第20期 27.2与圆有关的位置关系（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 上期２版 ２７．１．１圆的基本元素 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｃ； ４．无数，１；　５．３６°． ６．连结ＯＢ．因为ＡＢ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＣ，所以ＡＢ＝ＢＯ，所以 ∠ＥＡＤ＝∠ＢＯＡ，所以∠ＥＢＯ＝∠ＢＯＡ＋∠ＥＡＤ＝２∠ＥＡＤ．又 因为 ＯＥ＝ＯＢ，所以∠ＥＢＯ＝∠Ｅ，所以 ∠Ｅ＝２∠ＥＡＤ，所以 ∠ＥＯＤ＝∠Ｅ＋∠ＥＡＤ＝３∠ＥＡＤ＝８１°，所以∠ＥＡＤ＝２７°． 能力提高　７．证明：取ＢＣ的中点Ｆ，连结ＤＦ，ＥＦ． 因为ＢＤ，ＣＥ是△ＡＢＣ的高，所以△ＢＣＤ和△ＢＣＥ都是直角 三角形．所以 ＤＦ，ＥＦ分别为 Ｒｔ△ＢＣＤ和 Ｒｔ△ＢＣＥ斜边上的中 线，所以ＤＦ＝ＥＦ＝ＢＦ＝ＣＦ．所以Ｅ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点在以Ｆ点为 圆心， １ ２ＢＣ为半径的圆上． ２７．１．２圆的对称性（第一课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．１２０°． ３．（１）∠ＡＥＣ＝∠ＯＡＢ＋∠ＡＯＣ＝７５°． （２）证明：连结ＡＣ，ＢＤ，因为ＯＡ＝ＯＣ，∠ＡＯＣ＝３０°，所以 ∠ＡＣＥ＝７５°，所以∠ＡＣＥ＝∠ＡＥＣ，所以ＡＣ＝ＡＥ，同理可证ＢＦ ＝ＢＤ，因为Ｃ，Ｄ是 ) ＡＢ的三等分点，所以ＡＣ＝ＣＤ＝ＢＤ，所以ＡＥ ＝ＢＦ＝ＣＤ． 能力提高　４．因为 ) ) ) ＣＤ＝ＡＣ＋ＢＤ，所以∠ＣＯＤ＝∠ＡＯＣ＋ ∠ＢＯＤ，因为∠ＣＯＤ＋∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ＝１８０°，所以∠ＣＯＤ＝ ∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ＝９０°，因为ＯＣ＝ＯＤ，所以∠ＯＤＣ＝∠ＯＣＤ＝ ４５°．因为ＰＣ＝ＣＯ，所以∠Ｐ＝∠ＣＯＰ，又因为∠Ｐ＋∠ＣＯＰ＝ ∠ＯＣＤ＝４５°，所以∠Ｐ＝∠ＣＯＰ＝２２．５°，所以∠ＤＯＢ＝∠Ｐ ＋∠ＰＤＯ＝６７５°． ２７．１．２圆的对称性（第二课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１５°或７５°；　４．１．３． 能力提高　５．如图，因为ＭＮ⊥ＡＢ，所以ＭＮ过圆心Ｏ，连结 ＯＤ，ＯＢ，由题意，得ＭＮ＝３．５ｃｍ．因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＭＮ⊥ＣＤ， 所以ＤＭ＝ １２ＣＤ＝２ｃｍ，ＢＮ＝ １ ２ＡＢ＝１．５ｃｍ．设ＯＭ＝ｘｃｍ， 所以 ＯＮ ＝（３．５－ｘ）ｃｍ，在 Ｒｔ△ＯＭＤ中，有ＯＭ２＋ＭＤ２＝ＯＤ２，在Ｒｔ△ＯＮＢ中，有ＯＮ２＋ＢＮ２ ＝ＯＢ２，因为ＯＤ＝ＯＢ，所以ＯＭ２＋ＭＤ２＝ＯＮ２＋ＢＮ２，所以ｘ２＋ ２２＝（３．５－ｘ）２＋１．５２，解得ｘ＝１．５，即ＯＭ＝１．５ｃｍ，所以ＯＤ ＝ ＯＭ２＋ＭＤ槡 ２＝２．５ｃｍ，所以纸杯的直径为２．５×２＝５（ｃｍ）． ２７．１．３圆周角 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．２４；　４．９９°；　５．４０°． ６．（１）证明：因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＣＤ⊥ＡＢ，所以 ) ) ＢＣ＝ＢＤ，所 以∠Ａ＝∠２，又因为ＯＡ＝ＯＣ，所以∠１＝∠Ａ，所以∠１＝∠２． （２）⊙Ｏ的半径为１３４． 能力提高　７．因为 ＡＢ是直径，所以 ∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝ ９０°，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１０ｃｍ，ＡＣ＝６ｃｍ，所以ＢＣ＝８ｃｍ，因 为ＣＤ平分∠ＡＣＢ，所以∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ，所以 ) ) ＡＤ＝ＤＢ，所以 ＡＤ＝ＢＤ，在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得ＡＤ２＋ＢＤ２＝ＡＢ２，所 以ＡＤ＝ＢＤ＝ １００槡２ ＝ 槡５２（ｃｍ）．所以四边形ＡＣＢＤ的面积 ＝ △ＡＢＣ的面积 ＋△ＡＢＤ的面积 ＝ １２×６×８＋ １ ２×槡５２×槡５２ ＝４９（ｃｍ２）． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｃ 二、９．４条；　１０．４；　１１．５０°；　１２．６或 槡２ ２１；　１３．５２．５°； １４．槡２９－２． 三、１５．证明略． １６．证明：因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，点Ｅ是弦ＣＤ的中点，所以 ＡＢ⊥ＣＤ，所以 ) ) ＡＤ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠Ｆ，因为ＣＦ∥ＢＤ，所以 ∠ＡＧＦ＝∠Ｂ，所以∠ＡＧＦ＝∠Ｆ，所以ＡＧ＝ＡＦ． １７．（１）⊙Ｏ的半径为２． （下转１，４版中缝） 书 （２）因为 ∠ＢＡＣ ＝ ９０°，∠ＡＣＢ ＝３０°，所以 ∠Ｂ＝６０°，因为四边形 ＡＢＣＤ是 ⊙Ｏ的内接四边 形，所以∠Ｄ＝１２０°，因为 点Ｄ为 ) ＡＣ的中点，所以ＡＤ ＝ ＣＤ，所 以 ∠ＤＡＣ ＝ ∠ＤＣＡ＝３０°． １８．（１）桥拱的半径是 １０米． （２）连结ＯＤ，因为ＣＯ ⊥ ＤＥ，ＤＥ＝１２米，所以 ＤＭ＝ １２ＤＥ＝６米，所以 ＯＭ ＝ ＯＤ２－ＤＭ槡 ２ ＝ ８米，因为ＯＮ＝ＯＣ－ＣＮ ＝６米，所以ＭＮ＝８－６＝ ２（米），所以水面涨高了 ２米． １９．（１）连结 ＥＯ，设 ⊙Ｏ半径为 ｒ，因为 ＥＧ⊥ ＡＢ，所以ＣＥ＝ＣＧ＝１２ＥＧ ＝４，因为ＡＣ＝２，所以ＯＣ ＝ｒ－２，在Ｒｔ△ＣＥＯ中，由 勾股定理，得ＯＥ２＝ＣＥ２＋ ＯＣ２，即ｒ２＝４２＋（ｒ－２）２， 解得ｒ＝５，所以 ⊙Ｏ的半 径为５． （２）证明：连结 ＯＥ， ＯＦ，因为 ＡＣ＝ＢＤ，ＯＡ＝ ＯＢ，所以 ＯＣ＝ＯＤ，因为 ＥＧ⊥ ＡＢ，ＦＨ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＯＣＥ＝∠ＯＤＦ＝９０°，在 Ｒｔ△ＣＯＥ和 Ｒｔ△ＤＯＦ中， ＯＣ＝ＯＤ， ＯＥ＝ＯＦ{ ， 所 以 Ｒｔ△ＣＯＥ≌ Ｒｔ△ＤＯＦ，所 以∠ＡＯＥ＝∠ＢＯＦ，所以 ) ) ＡＥ＝ＢＦ． ２０．（１）证明：因为 ∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＢ，所以 ) ＡＢ ) ＝ＢＣ，所 以 ∠ＡＤＢ ＝ 书 １．已知：点Ｐ是⊙Ｏ外一点． （１）尺规作图：如图１，以ＯＰ为直径作⊙Ｏ′交⊙Ｏ 于Ｅ，Ｆ两点，连结 ＯＰ，ＰＥ，ＰＦ（保留作图痕迹，不要求 写作法）； （２）在（１）的条件下，求证：ＰＥ，ＰＦ是⊙Ｏ的切线． ２．如图２，△ＡＢＣ内接于 ⊙Ｏ，ＡＢ为 ⊙Ｏ的直径， ∠ＡＣＢ的平分线交⊙Ｏ于点Ｄ，过点Ｄ作直线ＤＥ交ＣＢ 的延长线于点Ｅ，且∠ＢＤＥ＝∠ＤＣＥ． （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若⊙Ｏ的半径为 ５２，求ＤＢ的长． １．如图１，Ｄ为△ＡＢＣ内一点，且∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ， ＢＤ⊥ＣＤ．作ＤＨ⊥ＡＢ于Ｈ，ＨＤ的延长线交ＡＣ于Ｅ，若 ＤＥ＝３，ＡＢ＝５，则ＢＣ＝ ． ２．如图２，在半径为４的⊙Ｏ中，弦ＡＣ＝ 槡４２，Ｂ是 ⊙Ｏ上的一动点（不与点Ａ重合），Ｄ是ＡＢ的中点，Ｍ为 ＣＤ的中点，则ＡＭ的最大值为 ． 书 第一招：有直径，直接证 例１　如图１，已知ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，ＢＣ交 ⊙Ｏ于点 Ｄ，Ｅ是 ) ＢＤ的中点，ＡＥ与ＢＣ交 于点Ｆ，∠Ｃ＝２∠ＥＡＢ．求证： ＡＣ是⊙Ｏ的切线． 证明：连结 ＡＤ，因为 Ｅ是 ) ＢＤ的中点，所以 ) ) ＤＥ＝ＢＥ， 所以∠ＥＡＢ＝∠ＥＡＤ． 因为∠ＡＣＢ＝２∠ＥＡＢ，所以∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＢ． 因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＤＢ＝９０°， 所以∠ＤＡＣ＋∠ＡＣＢ＝９０°， 所以∠ＤＡＣ＋∠ＤＡＢ＝∠ＢＡＣ＝９０°， 所以ＡＣ⊥ＡＢ， 因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以ＡＣ是⊙Ｏ的切线． 第二招：连半径，证垂直 例２　如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，点Ｃ在⊙Ｏ上，且点Ｃ为 ) ＢＥ的中点，连结 ＡＥ并延长交 ＢＣ的延长线于点 Ｄ．过点 Ｃ作 ＣＦ⊥ＡＤ，垂足为点Ｆ．求证：ＣＦ 是⊙Ｏ的切线． 证明：连结ＡＣ，ＯＣ， 因为点Ｃ为 ) ＢＥ的中点，所以∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＥ． 又因为ＡＢ是直径，所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＝９０°，ＡＣ ＝ＡＣ， 所以△ＢＡＣ≌△ＤＡＣ．所以∠Ｂ＝∠Ｄ． 又因为∠Ｂ＝∠ＯＣＢ， 所以∠ＯＣＢ＝∠Ｄ．所以ＯＣ∥ＡＤ． 因为ＣＦ⊥ＡＤ，所以ＯＣ⊥ＣＦ． 因为ＯＣ是⊙Ｏ的半径，所以ＣＦ是⊙Ｏ的切线． 第三招：作垂直，证半径 例 ３　 如 图 ３， 在 △ＡＢＣ中，以边 ＡＣ上一点 Ｏ为圆心，ＯＡ为半径作 ⊙Ｏ，与 ＡＢ相切于点 Ａ．作 ＣＤ⊥ＢＯ交ＢＯ的延长线于 点Ｄ，且∠ＣＢＤ＝∠ＤＣＯ．求证：ＢＣ是⊙Ｏ的切线． 证明：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＢＣ于点Ｅ， 因为ＡＢ与⊙Ｏ相切于点Ａ，ＣＤ⊥ＢＯ， 所以∠ＢＡＯ＝∠Ｄ＝９０°． 又因为∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，所以∠ＡＢＯ＝∠ＤＣＯ， 因为∠ＣＢＤ＝∠ＤＣＯ，所以∠ＡＢＯ＝∠ＤＢＣ， 又因为ＯＡ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＢＣ， 所以ＯＥ＝ＯＡ，所以ＢＣ是⊙Ｏ的切线． 【对应练习见《重点集训营》】 书 结论１：如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝ａ，ＡＣ ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，内切圆⊙Ｏ的半径为ｒ，Ｄ，Ｅ，Ｆ为切点，则ｒ ＝ １２（ａ＋ｂ－ｃ）． 证明：如图１，连结 ＯＤ，ＯＥ，ＯＦ，则四边形 ＣＤＯＥ为 正方形．所以ＣＤ＝ＯＥ＝ｒ． 由题意，易得ＡＦ＝ＡＥ，ＣＥ＝ＣＤ，ＢＦ＝ＢＤ． 所以ａ＋ｂ－ｃ＝（ＢＤ＋ＤＣ）＋（ＡＥ＋ＥＣ）－（ＡＦ＋ ＢＦ）＝２ＣＤ＝２ｒ． 所以ｒ＝ １２（ａ＋ｂ－ｃ）． 结论２：如图２，若⊙Ｏ为 △ＡＢＣ的内切圆，则∠ＡＯＢ ＝９０°＋１２∠ＡＣＢ． 证明：因为⊙Ｏ为 △ＡＢＣ的内切圆， 所以∠１＝ １２∠ＣＡＢ，∠２＝ １ ２∠ＡＢＣ． 所以 ∠ＡＯＢ ＝１８０°－（∠１＋∠２） ＝１８０°－ １ ２（∠ＣＡＢ＋∠ＡＢＣ）＝１８０°－ １ ２（１８０°－∠ＡＣＢ）＝９０° ＋１２∠ＡＣＢ． 结论３：如图３，在△ＡＢＣ中，内切圆⊙Ｏ和ＢＣ，ＡＣ， ＡＢ分别相切于点Ｅ，Ｆ，Ｄ，则∠ＦＤＥ＝９０°－１２∠ＡＣＢ． 证明：如图３，连结ＯＥ，ＯＦ，则ＯＦ⊥ＡＣ，ＯＥ⊥ＢＣ． 因为四边形ＣＦＯＥ的内角和为３６０°， 所以∠ＦＯＥ＋∠ＡＣＢ＝１８０°． 因为∠ＦＤＥ＝ １２∠ＦＯＥ， 所以∠ＦＤＥ＝９０°－１２∠ＡＣＢ． 结论４：如图４，△ＡＢＣ的三边长 ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ分别为 ａ，ｂ，ｃ，其面积为 Ｓ，内切圆 ⊙Ｉ的半径为 ｒ，则 ｒ＝ ２Ｓ ａ＋ｂ＋ｃ． 证明：如图４，连结ＩＡ，ＩＢ，ＩＣ． 因为Ｓ＝Ｓ△ＡＩＢ＋Ｓ△ＡＩＣ＋Ｓ△ＢＩＣ ＝ １ ２ＡＢ·ｒ＋ １ ２ＡＣ· ｒ＋１２ＣＢ·ｒ＝ １ ２（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ，所以ｒ＝ ２Ｓ ａ＋ｂ＋ｃ． 书 与圆有关的探索性问题在数学学习中屡见不鲜． 现列举两例介绍其解法，供大家学习时参考． 例１　如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＣ是⊙Ｏ的弦， ＯＤ⊥ＢＣ于点Ｅ，交 ) ＢＣ于点Ｄ，连结ＣＤ． （１）请写出三个不同类型 獉獉獉獉 的正确结论； （２）设∠ＣＤＢ＝α，∠ＡＢＣ＝β， 试找出α与β之间的一个关系式，并 给予证明． 解：（１）由 ＯＤ ＝ ＯＢ，可得 △ＯＢＤ是等腰三角形；由 ＡＢ是 ⊙Ｏ 的直径，可得 ∠ＡＣＢ＝９０°，△ＡＢＣ是直角三角形；由 ＢＣ是⊙Ｏ的弦，ＯＤ⊥ＢＣ于点Ｅ，交 ) ＢＣ于点Ｄ，可得ＢＥ ＝ＣＥ， ) ) ＢＤ＝ＣＤ，∠ＢＥＤ＝∠ＯＥＢ＝９０°；由∠ＯＥＢ＝ ９０°，可得ＯＥ２＋ＢＥ２＝ＯＢ２等．任选其中三个都符合要 求． （２）α＝９０°＋β． 证明：因为α＋∠ＢＡＣ＝１８０°，∠ＡＣＢ＋β＋∠ＢＡＣ ＝１８０°，所以α＝∠ＡＣＢ＋β． 因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°，所以α ＝９０°＋β． 例２　 如图２，在 △ＡＢＣ中， ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为线段ＢＣ上异于Ｂ，Ｃ 的一动点，以Ａ为圆心，ＡＤ的长为 半径作⊙Ａ与ＡＢ，ＡＣ分别交于Ｅ， Ｆ，连结 ＤＥ，ＤＦ，若 ∠Ｂ＝５０°，随 着点Ｄ的运动，∠ＢＤＥ＋∠ＣＤＦ的 值是否为定值？若不是，请说明理 由；若是，请求出该定值． 解：∠ＢＤＥ＋∠ＣＤＦ＝４０°，为定值．理由如下： 如图２，在⊙Ａ上取任意一点Ｇ，连结ＥＧ，ＦＧ，则四 边形 ＥＤＦＧ是圆内接四边形．因为 ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＝ ５０°，所以 ∠Ｃ＝∠Ｂ＝５０°，所以 ∠ＢＡＣ＝８０°，所以 ∠Ｇ＝ １２∠ＢＡＣ＝４０°，所以∠ＥＤＦ＝１８０°－∠Ｇ＝ １４０°．因为 ∠ＡＥＤ＝∠Ｂ＋∠ＢＤＥ＝５０°＋∠ＢＤＥ， ∠ＡＦＤ＝∠Ｃ＋∠ＣＤＦ＝５０°＋∠ＣＤＦ，ＡＥ＝ＡＤ＝ ＡＦ，所以 ∠ＥＤＡ＝∠ＡＥＤ＝５０°＋∠ＢＤＥ，∠ＦＤＡ＝ ∠ＡＦＤ＝５０°＋∠ＣＤＦ，所以∠ＥＤＦ＝∠ＥＤＡ＋∠ＦＤＡ ＝１００°＋∠ＢＤＥ＋∠ＣＤＦ＝１４０°，所以 ∠ＢＤＥ＋ ∠ＣＤＦ＝４０°，为定值． ! !" #$% ! ! ! " # $ % & ' # ! " & $ ! ! " ! # !# ( & " ! $ #& $ % ! ' 书 例１　如图１，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，连结ＡＯ，若 ∠ＢＡＣ＋∠ＯＡＢ＝９０°． （１）求证：ＡＢ＝ＢＣ； （２）如图２，作ＣＤ⊥ＡＢ交于Ｄ，ＡＯ的延长线交ＣＤ 于Ｅ，若ＡＯ＝３，ＡＥ＝４，求线段ＡＣ的长． 解：（１）证明：连结ＢＯ并延长，交ＡＣ于 Ｔ．因为 ＡＯ ＝ＢＯ，所以∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ，又因为∠ＢＡＣ＋∠ＯＡＢ＝ ９０°，所以∠ＢＡＣ＋∠ＯＢＡ＝９０°，所以∠ＢＴＡ＝９０°，所 以ＢＴ垂直平分ＡＣ，所以ＡＢ＝ＢＣ． （２）延长ＡＯ交⊙Ｏ于Ｆ，连结ＣＦ．因为ＣＤ⊥ＡＢ，所 以∠ＣＤＡ＝９０°，所以 ∠ＯＡＢ＋∠ＡＥＤ ＝９０°，因为 ∠ＢＡＣ＋∠ＯＡＢ＝９０°，所以∠ＡＥＤ＝∠ＢＡＣ＝∠ＦＥＣ． 因为ＡＦ为⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＦ＝９０°，因为∠ＦＣＥ ＋∠ＡＣＤ＝９０°，∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＤ＝９０°，所以∠ＦＣＥ＝ ∠ＢＡＣ，所以∠ＦＥＣ＝∠ＦＣＥ，所以ＦＥ＝ＦＣ，因为ＡＯ＝ ３，ＡＥ＝４，所以ＯＥ＝１，ＦＥ＝ＦＣ＝ＯＦ－ＯＥ＝ＡＯ－ＯＥ ＝２．所以在Ｒｔ△ＦＣＡ中，ＡＣ＝ ＡＦ２－ＣＦ槡 ２ ＝ 槡４２． 例 ２　 如图 ３，点 Ｃ为 △ＡＢＤ的外接圆上的一动点 （点Ｃ不在 ) ＢＡＤ上，且不与点 Ｂ，Ｄ重合），∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＤ ＝４５°． （１）求证：ＢＤ是该外接 圆的直径； （２）连结ＣＤ，则ＡＣ，ＢＣ，ＣＤ三条线段满足什么等量 关系？请证明． 解：（１）证明：因为 ) ) ＡＢ＝ＡＢ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ， 又因为∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＤ＝４５°，所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ＝ ４５°，所以∠ＢＡＤ＝９０°，所以ＢＤ是该外接圆的直径． （２）槡２ＡＣ＝ＢＣ＋ＣＤ．证明：如图３，把△ＡＣＤ绕点 Ａ顺时针旋转９０°得到△ＡＥＢ，连结ＣＥ，所以ＡＣ＝ＡＥ， ＢＥ＝ＣＤ，∠ＣＡＥ＝９０°，∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＣ，所以△ＡＣＥ为 等腰直角三角形，所以ＣＥ＝槡２ＡＣ， 因为∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，所以∠ＡＢＣ＋∠ＡＢＥ ＝１８０°，所以点Ｅ在ＣＢ的延长线上，所以ＣＥ＝ＢＣ＋ＢＥ ＝ＢＣ＋ＣＤ，所以槡２ＡＣ＝ＢＣ＋ＣＤ． """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! " #! !!!"" $"% !" "%"#&!!'!#( !"#$%&'" ()*+,-'. ! ! !"#$ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """"""""""""""""""" &'!()*+, -./012345 ! ! # " ' $ ! & ! 67 89: ! ;< =>? $ ! & # ! ! $ ! & # ' " ! " " ! & # ! $ ' $ # ' % & "! ! ! $ ! " # ! " % ' & $ ! " & # ! $ $ ) ! ! $ ! " '" # ! & ! # ' " * & ! ! $ ! # " & + ! ! -3@ "A$ BCD5 -EF # B./GH5 ! IJ K L & ! % " # ' ! ! , 书 【提示】 １．作△ＡＢＤ的外接圆交ＣＤ延长线于Ｃ′，连结 ＡＣ′，ＢＣ′，根据圆周角定理及等量代换得出∠ＢＣＤ＝ ∠ＢＣ′Ｄ，确定ＣＢ＝Ｃ′Ｂ，再由中位线的判定和性质得 出ＤＥ是△ＡＣＣ′的中位线，则ＡＣ′＝２ＤＥ＝６，最后利 用勾股定理求解即可． ２．连结ＡＯ，ＢＯ，取ＡＯ的中点Ｅ，连结ＤＥ，根据三 角形中位线的性质得到ＤＥ＝１ ２ＯＢ＝２，得到点Ｄ在 以Ｅ为圆心，以２为半径的圆上运动，连结ＣＥ，取ＣＥ 的中点Ｇ，连结ＧＭ，ＡＧ，同理得到点Ｍ在以点Ｇ为圆 心，以１为半径的圆上运动，进而得到当点Ａ，Ｇ，Ｍ三 点共线时，ＡＭ取得最大值，即ＡＧ＋ＧＭ的长度，取线 段ＯＥ的中点Ｆ，连结ＧＦ，然后利用勾股定理求解即 可． ) *+ MNO , ) *+ KPQ , # - .+ RSO , ) *+ T U , ) *+ V W -./01+ R X 23/01+ RYZ -4506+ [ \ -4578+ ]^_ P`a b c def g h ijk Klm gn> o ^ 8pf qrN bst usv KNw xWC yzc { k |}~ P€ 91-.+ b% 91:;+ P  <=-.+ %s‚ >?-.+ ƒ„… @ABC+ †‡ˆ #()!‰!B  & #Šu!B #‘’“”%$'!('")!"'* #()•–IJ—˜™še›œžŸ !$"  ¡¢)£¤C¡¥‘’ #¦§¨%$%%%* #š©’ª)«¬%$'!"'")!!"' %$'!"'")!"$)-­®5 #ª¯°±()š©’–²³´µ¶·¦ -̧¹5 #¦§ª¯«¬!!!+' #º»¼½ª¾¿ªÀÁª #()´µ¶—Ú5ÄÅÆÇÈ) #ÉÊËÌͺЍ!#%%%%#%%%!!% #Éʒ“”%$'!"'")!"'' #()ÏÐ<ÑÒ­ÓÔÕÖ×ØÙÚÛܚÝޜßàáâãäåæ !!  5çÔAèÖÔéêëì+A°±()š©’–²íî IJïðñ¥òó IJïñÅôäå­Óõö IJïñ÷øËÌÖ×ØÙòù ¡¢)£‘B £úMNO µûüýþÿB! ,-!#(%)%).Ú/5 ¦"# "!("%) ¤C¡¥$%ÑïñC/& "# 4 ")&" ±'Ö()*+(² ò,û-0!"#$%&'()*+,-./ 01234+,-./056+7,891:)' (;3,<99=> ?@9=56;3 A9=1'(BCD,E;+6E7& "#$% %&'()*+, # " & ! F + $ - 书 ２７．２．１点与圆的位置关系 １．平面内，已知 ⊙Ｏ的半径是８ｃｍ，线段 ＯＰ＝ ７ｃｍ，则点Ｐ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．在⊙Ｏ外 Ｂ．在⊙Ｏ上 Ｃ．在⊙Ｏ内 Ｄ．不能确定 ２．如图１，等边△ＡＢＣ是⊙Ｏ的内接三角形，若ＡＢ ＝３，则⊙Ｏ的半径是 （　　） Ａ．３２ Ｂ． 槡３ ２ 槡Ｃ．３ Ｄ． ５ ２ ３．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块 碎片如图２所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样 大小的圆形镜子的碎片是 （　　） Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．均不可能 ４．平面直角坐标系内的三个点 Ａ（１，－３），Ｂ（０， －３），Ｃ（２，－３）， 确定一个圆（填“能”或“不 能”）． ５．若点Ｐ到⊙Ａ上的所有点的距离中，最大距离为 ８，最小距离为２，那么⊙Ａ的半径为 ． ６．如图３，△ＡＤＢ和△ＢＤＣ是⊙Ｏ的内接三角形， ∠ＤＢＣ＝２∠ＡＤＢ，若ＡＢ＝ 槡２５，ＣＤ＝８，则⊙Ｏ的半径 为 ． ７．如图４，△ＡＢＣ是 ⊙Ｏ的内接三角形，∠ＡＢＣ＝ ３０°，ＢＣ＝４，且ＢＣ为直径，点Ｄ在边ＢＣ上，点Ｍ是点 Ｄ关于边ＡＢ的对称点，过点Ｄ的直线平行于边 ＡＢ，且 与ＭＡ的延长线交于点 Ｎ，则线段 ＭＮ的最小值为 ． 能力提高 ８．如图 ５，在同一平面直角坐标系中有 ５个点： Ａ（１，１），Ｂ（－３，－１），Ｃ（－３，１），Ｄ（－２，－２），Ｅ（０， －３）． （１）画出△ＡＢＣ的外接圆 ⊙Ｐ，则点 Ｐ的坐标为 ，点Ｄ与⊙Ｐ的位置关系为 ，点Ｅ与 ⊙Ｐ的位置关系为 ； （２）若在ｘ轴上有一点Ｆ，且∠ＡＦＢ＝∠ＡＣＢ，请求 出点Ｆ的坐标． ２７．２．２直线与圆的位置关系 １．已知⊙Ｏ的半径等于８ｃｍ，圆心Ｏ到直线ｌ上某 点的距离为８ｃｍ，则直线ｌ与⊙Ｏ的公共点的个数为 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．１或２ Ｄ．０或１ ２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，以点 Ｃ为圆心，以２．４为半径的圆与ＡＢ的公共点的个数为 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．无法确定 ３．如图１，在半径为５ｃｍ的⊙Ｏ中，直线ｌ交⊙Ｏ于 Ａ，Ｂ两点，且弦ＡＢ＝８ｃｍ，要使直线ｌ与⊙Ｏ相切，则需 要将直线ｌ向下平移 （　　） Ａ．１ｃｍ Ｂ．２ｃｍ Ｃ．３ｃｍ Ｄ．４ｃｍ ４．如图２，在平面直角坐标系中，半径为２的⊙Ｐ的 圆心Ｐ的坐标为（－３，０），将⊙Ｐ沿ｘ轴正方向平移，使 ⊙Ｐ与 ｙ轴相交，则平移的距离 ｄ的取值范围是 ． ５．在直角坐标系中，以Ｐ（３，１）为圆心，ｒ为半径的 圆与坐标轴恰好有三个公共点，则ｒ的值为 ． ６．如图３，在矩形 ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，点Ｅ是ＢＣ的中 点，连结ＡＥ，点Ｏ是线段ＡＥ上一 点，⊙Ｏ的半径为１，如果 ⊙Ｏ与 矩形 ＡＢＣＤ的各边都没有公共 点，那么线段ＡＯ长的取值范围是 ． 能力提高 ７．如图４，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝４，ＢＡ＝ ５．Ｐ是ＡＣ上的动点（Ｐ不与Ａ，Ｃ重合），设ＰＣ＝ｘ，点Ｐ 到ＡＢ的距离为ｙ． （１）求ｙ与ｘ的函数关系式； （２）试讨论以Ｐ为圆心，半径长为ｘ的圆与ＡＢ所在 直线的位置关系，并指出相应的ｘ的取值范围． ２７．２．３切线 １．如图 １，点 Ｏ是 △ＡＢＣ外接圆的圆心，点 Ｉ是 △ＡＢＣ的内心，连结ＯＢ，ＩＡ．若∠ＯＢＣ＝２０°，则∠ＣＡＩ 的度数为 （　　） Ａ．２０° Ｂ．２５° Ｃ．３０° Ｄ．３５° ２．如图２，ＰＡ，ＰＢ是⊙Ｏ的切线，切点分别为Ａ，Ｂ， 点Ｃ为⊙Ｏ上一点，∠Ｐ＝６６°，则∠Ｃ的度数为 （　　） Ａ．６６° Ｂ．６３° Ｃ．５７° Ｄ．６０° ３．如图３所示，△ＡＢＣ的内切圆 ⊙Ｏ分别与 ＡＢ， ＢＣ，ＡＣ相切于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，且ＡＤ＝６，ＢＥ＝４，ＣＦ＝８，则 △ＡＢＣ的周长为 （　　） Ａ．３６ Ｂ．３８ Ｃ．４０ Ｄ．４２ ４．如图４，在平面直角坐标系中，过格点 Ａ，Ｂ，Ｃ画 圆弧，则点Ｂ与下列格点连线所得的直线中，能够与该 圆弧相切的格点坐标是 （　　） Ａ．（５，２） Ｂ．（２，４） Ｃ．（１，４） Ｄ．（６，２） ５．如图５，直线ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ分别与⊙Ｏ相切于Ｅ，Ｆ， Ｇ，且ＡＢ∥ＣＤ，若ＢＯ＝６ｃｍ，ＯＣ＝８ｃｍ，则ＢＥ＋ＣＧ的 长为 ｃｍ． ６．如图６，Ａ，Ｂ是⊙Ｏ上的两点，ＡＣ是过Ａ点的一 条直线，如果∠ＡＯＢ＝１２０°，那么当∠ＣＡＢ的度数等于 度时，ＡＣ才能成为⊙Ｏ的切线． ７．如图 ７，在 △ＡＢＣ中， ∠ＡＣＢ＝７０°，△ＡＢＣ的内切圆 ⊙Ｏ与 ＡＢ，ＢＣ分别相切于点 Ｄ，Ｅ，连结 ＤＥ，ＡＯ的延长线交 ＤＥ于 点 Ｆ， 则 ∠ＡＦＤ ＝ ． ８．如图８，四边形ＡＢＣＤ是 ⊙Ｏ的内接四边形，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，过点Ｃ作ＣＥ⊥ ＡＤ交ＡＤ的延长线于点Ｅ，已知ＡＣ平分∠ＥＡＢ．求证： ＣＥ是⊙Ｏ的切线． ９．如图９，Ｏ是△ＡＢＣ的外心，Ｉ是△ＡＢＣ的内心， 连结ＡＩ并延长交ＢＣ和⊙Ｏ于点Ｄ，Ｅ．若ＡＢ＝８，ＡＣ＝ ６，ＢＥ＝４，求ＡＩ的长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! " # $ % & ! ! 书 ∠ＣＤＢ， 即 ＤＢ 平 分 ∠ＡＤＣ． （２）因 为 ＢＤ 平 分 ∠ＡＢＣ，所 以 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＣＢＤ，所以 ) ) ＡＤ＝ＣＤ，所 以 ) ) ) ) ＡＢ＋ＡＤ＝ＢＣ＋ＣＤ，即 ) ) ＢＡＤ＝ＢＣＤ，所以ＢＤ是直 径，所以∠ＢＡＤ＝９０°． （３）因为ＣＦ∥ＡＤ，所 以∠Ｆ＋∠ＢＡＤ＝１８０°，因 为∠ＢＡＤ＝９０°，所以∠Ｆ ＝９０°．因为 ) ) ＡＤ＝ＣＤ，所以 ＡＤ＝ＤＣ．因为 ＡＣ＝ＡＤ， 所以ＡＣ＝ＡＤ＝ＣＤ，所以 △ＡＤＣ是等边三角形，所 以∠ＡＤＣ＝６０°．因为 ＢＤ 平分 ∠ＡＤＣ，所以 ∠ＣＤＢ ＝ １２∠ＡＤＣ＝３０°．因为 ＢＤ是直径，所以∠ＢＣＤ＝ ９０°，所以 ＢＣ＝ １２ＢＤ．因 为四边形 ＡＢＣＤ是圆内接 四边形，所以 ∠ＡＤＣ ＋ ∠ＡＢＣ ＝ １８０°， 所 以 ∠ＡＢＣ ＝ １２０°， 所 以 ∠ＦＢＣ＝６０°，所以∠ＦＣＢ ＝９０°－６０°＝３０°，所以 ＦＢ＝ １２ＢＣ．因为ＢＦ＝２， 所以ＢＣ＝４，所以 ＢＤ＝ ２ＢＣ＝８．因为ＢＤ是直径， 所以 此 圆 半 径 的 长 为 １ ２ＢＤ＝４． 上期４版 重点集训营 １．６０°； 槡　２．３３； 槡３．７． ４．（１）四边形 ＡＢＥＤ 是矩形，理由如下： 因为 ＣＤ是 ⊙Ｏ的直 径，所以 ∠ＣＥＤ＝９０°，所 以∠ＢＥＤ＝９０°，因为 ＡＤ ∥ＢＣ，所以 ∠ＡＢＣ＋∠Ａ ＝１８０°，因为 ∠Ａ＝９０°， 所以∠ＡＢＣ＝９０°，所以四 边形ＡＢＥＤ是矩形． （２）因为 ∠Ａ＝９０°， ∠ＡＢＤ＝３０°，所以 ＢＤ＝ ２ＡＤ＝６，因为２ＤＦ＝ＢＦ， 所以ＢＦ＝４，ＤＦ＝２，因为 四边形ＡＢＥＤ是矩形，所以 ∠ＦＤＥ＝∠ＡＢＤ＝３０°，所 以∠ＦＣＥ＝∠ＦＤＥ＝３０°， 因为ＣＤ是⊙Ｏ的直径，所 以 ∠ＣＦＤ ＝９０°，所以 ∠ＢＦＣ＝９０°，所以 ＢＣ＝ ８，ＣＦ＝ 槡４３，所以 ＣＤ＝ ＣＦ２＋ＤＦ槡 ２ ＝ 槡２ １３，所 以⊙Ｏ的半径是槡１３． 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．已知平面内有 ⊙Ｏ和点 Ａ，Ｂ，若 ⊙Ｏ的半径为 ３ｃｍ，线段ＯＡ＝４ｃｍ，ＯＢ＝３ｃｍ，则直线ＡＢ与⊙Ｏ的 位置关系为 （　　） Ａ．相离 Ｂ．相交 Ｃ．相切 Ｄ．相交或相切 ２．如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＣＤ切⊙Ｏ于点Ｃ，连结 ＡＣ，ＢＣ，若∠ＢＣＤ＝５０°，则∠Ｂ的度数为 （　　） Ａ．４０° Ｂ．４５° Ｃ．５０° Ｄ．５５° ３．如图２，⊙Ｏ与正方形ＡＢＣＤ的两边ＡＢ，ＡＤ相切， 且ＤＥ与⊙Ｏ相切于Ｅ点．若⊙Ｏ的半径为４，且ＡＢ＝ １０，则ＤＥ的长度为 （　　） 槡Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ． ３０ Ｄ． １１ ２ ４．如图３，将△ＡＢＣ放在每个小正方形边长为１的 网格中，点 Ａ，Ｂ，Ｃ均落在格点上，用一个圆面去覆盖 △ＡＢＣ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是 （　　） 槡 槡Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．２ Ｄ． ５ ２ ５．如图４，点Ｉ为等边△ＡＢＣ的内心，连结ＡＩ并延长 交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｄ，已知外接圆的半径为２，则线 段ＤＢ的长为 （　　） 槡Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．２３ ６．如图５，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是⊙Ｏ上一点，Ｄ是 ⊙Ｏ外一点，过点Ａ作ＡＥ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ，连结ＯＣ．若使 ＣＤ切⊙Ｏ于点Ｃ，添加的下列条件中，不正确的是 （　　） Ａ．ＯＣ∥ＡＥ Ｂ．∠ＯＡＣ＝∠ＣＡＥ Ｃ．∠ＯＣＡ＝∠ＣＡＥ Ｄ．ＯＡ＝ＡＣ ７．如图６，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＣ，ＢＣ是⊙Ｏ的弦，Ｉ是 △ＡＢＣ的内心，连结ＯＩ，若ＯＩ＝槡２，∠ＢＯＩ＝４５°，则ＢＣ 的长是 （　　） Ａ．槡２２＋槡 槡３ Ｂ．２＋ 槡３ ２ Ｃ．１＋槡２ Ｄ．１＋槡３ ８．如图７，半径ｒ＝ 槡２２的 ⊙Ｍ在ｘ轴上平移，且圆心 Ｍ 在ｘ轴上，当⊙Ｍ与直线ｙ＝ｘ ＋２相切时，圆心Ｍ的坐标为 （　　） Ａ．（０，０） Ｂ．（２，０） Ｃ．（０，０）或（－６，０） Ｄ．（２，０）或（－６，０） 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．已知⊙Ｏ的半径是４，点Ｐ到圆心Ｏ的距离ｄ为方 程ｘ２－４ｘ＋４＝０的一个根，则点Ｐ在⊙Ｏ （填 “上”“内”或“外”）． １０．如图８，在⊙Ｏ中，ＡＢ是直径，ＡＣ是弦，过点Ｃ的 切线与ＡＢ的延长线交于点Ｄ，若∠Ａ＝２５°，则∠Ｄ的度 数为 ． １１．如图９，△ＡＢＣ的内切圆⊙Ｏ与ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ分别 相切于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，且ＡＢ＝８，ＢＣ＝１７，ＣＡ＝１５，则阴影 部分（即四边形ＡＥＯＦ）的面积是 ． １２．如图１０，将一枚圆形 铜钱的模型放入一个矩形袋 子ＡＢＣＤ中，铜钱模型与矩形 袋子的下边沿ＢＣ相切于点Ｅ， 与上边沿 ＡＤ交于点 Ｆ，Ｇ，若 ＡＢ＝４，ＦＧ＝１０，则该圆形铜 钱模型的半径为 ． １３．在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝４，ＢＣ＝３，则 △ＡＢＣ的外接圆半径 Ｒ与内切圆半径 ｒ的差 Ｒ－ｒ＝ ． １４．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１３，ＢＣ＝２４，点 Ｄ为 △ＡＢＣ的对称轴上一动点，过点Ｄ作⊙Ｏ与ＢＣ相切，点 Ｏ在△ＡＢＣ的对称轴上，ＢＤ与⊙Ｏ相交于点Ｅ，那么ＡＥ 的最大值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图１１，已知线段ＡＢ是⊙Ｏ的一条弦． （１）实践与操作：用尺规作图法作出圆心Ｏ（保留作 图痕迹，不要求写作法）； （２）应用与计算：若弦ＡＢ＝１０，圆心Ｏ到ＡＢ的距离 为４，求⊙Ｏ的半径． １６．（１０分）如图１２，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，点 Ｄ，Ｅ在 ⊙Ｏ上，位于直径ＡＢ两侧，连结ＥＤ，ＥＢ，连结ＢＤ并延长 至点Ｃ，使得∠ＡＣＢ＝∠ＢＥＤ． （１）求证：ＡＣ是⊙Ｏ的切线； （２）若点Ｅ是弧ＡＢ的中点， ＡＢ＝槡２，求ＥＢ的长． １７．（１０分）如图１３，⊙Ｏ与△ＡＢＣ的ＡＣ边相切于点 Ｃ，与ＡＢ，ＢＣ边分别交于点Ｄ，Ｅ，ＤＥ∥ＯＡ，ＣＥ是⊙Ｏ的 直径． （１）求证：ＡＢ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＢＤ＝４，ＥＣ＝６，求ＡＣ的长． １８．（１０分）如图１４，点Ｅ是△ＡＢＣ的内心，ＡＥ的延 长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｄ． （１）ＢＤ与ＤＥ相等吗？为什么？ （２）若∠ＢＡＣ＝９０°，ＤＥ＝２，求△ＡＢＣ外接圆的半 径． １９．（１２分）如图１５，等腰三角形 ＡＢＣ内接于 ⊙Ｏ， ＡＢ＝ＡＣ，点Ｉ是△ＡＢＣ的内心，连结ＢＩ并延长交⊙Ｏ于 点Ｄ，点Ｅ在ＢＤ的延长线上，满足∠ＥＡＤ＝∠ＣＡＤ．试 证明： （１）ＯＡ所在的直线经过点Ｉ； （２）点Ｄ是ＩＥ的中点． ２０．（１２分）如图１６，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ 与∠ＡＢＣ的角平分线相交于点Ｅ，ＡＥ的延长线交△ＡＢＣ 的外接圆于点Ｄ，连结ＢＤ． （１）求证：∠ＢＡＤ＝∠ＤＢＣ； （２）求证：点 Ｂ，Ｅ，Ｃ在以点 Ｄ为圆心的同一个圆 上； （３）若ＡＢ＝５，ＢＣ＝８，求△ＡＢＣ内心与外心之间 的距离                                                                                                                                                                 ．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