专题10相交线（巩固提升六大类型30题+能力培优8题+拓展突破8题+中考真题6题）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（人教版2024）

专题10相交线（巩固提升六大类型30题+能力培优8题+拓展突破8题+中考真题6题） 知识清单 1.相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 2.对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 3.垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 4.垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 5.点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 6.同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 对顶角与邻补角 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一把剪刀，在使用过程中，若增加，则（   ） A．减少 B．增加 C．不变 D．增加 3．（2024七年级上·云南·专题练习）如图，直线与相交于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线、相交，，则 . 5．（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）如图，已知、、相交于点O，，，则的度数是 ． 6．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线相交于点O，平分，若，则的度数为 ．    7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点O在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ． 相交线的有关计算 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线、相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，平分，求的度数． 9．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 10．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知直线相交于点O，与互余，平分，，求的度数． 11．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分． (1)若，求． (2)若，求． 12．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）已知：点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 垂线与垂线段 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 16．（24-25七年级上·河南·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 17．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．    18．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是 ． 垂线的有关作图 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用网格画图： (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)线段的长度是点C到直线_______的距离； (3)连接，在线段中，线段_______最短． 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)连接，则三角形的面积为_______． 21．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，点是的边上的一点，请过点画出，的垂线，分别交于点，，哪条线段的长度表示点到直线的距离？ 垂线与角的有关计算 22．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线、相交于点O，于点O，是内的一条射线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 23．（21-22七年级上·浙江丽水·期末）如图，直线与直线相交于点O，且平分． (1)若比大，求的度数． (2)证明：是的平分线． 24．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）直线相交于点O，过点O作． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由． (3)在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由． 25．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知： 直线与直线交于点 O， 过点 O 作 (1)如图 1， ，求 的度数； (2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 ，射线 平分 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 互余的角． 同位角、内错角与同旁内角 26．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，下列说法错误的是（ ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 27．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列结论正确的是（　　） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 28．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）如图，直线与的边相交． (1)写出图中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么与相等吗？与互补吗？为什么？ 29．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）如图，相交于点A，交于点B，交于点C． (1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出被所截形成的内错角； (3)指出被所截形成的同旁内角． 30．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，指出图中直线，被直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角．（仅指用数字标出的角） 31．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线与相交于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，E是直线上一点，，射线平分，，则（   ） A． B． C． D． 33．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，给出下列说法：①和是同位角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同旁内角．其中说法错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，平分，若，则 °． 35．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 36．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与相交于点，，射线平分，若，则 ． 37．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点D，． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 38．（22-23七年级上·河南开封·期末）如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 39．（22-23七年级下·云南昭通·期中）如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 40．（18-19七年级下·广西钦州·期末）如图，直线，相交于点，平分，于点．若，下列说法：①；②；③．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 41．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为，，若，且，则为（    ） A． B． C． D． 42．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，，， 为垂足，若 ，则 ． 43．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知，等于，则的度数为 ． 44．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 45．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，直线与直线交点O，，平分． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数． 46．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 47．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 48．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 49．（2024·四川雅安·中考真题）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 50．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 51．（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °． 52．（2021·湖南益阳·中考真题）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则 度． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10相交线（巩固提升六大类型30题+能力培优8题+拓展突破8题+中考真题6题） 知识清单 1.相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 2.对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 3.垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 4.垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 5.点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 6.同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 对顶角与邻补角 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此求解即可． 【详解】解；根据对顶角的定义可知，四个选项中只有C选项中的与互为对顶角， 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是一把剪刀，在使用过程中，若增加，则（   ） A．减少 B．增加 C．不变 D．增加 【答案】B 【分析】本题主要考查对顶角，解题的关键是掌握对顶角的定义和性质．根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：由题图可得和互为对顶角， 所以， 所以当增加时，也会增加． 故选B． 3．（2024七年级上·云南·专题练习）如图，直线与相交于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查邻补角、角的和差，掌握邻补角的定义是正确解答的前提．根据邻补角的定义求出即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：C． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线、相交，，则 . 【答案】/度 【分析】本题考查了对顶角相等，掌握其性质，角度的计算是解题的关键． 根据图示可得，结合，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： ． 5．（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）如图，已知、、相交于点O，，，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了对顶角相等， 根据对顶角相等可得出，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解 ：∵， ∴， ∵，且， ∴， 故答案为：． 6．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线相交于点O，平分，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了对顶角、角平分线的定义，掌握对顶角的性质和角平分线的定义是解题的关键．利用对顶角的性质可得，利用角平分线的定义可得，由此得解． 【详解】解： ， ，， 平分， ， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点O在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ． 【答案】20 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系，利用方程的思想是解题关键．设，由题意可得，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后根据，求出即可． 【详解】解：设， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：20． 相交线的有关计算 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线、相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查互补、互余的定义，角平分线的定义，对顶角相等，理解图示，掌握角平分线的定义，几何中角度的和差计算即可求解． （1）根据对顶角相等可得，根据互余的计算即可求解； （2）根据补角的性质可得，由对顶角相等可得，根据角平分线的定义可得，再根据互补的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 9．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由角平分线的定义可得，再根据对顶角相等即可得解； （2）设，，根据题意列出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ； （2）解：∵， ∴设，， 根据题意得， 解得， ∴， ∴， ． 10．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知直线相交于点O，与互余，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了余角的定义，角的平分线，以及角的和差，关键是理清图中角之间的关系，利用数形结合的思想求解．先计算出的度数，进而可得的度数，即可求得的度数，由对顶角的定义即可解答． 【详解】解：∵与互余，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴． 11．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分． (1)若，求． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，（1）利用了对顶角相等，邻补角互补，（2）利用了角平分线的定义，邻补角互补的性质，角的和差． （1）根据对顶角相等，可得的度数，根据，可得，根据邻补角，可得答案； （2）根据角平分线的定义，可得，根据邻补角的关系，可得关于的方程，求出的度数，可得答案． 【详解】（1）由对顶角相等，得， 由把分成两部分且，得， 由邻补角，得； （2） 平分， ． 由邻补角，得， 即， 解得． ∴，， ∴． 12．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）已知：点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，数形结合根据射线的位置分类讨论是解题关键． （1）根据平角的定义计算求值即可； （2）根据余角的定义可得，根据角平分线的定义可得，再计算角度和即可； （3）由余角的定义可得，分射线在内部、射线在外部两种情况，分别计算角的差、和即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵与互余， ∴， ∴， ①当射线在内部时，如图，   ； ②当射线在外部时，如图，   ． 综上所述，的度数为或． 垂线与垂线段 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：因为，， 所以直线与重合， 其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：B． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义，邻补角的定义，求出的度数是解题的关键．根据垂直的定义可求的度数，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离及垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短． 根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】A．线段的长是点到的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； B．三条线段中，依据垂线段最短可知最短，原说法正确，故此选项符合题意； C．线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； D．线段的长是点C到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 16．（24-25七年级上·河南·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短等知识点，牢记两点之间线段最短是解题的关键． 根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故选项不符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故选项不符合题意； C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故选项符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故选项不符合题意； 故选：． 17．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，判断是点P到直线l的距离即可． 【详解】解：直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，，垂足为A，， 点P到直线l的距离是， 故答案为：4． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离定义为从直线外一点到这条直线的垂线段长度，由点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：由题意可知，的长即为点A到直线的距离． 因为， 所以点A到直线的距离是4， 故答案为：． 垂线的有关作图 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用网格画图： (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)线段的长度是点C到直线_______的距离； (3)连接，在线段中，线段_______最短． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题主要垂线及其做图，点到直线的距离概念，垂线段最短，注意作图的准确性． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； （2）根据点到直线的距离概念回答； （3）根据垂线段最短直接回答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：线段的长度是点C到直线的距离， 故答案为：； （3）解：连接，在线段中，线段最短， 理由：垂线段最短． 故答案为：． 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)连接，则三角形的面积为_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了网格作图－垂线的画法，网格中求三角形的面积． （1）先确定以为斜边的格点直角三角形，再找和这个直角三角形一样的以为顶点的格点三角形即可； （2）先确定以三点所在的格线围成的长方形，用这个长方形的面积减去多出的三个直角三角形的面积，就是三角形的面积． 【详解】（1）解：就是所求作的垂线， ； （2）解：， 故答案为：． 21．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，点是的边上的一点，请过点画出，的垂线，分别交于点，，哪条线段的长度表示点到直线的距离？ 【答案】作图见详解，线段表示点P到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义得出即可．能熟记点到直线的距离的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， 线段的长度表示点到直线的距离． 垂线与角的有关计算 22．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线、相交于点O，于点O，是内的一条射线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，垂直的定义： （1）根据可得，等量代换可得，再根据平角的定义即可求解； （2）根据角的和差关系可得，根据垂直的定义可得，进而可得，则． 【详解】（1）解： ， ． ， ， ． （2）解：， ． ， ， ， ． 23．（21-22七年级上·浙江丽水·期末）如图，直线与直线相交于点O，且平分． (1)若比大，求的度数． (2)证明：是的平分线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了垂线的性质，角平分线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质，角平分线的性质及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键． （1）根据垂线的性质可得，由，可得，即可算出的度数，再根据角平分线的性质可得的度数，再根据代入计算即可得出答案； （2）根据角平分线的性质，可得，由垂线的性质可得，即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为平分线． 24．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）直线相交于点O，过点O作． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由． (3)在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或，理由见解析 【分析】（1）根据垂直的定义进行计算即可； （2）根据垂直的定义，对顶角相等以及等角的余角相等可得答案； （3）根据垂直的定义，平角的定义以及对顶角相等、同角的余角相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵． ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵． ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即是的平分线； （3）解：如图11，，理由如下： ∵， ∴，即， ∵． ∴，即， ∵， ∴ ∵， ∴． 如图12，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂线，角平分线，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等，掌握垂直的定义，角平分线的定义，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等是正确解答的关键． 25．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知： 直线与直线交于点 O， 过点 O 作 (1)如图 1， ，求 的度数； (2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 ，射线 平分 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 互余的角． 【答案】(1) (2)，，， 【分析】本题主要考查了几何图中角度的计算，求角的余角，角平分线的有关计算等知识． （1）先利用平角的定义以及即可得出，进而可求出，由垂直的定义即可求出，最后根据角的和差关系即可得出答案． （2）根据互余两角的和为90度一一计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：由（1）知， ∵， ∴和互余． ∵ ， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴，，， 则和互余，和互余，和互余， 综上：与互余的角有，，，． 同位角、内错角与同旁内角 26．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，下列说法错误的是（ ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【详解】A．与是同旁内角，说法正确，不符合题意； B．与是内错角，说法正确，不符合题意； C．与不是两条直线被第三条直线截成的角，说法错误，符合题意； D．与是同位角，说法正确，不符合题意． 故选：C． 27．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列结论正确的是（　　） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，相交线及其所成的角等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键：对顶角：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角；同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的异侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角； 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 根据对顶角、同位角、同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：根据对顶角、同位角、同旁内角的定义进行判断， A. 与是对顶角，该结论错误，故选项不符合题意； B. 与是同位角，该结论错误，故选项不符合题意； C. 与没有处在两条被截线之间，该结论错误，故选项不符合题意； D. 与是同旁内角，该结论正确，故选项符合题意； 故选：． 28．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）如图，直线与的边相交． (1)写出图中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么与相等吗？与互补吗？为什么？ 【答案】(1)与是同位角；与是内错角；与是同旁内角 (2)与相等，与互补，理由见解析 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：与是同位角；与是内错角；与是同旁内角； （2）解：如果，那么与相等，与互补． 理由如下： ∵，，， ，． 29．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）如图，相交于点A，交于点B，交于点C． (1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出被所截形成的内错角； (3)指出被所截形成的同旁内角． 【答案】(1)同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； (2)和，和； (3)和，和． 【分析】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义： （1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据同旁内角的定义求解即可． 【详解】（1）解：同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； （2）解：和，和都是内错角； （3）解：和，和都是同旁内角． 30．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，指出图中直线，被直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角．（仅指用数字标出的角） 【答案】见解析 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，同位角：在两条直线被第三条直线所截的同侧，被截两直线同侧的两个角称为同位角；内错角：在两条直线被第三条直线所截的两侧，且夹在两条被截直线之间的一对角称为内错角；同旁内角：在两条直线被第三条直线所截的同旁，被截两直线之间的两个角称为同旁内角；由此即可得出答案． 【详解】解：由图可得： 同位角：与，与； 内错角：与，与； 同旁内角：与，与． 31．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线与相交于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查邻补角，掌握邻补角的定义是正确解答的前提．根据邻补角的定义求出，进而求解即可． 【详解】因为，， 所以， 所以． 故选C． 32．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，E是直线上一点，，射线平分，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义，掌握相关知识点并灵活运用是解题关键． 先根据平角的对应求出，射线平分，得出，再根据，可得． 【详解】∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 33．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，给出下列说法：①和是同位角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同旁内角．其中说法错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，同旁内角和内错角的定义和特点，逐一进行判断即可． 【详解】和是同位角，①说法正确； 和不是对顶角，②说法错误； 和是内错角，③说法正确； 和不是同旁内角，④说法错误． 故说法错误的有②，④，共2个． 故选B． 34．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，平分，若，则 °． 【答案】132 【分析】此题考查了角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义，准确识图，理解角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义是解决问题的关键．设，，根据，得，再根据角平分线的定义得，由平角的定义得，即，将代入可得，进而可求出，然后再根据对顶角相等可得的度数． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴． 故答案为：132． 35．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 【答案】或 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、角的计算，熟记概念并准确画图是解题的关键． 根据垂直的定义求出，然后求出或，再根据邻补角或对顶角相等即可解答． 【详解】解：分为两种情况： 如图： ， ， 又， ， ； 如图： ， ， ， ， 又直线和相交于点， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 36．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与相交于点，，射线平分，若，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角性质，角度和差，由与是对顶角，则，从而求出，故有，最后根据角平分线的定义和角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 射线平分， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点D，． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂直的定义，几何中角度的计算． （1）根据垂直的定义得到，结合，等量代换可得，即可证明； （2）由，根据，可得，即可求出，由（1）知，由即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）知， ， ∴． 38．（22-23七年级上·河南开封·期末）如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)， (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线，熟练掌握角平分线定义，对顶角相等，补角定义，垂线的定义，是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义得，根据补角定义得，， 根据对顶角性质得，即得的补角； （2）先根据角平分线的定义得出和的度数，再由邻补角定义可得；先根据邻补角定义可得，再由角平分线定义即得度数； （3）运用角平分线的定义，得，根据平角的定义得，即得直线的位置关系． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 的补角有； （2）∵平分，， ∴ ∴，， ∴， 又∵平分， ∴； （3）射线与互相垂直．理由如下： ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴， ∴． 即射线的位置关系是互相垂直． 39．（22-23七年级下·云南昭通·期中）如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线，角平分线定义，对顶角，关键是由垂直的定义，角平分线定义求出的度数．由垂直的定义得到，即可求出，由角平分线定义得到，求出，由对顶角的性质得到 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， 故选： 40．（18-19七年级下·广西钦州·期末）如图，直线，相交于点，平分，于点．若，下列说法：①；②；③．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，对顶角相等，根据角平分线的性质，垂直的定义，对顶角相等，结合角的和差关系，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故①正确； ∴；故②正确； ；故③正确； 故选D． 41．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为，，若，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，邻补角，平行线的性质等知识．熟练掌握折叠的性质，邻补角，平行线的性质是解题的关键． 由题意知，，即，由折叠的性质可知，，可求，，由折叠的性质可知，，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 由折叠的性质可知，， 解得，，， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴，即， 解得，， 故选：B． 42．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，，， 为垂足，若 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差，熟练掌握是解题的关键． 根据垂直的定义得到，得到，根据，，即得． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 43．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知，等于，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算．结合图形是做这类题的关键．根据垂直关系知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 的位置有两种：一种是在内，一种是在外． ①当在内时，； ②当在外时，． 故答案为：或． 44．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当在之间时，当在之间时，先求解，，再分别进一步求解即可． 【详解】解：①当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即； ②当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：或 45．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，直线与直线交点O，，平分． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】该题主要考查了角的和差倍分运算以及角平分线的定义、垂直定义、对顶角相等，解题的关键是找到图中角度之间的关系，列出等式； （1）根据垂直的定义得出根据角平分线的定义得出等量代换即可证明； （2）根据角平分线的定义得出，再根据角的和差倍分计算即可得出，结合（1）即可求解； 【详解】（1） ， 平分， ， ， ， ， 平分． （2）平分，平分， ， ， ， ， ， 由（1）知 ， ∴． 46．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线定义和周角是可得的度数；分两种情况：当在下方时；当在上方时，计算即可； （2）由，，设，则，再结合角平分线的性质可用表达出的度数，求出与的度数． 【详解】（1）平分， ， ， ． 当在下方时， 平分，， ， ， ， ， ． 当在上方时， 平分，， ， ， ， ，， ； （2）设，则， ， ， ， ， ， ． 当在的下方时，同理可得 ， ， ， ， ， ． 综上所述：或 47．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答． 【详解】解：， ． 故选：B． 48．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 49．（2024·四川雅安·中考真题）如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质． 已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数． 【详解】解：∵， ， ， 故选：A． 50．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 51．（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °． 【答案】35 【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可． 【详解】解：∵与为对顶角，， ∴． 故答案为：35． 52．（2021·湖南益阳·中考真题）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则 度． 【答案】60 【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得，再根据对顶角相等即可得． 【详解】解：设， 是的平分线， ， 平分， ， 又， ， 解得，即， 由对顶角相等得：， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． ( 38 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$