ） ２·（ －ａ ｂ－ａ） ３； （２）（ａｂ－１）÷ ａ２－ｂ２ ２ｂ ； （３）（ａ－１＋ａ＋３ａ＋２）÷ ａ２－１ ａ＋２． １３．先 化 简，再 求 值：（ｍ ＋２－ ５ｍ－２）· ｍ２－３ｍ＋２ ｍ＋３ ，其中ｍ＝４． 考点７：整数指数幂 例７　比较大小：２－２ ３０（选填“＞”“＝” 或“＜”）． 解析：此题考查负整数指数幂和零次幂，先分别计 算２－２和３０的值，再比较大小． 因为２－２ ＝ １４，３ ０ ＝１， 所以２－２ ＜３０． 故填 ＜． ●专项练习 １４．下列计算正确的是 （　　） Ａ．（－１２） －３ ＝－８ Ｂ．（－１３） －２ ＝６ Ｃ．（－１２） ０ ＝２ Ｄ．（－１２） －１ ＝２ １５．已知４３ｎ×８ｎ ＝（１２） －９，则ｎ的值是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ １６．计算：（３ａｍ２ｎ－２）－２÷（ａ－３ｎ）２． 例８　石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米 材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅 ０．０００００００００３４米，将这个数用科学记数法表示为 ． 解析：此题考查用科学记数法表示小于１的数． ０．０００００００００３４＝３．４×１０－１０． 故填３．４×１０－１０． ●专项练习 １７．科学家在实验室检测出某种病毒的直径约为 ０．００００００１０３米，该直径用科学记数法表示为 米． １８．用科学记数法表示的数 －５．６×１０－４写成小数 是 （　　） Ａ．－０．０００５６ Ｂ．－０．００５６ Ｃ．－５６０００ Ｄ．０．０００５６ 考点８：分式方程及其应用 例９　解方程： ４ ｘ２＋ｘ － ３ ｘ２－ｘ ＝０． 解析：（１）解分式方程的基本思想是转化思想，即 把分式方程转化为整式方程求解；（２）解分式方程一定 注意要验根． 方程两边同时乘ｘ（ｘ＋１）（ｘ－１），得４（ｘ－１）－ ３（ｘ＋１）＝０． 解得ｘ＝７． 检验：当ｘ＝７时，ｘ（ｘ＋１）（ｘ－１）≠０． 所以ｘ＝７是原分式方程的解． ●专项练习 １９．若关于ｘ的方程ｍｘ－１ｘ－１ ＝３无解，则ｍ的值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．１或３ Ｃ．１或２ Ｄ．２或３ ２０．解方程： （１） ｘｘ－１＝ ｘ－１ ２ｘ－２； （２） ３ ｘ２－３ｘ － １ｘ－３＝ ２ ｘ． 例１０　为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中 提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两 班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖１５００千克土豆 与乙班挖１２００千克土豆所用的时间相同．已知甲班平 均每小时比乙班多挖１００千克土豆，问乙班平均每小时 挖多少千克土豆？ 解析：此题考查分式方程的应用．解题的关键是根 据题意找出题中的相等关系，求得分式方程的解后要 “双验根”． 设乙班平均每小时挖ｘ千克土豆，则甲班平均每小 时挖（ｘ＋１００）千克土豆． 根据题意，得 １５００ ｘ＋１００＝ １２００ ｘ ．解得ｘ＝４００． 经检验，ｘ＝４００是原分式方程的解，且符合题意． 答：乙班平均每小时挖４００千克土豆． ●专项练习 ２１．某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球 的单价多３０元．已知３３０元购进的篮球数量和２４０元购 进的排球数量相等． （１）篮球和排球的单价各是多少元？ （２）现要购买篮球和排球共２０个，总费用不超过 １８００元．篮球最多购买多少个？ （专项练习答案参见第１５～１８版） （本章复习检测卷见第７～８版                                                                                   ） 书 （上接第３０版） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１０．解下列不等式组，并将其解集在数轴上表示出 来： （１）３ｘ－１≥ｘ＋１， ４ｘ－２＜ｘ＋４{ ； （２） ４（ｘ－１）＞３ｘ－２， １＋ｘ ２ ＋ １－ｘ ３ ≥１ { ． 考点４：一元一次不等式（组）的应用 例５　某学校工会号召广大教师积极开展了“献 爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买 Ａ，Ｂ两种物 品．如果购买Ａ种物品６０件、Ｂ种物品４５件共需１１４０ 元；如果购买Ａ种物品４５件、Ｂ种物品３０件共需８４０元． （１）求Ａ，Ｂ两种物品每件各多少元； （２）现要购买Ａ，Ｂ两种物品共６００件，总费用不超 过７０００元，那么Ａ种物品最多购买多少件？ 解析：本题考查了二元一次方程组的应用以及一 元一次不等式的应用，解题的关键是找出题目中的等 量关系和不等关系． （１）设Ａ种物品每件ｘ元，Ｂ种物品每件ｙ元，根据 “如果购买Ａ种物品６０件、Ｂ种物品４５件共需１１４０元； 如果购买Ａ种物品４５件、Ｂ种物品３０件共需８４０元”， 列出关于ｘ，ｙ的二元一次方程组，解之即可得出结论； （２）设购买Ａ种物品ｍ件，则购买Ｂ种物品（６００－ ｍ）件，根据“总价 ＝单价×购买数量，结合总费用不超 过７０００元”，列出关于ｍ的一元一次不等式，解之取其 中最大的整数值即可得出结论． （１）设Ａ种物品每件ｘ元，Ｂ种物品每件ｙ元． 根据题意，得 ６０ｘ＋４５ｙ＝１１４０， ４５ｘ＋３０ｙ＝８４０{ ． 解得 ｘ＝１６， ｙ＝４{ ． 答：Ａ种物品每件１６元，Ｂ种物品每件４元． （２）设购买Ａ种物品ｍ件，则购买Ｂ种物品（６００－ ｍ）件． 根据题意，得１６ｍ＋４（６００－ｍ）≤７０００．解得ｍ≤ ３８３１３．因为ｍ为正整数，所以ｍ的最大值为３８３． 答：Ａ种物品最多购买３８３件． ●专项练习 １１．某学校要为生物科学活动社团提供实验器材， 计划购买Ａ，Ｂ两种型号的放大镜，Ａ型号的放大镜每个 ２０元，Ｂ型号的放大镜每个１５元，且所需购买Ａ型号放 大镜的数量是Ｂ型号放大镜数量的２倍，且总费用不超 过１１００元，则最多可以购买Ａ型号放大镜 个． １２．某手套加工厂有Ａ，Ｂ两组工人共１５０人，Ａ组工 人每人每小时可加工手套７０只，Ｂ组工人每人每小时 可加工手套５０只，Ａ，Ｂ两组工人每小时一共可加工手 套９３００只． （１）求Ａ，Ｂ两组工人各多少人； （２）由于需求增加，Ａ，Ｂ两组工人均提高了工作效 率，一名Ａ组工人和一名 Ｂ组工人每小时共加工手套 ２００只．若Ａ，Ｂ两组工人每小时至少加工１６０００只手 套，那么Ａ组工人每人每小时至少加工多少只手套？ 例６　为节能减排，某公交公司计划购买Ａ型和Ｂ 型两种环保节能公交车共１０辆，若购买 Ａ型公交车 ２辆、Ｂ型公交车３辆共需６５０万元；若购买Ａ型公交车 ３辆、Ｂ型公交车２辆共需６００万元． （１）求购买Ａ型和Ｂ型公交车每辆各需多少万元； （２）预计在该线路上Ａ型和Ｂ型公交车每辆年均 载客量分别为８０万人次和１００万人次．若该公司购买 Ａ型和Ｂ型公交车的总费用不超过１２００万元，且确保 这１０辆公交车在该线路的年均载客总和不少于８３０万 人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费 用最少？最少总费用是多少？ 解析：此题考查二元一次方程组和一元一次不等 式组的应用，注意理解题意，找出题目中蕴含的数量关 系，列出方程组或不等式组解决问题． （１）设购买Ａ型公交车每辆需ｘ万元，Ｂ型公交车 每辆需ｙ万元，根据“购买Ａ型公交车２辆、Ｂ型公交车 ３辆共需６５０万元；购买 Ａ型公交车３辆、Ｂ型公交车 ２辆共需６００万元”列出二元一次方程组求解即可； （２）设购买Ａ型公交车ｍ辆，由“购买Ａ型和Ｂ型 公交车的总费用不超过１２００万元，且确保这１０辆公交 车在该线路的年均载客总和不少于８３０万人次”列出 不等式组求解即可． （１）设购买Ａ型公交车每辆需ｘ万元，Ｂ型公交车 每辆需ｙ万元． 根据题意，得 ２ｘ＋３ｙ＝６５０， ３ｘ＋２ｙ＝６００{ ． 解得 ｘ＝１００， ｙ＝１５０{ ． 答：购买Ａ型公交车每辆需１００万元，Ｂ型公交车每 辆需１５０万元． （２）设购买Ａ型公交车 ｍ辆，则购买 Ｂ型公交车 （１０－ｍ）辆． 根据题意，得 １００ｍ＋１５０（１０－ｍ）≤１２００， ８０ｍ＋１００（１０－ｍ）≥８３０{ ． 解得６≤ｍ≤ １７２． 因为ｍ为正整数，所以ｍ可取值为６或７或８，相应 的１０－ｍ可取值为４或３或２． 所以共有三种购车方案： 方案一：购买Ａ型公交车６辆，Ｂ型公交车４辆，总 费用为：６×１００＋４×１５０＝１２００（万元）； 方案二：购买Ａ型公交车７辆，Ｂ型公交车３辆，总 费用为：７×１００＋３×１５０＝１１５０（万元）； 方案三：购买Ａ型公交车８辆，Ｂ型公交车２辆，总 费用为：８×１００＋２×１５０＝１１００（万元）． 因为１１００＜１１５０＜１２００，所以方案三的总费用 最少，最少总费用是１１００万元． ●专项练习 １３．为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫 困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准 备配发的过程中发现：公羊刚好每户１只，若每户发放 母羊５只，则多出１７只母羊；若每户发放母羊７只，则有 一户可分得母羊但不足３只．这批种羊共 只． （本章复习检测卷见第１３～１４版                                                                                             ） !"#$ !