第19期 27.1圆的认识（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 １８期参考答案 一、１．Ｂ；　２．Ｃ； ３．Ｂ；　４．Ｃ；　５．Ｂ； ６．Ｂ；　７．Ｂ；　８．Ｂ； ９．Ａ；　１０．Ａ；　１１．Ｃ； １２．Ｃ． 二、１３．－２；　１４．４０； １５．２２０；　１６．（２，０）． 三、１７．（１）抛物线开 口向上，顶点坐标为（１， ３）． （２）当ｘ≤１时，函数 值随着自变量的增大而减 小． （３）新抛物线不经过 Ｐ（１，－５），理由略． １８．（１）ｋ＝－５３． （２）ｋ＝－１或 ５３． １９．（１）ｂ＝１，ｃ＝１．２． （２）２．４５米． ２０．（１）剪掉的正方形 的边长为１０ｃｍ． （２）长方体盒子的侧 面积最大为９６８ｃｍ２． ２１．（１）ｙ＝－ｘ＋４０． （２）销售单价为１６元 时，每天的销售利润为 １４４元． （３）这种纪念品每天 销售的最低利润是１２５元． 四、２２．４；　２３．２７８； ２４．ｙ＝ ３４ｘ； ２５．５１２或 １１ １２． 五、２６．（１）ｙ＝ ２３ｘ ２ －１３ｘ．Ｃ（－ ３ ２，２）． （２）设 △ＢＣＭ边 ＢＣ 上的高为 ｈ，因为 ＢＣ ＝ ７ ２，所以Ｓ△ＢＣＭ ＝ １ ２· ７ ２ ·ｈ＝ ７２，解得ｈ＝２，所以 点Ｍ为抛物线上到 ＢＣ的 距离为２的点，所以Ｍ的纵 坐标为０或４，令ｙ＝ ２３ｘ ２ －１３ｘ＝０，解得ｘ１＝０，ｘ２ ＝ １２，所 以 Ｍ１（０，０）， Ｍ２（ １ ２，０）；令ｙ＝ ２ ３ｘ ２－ １ ３ｘ＝ ４， 解 得 ｘ３ ＝ １＋槡９７ ４ ，ｘ４ ＝ １－槡９７ ４ ， 所 以 Ｍ３（ １＋槡９７ ４ ，４）， Ｍ４（ １－槡９７ ４ ，４）． 综上，点 Ｍ的坐标为 （０，０），（１２，０），（ １＋槡９７ ４ ， 书 １７期２版 ２６．２．２二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与性质（第二课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．３６． 能力提高　４．（１）ｙ＝－２ｘ＋８０． Ｓ＝－２ｘ２＋８０ｘ（１９≤ｘ＜４０）． （２）ｘ＝２５时，围成的矩形花圃的面积为７５０米２． （３）围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为８００米２， 此时ｘ的值为２０． ２６．２．３求二次函数的表达式 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．答案不惟一，如ｙ＝（ｘ －１）２． ５．此二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２－２ｘ－３． 能力提高　６．（１）二次函数表达式为ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３，对称 轴为直线ｘ＝２． （２）因为ｍ＞２，所以当ｍ≤ｘ≤ｍ＋１时，ｙ随着ｘ的增大 而增大，所以ｙ最大 ＝（ｍ＋１）２－４（ｍ＋１）＋３，ｙ最小 ＝ｍ２－４ｍ ＋３．因为函数的最大值与最小值的差为５，所以（ｍ＋１）２－４（ｍ ＋１）＋３－ｍ２＋４ｍ－３＝５，解得ｍ＝４． ２６．３实践与探索（第一课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．１． 能力提高　４．（１）ｗ＝－５０ｘ２＋５５００ｘ－１４００００． （２）当定价为每件５２元时，才能使利润最大，最大利润为 １０８００元． ２６．３实践与探索（第二课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．－３＜ｘ＜１；　４．９． 能力提高　５．（１）证明：令ｙ１＝ｙ２，得２ｘ－２＝ａｘ２＋ａｘ－ ２ａ，整理得ａｘ２＋（ａ－２）ｘ－２ａ＋２＝０．因为Δ＝（ａ－２）２－ ４ａ（－２ａ＋２）＝ａ２－４ａ＋４＋８ａ２－８ａ＝９ａ２－１２ａ＋４＝（３ａ －２）２≥０，所以该一元二次方程总有实数根，即直线与抛物线 总有公共点． （２）抛物线ｙ２ ＝ａｘ２＋ａｘ－２ａ的对称轴为直线ｘ＝－ ａ ２ａ ＝－１２，令ｙ２＝０，得ｘ１＝１，ｘ２＝－２，所以抛物线ｙ２＝ａｘ ２＋ ａｘ－２ａ与ｘ轴的交点坐标为（１，０），（－２，０）．因为无论 ｘ为何 值，总有ｙ１≤ｙ２，所以ａ＞０，抛物线ｙ２＝ａｘ２＋ａｘ－２ａ与直线 ｙ１＝２ｘ－２没有交点或只有一个交点，令ｙ１＝ｙ２，可得ａｘ２＋（ａ －２）ｘ－２ａ＋２＝０，则Δ＝ｂ２－４ａｃ＝（３ａ－２）２≤０，所以３ａ －２＝０，解得ａ＝ ２３． １７期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｄ Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ 二、９．ｙ＝３ｘ２；　１０．ｍ＞９；　１１．２．５；　１２．２４；　１３．槡４２； １４．－１６． 三、１５．（１）抛物线Ｃ２的表达式为ｙ＝（ｘ－２）２－２． （２）点Ａ不在抛物线Ｃ２上．理由略． １６．（１）证明：由题意知，Δ＝（－４ａ）２－４ａ×０＝１６ａ２，因 为ａ≠０，所以１６ａ２ ＞０，故该函数的图象与ｘ轴总有两个公共 点． （２）ａ的取值范围为 －１＜ａ＜０或ａ＞０． １７．（１）ｙ＝－２（ｘ－０．４）２＋３．３２． （２）ＯＤ＝１ｍ． １８．（１）ｘ＝１０时，劳动教育基地的面积能达到１５０平方米． （２）当ｘ是１５米时，劳动教育基地面积ｙ最大，最大面积是 １８７．５平方米． １９．（１）１５０；４５６０． （２）该商品日销售利润的最大值为６２５０元． （３）设利润为 ｗ１元，根据题意可得 ｗ１ ＝（ｘ－４０＋ ｍ）（－１０ｘ＋９００）＝－１０ｘ２＋（１３００－１０ｍ）ｘ＋９００ｍ－３６０００， 对称轴为直线ｘ＝－ｂ２ａ＝６５－ ｍ ２，因为销售单价不低于６８元， 即ｘ≥６８，所以６８≤ｘ≤９０．因为ｍ＞０，所以６５－ｍ２ ＜６８， 且开口向下，所以ｗ１随ｘ的增大而减小，所以当ｘ＝６８时，ｗ１有 最大值为６６００，所以（６８－４０＋ｍ）（－６８０＋９００）＝６６００，所以 ｍ＝２． ２０．（１）顶点Ｃ的坐标为（ａ，１２ａ）． （２）ｙ＝２ｘ２－８ｘ＋９． （３）因为顶点Ｃ的坐标为（ａ，１２ａ），所以点Ｐ的坐标为（ａ ＋１，１２ａ－ １ ２）．把ｘ＝ａ＋１代入ｙ＝－ｘ＋５，得ｙ＝－ａ＋４， 所以 ０＜ａ＋１＜５， ０＜ １２ａ－ １ ２ ＜－ａ＋４ { ，解得１＜ａ＜３． １７期４版 重点集训营 （１）ｃ＝５，顶点Ｍ的坐标是（２，１）． （２）因为点Ａ在ｘ轴上，点Ｂ的坐标为（１，５），所以点Ａ的坐 标是（１，０）． ①当ｔ＝２时，点Ｄ′，Ａ′的坐标分别是（２，０），（３，０）．当ｘ＝ ３时，ｙ＝（３－２）２＋１＝２，即点Ｑ的纵坐标是２，当ｘ＝２时， ｙ＝（２－２）２＋１＝１，即点Ｐ的纵坐标是１．因为ＰＧ⊥Ａ′Ｂ′，所 以点Ｇ的纵坐标是１，所以ＱＧ＝２－１＝１． ②存在．理由：因为△ＰＧＱ的面积为１，ＰＧ＝１，所以ＱＧ＝ ２．根据题意，得Ｐ，Ｑ的坐标分别是（ｔ，ｔ２－４ｔ＋５），（ｔ＋１，ｔ２－２ｔ ＋２）．当点Ｇ在点Ｑ的上方时，则ＱＧ＝ｔ２－４ｔ＋５－（ｔ２－２ｔ＋ ２）＝３－２ｔ＝２，此时ｔ＝ １２（在０＜ｔ＜３的范围内），当点Ｇ 在点Ｑ的下方时，则ＱＧ＝ｔ２－２ｔ＋２－（ｔ２－４ｔ＋５）＝２ｔ－３ ＝２，此时ｔ＝ ５２（在０＜ｔ＜３的范围内），所以ｔ＝ １ ２或 ５ ２． !!"#$#% !&,#-% !./012*$%#!&#'(!'#) !!"34*56789:;<=>?@ !%' ABC"DEFBG./0 !HI.J*$%$$$) !:K0L"MN*$%#!!#'(!!'# $%#!!#'(!'%(OPQR !LS*TU!":K04VWXYZ[H\O]R !HILSMN*!!!*# !^_`aLbcLdeL !!"fXYZ7O:Rghijk" !lmnop^qA*!+,,,,+,,,!!, !lm012*,%#!!#'(!'## !!"rstuvPwxyz{|}O~:€=‚ƒ„…†‡ˆ‰ !! ARŠx‹ŒzxŽ‘‹TU!":K04V’“ 书 弧是圆中的无名英雄，与圆有关的许多计算和证 明问题，表面上与弧没有直接关系，实际上却沟通着圆 周角、圆心角、弦等元素，起到了牵线搭桥的作用．下面 举例说明． 一、为弦牵线搭桥 　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，四边形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，若ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝４ｃｍ， 则⊙Ｏ的直径ＡＢ为 （　　） Ａ．５ｃｍ 　　Ｂ．４ｃｍ Ｃ．６ｃｍ 　　Ｄ．８ｃｍ 解析：连结ＯＤ，ＯＣ． 因为ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝４ｃｍ，所以 ) ＡＤ＝ ) ＣＤ＝ ) ＢＣ， 所以∠ＡＯＤ＝∠ＤＯＣ＝∠ＢＯＣ＝６０°． 又因为ＯＡ＝ＯＤ，所以△ＡＯＤ是等边三角形，所以 ＯＡ＝ＡＤ＝４ｃｍ，所以ＡＢ＝８ｃｍ．故选Ｄ． 二、为圆周角牵线搭桥 例２　如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上的两点，若 ∠ＣＡＢ＝６５°，则∠ＡＤＣ的度数 为 （　　） Ａ．２５° 　　Ｂ．３５° Ｃ．４５° 　　Ｄ．６５° 解析：因为ＡＢ是直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°， 因为∠ＣＡＢ＝６５°， 所以∠ＡＢＣ＝９０°－∠ＣＡＢ＝２５°， 所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝２５°．故选Ａ． 三、为圆周角和圆心角牵线搭桥 例３　如图３，Ａ，Ｂ，Ｃ是⊙Ｏ 上的三点，若 ∠ＡＯＣ ＝９０°， ∠ＡＣＢ＝２５°，则 ∠ＢＯＣ的度数 是 （　　） Ａ．２０° 　　Ｂ．２５° Ｃ．４０° 　　Ｄ．５０° 解析：因为 ) ＡＢ＝ ) ＡＢ，所以 ∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢ＝ ５０°， 因为∠ＡＯＣ＝９０°，所以∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＣ－∠ＡＯＢ ＝４０°．故选Ｃ． 四、为特殊角牵线搭桥 例４　如图４，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，Ｃ，Ｄ，Ｅ是 ⊙Ｏ上的点，则 ∠１＋∠２等于 ． 解析：连结 ＡＣ，ＢＣ，根据同 弧所对的圆周角相等可知，∠１ ＝∠ＡＢＣ，∠２＝∠ＣＡＢ， 所以∠１＋∠２＝∠ＡＢＣ＋ ∠ＣＡＢ． 因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°， 所以∠１＋∠２＝∠ＡＢＣ＋∠ＣＡＢ＝９０°．故填９０°． 书 如图１，四边形ＡＢＣＤ的四个顶 点都在 ⊙Ｏ上，则四边形 ＡＢＣＤ内 接于⊙Ｏ，⊙Ｏ是四边形ＡＢＣＤ的外 接圆． 因为∠Ａ所对的弧为 ) ＢＣＤ，∠Ｃ 所对的弧为 ) ＢＡＤ，且 ) ＢＣＤ与 ) ＢＡＤ所 对圆心角的和为周角， 所以由圆周角定理，得 ∠Ａ＋∠Ｃ＝ １２ ×３６０°＝ １８０°． 同理，∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°． 由此可得：圆内接四边形的对角互补． 利用这一性质解决与圆的内接四边形有关的边、角 问题，往往能够起到事半功倍的效果． 一、求角用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 如图２，四边形 ＡＢＣＤ 内接于 ⊙Ｏ，Ｅ为 ＢＣ延长线上一 点．若∠ＤＣＥ＝６５°，则∠ＢＯＤ的 度数是 （　　） Ａ．６５° Ｂ．１１５° Ｃ．１３０° Ｄ．１４０° 解：因为 ∠ＤＣＥ ＝６５°，所以 ∠ＤＣＢ ＝１８０°－ ∠ＤＣＥ＝１１５°． 因为四边形 ＡＢＣＤ内接于 ⊙Ｏ，所以 ∠ＢＡＤ＋ ∠ＤＣＢ＝１８０°，所以 ∠ＢＡＤ ＝６５°，所以 ∠ＢＯＤ ＝ ２∠ＢＡＤ＝１３０°． 故选Ｃ． 二、说理用 例２　 如图３，四边形 ＡＢＣＤ 为⊙Ｏ的内接四边形，已知∠Ｃ＝ ∠Ｄ，判断 ＡＢ与 ＣＤ的位置关系， 并说明理由． 解：ＡＢ∥ＣＤ．理由如下： 因为四边形 ＡＢＣＤ是 ⊙Ｏ的 内接四边形， 所以∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０°． 因为∠Ｃ＝∠Ｄ，所以∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°． 所以ＡＢ∥ＣＤ． 书 【提示】 １．连结ＯＱ，作ＣＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，先证明点Ｑ的运 动轨迹为以ＡＯ为直径的⊙Ｋ，连结ＣＫ，当点Ｑ在ＣＫ 的延长线上时，ＣＱ最大，利用勾股定理求出ＣＫ即可． ２．连结ＣＥ，取ＢＣ中点Ｈ，连结ＡＨ，ＥＨ，取ＡＨ中 点Ｇ，连结ＦＧ，ＯＧ，由矩形的性质得Ｃ（１０，０），ＢＣ＝ ４，Ｈ（１０，２），Ｇ（５，３），易证得∠ＣＥＤ＝∠ＣＥＢ＝９０°， 则得ＥＨ的长为２，因为ＦＧ为△ＡＥＨ的中位线，所以 ＦＧ＝１，则点Ｆ在以点Ｇ为圆心，１为半径的圆上运 动，故当Ｏ，Ｆ，Ｇ三点共线时，ＯＦ有最小值，利用勾股 定理得到ＯＧ的长，即可求出ＯＦ的最小值． 书 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．如图１，弦ＣＤ所对的圆心角为１２０°，ＡＢ为直径， ＣＤ在半圆上滑动，Ｆ是ＣＤ的中点，过点 Ｄ作 ＡＢ的垂 线，垂足为Ｅ，则∠ＤＥＦ的度数为 ． ２．如图２，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ均为圆周上十二等分点，若用 直尺测量弦ＣＤ长时，发现Ｃ点、Ｄ点分别与刻度１和４ 对齐，则Ａ，Ｂ两点的距离是 ． ３．如图３，已知ＡＢ，ＣＤ是⊙Ｏ 的两条弦，且ＡＢ＝４，ＣＤ＝槡３，分 别连结ＡＣ，ＢＤ并延长，两线相交 于点Ｐ，若∠Ｐ＝３０°，∠ＢＡＣ＝ ９０°，则⊙Ｏ的半径为 ． ４．如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ， 以ＣＤ为直径的⊙Ｏ与ＢＣ边交于点Ｅ，与对角线ＢＤ交 于点Ｆ，连结ＤＥ，ＣＦ． （１）请判断四边形ＡＢＥＤ的形状，并说明理由； （２）若ＡＤ＝３，２ＤＦ＝ＢＦ，∠ＡＢＤ＝３０°，求⊙Ｏ的 半径． １．如图 １，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，Ｃ为圆上一点，且 ∠ＡＯＣ＝１２０°，⊙Ｏ的半径为４，Ｐ为圆上一动点，Ｑ为 ＡＰ的中点，则ＣＱ长度的最大值是 ． ２．如图２，在平面直角坐标系中，四边形 ＡＢＣＯ为 矩形，Ａ（０，４），Ｂ（１０，４），点Ｍ为边ＯＣ上一点，以点 Ｍ 为圆心，ＣＭ为半径作 ⊙Ｍ，交 ｘ轴于点 Ｄ，连结 ＢＤ交 ⊙Ｍ于点Ｅ，连结ＡＥ，点Ｆ为ＡＥ的中点，则ＯＦ的最小 值为 ． 书 “直径所对的圆周角是直角，９０°的圆周角所对的弦 是直径”，这是由圆周角定理得出的推论，应用这一推论 可解决与此有关的一些试题．下面让我们一起体验． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、求圆的半径 例１　如图１，⊙Ｏ是 △ＢＣＤ 的外接圆，ＡＢ⊥ ＢＣ．若 ＢＣ＝４， ∠ＢＤＣ＝３０°，则⊙Ｏ的半径为 （　　） 槡Ａ．４ 　　　Ｂ．２２ 槡Ｃ．２３ 　　　Ｄ．８ 解析：连结ＡＣ，则∠ＣＡＢ＝∠ＢＤＣ＝３０°， 因为ＡＢ⊥ＢＣ，所以∠ＡＢＣ＝９０°，所以ＡＣ为⊙Ｏ的 直径． 因为∠ＡＢＣ＝９０°，∠ＣＡＢ＝３０°，ＢＣ＝４， 所以ＡＣ＝２ＢＣ＝８， 所以⊙Ｏ的半径为 ８２ ＝４． 故选Ａ． 二、求弦的长度 例２　如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，点 Ｃ，Ｄ在 ⊙Ｏ上，若 ∠ＣＤＢ＝３０°，ＡＢ＝４，则 ＡＣ的 长为 （　　） 槡Ａ．２２ 　　　Ｂ．４ 槡 槡Ｃ．３ 　　　Ｄ．２３ 解析：因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＢ＝９０°． 因为∠ＢＡＣ和∠ＣＤＢ是同弧 ) ＢＣ所对的圆周角， 所以∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＢ＝３０°， 因为ＡＢ＝４， 所以ＢＣ＝ １２ＡＢ＝２， 所以ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝ ４２－２槡 ２ ＝ 槡２３． 故选Ｄ． 三、求圆周角的度数 例３　如图３，在⊙Ｏ中，直径 ＡＢ与弦 ＣＤ相交于点 Ｐ，连结 ＡＣ， ＡＤ，ＢＤ，若 ∠Ｃ ＝２０°，∠ＢＰＣ ＝ ７０°，则∠ＡＤＣ＝ （　　） Ａ．７０° 　　　Ｂ．６０° Ｃ．５０° 　　　Ｄ．４０° 解析：因为 ∠Ｃ＝２０°，所以 ∠Ｂ＝２０°， 因为∠ＢＰＣ＝７０°，所以∠ＢＤＰ＝∠ＢＰＣ－∠Ｂ＝ ５０°， 又因为ＡＢ为直径，所以∠ＡＤＢ＝９０°， 所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ－∠ＢＤＰ＝４０°． 故选Ｄ． 【对应练习见《重点集训营》】 书 垂径定理是圆的一条重要性质，指的是“垂直于弦 的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”．它的应用非 常广泛，下面举例进行说明，供同学们学习时参考． 一、求直径 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 《九章算术》标志着 中国古代数学形成了完整的体 系．第九卷《勾股》中记载了一 个“圆材埋壁”的问题：“今有圆 材埋在壁中，不知大小．以锯锯 之，深一寸，锯道长一尺，问径几 何？”用现在的数学语言可表述为：“如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＡＥ＝１寸，ＣＤ＝１０寸，求直径 ＡＢ的长．”可求出直径ＡＢ的长为 寸． 解析：连结ＯＣ，则ＯＡ＝ＯＣ，设ＯＡ＝ＯＣ＝ｘ寸，则 ＯＥ＝（ｘ－１）寸，ＡＢ＝２ｘ寸，因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦 ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＣＤ＝１０寸，所以ＣＥ＝１２ＣＤ＝５寸， 在 Ｒｔ△ＣＯＥ中，ＯＥ２＋ＣＥ２＝ＯＣ２，即（ｘ－１）２＋５２＝ｘ２， 解得ｘ＝１３，所以ＡＢ＝２６寸．故填２６． 二、求弦长 例２　如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的直 径，ＯＤ垂直于弦ＡＣ于点Ｄ，ＤＯ的延 长线交⊙Ｏ于点Ｅ．若ＡＣ＝ 槡４２，ＤＥ ＝４，则ＢＣ的长是 （　　） 槡Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．２ Ｄ．４ 解析：因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以∠Ｃ＝９０°，因为 ＯＤ⊥ＡＣ，所以点Ｄ是ＡＣ的中点，所以ＯＤ是△ＡＢＣ的 中位线，所以ＯＤ∥ＢＣ，且ＯＤ＝１２ＢＣ．设ＯＤ＝ｘ，则ＢＣ ＝２ｘ，因为ＤＥ＝４，所以ＯＥ＝４－ｘ，所以ＡＢ＝２ＯＥ＝ ８－２ｘ，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理可得，ＡＢ２ ＝ＡＣ２＋ ＢＣ２，即（８－２ｘ）２＝（槡４２） ２＋（２ｘ）２，解得ｘ＝１．所以ＢＣ ＝２ｘ＝２．故选Ｃ． 三、实际应用 例３　 赵州桥是当今世界 上建造最早，保存最完整的中国 古代单孔敞肩石拱桥．如图 ３， 主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ３７ｍ，拱高约为７ｍ，则赵州桥 主桥拱半径Ｒ约为 （　　） Ａ．２０ｍ Ｂ．２８ｍ Ｃ．３５ｍ Ｄ．４０ｍ 解析：由题意可知，ＡＢ＝３７ｍ，ＣＤ＝７ｍ，主桥拱半 径为Ｒｍ，所以ＯＤ＝ＯＣ－ＣＤ＝（Ｒ－７）ｍ，因为ＯＣ是 半径，且ＯＣ⊥ＡＢ，所以 ＡＤ＝ＢＤ＝ １２ＡＢ＝ ３７ ２ｍ，在 Ｒｔ△ＡＤＯ中，ＡＤ２＋ＯＤ２ ＝ＯＡ２，即（３７２） ２＋（Ｒ－７）２ ＝ Ｒ２，解得Ｒ＝１５６５５６ ≈２８ｍ．故选Ｂ． ! " #! !!!! " $"% !" ','+&!!'(( !"#$%&'" ()*+,-'. !! ! !"#$ O”• "‹#%F–R """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" # —t ˜™š " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! " # ' ! $ % & ! + $ ›œ ;ž & % # ! " $ ! ' ! % # & $ ! " $ #Ÿ   ¡ $ % & # ! ! ! $ % & # ! ! % $ 5u ¢£¤ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ¥¦"!"§‘¨ O©ª«¬­”'R ! % " & # $ ! ! ! " & # $ % ! ' ! % &# $ ! ! ! % & $ ! % ! % & # $ ! ! ! ' ! % & $ # ! # $ ' % & ! % ( # ! "$ % ! $ & ! % # & $ ! ' ! ' % + # ) , ! & " % ( # $ ! + ! & % ) ' $ ! $ %( - ( - * ! * ! % % # & $ # + &, % " ( $ ! - ! ' ! ! # ! " # $ % ! ) *+ ®¯° , ) *+  ˜± , # - .+ ¢²° , ) *+ ³ ´ , ) *+ µ ¶ -./01+ ¢ · 23/01+ ¢¸¹ -4506+ º » -4578+ ¼½¾ ˜¿À Á  Ã;Ä Å Æ ÇÈÉ  ÊË Å̸ Í ½ ÎÏÄ Ðѯ ÁÒÓ ,ÒÔ  ¯Õ Ö¶F ×™Â Ø É ÙÚÛ ˜Üš 91-.+ ÁÝÞ 91:;+ ˜ Ü <=-.+ ÝÒß >?-.+ àáâ @ABC+ ãäå EFBGæçuèéFªê !# ' '("! ëìíî ïðñò."#$%&'()(*+,(*-, ./0123*.4561%&'()(*+,78 .9:;*-,<=1%&>?<=@A BCDE.FG1 =3H%&*-,< =.IJ/ 56èóéGïô 56èéhõ‡ˆPwö÷ 56èéøùnoz{|}ïú BC"D./-% Dû*®¯° Yñüýþÿ-%!A*01!+&,(,(2O3R H"#A*'!&',( "#$% %&'()*+, 书 ４）或（１－槡９７４ ，４）． ２７．（１）Ｓ＝－ｔ２＋５ｔ，０ ＜ｔ≤３．５． （２）不能，理由：当 Ｓ ＝７时，－ｔ２＋５ｔ＝７，所以 ｔ２－５ｔ＋７＝０，因为Δ＝ｂ２ －４ａｃ＝（－５）２－４×１× ７＝－３＜０，所以原方程无 实数根，所以 △ＢＰＱ的面 积不能为７ｃｍ２． （３）因为 ＡＰ＝ｔ，ＢＱ ＝２ｔ，所以ＢＰ＝５－ｔ，ＣＱ ＝７－２ｔ，在 Ｒｔ△ＡＰＤ， Ｒｔ△ＢＰＱ，Ｒｔ△ＣＤＱ中，由 勾股定理得，ＰＤ２ ＝ｔ２ ＋ ４９，ＰＱ２＝（５－ｔ）２＋４ｔ２＝ ２５－１０ｔ＋５ｔ２，ＤＱ２＝２５＋ （７－２ｔ）２＝７４－２８ｔ＋４ｔ２， 当ＰＤ＝ＤＱ时，则ＰＤ２ ＝ ＤＱ２，所以 ｔ２＋４９＝７４－ ２８ｔ＋４ｔ２，解得ｔ１＝１，ｔ２＝ ２５ ３（舍去）；当 ＰＤ ＝ＰＱ 时，则ＰＤ２ ＝ＰＱ２，所以 ｔ２ ＋４９＝２５－１０ｔ＋５ｔ２，解得 ｔ１ ＝ ４（舍 去 ），ｔ２ ＝ －３２（舍去）；当ＤＱ＝ＰＱ 时，则ＤＱ２＝ＰＱ２，所以７４ －２８ｔ＋４ｔ２ ＝２５－１０ｔ＋ ５ｔ２，解得ｔ１＝－９＋槡１３０， ｔ２ ＝－９－槡１３０（舍去）． 综上所述，经过 １或 －９＋槡１３０秒时，△ＤＰＱ 是等腰三角形． ２８．（１）ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３． （２）点Ｄ的坐标为（０， ０），（０，－３），（０，３－ 槡３２） 或（０，３＋ 槡３２）． （３）存在，理由：抛物 线ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３的对称 轴为直线 ｘ ＝－１，设 Ｐ（－１，ｔ），Ｑ（ｍ，ｎ），因为 Ａ（－３，０），Ｃ（０，３），则ＡＣ２ ＝１８，ＡＰ２＝ｔ２＋４，ＰＣ２＝ ｔ２－６ｔ＋１０，因为以 Ａ，Ｃ， Ｐ，Ｑ为顶点的四边形是菱 形，所以分三种情况：当ＡＰ 为对角线时，则 ＣＰ＝ＣＡ， 所以ｔ２－６ｔ＋１０＝１８，解得 ｔ＝３±槡１７，所以Ｐ１（－１， ３－槡１７）或 Ｐ２（－１，３＋ 槡１７），因为四边形 ＡＣＰＱ 是菱形，所以 ＡＰ与 ＣＱ互 相垂直平分，即 ＡＰ与 ＣＱ 的中点重合，当 Ｐ１（－１，３ －槡１７）时，所以 ｍ＋０ ２ ＝ －３－１ ２ ， ｎ＋３ ２ ＝ ０＋３－槡１７ ２ ，解得 ｍ ＝ －４，ｎ ＝－ 槡１７， 所 以 Ｑ１（－４， －槡１７）， 当 Ｐ２（－１，３＋槡１７）时，所 以 ｍ＋０ ２ ＝ －３－１ ２ ， ｎ＋３ ２ ＝０＋３＋槡１７２ ，解得 ｍ ＝－４，ｎ ＝ 槡１７，所以 Ｑ２（－４，槡１７）；当ＡＣ为对 角线时，则 ＰＣ＝ＡＰ，所以 ｔ２－６ｔ＋１０＝ｔ２＋４，解得 ｔ＝１，所以 Ｐ３（－１，１），同 理可得 Ｑ３（－２，２）；当 ＣＰ 为对角线时，则 ＡＰ＝ＡＣ， 所以ｔ２＋４＝１８，解得ｔ＝ ±槡１４，所 以 Ｐ４（－１， 槡１４），Ｐ５（－１，－槡１４）， 同 理 可 得 Ｑ４（２，３ ＋ 槡１４），Ｑ５（２，３－槡１４）． 综上，符合条件的点 Ｐ，Ｑ的坐标为Ｐ１（－１，３－ 槡１７），Ｑ１（－４，－ 槡１７） 或 Ｐ２（－１，３ ＋ 槡１７）， Ｑ２（－４，槡１７）或Ｐ３（－１， １），Ｑ３（－２，２）或Ｐ４（－１， 槡１４），Ｑ４（２，３＋槡１４）或 Ｐ５（－１，－槡１４），Ｑ５（２，３ －槡１４）． 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．已知ＡＢ是半径为２的圆的一条弦，则ＡＢ的长不 可能是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ２．如图１所示，在⊙Ｏ中，ＡＤ是直径，弦ＢＣ交ＡＤ于 点Ｅ，连结ＡＢ，ＡＣ，若∠ＢＡＤ＝３２°，则∠ＡＣＢ的度数是 （　　） Ａ．６８° Ｂ．５８° Ｃ．６４° Ｄ．５４° ３．如图 ２，ＡＢ，ＣＤ是 ⊙Ｏ的弦，且 ) ) ＡＢ＝ＣＤ，若 ∠ＢＯＤ＝８４°，则∠ＡＣＯ的度数为 （　　） Ａ．４２° Ｂ．４４° Ｃ．４６° Ｄ．４８° ４．如图３，以ＣＤ为直径的⊙Ｏ中，弦ＡＢ⊥ＣＤ于点 Ｍ，若ＡＢ＝２４，ＣＤ＝２６，则ＭＤ的长为 （　　） Ａ．５ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．１０ ５．如图４，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ，Ｄ是⊙Ｏ上的两点， 连结ＡＣ，ＡＤ，ＣＤ，若∠ＡＤＣ＝７０°，则∠ＣＡＢ的度数是 （　　） Ａ．２０° Ｂ．３０° Ｃ．７０° Ｄ．９０° ６．如图５，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，点Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢ和ＤＣ的延长线上，且ＥＦ∥ＢＣ，若∠Ｅ＝８０°，则下列 结论正确的是 （　　） Ａ．∠Ｆ＝１１０° Ｂ．∠Ｄ＝１００° Ｃ．∠ＢＣＤ＝１１０° Ｄ．∠Ａ＝８０° ７．数学活动课上，同学们想测出一个破损轮子的半径， 小宇的解决方案如下：如图６，在轮子圆弧上任取两点Ａ，Ｂ， 连结ＡＢ，再作出ＡＢ的垂直平分线，交ＡＢ于点Ｃ，交 ) ＡＢ于点 Ｄ，测出ＡＢ，ＣＤ的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出 ＡＢ＝１６ｃｍ，ＣＤ＝４ｃｍ，则轮子的半径为 （　　） Ａ．６ｃｍ 　　　Ｂ．８ｃｍ Ｃ．１０ｃｍ 　　　Ｄ．１２ｃｍ ８．如图７，ＡＢ是 ⊙Ｏ的一条 弦，将劣弧沿弦ＡＢ翻折，连结 ＡＯ 并延长交翻折后的弧于点Ｃ，连结 ＢＣ，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝１，则ＡＣ的长 为 （　　） Ａ．槡２５３ Ｂ． 槡３５ ４ Ｃ． 槡３５ ５ Ｄ． 槡５ ７ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图８，在⊙Ｏ中，弦的条数是 ． １０．如图９，在⊙Ｏ中， ) ) ＡＢ＝ＣＤ，Ａ，Ｃ之间的距离为 ４，则Ｂ，Ｄ之间的距离为 ． １１．如图１０，四边形ＡＢＣＤ内 接于 ⊙Ｏ，ＡＤ ＝ ＤＣ，∠ＤＡＣ ＝ ２５°，则∠ＡＢＣ＝ ． １２．已知圆中两条平行的弦 之间的距离为１，其中一弦长为８， 若半径为 ５，则 另 一 弦 长 为 ． １３．如图１１，四边形 ＡＢＣＤ是 ⊙Ｏ的内接四边形， ∠ＢＣＤ ＝ １１０°， 连 结 ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ，ＢＤ，∠ＢＯＣ ＝ ３∠ＣＯＤ，则∠ＢＤＣ的度数是 ． １４．如图１２，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝５，ＢＣ ＝４，点Ｅ是ＡＣ边上的动点，以ＣＥ为直径作⊙Ｆ，连结 ＢＥ交⊙Ｆ于点Ｄ，则ＡＤ的最小值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图１３，在⊙Ｏ中，Ｄ，Ｅ分别为半径ＯＡ， ＯＢ上的点，且ＡＤ＝ＢＥ．Ｃ为弧ＡＢ上一点，连结ＣＤ，ＣＥ， ＣＯ，且ＣＤ＝ＣＥ．求证：Ｃ为 ) ＡＢ的中点． １６．（１０分）如图１４，在⊙Ｏ中，点Ｅ是弦ＣＤ的中 点，过点Ｏ，Ｅ作直径ＡＢ（ＡＥ＞ＢＥ），连结ＢＤ，过点Ｃ作 ＣＦ∥ＢＤ交ＡＢ于点Ｇ，交⊙Ｏ于点Ｆ，连结ＡＦ．求证：ＡＧ ＝ＡＦ． １７．（１０分）如图１５，四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四 边形，ＢＣ是⊙Ｏ的直径，∠ＡＣＢ＝３０°，ＡＢ＝２，点Ｄ为 ) ＡＣ 的中点． （１）求⊙Ｏ的半径； （２）求∠ＤＡＣ的度数． １８．（１０分）如图１６，有一座圆弧形拱桥，桥下水面 宽ＡＢ为１６米，拱高ＣＮ为４米． （１）求桥拱的半径； （２）若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度ＤＥ为１２米 时，求水面涨高了多少？ １９．（１２分）如图１７，在⊙Ｏ中，Ｃ，Ｄ是直径ＡＢ上的 两点，且ＡＣ＝ＢＤ，ＥＧ⊥ＡＢ，ＦＨ⊥ＡＢ，交ＡＢ于点Ｃ，Ｄ， 点Ｅ，Ｇ，Ｆ，Ｈ在⊙Ｏ上． （１）若ＥＧ＝８，ＡＣ＝２，求⊙Ｏ的半径； （２）求证： ) ) ＡＥ＝ＢＦ． ２０．（１２分）如图１８，圆内接四边形ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点Ｅ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＢ． （１）求证：ＤＢ平分∠ＡＤＣ； （２）求∠ＢＡＤ的大小； （３）过点Ｃ作ＣＦ∥ＡＤ，交ＡＢ的延长线于点Ｆ，若 ＡＣ＝ＡＤ，ＢＦ＝２，求此圆半径的长                                                                                                                                                                 ． 书 ２７．１．１圆的基本元素 １．如图１所示的线段，是圆Ｏ弦的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．线段ＡＢ Ｂ．线段ＡＣ Ｃ．线段ＡＥ Ｄ．线段ＤＥ ２．已知⊙Ｏ中，最长的弦长为１６ｃｍ，则⊙Ｏ的半径 是 （　　） Ａ．４ｃｍ Ｂ．８ｃｍ Ｃ．１６ｃｍ Ｄ．３２ｃｍ ３．下列说法错误的是 （　　） Ａ．圆有无数条直径 Ｂ．连结圆上任意两点之间的线段叫做弦 Ｃ．过圆心的线段是直径 Ｄ．同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍 ４．过圆内一点（非同心）有 条弦，有 条直径． ５．如图２，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，ＣＤ是 ⊙Ｏ的弦，ＡＢ， ＣＤ的延长线交于点Ｅ．若ＡＢ＝２ＤＥ，∠Ｅ＝１８°，则∠Ｃ 的度数为 ． ６．如图３，ＣＤ是⊙Ｏ的直径，Ｏ是圆心，Ｅ是圆上一 点，且∠ＥＯＤ＝８１°，Ａ是ＤＣ延长线上一点，ＡＥ与圆交 于另一点Ｂ，且ＡＢ＝ＯＣ，求∠ＥＡＤ的度数． ７．如图４所示，ＢＤ，ＣＥ是 △ＡＢＣ的高，求证：Ｅ，Ｂ， Ｃ，Ｄ四点在同一个圆上． ２７．１．２圆的对称性（第一课时） １．如图１，在⊙Ｏ中，ＡＢ＝ＣＤ，ＯＥ⊥ＡＢ，ＯＦ⊥ＣＤ， 则下列结果中错误的是 （　　） Ａ． ) ) ＡＢ＝ＣＤ Ｂ．ＯＥ＝ＯＦ Ｃ．∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ Ｄ． ) ) ＢＣ＝ＡＤ ２．如图２，在⊙Ｏ中，ＡＣ＝ＢＤ，若∠ＡＯＣ＝１２０°，则 ∠ＢＯＤ＝ ． ３．如图３，∠ＡＯＢ＝９０°，Ｃ，Ｄ是 ) ＡＢ的三等分点，连 结ＡＢ，分别交ＯＣ，ＯＤ于点Ｅ，Ｆ． （１）求∠ＡＥＣ的度数； （２）求证：ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＤ． 能力提高 ４．如图４，已知⊙Ｏ的直径ＢＡ与弦ＤＣ的延长线交 于点Ｐ，且ＰＣ＝ＣＯ， ) ) ) ＣＤ＝ＡＣ＋ＤＢ，求∠ＯＤＣ与∠ＤＯＢ 的度数． ２７．１．２圆的对称性（第二课时） １．如图１，已知在⊙Ｏ中，半径ＯＣ垂直于弦ＡＢ，垂 足为Ｄ．如果ＣＤ＝８，ＡＢ＝２４，那么ＯＡ的长为 （　　） 槡Ａ．１２ Ｂ．１２３ Ｃ．１３ Ｄ．１６ ２．如图２，ＣＤ是⊙Ｏ的弦，直径ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为 Ｍ，连结ＡＤ．若ＣＤ＝８，ＢＭ ＝２，则ＡＤ的长为 （　　） 槡Ａ．１０ Ｂ．５３ 槡 槡Ｃ．４５ Ｄ．３ １０ ３．已知⊙Ｏ的半径为２，弦ＡＢ，ＡＣ的长分别为 槡２２ 和 槡２３，则∠ＢＡＣ的度数为 ． ４．圆在中式建筑中有着 广泛的应用．如图３，某园林 中圆弧形门洞的顶端到地面 的高度为２．８ｍ，地面入口的 宽度为１ｍ，门枕的高度为 ０．３ｍ，则该圆弧所在圆的半 径为 ｍ． 能力提高 ５．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和 刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小明同学所 在的学习小组想到了如下方法：如图４，将纸条拉直紧 贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于 Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四点，利用刻度尺量得该纸条宽为 ３．５ｃｍ，ＡＢ＝ ３ｃｍ，ＣＤ＝４ｃｍ．请你帮忙计算纸杯的直径． ２７．１．３圆周角 １．如图１，点Ａ，Ｂ，Ｃ在⊙Ｏ上，∠ＢＡＣ＝５２°，连结 ＯＢ，ＯＣ，则∠ＢＯＣ的度数为 （　　） Ａ．２６° Ｂ．７０° Ｃ．１０４° Ｄ．１２８° ２．如图２，已知四边形ＡＢＤＣ内接于⊙Ｏ，∠ＢＤＣ＝ １１５°，则∠ＢＯＣ的度数为 （　　） Ａ．１３０° Ｂ．１２０° Ｃ．１１０° Ｄ．１００° ３．如图３，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｃ，Ｄ在 ⊙Ｏ上．若 ∠ＤＡＢ＝６６°，则∠ＡＣＤ＝ 度． ４．如图４，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＤ 平分∠ＡＢＣ，∠Ａ＝１２６°，则∠ＢＤＣ的度数为 ． ５．如图５，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的 外接圆，ＢＣ＝ＢＤ，点Ａ是弧ＢＤ 的中点，若 ∠ＣＢＤ ＝２０°，则 ∠ＡＢＤ的度数为 ． ６．如图６，ＡＢ是 ⊙Ｏ的直 径，ＣＤ是⊙Ｏ的一条弦，且 ＣＤ ⊥ＡＢ于点Ｅ，连结ＡＣ，ＯＣ，ＢＣ． （１）求证：∠１＝∠２； （２）若ＢＥ＝２，ＣＤ＝６，求⊙Ｏ的半径长． 能力提高 ７．如图７，⊙Ｏ的直径 ＡＢ为１０ｃｍ，弦 ＡＣ为６ｃｍ， ∠ＡＣＢ的平分线交⊙Ｏ于点Ｄ，求ＢＣ，ＡＤ，ＢＤ的长及四 边形ＡＣＢＤ的面积 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ．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