第02讲 二次根式的乘除（4个知识点+4种题型+分层练习）- 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第02讲 二次根式的乘除（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点2．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点3．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点4．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 题型强化 题型一．二次根式的性质与化简 1．（2024春•崆峒区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的特征，逐项判断即可． 【解答】解：是最简二次根式， 选项符合题意； ，不是最简二次根式， 选项不符合题意； ，不是最简二次根式， 选项不符合题意； ，不是最简二次根式， 选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了最简二次根式的判断，解答此题的关键是要明确：被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2．（2024秋•大埔县期中）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果等于　　． 【分析】根据数轴可得，，再利用二次根式的性质进行化简，然后利用绝对值的性质进行计算即可． 【解答】解：由数轴可得：，， 故 ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握． 3．（2024春•开州区期中）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去） 所以，的取值范围是 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题 （1）当时，化简， 　　． （2）若等式 成立，则的取值范围是 　　． （3）若，求的取值． 【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； 【解答】解：（1）， ，， 原式 ， 故答案为：3； （2）由题意可知：， 当时，，， 原方程化为：， ，符合题意； 当时， ，， ， ，故符合题意； 当时， ，， ， ，符合题意； 综上所述，， 故答案为：； （3）原方程可化为：， 当时，，， 原方程化为：， ，符合题意； 当时， ，， ， 此方程无解，故 不符合题意； 当时， ，， ， ，符合题意； 综上所述，或． 【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 题型二．最简二次根式 4．（2024春•惠阳区校级期中）下列二次根式中的最简二次根式是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案即可． 【解答】解：、，不是最简二次根式，不合题意； 、，不是最简二次根式，不合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、，不是最简二次根式，不合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了最简二次根式，正确把握定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题关键． 5．（2024春•崇义县期末）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数的值 　　． 【分析】根据最简二次根式的概念解答即可． 【解答】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 6．（2024春•朝阳区校级月考）把下列二次根式化为最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）先将被开方数化为假分数，然后根据二次根式的性质化简即可； （4）根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． 题型三．二次根式的乘除法 7．（2024秋•秦安县校级月考）若在实数范围内成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据直接求解即可得到答案． 【解答】解：， ，， 解得， 故选：． 【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式及分式有意义的条件，熟知以上知识是解题的关键． 8．（2024春•罗定市期中）计算的结果是 　　． 【分析】利用二次根式的乘除法法则，按从左往右的顺序计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的乘除法法则是解决本题的关键． 9．（2024春•长沙县期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． （1）①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若，为正整数），则的值为 　　． （2）你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； 【分析】（1）①答案不唯一可以举例说明． ②判断出，的值，可得结论； （2）通过观察例子中数据的特点即可得出规律，再仿照例子即可证明． 【解答】解：（1）①； ②由题意，， ． 故答案为：71； （2）结论：． 理由：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，灵活应用二次根式的性质对二次根式进行化简是解决问题的关键． 题型四．分母有理化 10．（2023秋•游仙区期末）二次根式的除法则成立的条件是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据负数没有平方根，以及分母不为0确定出所求即可． 【解答】解：二次根式的除法则成立的条件是，． 故选：． 【点评】此题考查了分母有理化，分式的乘除法，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，以及二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（2024春•互助县月考）从“，，，”中选择一种运算符号，填入算式“□”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数的值可能是 　　．（填一个即可） 【分析】根据题意，结合二次根式的性质选择一种运算符号，使其运算结果为有理数即可得到答案， 【解答】解：是无理数， 要使运算结果为有理数，则“口”中的运算符号可以为“” 当时， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 12．（2024春•鹤山市月考）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． （1）若，，求出，的“如意数” ． （2）如果，，求，的“如意数” ，并证明“如意数” ． （3）已知，且，的“如意数” ，求的值． 【分析】（1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数” ； （2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数” 后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数” 的大小； （3）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【解答】解：（1）； （2），， ， ， ， ； （3），，的“如意数” ， ， ， 即：． 【点评】本题考查的是新定义运算，分母有理化，整式的加减，根据题意理解“如意数”的运算法则是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列各式正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可. 【详解】,故A错误; ,故B正确; ,故C错误; ,故D错误; 故答案选B. 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则. 2．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义，依次判断即可. 【详解】A、无法在化简，是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、=17，不是最简二次根式； 故选A. 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3．下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，故A不是最简二次根式； B、，故B不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，故D不是最简二次根式； 故选：C. 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 4．下列式子不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，故选项不符合题意； B．是最简二次根式，故选项不符合题意； C．是最简二次根式，故选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是最简二次根式，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键． 5．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则逐一计算可得． 【详解】解：A、、不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B、、不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； C、，此选项正确； D、，此选项错误. 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 6．下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A．无法化简，符合最简二次根式的定义，所以A选项正确； B．，被开方数是分数，不是最简二次根式，所以B选项错误； C．2，所以C选项错误； D．，所以D选项错误． 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 7．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：÷ ＝ ＝ ＝． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． 8．若是最简二次根式，则a的值可能是（    ） A．27 B．18 C．11 D． 【答案】C 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A．不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B．不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C．是最简二次根式，故该选项符合题意； D．不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了最简二次根式，解题的关键是熟记最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 9．下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. 是最简二次根式，故正确； B. 不是最简二次根式，故错误； C. 不是最简二次根式，故错误； D. 不是最简二次根式，故错误. 故选A. 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 10．下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的运算和化简，还涉及到零指数幂有意义的条件，熟练掌握二次根式的运算法则，化简公式是解题关键． 利用二次根式的除法运算法则对A选项进行判断；根据零指数幂有意义的条件对B选项进行判断；利用乘积的幂运算法则及二次根式的乘方法则对C选项进行判断；利用二次根式的开方运算法则对D选项进行判断． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选： 二、填空题 11． . 【答案】 【分析】利用二次根式的乘除法运算法则进行运算即可． 【详解】解：原式=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解答的关键． 12．化简的结果是 ． 【答案】． 【分析】直接根据二次根式的除法法则进行化简即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解答此题的关键． 13．在实数范围内分解因式：a2﹣2b2＝ ． 【答案】（a+b）（a﹣b）． 【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求解． 【详解】原式＝a2﹣（b）2 ＝（a+b）（a﹣b）． 故答案为：（a+b）（a﹣b）． 【点睛】本题考查了在实数范围内因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 14．化简＝ . 【答案】 【详解】试题解析：. 故答案为. 15． ． 【答案】× 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可得出答案，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 原结论错误， 故答案是：×． 16．一个圆锥的底面积是2 cm2，高是4 cm，那么这个圆锥的体积是 ． 【答案】 【详解】根据圆锥的体积公式可得，这个圆锥的体积是.故答案为. 17．请写一个二次根式，使其化简后为（为正整数），这个二次根式可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义及性质，二次根式有意义的条件，理解二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为． 18．－2的相反数是 ，绝对值是 ，的倒数是 ． 【答案】 2－ 2－ 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,差的绝对值是大数减小数,乘积为1的两个数互为倒数,可得答案. 【详解】－2的相反数是2-,绝对值是2-－2,的倒数是, 故答案为 2-,2-,. 【点睛】本题考查了相反数、绝对值和倒数,解题的关键是熟练掌握：只有符号不同的两个数互为相反数,差的绝对值是大数减小数,乘积为1的两个数互为倒数. 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】针对负整数指数幂，平方差公式，二次根式化简3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：原式=． 20．超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数） 【答案】该汽车超速了，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，根据二次根式性质进行运算即可． 【详解】解：该汽车超速了；理由： ∵，，， ∴ ． 故该汽车超速了． 21．解不等式： 【答案】x<. . 【分析】根据解不等式的步骤进行计算即可. 【详解】解： x-x> (-)x> (-)x< - x< x<. 【点睛】本题考查计算含二次根式的不等式，解题关键是分母有理化. 22．计算题 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算： （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）先化简，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 23．比较下列算式的结果的大小（填“＞”“＜”或“＝”）． (1)4+5 　 　2 8+　 　2 5+5 　 　 (2)通过观察归纳，用含字母a，b的式子表示（1）中的规律，并证明． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析． 【分析】（1）计算两边式子的值，然后比较大小即可； （2）根据所给式子，进行归纳，写出规律，利用完全平方公式证明即可． 【详解】（1）解：，， ∵ ∴； ，， ∴； ，， ∴； 故答案为：，， （2）解：观察式子可得，规律为： ，化简可得 ∴ 【点睛】此题考查了二次根式的有关运算，实数大小的比较，以及完全平方公式的应用，解题的关键是理解题意，正确找到式子的规律． 24．随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，设圆的半径应是，根据圆的面积公式和长方形面积公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设圆的半径应是， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：圆的半径应是． 25．已知：点D是AC延长线上一点，且，M是线段CD上一个动点，连接BM，延长MB到H，使得以点B为中心，将线段BH逆时针旋转得到线段BQ，连接AQ． （1）依题意补全图形； （2）求证： （3）点N是射线AC上一点，且点N是点M关于点D的对称点，连接BN，如果 求线段AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）根据题意可以补全图形； （2）根据三角形外角的性质即可证明； （3）作QE⊥AB，根据AAS证得，根据HL证得，设法证得，设，则，，结合已知，构建方程即可求解. 【详解】（1）补全图形如下图所示： （2）解：∵∠ABH是的一个外角， ∴ ∵ 又∵ ∴   （3）过Q 作QE⊥AB ，垂足为E， 如下图： ∵ ∴， 在和中， ∴ (AAS) ∴，， 在和中 ∵， ∴ (HL) ∴ ∵点N是点M关于点D的对称点， ∴ ∴ ∴ 设，则，， 又∵， ∴ 解得： ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键． 26．如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点也随之停止运动．连接，，设点的运动时间为． (1)当点在线段上运动时，的长为______，的长为______（用含的式子表示）； (2)当与的一条边垂直时，求的值； (3)在运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)或或 (3)或 【分析】（1）根据路程，时间，速度关系求解即可； （2）分三种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，同法可得，如图3中，当时，同法可得，分别求解即可； （3）如图4-1中，过点C作于点T，用t表示出，，再分三种情况分别画图，结合方程，三线合一，特殊位置可得答案． 【详解】（1）解：由题意，． （2）解：如图1中，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2中，当时，同法可得， ∴， ∴； 如图3中，当时，同法可得， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为2或4或8； （3）解：如图，过点C作于点T， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，而， 当时，， ∴（不合题意舍去）． 当时，如图， 过作于，过作于， 由三线合一可得：，， ∵， ∴不合题意舍去， 当时，如图， 此时运动到的中点，为的中点，为的中点，， ∴， ∴， 如图4-2中，当时，过点P作于T， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为3或9． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的乘除（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点2．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点3．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点4．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 题型强化 题型一．二次根式的性质与化简 1．（2024春•崆峒区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•大埔县期中）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果等于　　． 3．（2024春•开州区期中）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去） 所以，的取值范围是 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题 （1）当时，化简， 　　． （2）若等式 成立，则的取值范围是 　　． （3）若，求的取值． 题型二．最简二次根式 4．（2024春•惠阳区校级期中）下列二次根式中的最简二次根式是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•崇义县期末）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数的值 　　． 6．（2024春•朝阳区校级月考）把下列二次根式化为最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型三．二次根式的乘除法 7．（2024秋•秦安县校级月考）若在实数范围内成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．（2024春•罗定市期中）计算的结果是 　　． 9．（2024春•长沙县期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． （1）①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若，为正整数），则的值为 　　． （2）你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； 题型四．分母有理化 10．（2023秋•游仙区期末）二次根式的除法则成立的条件是　　 A．， B．， C．， D．， 11．（2024春•互助县月考）从“，，，”中选择一种运算符号，填入算式“□”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数的值可能是 　　．（填一个即可） 12．（2024春•鹤山市月考）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． （1）若，，求出，的“如意数” ． （2）如果，，求，的“如意数” ，并证明“如意数” ． （3）已知，且，的“如意数” ，求的值． 分层练习 一、单选题 1．下列各式正确的是(    ) A． B． C． D． 2．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列式子不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 6．下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 8．若是最简二次根式，则a的值可能是（    ） A．27 B．18 C．11 D． 9．下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 10．下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11． . 12．化简的结果是 ． 13．在实数范围内分解因式：a2﹣2b2＝ ． 14．化简＝ . 15． ． 16．一个圆锥的底面积是2 cm2，高是4 cm，那么这个圆锥的体积是 ． 17．请写一个二次根式，使其化简后为（为正整数），这个二次根式可以是 ． 18．－2的相反数是 ，绝对值是 ，的倒数是 ． 三、解答题 19．计算：． 20．超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数） 21．解不等式： 22．计算题 (1)； (2) 23．比较下列算式的结果的大小（填“＞”“＜”或“＝”）． (1)4+5 　 　2 8+　 　2 5+5 　 　 (2)通过观察归纳，用含字母a，b的式子表示（1）中的规律，并证明． 24．随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？ 25．已知：点D是AC延长线上一点，且，M是线段CD上一个动点，连接BM，延长MB到H，使得以点B为中心，将线段BH逆时针旋转得到线段BQ，连接AQ． （1）依题意补全图形； （2）求证： （3）点N是射线AC上一点，且点N是点M关于点D的对称点，连接BN，如果 求线段AB的长． 26．如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点也随之停止运动．连接，，设点的运动时间为． (1)当点在线段上运动时，的长为______，的长为______（用含的式子表示）； (2)当与的一条边垂直时，求的值； (3)在运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$