精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

重庆一中初2025届初三上期阶段性消化作业（二） 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 如图，该几何体由6个大小相同的正方体组成，从左面看到的视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题的关键．细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从物体左面看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形． 故选：A． 3. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等和邻补角的定义，即可解答． 【详解】如图， ∵， ∵， ∴， 故选：C． 4. 若两个相似三角形的周长之比是1：4，那么这两个三角形的面积之比是（　　） A. 1：4 B. 1：2 C. 1：16 D. 1：8 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得答案． 【详解】解：∵相似三角形的周长之比是1：4， ∴对应边之比为1：4， ∴这两个三角形的面积之比是：1：16， 故选C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 5. 一组数据：3、2、1、1、3、3，这组数据的中位数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，解题的关键是熟练求中位数的方法． 找中位数要把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均）数为中位数． 【详解】解：这组数从小到大排列此数据为：1，1，2，3，3，3； 数据2，3处在最中间，故中位数， 故选：C． 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法，无理数的估算，先计算出结果是估算的前提．先计算和的差，再估算结果的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴的值应在2和3之间， 故选：B． 7. 用大小相同的黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，第④个图案有26个黑点……按此规律，第⑥个图案中黑点的个数为（ ） A. 46 B. 50 C. 51 D. 57 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了图形类规律的探索，解题的关键是根据前几个图形的数据，正确找出规律，然后求解．先求出前面几个图形中“●”的个数，找到规律，然后求解即可． 【详解】解：第①个图案中“●”有：个， 第②个图案中“●”有：个， 第③个图案中“●”有：个， 第④个图案中“●”有：个， …… 第个图案中“●”有：个， 第⑥个图案中“●”有：个， 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，分别以，长为半径画弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，矩形的性质，解直角三角形等，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．根据，，即可求得，则，得到，阴影部分的面积为面积加上扇形的面积减去扇形的面积即可． 【详解】解：连接， 依题意的 ，， ． ． ． ． 在矩形中， 阴影部分的面积为： 故选：A． 9. 如图，在正方形中，点为上的一点，且，连接，过点作交延长线于点，连接，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等，作交的延长线于点G，先证，求出，再证，求出，，最后用勾股定理计算出． 【详解】解：如图，作交的延长线于点G， 四边形是正方形，， ，， ， ， ，， ， ，即， ， ，， ， ，即， 解得，， ， 故选B． 10. 已知两个非零实数，，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作；再从，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从，，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为……依次进行下去，以下结论正确的个数为（ ） ①若，为方程的两个根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为偶数： ④若，要使得成立，则至少为4． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，因式分解法解一元二次方程，数字类规律探索，正确理解题意是解题的关键． 由一元二次方程根与系数的关系得到，代入即可求出，即可判断①；若，代入得到，求解即可判断②；若为奇数，则为一奇一偶，不妨设为奇数，为偶数，代入计算即可判断③；要使得成立，求次数最少，则中尽量选最大的两个数，依次计算即可判断④． 【详解】解：①∵，为方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故①错误； ②∵， ∴， ∴， 解得：（舍）或， 故②正确； ③若为奇数，则为一奇一偶，不妨设为奇数，为偶数， 则为偶数， 则为一个奇数，2个偶数，任选两个数则为一奇一偶或两个偶数， 而两个偶数得到也必为偶数， 故得到的一定为偶数， 故③正确； ④若， 则， ， ， ， ∴至少为4， 故④正确． 故选：C． 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．请将正确答案写在答题卡中对应的位置上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根以及负整数指数幂，根据算术平方根与负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 若一个正多边形的内角和为540度，则这个正多边形的中心角为______度． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和和正多边形的中心角，首先设此多边形为n边形，根据题意得：，即可求得，再由除以5，即可求得答案． 【详解】解：设此多边形为n边形， 根据题意得：， 解得：， ∴这个正多边形的中心角为：． 故答案为：72． 13. 中国古代的数学著作丰富多样，对后世的数学发展产生了深远的影响．某中学拟从《周髀算经》，《几何原本》，《九章算术》，《测圆海镜》这4部名著中随机选择2部作为数学选修课的学习内容，恰好选中《几何原本》和《测圆海镜》的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图求随机事件的概率，熟知概率计算公式是解题的关键； 根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】解：《周髀算经》，《几何原本》，《九章算术》，《测圆海镜》分别用A、B、C、D表示， ∴用列表法把所有等可能结果表示出来如下， A B C D A B C D 共有12种等可能结果， 其中恰好选中《几何原本》和《测圆海镜》的结果有2种， ∴恰好选中《几何原本》和《测圆海镜》的概率为， 故答案为： ． 14. 已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点的定义可得，由此可解． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，，， ， ，即， ， 解得， ，不合题意， 故答案为：． 15. 如图，四边形为平行四边形，线段在轴上，点在反比例函数的图象上，线段与轴的正半轴相交于点，若，且四边形的面积为10，则常数的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点A作交于点，设，则，则四边形为平行四边形，由平行得到，则，，由四边形的面积为10，得到，即可求解． 【详解】解：过点A作交于点， 设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴，， ∵四边形的面积为10， ∴， 解得：． 故答案为：16． 16. 若关于的不等式组有且只有2个偶数解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的积为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到关于a的范围是解题的关键． 根据题意可以求得a的取值范围，从而可以得到符合条件的a的整数值，从而可以解答本题． 【详解】解：， 去分母得，， ， 根据题意得，，即， ∴是正数，且，即， ∴且，． ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式的解集为，， ∵关于的不等式组有且只有2个偶数解， ∴， ， ，， ∴所有符合条件的整数的值有， ， ∴所有符合条件的整数的值之积为30． 故答案为：30． 17. 如图，内接于，点是弧的中点，连接，平分交线段于点，过点作交的延长线于点．若，，，则的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过点C作于点G，导角得到，再证明，则，设，则在中，由勾股定理得，解得，那么，，在中，由勾股定理得，则，那么，由，得到，即可求解． 【详解】解：连接，过点C作于点G， ∵点是弧的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， 则在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合题，涉及圆周角定理，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，难度较大，计算复杂． 18. 若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足，，则称该五位数为“差倍数”．规定：，．例如：42152，满足，，且，所以42152是“差倍数”，，．若是一个“差倍数”，，则的最大值为______；若“差倍数”（，，，，，均为整数），且能被11整除，则满足条件的的值的和为______． 【答案】 ①. 84293 ②. 63285 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减计算，解不定方程，数的整除，难度较大，正确理解题意是解题的关键． ①由，结合条件得到，继而得到，，继而可求解； ②先将S表示为，由新定义得满足，则，表示出，，则，问题化为需要被11整除即可，再分类讨论枚举即可． 【详解】解：①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足， ∴最大为4，则最大为8， ∴， ∵， ∴最大为9，则， ∴的最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵五位数的百位数字和千位数字都不为0，满足， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∴需要被11整除， ∵，， ∴， ∴可取， 当，则， ∴，则 ∴； 当，则， ∴，则（舍）； 当，则（舍）； 当，则（舍）； 当，则， ∴，则， ∴， 当，则（舍）， ∴满足条件的的值的和为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算： （1）先计算多项式乘多项式，再合并同类项； （2）先将括号内分式通分，将分子、分母因式分解，变分式除法为分式乘法，最后约分化简． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 在学习了特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了深入研究，他们发现了一种构造菱形的方法．请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在中，平分，过点作交于点．用尺规在线段的左侧作，射线交于点． （2）已知：在中，平分，过点作交于点，，射线交于点．求证：四边形是菱形． 证明：， ① ． 又， 四边形是 ② ． 平分， ． 又， ③ ． ． ④ ． 四边形是菱形． 进一步思考，当是直角三角形，时，请写出你的结论：四边形是 ⑤ ． 【答案】（1）见解析 （2），平行四边形；；；正方形 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，菱形的判定，正方形的判定． （1）根据角的作法作图即可； （2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义，得到，即可证明四边形是菱形，进而根据有一个角是直角的菱形是正方形，得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示， 小问2详解】 证明：， ． 又， 四边形是平行四边形． 平分， ． 又， ． ． ． 四边形是菱形． 当是直角三角形，时， 同理可得四边形是菱形，当时， 四边形是正方形 故答案：，平行四边形；；；正方形． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，过点作于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，得到，根据是的直径，得到，由，推出，即可得到结论； （2）根据题意得到，推出，证明，推出，证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为4，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直线对的圆周角是直角，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键． 22. 一年一度的元旦节即将到来，某校初三年级的家委会妈妈们准备购买签字笔和圆规两种文具作为小礼物送给初三年级的孩子们，计划用2400元购买签字笔，用900元购买圆规，已知一支签字笔和一个圆规的售价之和为15元，计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍． （1）求计划分别购买多少支签字笔和多少个圆规？ （2）实际购买时，家委会妈妈们发现每支签字笔的售价降低了，每个圆规的售价便宜了元，根据各班对两种文具喜好的调查结果，家委会的妈妈们调整了购买签字笔和圆规的数量，实际购买圆规的数量比计划购买圆规的数量增加了个，但实际购买签字笔和圆规的总数量与计划购买签字笔和圆规的总数量相同，最终实际购买签字笔和圆规的总费用比计划购买签字笔和圆规的总费用减少了元，求的值． 【答案】（1）计划购买400支签字笔，100个圆规 （2）10 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元二次方程的实际应用： （1）设一支签字笔x元，则一个圆规元，根据“计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍”列分式方程，解方程即可； （2）根据单价、数量、总价之间的关系，列一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设一支签字笔x元，则一个圆规元， 由题意得：， 去分母，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 签字笔的单价为6元，圆规的单价为（元）， 购买签字笔的数量为：（支）， 购买圆规的数量为：（个）， 即计划购买400支签字笔，100个圆规； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得，， ， ． 23. 如图，在正方形中，．点从点出发，以速度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以速度的速度沿线段运动，连接、．当到达点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． （1）请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，若函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】（1） （2）图见解析，当时，随x的增大而增大（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题考查动点函数图象问题，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解题的关键． （1）分两种情况，当时，点P在上，当时，点P在上，根据三角形面积公式分别列式即可； （2）根据（1）中所得解析式描点连线可得函数图象，根据图象增减性写出一条性质即可； （3）找出临界点：当直线经过点时，当直线与的图象相切时，分别求出b的值，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，，， 当时，点P在上， ， 当时，点P在上，， ， 综上可得：； 【小问2详解】 解：根据（1）中解析式列表得： x 0 1 2 3 4 5 6 y 0 3 6 9 8 5 0 描点连线，可得的函数图象如下图所示： 由图可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：如图， 当直线经过点时，， 解得； 联立与，得， 即， 当直线与的图象相切时，只有一个根， ， 解得， 结合图形可知，当时，函数的图象与直线有两个交点． 故答案为：． 24. 为满足市民需求，我市在一小岛两侧开辟了两条跑步路线：①，②．经勘测，点在点的北偏东方向6千米处，点在点的西北方向6千米处，点在点的正东方向，点在点的正南方向，点在点的南偏东方向，点在点的西南方向．（参考数据：，，） （1）求，之间的距离（结果保留整数）； （2）时间原因，小黎决定选择一条较短路线进行锻炼，请通过计算说明她应该选择路线①还是路线②（结果保留整数） 【答案】（1）1千米 （2）路线① 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质： （1）作于点E，于点F，用三角函数解和，求出，再证四边形为矩形，可得； （2）先解和求出，再作于点G，得等腰直角三角形，再解求出和，进而求出路线①和线②的长度，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作于点H，于点F，则，， 由题意知，， ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ， 即，之间的距离为1千米； 【小问2详解】 解：， ， 四边形为矩形， ， ； 如图，作于点G，则， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， 路线①的长度为：（千米）， 路线②的长度为： （千米）， 路线②的长度大于路线①的长度， 应选择路线①． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点（点在点右侧），且点坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴交于点．点是轴上的一点，使得，求的最大值及此时点的坐标． （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位，点是平移后抛物线的对称轴上一点，点，连接，若点关于直线的对称点恰好落在坐标轴上，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）当时，取得最大值，此时 （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，设，则，过点作轴，则可得，当时，取得最大值，此时； （3）先求平移后的抛物线解析式为，设则抛物线的对称轴为直线，设，与轴交于点，与交于点，根据题意得出，分两种情况讨论，当点的对称点恰好落在轴上时，当点的对称点恰好落在轴上时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入得， 解得： ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 当时， 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入 ， 解得， 直线的解析式为， 设，则， 如图所示，过点作轴，则， ∴ ∵， ∴， ， ∴ ∴当时，取得最大值，此时 即 小问3详解】 解：∵ ∴， 抛物线沿射线方向平移个单位长度， 抛物线向上平移个单位长度，向左平移个单位长度， ∵ 平移后的抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当点的对称点恰好落在轴上时，如图所示，设，与轴交于点 ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵对称 ∴ ∴是等边三角形， ∴， 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴ ∴ ∴即 当点的对称点恰好落在轴上时，如图所示，设交轴于点， 同理可得， 则 ∵对称， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 即 综上所述，或． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，轴对称的性质，解直角三角形；熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 26. 在中，，为边上中线，点为上一点，连接． （1）如图1，，，点在中垂线上，过点作交于点，求线段的长． （2）如图2，将线段绕点旋转至，使，过点作交于点，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接，求证：． （3）如图3，，，垂直平分于点，点是射线上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至线段，点是线段上的动点，连接，，当最小时，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，，当最大时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先通过勾股定理求出，根据斜边上的中线等于斜边的一半，求得，通过中垂线以及，证明出，从而推导出，作交于点，根据等腰三角形三线合一，求得，最后利用，求得，从而得到的长度． （2）连接，取的中点，连接，先通过直角三角形斜边上的中点得到，得到，因为，可知，从而推导出，接下来通过，推导出，再证明，得到，又因为，，所以得到，，推出，根据等角对等边，知道，再证明，得到，从而得证． （3）先通过，证明，得到当最短时，可知，将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ，当且仅当，，三线合一时，最大，作交于点，作交于点，利用勾股定理，求出和的长度，得到和，作交于点，求得，最后利用求得面积． 【小问1详解】 解：，， ， 为边上中线， ， 点在中垂线上， ， ， ， ， 又，， ， ， 作交于点， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 解：连接，取的中点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 中，是中点， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 又，， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ，， ，，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 【小问3详解】 解：连接、、，并延长交于点， 垂直平分于点， ， 将线段绕点逆时针旋转至线段， 是等边三角形，，， ， ，， ，， ， ， 当最短时，可知，如图所示， 将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ， ， 当且仅当，，三线合一时，最大， 如图所示： 连接、，作交于点，作交于点,作交于点， ，，，是的中点， ， ， 垂直平分于点， ， ， ， ， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，外角的性质，中垂线的性质，等腰三角形三线合一，解直角三角形，两点之间线段最短，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆一中初2025届初三上期阶段性消化作业（二） 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 如图，该几何体由6个大小相同的正方体组成，从左面看到的视图是（ ） A B. C. D. 3. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若两个相似三角形的周长之比是1：4，那么这两个三角形的面积之比是（　　） A. 1：4 B. 1：2 C. 1：16 D. 1：8 5. 一组数据：3、2、1、1、3、3，这组数据中位数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 用大小相同的黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，第④个图案有26个黑点……按此规律，第⑥个图案中黑点的个数为（ ） A. 46 B. 50 C. 51 D. 57 8. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，分别以，长为半径画弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A 8 B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点为上的一点，且，连接，过点作交延长线于点，连接，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知两个非零实数，，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作；再从，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从，，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为……依次进行下去，以下结论正确的个数为（ ） ①若，为方程的两个根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为偶数： ④若，要使得成立，则至少4． A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．请将正确答案写在答题卡中对应的位置上． 11. 计算：______． 12. 若一个正多边形的内角和为540度，则这个正多边形的中心角为______度． 13. 中国古代的数学著作丰富多样，对后世的数学发展产生了深远的影响．某中学拟从《周髀算经》，《几何原本》，《九章算术》，《测圆海镜》这4部名著中随机选择2部作为数学选修课的学习内容，恰好选中《几何原本》和《测圆海镜》的概率为______． 14. 已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长是______． 15. 如图，四边形为平行四边形，线段在轴上，点在反比例函数的图象上，线段与轴的正半轴相交于点，若，且四边形的面积为10，则常数的值为______． 16. 若关于的不等式组有且只有2个偶数解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的积为______． 17. 如图，内接于，点是弧的中点，连接，平分交线段于点，过点作交的延长线于点．若，，，则的面积为______． 18. 若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足，，则称该五位数为“差倍数”．规定：，．例如：42152，满足，，且，所以42152是“差倍数”，，．若是一个“差倍数”，，则的最大值为______；若“差倍数”（，，，，，均为整数），且能被11整除，则满足条件的的值的和为______． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 在学习了特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了深入研究，他们发现了一种构造菱形的方法．请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在中，平分，过点作交于点．用尺规在线段的左侧作，射线交于点． （2）已知：在中，平分，过点作交于点，，射线交于点．求证：四边形是菱形． 证明：， ① ． 又， 四边形是 ② ． 平分， ． 又， ③ ． ． ④ ． 四边形是菱形． 进一步思考，当是直角三角形，时，请写出你的结论：四边形是 ⑤ ． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，过点作于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 22. 一年一度的元旦节即将到来，某校初三年级的家委会妈妈们准备购买签字笔和圆规两种文具作为小礼物送给初三年级的孩子们，计划用2400元购买签字笔，用900元购买圆规，已知一支签字笔和一个圆规的售价之和为15元，计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍． （1）求计划分别购买多少支签字笔和多少个圆规？ （2）实际购买时，家委会妈妈们发现每支签字笔的售价降低了，每个圆规的售价便宜了元，根据各班对两种文具喜好的调查结果，家委会的妈妈们调整了购买签字笔和圆规的数量，实际购买圆规的数量比计划购买圆规的数量增加了个，但实际购买签字笔和圆规的总数量与计划购买签字笔和圆规的总数量相同，最终实际购买签字笔和圆规的总费用比计划购买签字笔和圆规的总费用减少了元，求的值． 23. 如图，在正方形中，．点从点出发，以速度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以速度的速度沿线段运动，连接、．当到达点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． （1）请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，若函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是______． 24. 为满足市民需求，我市在一小岛两侧开辟了两条跑步路线：①，②．经勘测，点在点的北偏东方向6千米处，点在点的西北方向6千米处，点在点的正东方向，点在点的正南方向，点在点的南偏东方向，点在点的西南方向．（参考数据：，，） （1）求，之间的距离（结果保留整数）； （2）时间原因，小黎决定选择一条较短路线进行锻炼，请通过计算说明她应该选择路线①还是路线②（结果保留整数） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），且点坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴交于点．点是轴上的一点，使得，求的最大值及此时点的坐标． （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位，点是平移后抛物线的对称轴上一点，点，连接，若点关于直线的对称点恰好落在坐标轴上，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 在中，，为边上中线，点为上一点，连接． （1）如图1，，，点在中垂线上，过点作交于点，求线段的长． （2）如图2，将线段绕点旋转至，使，过点作交于点，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接，求证：． （3）如图3，，，垂直平分于点，点是射线上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至线段，点是线段上的动点，连接，，当最小时，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，，当最大时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$