专题08线段的性质和中点有关计算（巩固提升练20题+能力培优练8题+拓展突破练8题+中考真题练8题）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（人教版2024）

专题08线段的性质和中点有关计算（巩固提升练20题+能力培优练8题+拓展突破练8题+中考真题练8题） 知识清单 1、直线、射线、线段的比较 名称 不同点 联系 共同点 延伸性 端点数 线段 不能延伸 2 线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线 都是直的线 射线 只能向一方延伸 1 直线 可向两方无限延伸 无 2、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形． 一个点可以用一个大写字母表示，如点A. 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l或直线AB. 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线l或射线AB. 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l或线段AB. 3、点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点． ②点在直线外，或者说直线不经过这个点． 4、线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短． （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离． （3）线段的中点到两端点的距离相等． （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的． （5）线段的比较：①目测法；②叠合法；③度量法. 5、线段的中点： 点M把线段AB分成两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点． 即AM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM）. ( M A B ) 6、直线的性质 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． （2）过一点的直线有无数条． （3）直线是向两个方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小． （4）直线上有无穷多个点． （5）两条不同的直线至多有一个公共点． 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）关于图中的点和线，下列说法错误的是（　　） A．点在直线上 B．点在线段上 C．点在射线上 D．点在线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查了点与直线，线段的相关概念，准确识图，熟练掌握点与直线，线段的相关概念是解决问题的关键． 结合图形对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：根据图形可知： A、点在直线上正确，故该选项正确，不符合题意； B、点在线段上正确，故该选项正确，不符合题意； C、点在射线上正确，故该选项正确，不符合题意； D、点在线段上不正确，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，明确两点之间线段最短是解题关键，根据两点之间线段最短解答本题即可． 【详解】解：把弯曲的路径改直，就能缩短路程，用数学知识解释这一现象产生的原因：两点之间线段最短． 故选：C 3．（2024七年级上·贵州广西·专题练习）如图所示，从学校到公园有①②③④四条路线可走，其中最短的路线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的性质，熟练掌握线段的性质进行求解是解决本题的关键．应用两点的所有连线中，线段最短．进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，从学校到公园有①、②、③、④四条路线，其中线段最短， 最短的路线是③． 故选：C． 4．（19-20七年级上·云南丽江·期末）直线上有一点C，直线外有一点D，则A、B、C、D四点确定的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，根据两点确定一条直线画出图形即可求解． 【详解】解：如图所示，则A、B、C、D四点能确定的直线有四条． 故选：C． 5．（2024七年级上·贵州广西·专题练习）如图，点把线段分成两部分，其比为，点是的中点，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段的计算，由题目中的比例关系设未知数是常见做题技巧，根据线段之间关系列方程求解是解答的关键．根据题意设，，根据线段之间的关系列方程求解即可解答． 【详解】根据题意，设，， 则， ∵点P是的中点， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴， 故选：B． 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）研究下面解题过程： 如图，点在线段上，且，点是的中点，若，求的长． 解：因为，，所以①______．因为②______，而是的中点，所以③______．所以④______ 针对其中，给出的数值不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据已知条件项求出的长，进而求出的长，再由线段中点的定义求出的长，即可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：因为，， 所以①． 因为②，而是的中点， 所以③． 所以④， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 7．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，线段表示一根对折过后的绳子，现从点P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长那段为，若，则这条绳子的原长为（   ）． A．12 B．24 C．12或24 D．24或36 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差，根据题意可知对折点可能是点A，也可能是点B，再根据不同情况确定最长的线段即可求出原线段的长． 【详解】当点A是对折点时，则剪断后最长的线段应是， ∴， 所以绳子的原长为； 当点B是对折点时，则剪断后最长的线段应是， ∴， 所以绳子的原长为． 所以这条绳子的原长为12cm或24cm． 故选：C． 8．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）、、三点在同一条直线上，、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，那么、两点之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的和与差，分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别利用线段的和与差求解即可． 【详解】①若点在点左侧，如图， 两点之间的距离为，两点之间的距离为， ； ②若点在点右侧，如图， 两点之间的距离为，两点之间的距离为， ； ∴，之间的距离为或， 故选：C． 二、填空题 9．（2024七年级上·云南·专题练习）下列生产现象中，不可以用“两点确定一条直线”来解释的有 ． ①经过刨平的木板上的两个点可以弹出一条墨线；②建筑工人通过在两个钉子之间拉一条绳子砌墙；③把弯曲的公路改直就可以缩短路程． 【答案】③ 【分析】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【详解】解：①经过刨平的木板上的两个点可以弹出一条墨线，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意． ②建筑工人通过在两个钉子之间拉一条绳子砌墙，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意． ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故本选项符合题意． 故答案为：③． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【答案】 / / / / / 【分析】本题主要考查线段和差计算，掌握线段和差的计算是解题的关键． 根据图形和线段之间的关系填空即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）或； （4）； （5）； （6）． 故答案为：（1）①；②； （2）③；④； （3）⑤；⑥； （4）⑦； （5）⑧； （6）⑨． 11．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，把一个三角形沿虚线剪去一个角后得到一个四边形，若原三角形的周长为m，得到的四边形的周长为n，则关于m与n的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了线段的性质．掌握两点之间线段最短是解题的关键． 由两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】解：根据两点之间，线段最短， ． 故答案为：． 12．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位/秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动 秒时，． 【答案】2或18 【分析】设线段运动的时间为t秒，则，，，，．分两种情况计算：①当M点在N点左侧时，②当M点在N点右侧时，分别将和用含有t的式子表示出来，根据列方程即可求出t的值． 本题主要考查了线段的中点、线段的和差、直线上的动点问题，解题的关键是正确的把各条线段用含有t的式子表示出来，并且注意分类讨论． 【详解】， 设线段运动的时间为t秒，则，，，， ∵点N是线段的中点， ． ①当M点在N点左侧时 ， ， ， ， 解得． ②当M点在N点右侧时， ， ， ， ， 解得． 综上，线段运动2秒或18秒时，． 故答案为：2或18． 13．（22-23七年级上·贵州遵义·期末）如图，将一条长为的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是 cm． 【答案】或 【分析】先根据三段长度的比求出各段的长度，从而可求出剪断处对应的刻度，设折痕对应的刻度是，从尺子的左端点到折痕处的长度为：，再根据另两段的长度建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，最长段那部分的长度为， 另两段的长度分别为和， 因为没完全盖住的部分最长， 所以剪断处对应的刻度为， 设折痕对应的刻度是， 则或， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确求出剪断处对应的刻度是解题关键． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线．若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 ． 【答案】20或4 【分析】本题考查与线段的中点有关的计算，分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则， ∵， ∴， ∴； 故答案为：20或4． 三、解答题 15．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹） (1)画直线，画射线，连接； (2)延长线段到E．使得； (3)在线段上取点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，直线、射线、线段，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据基本作图方法即可画直线，画射线，连接； （2）延长线段到E，利用尺规使，可得； （3）连接线段交于点P，根据两点之间线段最短可得的值最小． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）解：如图，点E即为所求： （3）解：如图，点P即为所求． 16．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）已知线段，点是线段上一点，且，点为线段的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的中点的含义，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键．首先根据，O为中点，求出的长度是多少；然后用的长度减去的长度，求出线段的长度是多少即可． 【详解】解：∵，O为中点， ∴， ∵， ∴． 17．（24-25七年级上·河南·阶段练习）已知：点、分别是、的中点 (1)如图，点是线段上，，．求的长； (2)若点在线段的延长线上，且，，请你直接写出线段的长（用含有，的代数式表示） 【答案】(1)线段的长为 (2) 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的中点定义，理解线段的中点把线段分成两条相等的线段是解决问题的关键． （1）根据题意得出，确定，再由中点即可求解； （2）根据题意作出图形，然后结合线段中点求解即可． 【详解】（1）解：为的中点，， ， ， ， 为的中点， ， ； ， 答：线段的长为． （2）如图所示： ∵，， ∴， 为的中点， ， 为的中点， ∴， ， ． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知C，D为线段上的两点，M，N分别是，的中点． (1)图中共有 条线段． (2)若，，求的长度． (3)若，，请用含a，b式子直接表示的长度． 【答案】(1)15 (2)的长度为21 (3)的长度为 【分析】（1）根据线段的定义即可得到结论； （2）根据已知可得，再根据线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据已知可得，再根据线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了线段的和差，线段的中点，熟练掌握线段中点，线段的和差意义是解题的关键． 【详解】（1）解：图中共有条线段， 故答案为：15． （2） 解：∵，， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为21． （3） 解：∵，， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在线段上，点、分别是、的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若，你能求出的长度吗？并说明理由； (3)若点在的延长线上，且，你能求出的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)能，，见解析 (3)能，结论：，理由见解析 【分析】本题考查线段的和差，熟练掌握整体法求线段和差的方法以及正确根据题意画出图形是解题的关键． （1）利用中点分别求出和，再利用线段的和差求解即可； （2）先利用中点定义得出，，再利用即可解决； （3）先画出图形，先利用中点定义得出，，再利用即可解决． 【详解】（1）解：（1）∵点、分别是、的中点，，， ∴，， ∴； （2）解：能求出的长，理由： ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴能求出的长，； （3）解：能求出的长，结论：，理由： 如图， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 【答案】(1)3 (2)①或27；②或或 【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键： （1）根据，，进行计算即可； （2）①分和两种情况进行计算即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）①由题意，得：，， 当时，则：， ∴ ∴； 当时，则：， ∴， ∴； 综上：或； ②设点E的速度为每秒，由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 综上：点，点分别是，的三等分点，的长为或或． 21．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知线段，是直线上的一点，，，点是线段的中点，则线段的长为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分点在点的左右两侧，进行分类讨论，求解即可．本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：当点在点左侧时： ， ∵点是线段的中点， ∴； 当点在点左侧时： ， ∵点是线段的中点， ∴； 综上：的长为或； 故选C． 22．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知线段，点为的中点，是直线上的一点，且，，则（  ） A．6或 B．6或2 C．6或3 D．2 【答案】A 【分析】此题主要考查了两点之间的距离，一元一次方程的应用，关键是掌握线段的中点平分线段，正确画出图形．首先根据题意画出图形，分两种情况：①在上，②在的延长线上，然后利用方程思想设出未知数，表示出、、和的长即可解决问题． 【详解】解：如图1， 设，则，， 点为的中点， ， ， ， ， 解得：， ； 如图2，设，则，， 点为的中点， ， ， ， ， 解得：， ． 综上所述，线段的长为或． 故选：A． 23．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）嘉琪同学在路边看老人下五子棋时出现了如图所示的画面（部分），棋盘上有黑、白两色棋子若干，善于思考的她想找出颜色相同的三颗棋子在同一条直线上的所有直线．请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（   ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【答案】A 【分析】本题考查了“两点确定一条直线”．掌握相关结论即可． 根据“两点确定一条直线”即可求解． 【详解】提示：如下图所示． 故选：A． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且．若A、D两点表示的数分别为和6，点N为靠近点B的三等分点，则点N表示的数是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了数轴的有关概念，利用数轴上的点、线段相关性质，首先设出，根据表示出、，求出线段的长度，列方程即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ， 设，则，， 、两点表示的数分别为和6， ， ， 解得：， 故，，， 、两点表示的数的分别为和6， ，两点所表示的数分别是和4， 为靠近点的三等分点， ， 故表示的数是0． 故答案为：0． 25．（23-24七年级上·辽宁锦州·期末）如图，点B，C在线段上，且，点E为的中点，若，则 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查线段中点的定义，线段和、差、倍的计算，一元一次方程的实际应用，根据点E为的中点，设，由，列方程求出即可求解． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴． 设，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：9.6． 26．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系即可判断①②；求出，进而可得，据此可判断③；求出，则可求出，据此可判断④． 【详解】解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 27．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点． (1)如图①，点B在线段上，，求的长； (2)如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长． 【答案】(1) (2)3或10 【分析】本题考查与线段中点有关的计算： （1）根据中点的定义，推出，即可得解； （2）根据中点的定义和线段的和差关系求出的长，分点在点P的右侧，点C在点A，P之间，点C在点A的左侧，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， 所以． 因为， 所以． （2）由题意，得，， 所以， 所以． 当点C在点P的右侧时，，即，解得； 当点C在点A，P之间时，，不符合题意； 当点C在点A的左侧时，，即，解得， 所以． 综上所述，CP的长为3或10． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）数学课上，老师提出问题：如图，点O是线段上一点，C，D分别是线段中点，当时，求线段的长度． (1)下面是小明根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程； 思路方法 解答过程 知识要素 未知线段转化为已知线段 …… 因为C，D分别是线段的中点， 所以，① ．② ①＋②得     ___＝ ＝ ． 线段中点的定义，线段的和、差… (2)小明进行题后反思，提出新的问题：如果点O运动到线段的延长线上，的长度是否会发生变化？请你帮助小明作出判断并说明理由． 【答案】(1)，，，6 (2)不会发生变化，见解析 【分析】本题主要考查了线段中点的相关计算． （1）根据C，D分别是线段的中点，可得，，再由计算即可得出答案； （2）根据题意画图，如图所示，根据C，D分别是线段的中点，可得，，再由计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵C，D分别是线段的中点， ∴，① ．② ①+②： ∴． 故答案为： ，，，6； （2）解：如图， ，C，D分别是线段的中点， ∴，① ．② 得到： ∴． ∴如果点O运动到线段的延长线上，的长度不会发生变化． 29．（24-25七年级上·全国·期末）定义：如图1，点C在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“美点”．如图2，已知，动点P，Q分别从点A，B同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点P到达点B时，运动停止．设点P的运动时间为，当点P恰好是线段的“美点”时，t最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用、新定义问题的求解、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． 分三种情况求t的值，一是，则，求得；二是，则，求得；三是，则，求得，可知t的最大值为6，最小值为，求出它们的差即得到问题的答案． 【详解】解：∵点P是线段的“美点”， ∴或或， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， ∵， ∴t的最大值为6，最小值为， ∴（秒）， 故选：D． 30．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 31．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作次，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查中点公式和数轴上两点之间距离，掌握以上知识是解决此题的关键． 本题首先通过两次迭代找到规律，得到，然后当代入所求规律，即可解得第次操作的结果． 【详解】解：∵，分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 根据规律得到， ∴． 故选：B． 32．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段上有两点、，、分别是线段、的中点，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，先求出，再根据线段的中点求出，，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵、分别是线段、的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 33．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离，t秒后点P的路程是，点Q的路程是，再根据两点运动的方向和的长可得答案． 【详解】解：∵t秒后点P的路程是，点Q的路程是，， ∴在P与Q相遇前，； 在P与Q相遇后，． 故答案为：或． 34．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2025次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为： 35．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合） (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧， ①如图，当点为中点时，求的长； ②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)；或 【分析】本题主要考查了等式的性质，代数式求值，线段的和与差等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）根据及已知条件，即可得出答案； （2）根据及已知条件，先求出和的长；当点为中点时，则，然后根据即可求出的长，根据即可求出的长；分两种情况讨论：）当在点左侧时；）当在点右侧时；分别画出图形，然后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 当点为中点时， 则， ， ， ； 分两种情况： ）当在点左侧时， 如图， ，， ， ， ， ， ； ）当在点右侧时， 如图， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 36．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若，则将e的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2． (1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5，则线段的中点表示的数是______，线段，的相对离散度是______． (2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度，求s的值． (3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若，则．其中，且；2、如图：点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫作线段的中点） 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）分别求出线段、及其中点、，进而求出线段，然后依据相对离散度的计算公式进行解答即可； （2）设线段、的中点为、，分别求出线段、及其中点、，进而求出线段，然后依据相对离散度的计算公式列出关于的方程，解方程即可求出的值； （3）设数轴上点、对应的数分别为、，则点所对应的数，依据相对离散度的计算公式分别得出、，根据，得到关于、的方程，然后运用分类讨论思想，最终得出的取值范围． 【详解】（1）解：数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5， ，线段的中点表示的数是， ，线段的中点表示的数是， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：设线段，的中点为，， 数轴上的点O表示的数是0，点O右侧的点S表示的数是s，点T表示的数是2， ，， 点，在数轴上表示的数分别为，， ， 线段，的相对离散度为，且， ， ， 解得：或， 的值为或； （3）解：，理由如下： 设数轴上点、对应的数分别为、， 数轴上点、都在点的右侧（其中、不重合）， ，，且， ，，， 点是线段的中点， 点所表示的数， 设线段，的中点为，，则对应的数为，对应的数为， ， 线段，的相对离散度为，且， ， ， 同理可得：， ， ， 分四种情况讨论： 当，时， 解得：， 、不重合， ， 此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：， 同样，此种情况不合题意，故舍去； 当，时， 解得：； 当，时， 解得：； 综上，， ， ， ， 即：， ， 即：， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，等式的性质，绝对值方程等知识点，准确理解题目中的定义与公式并能熟练应用是解题的关键． 37．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】由直线公理可直接得出答案． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点． 38．（2022·山东临沂·中考真题）如图，，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是6，则点表示的数是（   ） A．-2 B．-3 C．-4 D．-5 【答案】B 【分析】根据，点表示的数是6，先求解 再根据A的位置求解A对应的数即可． 【详解】解：由题意可得：点表示的数是6，且B在原点的右侧， ， 在原点的左侧， 表示的数为 故选B 【点睛】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上的点所对应的数的表示，熟悉数轴的组成与数轴上数的分布是解本题的关键． 39．（2022·浙江金华·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可； 【详解】解：∵AB为底面直径， ∴将圆柱侧面沿“剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间， ∵两点之间线段最短， 故选： C． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键． 40．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．2或3 【答案】C 【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可． 【详解】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2, ∴AD=AC=1    如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6, ∴AD=AC=3    故选C． 【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键． 41．（2021·江苏泰州·中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　） A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】分别对每种情况进行讨论，看a的值是否满足条件再进行判断． 【详解】解：①当点A在B、C两点之间，则满足， 即， 解得：，符合题意，故选项A正确； ②点B在A、C两点之间，则满足， 即， 解得：，不符合题意，故选项B错误； ③点C在A、B两点之间，则满足， 即， 解得：a无解，不符合题意，故选项C错误； 故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段的和与差及一元一次方程的解法，分类讨论并列出对应的式子是解本题的关键． 42．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．    【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可． 【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近， 其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短 故答案为：两点之间，线段最短． 43．（2022·广西桂林·中考真题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm． 【答案】4 【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm． 【详解】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4（cm）， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键． 44．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 个交点 【答案】190 【分析】根据题目中的交点个数，找出条直线相交最多有的交点个数公式：． 【详解】解：2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有个交点； 4条直线相交最多有个交点； 5条直线相交最多有个交点； 20条直线相交最多有． 故答案为：190． 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即条直线相交最多有． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08线段的性质和中点有关计算（巩固提升练20题+能力培优练8题+拓展突破练8题+中考真题练8题） 知识清单 1、直线、射线、线段的比较 名称 不同点 联系 共同点 延伸性 端点数 线段 不能延伸 2 线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线 都是直的线 射线 只能向一方延伸 1 直线 可向两方无限延伸 无 2、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形． 一个点可以用一个大写字母表示，如点A. 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l或直线AB. 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线l或射线AB. 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l或线段AB. 3、点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点． ②点在直线外，或者说直线不经过这个点． 4、线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短． （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离． （3）线段的中点到两端点的距离相等． （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的． （5）线段的比较：①目测法；②叠合法；③度量法. 5、线段的中点： 点M把线段AB分成两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点． 即AM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM）. ( M A B ) 6、直线的性质 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． （2）过一点的直线有无数条． （3）直线是向两个方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小． （4）直线上有无穷多个点． （5）两条不同的直线至多有一个公共点． 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）关于图中的点和线，下列说法错误的是（　　） A．点在直线上 B．点在线段上 C．点在射线上 D．点在线段上 2．（24-25七年级上·全国·期末）毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离 3．（2024七年级上·贵州广西·专题练习）如图所示，从学校到公园有①②③④四条路线可走，其中最短的路线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 4．（19-20七年级上·云南丽江·期末）直线上有一点C，直线外有一点D，则A、B、C、D四点确定的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 5．（2024七年级上·贵州广西·专题练习）如图，点把线段分成两部分，其比为，点是的中点，，则的长为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）研究下面解题过程： 如图，点在线段上，且，点是的中点，若，求的长． 解：因为，，所以①______．因为②______，而是的中点，所以③______．所以④______ 针对其中，给出的数值不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，线段表示一根对折过后的绳子，现从点P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长那段为，若，则这条绳子的原长为（   ）． A．12 B．24 C．12或24 D．24或36 8．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）、、三点在同一条直线上，、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，那么、两点之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 9．（2024七年级上·云南·专题练习）下列生产现象中，不可以用“两点确定一条直线”来解释的有 ． ①经过刨平的木板上的两个点可以弹出一条墨线；②建筑工人通过在两个钉子之间拉一条绳子砌墙；③把弯曲的公路改直就可以缩短路程． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 11．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，把一个三角形沿虚线剪去一个角后得到一个四边形，若原三角形的周长为m，得到的四边形的周长为n，则关于m与n的大小关系是 ． 12．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位/秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动 秒时，． 13．（22-23七年级上·贵州遵义·期末）如图，将一条长为的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是 cm． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线．若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 ． 三、解答题 15．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹） (1)画直线，画射线，连接； (2)延长线段到E．使得； (3)在线段上取点P，使的值最小． 16．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）已知线段，点是线段上一点，且，点为线段的中点，求线段的长． 17．（24-25七年级上·河南·阶段练习）已知：点、分别是、的中点 (1)如图，点是线段上，，．求的长； (2)若点在线段的延长线上，且，，请你直接写出线段的长（用含有，的代数式表示） 18．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知C，D为线段上的两点，M，N分别是，的中点． (1)图中共有 条线段． (2)若，，求的长度． (3)若，，请用含a，b式子直接表示的长度． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在线段上，点、分别是、的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若，你能求出的长度吗？并说明理由； (3)若点在的延长线上，且，你能求出的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 20．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 21．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知线段，是直线上的一点，，，点是线段的中点，则线段的长为（ ） A． B． C．或 D．或 22．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知线段，点为的中点，是直线上的一点，且，，则（  ） A．6或 B．6或2 C．6或3 D．2 23．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）嘉琪同学在路边看老人下五子棋时出现了如图所示的画面（部分），棋盘上有黑、白两色棋子若干，善于思考的她想找出颜色相同的三颗棋子在同一条直线上的所有直线．请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（   ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 24．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且．若A、D两点表示的数分别为和6，点N为靠近点B的三等分点，则点N表示的数是 ． 25．（23-24七年级上·辽宁锦州·期末）如图，点B，C在线段上，且，点E为的中点，若，则 ． 26．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 27．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点． (1)如图①，点B在线段上，，求的长； (2)如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）数学课上，老师提出问题：如图，点O是线段上一点，C，D分别是线段中点，当时，求线段的长度． (1)下面是小明根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程； 思路方法 解答过程 知识要素 未知线段转化为已知线段 …… 因为C，D分别是线段的中点， 所以，① ．② ①＋②得     ___＝ ＝ ． 线段中点的定义，线段的和、差… (2)小明进行题后反思，提出新的问题：如果点O运动到线段的延长线上，的长度是否会发生变化？请你帮助小明作出判断并说明理由． 29．（24-25七年级上·全国·期末）定义：如图1，点C在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“美点”．如图2，已知，动点P，Q分别从点A，B同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点P到达点B时，运动停止．设点P的运动时间为，当点P恰好是线段的“美点”时，t最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 31．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作次，则（   ） A． B． C． D． 32．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段上有两点、，、分别是线段、的中点，若，，则线段的长为 ． 33．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 34．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ． 35．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点在线段上，，线段在直线上移动（点，不与点，重合） (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧， ①如图，当点为中点时，求的长； ②点（不与点，，重合）在线段上，，，求的长． 36．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若，则将e的值称为线段，的相对离散度，特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上的点O表示的数是0，点T表示的数是2． (1)若数轴上点A，B，C，D表示的数分别是，，3，5，则线段的中点表示的数是______，线段，的相对离散度是______． (2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度，求s的值． (3)数轴上点P，Q都在O点的右侧（其中P，Q不重合），点R是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出R所表示的数r的取值范围．（参考材料：1、若，则．其中，且；2、如图：点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫作线段的中点） 37．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 38．（2022·山东临沂·中考真题）如图，，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是6，则点表示的数是（   ） A．-2 B．-3 C．-4 D．-5 39．（2022·浙江金华·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 40．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．2或3 41．（2021·江苏泰州·中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　） A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定 42．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．    43．（2022·广西桂林·中考真题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm． 44．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 个交点 ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$