第20期 25.1投影 25.2三视图（参考答案见22期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（沪科版）

书 １８期２版 ２４．６正多边形与圆 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．３６°；　５．槡１３２ ； ６．６或３０． 能力提高 　７．（１）证明：连接 ＡＥ，ＡＤ，ＡＣ，因为六边形 ＡＢＣＤＥＦ是⊙Ｏ的内接正六边形，所以ＥＦ＝ＥＤ＝ＣＤ＝ＢＣ，所 以 ) ) ) ) ＥＦ＝ＥＤ＝ＣＤ＝ＢＣ，所以 ∠ＦＡＥ＝∠ＥＡＤ＝∠ＤＡＣ＝ ∠ＣＡＢ，所以过顶点Ａ的三条对角线四等分∠ＢＡＦ． （２） Ｓ１ Ｓ２ ＝ 槡２３π９ ． ２４．７弧长与扇形面积（第一课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．１３π６；　４．８π；　５．３π＋９． 能力提高　６．（１）ＡＤ⊥ＣＤ．理由：连接ＯＣ，ＯＰ，因为ＣＤ是 ⊙Ｏ的切线，所以ＯＣ⊥ＣＤ，即∠ＯＣＤ＝９０°．因为点Ｃ是 ) ＰＢ的 中点，所以∠ＢＯＣ＝ １２∠ＢＯＰ＝∠ＢＡＰ，所以ＯＣ∥ＡＤ，所以 ∠Ｄ＝∠ＯＣＤ＝９０°，即ＣＤ⊥ＡＤ． （２） ) ＰＢ的长为π，ＯＥ的长为 槡２２ ) ．ＰＢ的长度比ＯＥ的长度长． ２４．７弧长与扇形面积（第二课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．４－π；　４．８＋４π； ５．（３２π－ 槡３２）． 能力提高　６．（１）证明：连接ＯＢ，因为ＣＤ是⊙Ｏ的直径， 所以∠ＣＢＤ＝９０°．因为 ＯＥ∥ ＢＣ，所以 ∠ＢＧＥ＝∠ＣＢＤ＝ ９０°，所以∠Ｅ＋∠ＥＢＧ＝９０°．因为ＡＥ与⊙Ｏ相切于点Ｂ，所以 ＯＢ⊥ＡＥ，所以∠ＯＢＤ＋∠ＥＢＧ＝９０°，所以∠Ｅ＝∠ＯＢＤ．因 为ＯＢ＝ＯＤ，所以∠Ｄ＝∠ＯＢＤ，所以∠Ｄ＝∠Ｅ． （２）连接ＢＦ，因为∠ＯＢＥ＝９０°，Ｆ是ＯＥ的中点，所以ＢＦ ＝ＯＦ，因为ＯＢ＝ＯＦ，所以ＯＢ＝ＯＦ＝ＢＦ，所以△ＯＢＦ是等边 三角形，所以∠ＢＯＥ＝∠ＯＢＦ＝６０°．因为∠ＯＧＤ＝９０°，所以 ＯＦ⊥ＢＤ，所以∠ＯＢＤ＝ １２∠ＯＢＦ＝３０°，所以ＯＧ＝ １ ２ＯＢ＝ １，ＢＧ＝ ＯＢ２－ＯＧ槡 ２ ＝槡３，所以 Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＢＯＦ －Ｓ△ＢＯＧ ＝ ６０π×２２ ３６０ － １ ２ ×１×槡３＝ ２π ３ － 槡３ ２． ２４．７弧长与扇形面积（第三课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．槡２２；　４． １ ４；　５．１２５π． 能力提高　６．（１）它的侧面展开图的圆心角是９０°． （２）它所走的最短路线长是 槡１０５ｃｍ． １８期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ 二、９．１２；　１０．６π５；　１１． ４ ５；　１２．１２；　１３． ５ １６π－ ５ ８； １４．（槡２＋１）π． 三、１５．ｒ６ ＝ 槡３３ｃｍ，Ｓ６ ＝ 槡５４３ｃｍ２． １６．（１）ＣＥ的长为６－ 槡３２． （２）连接ＯＤ，ＡＤ，因为 ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，所以 ∠ＡＤＢ＝ ９０°，所以ＡＤ⊥ＢＣ，因为ＡＣ＝ＡＢ，所以ＣＤ＝ＤＢ，因为ＯＡ＝ ＯＢ，所以ＯＤ是△ＡＢＣ的中位线，所以ＯＤ∥ＡＣ，所以∠ＥＯＤ＝ ∠ＡＥＯ，由（１）知∠ＡＥＯ＝４５°，所以∠ＥＯＤ＝４５°，所以弧ＤＥ 的长为 ４５π×３ １８０ ＝ ３ ４π． １７．（１）母线长ＡＢ为５ｍ． （２）所需油毡的面积至少是６３ｍ２． １８．（１）ＢＰ与半圆Ａ相切．理由：连接ＰＡ．因为ＡＢ为半圆Ｏ 的直径，所以∠ＡＰＢ＝９０°，即ＡＰ⊥ＢＰ．又因为ＰＡ为半圆Ａ的 半径，所以ＢＰ与半圆Ａ相切． （２）连接ＰＯ，易得△ＰＡＯ为等边三角形，所以ＡＯ＝ＯＰ＝ ＰＡ＝２，∠ＰＡＯ＝∠ＰＯＡ＝６０°．所以Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＰＡＯ＋Ｓ扇形ＰＯＡ －Ｓ△ＰＯＡ ＝ ６０·π·２２ ３６０ ＋ ６０·π·２２ ３６０ － １ ２ ×２×槡３＝ ４π ３ －槡３． １９．（１）证明：连接ＡＤ，因为ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＤＢ ＝９０°，因为ＴＤ＝ＢＤ，所以ＡＤ垂直平分ＢＴ，所以ＡＢ＝ＡＴ．因 为ＡＴ是⊙Ｏ的切线，所以∠ＢＡＴ＝９０°，所以△ＡＢＴ是等腰直角 三角形，所以∠ＡＢＴ＝∠ＡＴＢ＝４５°． （２）过点Ｅ作 ＥＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，连接ＯＥ，ＯＤ，因为ＴＤ＝ ＢＤ，ＯＢ＝ＯＡ，所以ＯＤ是△ＢＴＡ的中位线，所以ＯＤ∥ＴＡ．因为 ＡＢ⊥ＴＡ，所以ＯＤ⊥ＡＢ．因为Ｅ为 ) ＡＤ的中点，所以 ∠ＤＯＥ＝ ∠ＡＯＥ＝ １２∠ＡＯＤ＝４５°，因为⊙Ｏ的半径ｒ＝ １ ２ＡＢ＝１，所 以 ) ＤＥ的长为４５π×１１８０ ＝ π ４．因为△ＯＥＨ是等腰直角三角形，所 以ＥＨ＝ＯＨ＝槡２２，所以 Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＯＢＤ ＋Ｓ扇形ＯＤＥ －Ｓ△ＯＢＥ ＝ ４＋π－ 槡２２ ８ ． ２０．（１）９． （２）由旋转的性质，得 ∠ＣＯＤ＝４０°，因为直径 ＡＢ平分 ∠ＣＯＤ，所以∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ＝ １２∠ＣＯＤ＝２０°，所以∠ＡＯＣ ＝１８０°－∠ＢＯＣ＝１６０°，因为ＡＢ＝８，所以ＡＯ＝ＢＯ＝ １２ＡＢ ＝４，所以ｌ)ＡＣ ＝ １６０×π×４ １８０ ＝ ３２π ９，所以 ) ＡＣ的长是３２９π． （３）扇形ＡＯＤ的面积为３２９π或 ４４ ９π或 ５６ ９π． １８期４版 重点集训营 １．３２３π；　２．ａ ２；　３．１２；　４．５３π－ 槡２３． 书 １９期参考答案 一、１．Ｃ；　２．Ｃ； ３．Ｂ；　４．Ａ；　５．Ｃ； ６．Ａ；　７．Ａ；　８．Ｃ； ９．Ａ；　１０．Ｃ． 二、１１．１５０°； １２．π４ －１＋ 槡２ ２； １３．１０５°；　１４．槡２３π． 三、１５．∠ＢＡＣ＝６５°． １６．（１）由旋转的性 质，得ＢＣ＝ＥＣ＝５，ＡＣ＝ ＤＣ＝３，所以 ＢＤ＝ＢＣ－ ＣＤ＝２． （２）由旋转的性质，得 ∠Ａ ＝ ∠ＥＤＣ ＝ ７０°， ∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＣ ＝３０°， ＣＢ＝ＣＥ，所以△ＢＣＥ是等 腰三角形，所以 ∠ＡＣＢ＝ ∠ＢＣＥ＝８０°，所以∠ＣＢＥ ＝∠ＣＥＢ ＝ １２（１８０°－ ∠ＢＣＥ）＝５０°． 四、１７．（１）证明：连接 ＯＣ，因为 ) ) ＡＣ＝ＣＢ，所以 ∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ．又因为 ＣＤ⊥ＯＡ，ＣＥ⊥ ＯＢ，所以 ＣＤ＝ＣＥ． （２）四边形 ＤＯＥＣ的 面积为槡３． １８．（１）图略，（２， －１），槡２５． （２）点Ｍ在⊙Ｐ上． （３）５４π． 五、１９．（１）证明：因为 ) ) ＡＣ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠Ｄ． 因为 ∠ＥＡＣ＝∠Ｄ，所以 ∠ＥＡＣ＝∠Ｂ．因为 ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＢ＝ ９０°，所以 ∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＝ ９０°，所以 ∠ＥＡＣ＋∠ＢＡＣ ＝９０°，所以ＢＡ⊥ＡＥ，因为 ＯＡ为⊙Ｏ的半径，所以ＡＥ 是⊙Ｏ的切线． （２） ) ＡＣ的长为４π３． ２０．（１）∠ＣＯＡ的度数 为６０°． （２）ＣＥ的长为２． （３）阴影部分的面积 为 ８ ３π－ 槡４３． 六、２１．（１）证明：连接 ＯＤ，因为 ＯＡ＝ＯＤ，所以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＯＤＡ，所 以 ∠ＢＯＤ ＝２∠ＢＡＤ，因为 ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，所 以∠ＢＡＣ＝２∠ＢＡＤ，所以 ∠ＢＯＤ＝∠ＢＡＣ，所以 ＯＤ ∥ ＡＣ，所 以 ∠ＯＤＢ ＝ ∠ＡＣＢ＝９０°，因为 ＯＤ为 ⊙Ｏ的半径，所以 ＢＣ是 ⊙Ｏ的切线． 书 重点集训营 １．如图１是一物体的三视图，则这个几何体的侧面 积为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２００π Ｂ．１００π Ｃ． 槡１００３π Ｄ．５００π ２．如图２－②所示的是图２－①中长方体的三视 图，若用Ｓ表示面积，Ｓ主 ＝ｘ ２＋２ｘ，Ｓ左 ＝ｘ ２＋ｘ，则长方 体的表面积为 （　　） Ａ．ｘ２＋３ｘ＋２ Ｂ．３ｘ２＋６ｘ＋２ Ｃ．６ｘ２＋１２ｘ＋４ Ｄ．６ｘ＋６ ３．一个圆锥的主视图是边长为４ｃｍ的正三角形， 则这个圆锥的侧面积等于 ｃｍ２． ４．如图３是某几何体的三种视图． （１）说出这个几何体的名称； （２）若左视图的长为１５ｃｍ，宽为４ｃｍ；左视图的 宽为３ｃｍ，俯视图的最长边长为５ｃｍ，求这个几何体的 所有棱长的和为多少？它的侧面积为多少？它的体积为 多少？ １．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝４，点Ｅ， Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ上的点，ＥＦ⊥ ＡＣ，垂足为点 Ｏ，连接 ＥＣ，ＡＦ，则ＥＣ＋ＡＦ的最小值为 ． ２．如图２，已知矩形ＡＢＣＤ，Ｅ为线段ＡＢ上一动点， Ｆ为线段ＢＣ上一动点，ＡＦ与ＣＥ相交于Ｇ，当ＡＦ，ＣＥ分 别平分∠ＢＡＣ，∠ＡＣＢ时，ＡＧ＝４，ＥＧ＝槡２，那么ＡＢ＝ ． 书 【提示】 １．分别以ＥＦ，ＥＣ为边作平行四边形ＥＣＨＦ，连 接ＡＨ，过点Ｆ作ＦＧ∥ＢＣ交ＡＢ于点Ｇ，证明△ＦＧＥ ∽△ＡＢＣ，根据相似三角形的性质、平行四边形的性 质以及勾股定理解答即可． ２．作ＥＭ⊥ＡＦ于Ｍ，ＧＮ⊥ＡＢ于Ｎ，连接ＢＧ，易 证得△ＡＥＭ∽△ＡＧＮ，ＢＧ平分∠ＡＢＣ，∠ＡＧＥ＝ ４５°，再利用等腰直角三角形可得ＥＭ＝１，ＡＭ＝３， 由勾股定理可得ＡＥ＝槡１０，利用△ＡＥＭ∽△ＡＧＮ 可得ＡＮ，ＧＮ，再次利用等腰直角三角形可得ＢＮ＝ ＧＮ，即可得结果． 书 一、求某种视图的边长 例１　如图１是正三棱柱的三视 图，其中俯视图为正三角形，则三棱 柱的左视图中ａ的值为 ． 解析：过点 Ｃ作 ＣＭ⊥ ＡＢ于点 Ｍ．因为 △ＡＢＣ是正三角形，所以 ＡＢ ＝ＡＣ＝ＢＣ＝６，所以 ＡＭ ＝ＢＭ ＝ １ ２ＡＢ＝３， 所以ＣＭ＝ ＡＣ２－ＡＭ槡 ２ ＝ ６２－３槡 ２ ＝ 槡３３，所以 左视图中ａ的值为 槡３３．故填 槡３３． 二、已知三视图求周长 例２　如图２是一个几何 体的三视图（图中尺寸单位： ｃｍ），根据图中所示数据计算 该 几 何 体 的 底 面 周 长 为 ｃｍ． 解析：由主视图易得三角 形是等腰三角形，所以 △ＡＢＣ是直角三角形，ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２ ＝ ６２－（槡４２）槡 ２ ＝２（ｃｍ），所以底面圆 的周长 ＝２π·２＝４π（ｃｍ）．故填４π． 三、已知三视图求体积 例３　已知某几何体的三视图如图３所示，则该几 何体的体积为 ． 解析：由三视图可知，原几何体是一个长方体中间 去掉一个圆柱体，长方体的底面是边长为４的正方形， 圆柱体的底面直径为２，两者的高度都为３，所以该几何 体的体积为４２×３－π×（２２） ２×３＝４８－３π．故填４８ －３π． 四、已知三视图求表面积 例４　如图４是一个半圆柱 的三视图，则半圆柱的表面积可 表示为 ． 解析：由三视图可得这个半 圆柱的底面直径为４，高为３，则表 面积 ＝ １２π×４×３＋２× １ ２π× ２２＋３×４＝１０π＋１２．故填１０π＋１２． 【对应练习见《重点集训营》】 ! !"# $%& '"& " ! " ! !" #$% # " $ " ! $ ! " # ! %$% ! %$% !"& $"& '"& ! ! $"&!"& '"& ! % %& # ! " # $ ########################################## 书 在学习投影与视图的问题时，由于相关的内容掌 握得不够到位，同学们经常会出现各种各样的错误．现 撷取几例分类解析如下，供同学们学习时参考． 误区１：中心投影的特点掌握不牢致错 例１　如图１，晚上小亮在路灯 下散步，在小亮由点Ａ处径直走到点 Ｂ处这一过程中，他在地上的影子 （　　） Ａ．逐渐变短 Ｂ．先变短后变长 Ｃ．先变长后变短 Ｄ．逐渐变长 错解：选Ａ或选Ｃ或Ｄ． 剖析：在太阳光下，同一时刻的物高与影长成正 比，但在中心投影下，物体的影长与物体离点光源的位 置有关，物体离点光源越远，影子越长，反之越短． 正解：选Ｂ． 误区２：判断物体的正投影致错 例２　 如图２，圆台的上下 底面与投影线平行，则圆台的正 投影是 （　　） Ａ．矩形 Ｂ．两条线段 Ｃ．等腰梯形 Ｄ．圆环 错解：选Ａ或Ｂ或Ｄ． 剖析：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面 的位置有关．如当线段平行于投影面时，它的正投影大 小不变；当线段倾斜于投影面时，它的正投影缩小；当 线段垂直于投影面时，它的正投影缩为一个点．若圆台 的上下底面与投影线平行，则圆台的正投影是该圆台 的轴截面即等腰梯形． 正解：选Ｃ． 误区３：分不清三视图中的虚线与实线致错 例３　如图３，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这 个几何体的主视图和俯视图分别为 （　　） 错解：选Ａ或Ｃ或Ｄ． 剖析：画或判断三视图时，不仅要注意物体的形状 和大小，还要注意虚线与实线的准确应用．画组合型物 体的三视图时，要将边缘、棱、顶点都体现出来，看得见 部分的轮廓画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部 分的轮廓画成虚线． 正解：选Ｂ． 书 一、基本概念 平行投影：由平行光线形成的投影，就是平行投影， 如物体在太阳光下的投影． 中心投影：由同一点发出的光线形成的投影，就是 中心投影，如探照灯、手电筒等形成的投影． 二、判断方法 已知两物体和它们的影子时，分别过物体的顶端和 影子的外端作一条直线，如果两条直线平行，则是平行 投影；如果两条直线交于一点，则是中心投影，交点就是 光源的位置． 三、例题解析 例１　如图１，ＡＢ，ＣＤ两根木杆竖直地立在地面上， 课间小明观察到木杆ＡＢ在地面上的影子为ＢＥ，Ｂ，Ｅ，Ｄ 在一条直线上，请作出木杆 ＣＤ此时在地面上的影子 ＤＰ． 分析：根据太阳光线是平行光线，用直尺作出光线 ＡＥ的平行线即可． 解：如图２，线段ＤＰ即为所求作的木杆ＣＤ此时在地 面上的影子． 例２　如图３，ＯＭ为一盏路灯的灯杆，已知该路灯 的灯泡Ｐ位于灯杆ＯＭ上，地面上竖立着一个矩形单杠 ＡＢＣＤ，已知单杠右侧ＣＤ杆在路灯灯泡Ｐ的照射下的影 子末端位于点Ｅ处，点 Ｏ，Ｂ，Ｃ，Ｅ在一条直线上，且 ＭＯ ⊥ＯＥ，ＡＢ⊥ＯＥ，ＤＣ⊥ＯＥ．请在图中找出路灯灯泡Ｐ的 位置，并画出单杠左侧ＡＢ杆在灯泡 Ｐ的照射下的影子 ＢＦ． 分析：连接ＥＤ并延长交ＯＭ于点Ｐ，连接ＰＡ并延长 交ＯＥ于点Ｆ，点Ｐ和ＢＦ即为所求． 解：如图４所示，点Ｐ和ＢＦ即为所求． 牛刀小试： 有一玻璃幕墙与一 盏路灯相对，幕墙前面的 地面上有一盆花ＣＤ和一 棵树ＡＢ．晚上，幕墙反射 路灯，灯光形成那盆花的 影子ＤＦ，树影ＢＥ是路灯灯光直接形成的，如图５所示， 你能确定此时路灯光源的位置吗？ 书 一、几何体的三种视图 例１　下列四个立体图形中，它们各自的三视图都 相同的是 （　　） 解析：Ａ．球的三视图都是圆，故本选项符合题意； Ｂ．圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心 的圆，故本选项不符合题意；Ｃ．圆柱的主视图和左视图 是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；Ｄ．三棱柱的 主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不 符合题意． 故选Ａ． 二、由三种视图还原几何体 例２　已知某物体的三视图如 图１所示，那么与它对应的物体是 （　　） 解析：由三视图知，该几何体的下面是长方体，上面 是一个圆柱体，且长方体的宽与圆柱底面直径相等，符 合这一条件的是Ｃ选项几何体． 故选Ｃ． 三、根据三种视图计算 例３　如图２是一个几何体 的三视图，根据图中所标数据计 算这个几何体的体积为 （　　） Ａ．１２π　　　　　Ｂ．１８π Ｃ．２４π Ｄ．３０π 解析：由三视图可得，几何 体是空心圆柱，其小圆半径是１，大圆半径是２，则大圆 面积为π×２２ ＝４π，小圆面积为π×１２ ＝π，故这个几 何体的体积为６×４π－６×π＝２４π－６π＝１８π． 故选Ｂ． ! &' ( ) ' ( ) * ' ( ) * ! % ! $ ' " & ! " & $ " & " # $ ########################################## # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ! *+ ,-. $ # ! % ' ( ) * () ! ! ! $ ! $! % $ # " %& $ # " % '& ( * + , - " % ) # $ & ! + ! ! ! " $ # " % ) ' & $ # " % &( ( * * ! /" 012 ! ! " #! !!!"" $"% !" $&$"&%%'%"( 345 !6"789: ;8<=>?@8AB "# C ! ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. "#$% %&'()* + , - . DE$FGHIJ KLMNOP ""C: /"QRS=TU /"QSVW@XYZ[\ /"QS]^_`abcdTe <fGghij7 gklm-n opqrstj7uvl),%"-&.&./30w ) *+ m-n , ) *+ xyz , # - .+ {|n , ) *+ 0 } , ) *+ ~  -./01+ { € 23/01+ {‚ -4506+ ƒ „ -4578+ …†‡ yˆ‰ Š ‹ ŒŽ   ‘’“ x”• – — † ˜™Ž š›- Šœ (œž x-Ÿ  8 ¡¢‹ £ “ ¤¥¦ y§¨ 91-.+ x©ª 91:;+ «™¬ <=-.+ x ­ >?-.+ ® ¯ @ABC+ °±² $FG&³&7 $´(&j7 $hi¸¹ºl&!+%-+$.%$+# $FG»¼l/"½¾¿ÀÁÂÃÄÅ %!$ v<fGg;8<=hi¸ $ÆÇhÈl&!&&&# $ÀɸÊGËÌl&!+%#+$.%%$+ &!+%#+$.%$!.3YÍw $ÊÎlÏÐFGÀɸ¼ÑÒÓoÔÕÆÖ3×w $ÆÇÊÎËÌl%%%2+ $ØÙÚÛÊÜÝÊÞßÊ $FGàÓoÔ½3ÀwáVâãäG $åæ_`çØèvl%"&&&&"&&&%%& $å渹ºl&!+%#+$.%$++ $FGéêëìíYîïðabcd3ñòóôõÂö÷øùúûXü %% vwýïþÿaï!"#$%þÏÐFGÀɸ¼Ñ&' # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # !%& $%& '%& ! ! ! $ # & " ( ) % $ ! $ " % ) + # & $ ! $ (. , , !%& $%& /%& ! " $& %& ! % #################### 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１是一个机器零件的实物图，则其俯视图是 （　　） ２．下列四个选项中，表示两棵树在同一时刻阳光下 的影子是 （　　） ３．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　） ４．下列关于投影的说法中，不正确的是 （　　） Ａ．正午，上海中心大厦在地面上的投影是平行投影 Ｂ．匡衡借光学习时，他在地面上的投影是中心投影 Ｃ．三角形木板的正投影是一个点 Ｄ．晚上，小强向路灯走去，他的影子越来越短 ５．如图２，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影 是 （　　） ６．如图３，小树ＡＢ在路灯Ｏ的照射下形成投影ＢＣ． 若树高ＡＢ＝２ｍ，树影ＢＣ＝３ｍ，路灯的高度ＯＰ为６ｍ， 则ＣＰ为 （　　） Ａ．３ｍ Ｂ．６ｍ Ｃ．４．５ｍ Ｄ．９ｍ ７．如图４为圆锥的三视图，则这个圆锥的侧面展开 图的圆心角的度数为 （　　） Ａ．２７０° Ｂ．２１６° Ｃ．１０８° Ｄ．１３５° ８．如图５，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，点Ｅ，Ｆ分 别是ＡＢ，ＡＤ的中点，则 △ＥＦＢ１在面 ＤＣＣ１Ｄ１上的投影 是 （　　） 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如果一个几何体的主视图是圆，则该几何体可以 是 （填写一个即可）． １０．一个立体图形的三 视图如图 ６所示，那么这个 立 体 图 形 的 名 称 是 ． １１．如图７所示的是三个直立在地面上的艺术字母 的投影（阴影部分）效果，在艺术字母“Ｌ，Ｋ，Ｃ”的投影 中，属于同一种投影的是 ． １２．如图８所示的几何体中，主视图、左视图和俯视 图都是矩形的是 （填写序号）． １３．如图９，已知在电线杆 ＡＢ上有一个光源，身高 １．８ｍ的小明站在与电线杆底部Ａ距离２ｍ的点Ｃ处，其 影长ＣＥ＝１ｍ，若他沿ＡＣ方向走４ｍ到达点Ｆ处，此时 他的影长是 ｍ（图中 ＣＤ，ＦＧ均表示小明身 高）． １４．如图１０为一机器零件的三视图，它的俯视图为 正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表 面积是 （结果保留根号）． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）画出如图１１所示几何体的三种视图． １６．（１０分）如图１２是一个几何体的三视图． （１）写出这个几何体的名称； （２）求这个几何体的全面积． １７．（１０分）如图１３，正方形纸板ＡＢＣＤ在投影面α 上的正投影为Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，其中边ＡＢ，ＣＤ与投影面平行， ＡＤ，ＢＣ与投影面不平行．若正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ５ｃｍ，∠ＢＣＣ１ ＝４５°，求其投影Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的面积． １８．（１０分）国庆期间某广场旗杆附近搭建了一座 花篮．如图１４为从该场景抽象出的数学模型，已知花篮 高度ＡＢ＝５ｍ，某一时刻花篮在阳光下的投影 ＢＣ＝ ３ｍ． （１）请你用尺规在图中作出此时旗杆ＤＥ在阳光下 的投影ＥＦ（不写作法，保留作图痕迹）； （２）在测量ＡＢ的投影时，同时测出旗杆ＤＥ在阳光 下的投影ＥＦ＝６ｍ，请你计算旗杆ＤＥ的长． １９．（１２分）一个几何体的三视图如图１５所示，它的 俯视图为菱形．请写出该几何体的形状，并根据图中所 给的数据求出它的侧面积． ２０．（１２分）问题背景：在某次活动课中，甲、乙两个 学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观 灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息． 甲组：如图１６－①，测得学校旗杆的影长为９００ｃｍ，在影 子的外端Ｆ点处测得旗杆顶端Ｅ的仰角为５３°． 乙组：如图１６－②，测得校园景观灯（灯罩视为球 体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为２００ｃｍ， 影长为１５６ｃｍ． 任务要求： （１）请根据以上的信息计算出学校旗杆的高度； （２）如图１６－②，设太阳光线ＮＨ与⊙Ｏ相切于点 Ｍ，请根据以上的信息，求景观灯灯罩的半径（景观灯的 影长等于线段 ＮＧ的影长，参考数据：ｓｉｎ５３°≈ ４５， ｃｏｓ５３°≈ ３５，ｔａｎ５３°≈ ４ ３）                                                                                                                                                                 ． ! 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" 书 ２５．１投影 １．日晷（如图１）是我国古代利 用日影测定时刻的一种计时仪器， 它由“晷面”和“晷针”组成．当太 阳光照在日晷上时，晷针的影子就 会投向晷面．随着时间的推移，晷 针的影子在晷面上慢慢地移动，以 此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是 （　　） Ａ．中心投影 Ｂ．平行投影 Ｃ．既是平行投影又是中心投影 Ｄ．不能确定 ２．下列物体的影子中，不正确的是 （　　） ３．下列关于投影的说法正确的是 （　　） Ａ．平行投影中的光线是聚成一点的 Ｂ．线段的正投影还是线段 Ｃ．圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆 Ｄ．若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也 相同 ４．人从路灯下走过时，影子的变化是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．长→短→长 Ｂ．短→长→短 Ｃ．长→长→短 Ｄ．短→短→长 ５．如图２是南昌市某天不同时刻直立的竹竿及其 影长（规定上北下南左西右东），则中午时刻的影长是 ． ６．如图 ３，某学生身高 ＡＢ＝ １．５ｍ，在灯光下，他从灯杆底部点 Ｄ处，沿直线前进到达点Ｂ处，在Ｂ 处他的影长为 ＰＢ，经测量此时恰 有ＢＤ＝２ＰＢ，则灯杆ＣＤ的高度为 ｍ． ７．一天下午小红先参加了校运动会女子２００ｍ比 赛，过一段时间又参加了女子４００ｍ比赛，如图４所示 是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么 （填“甲”或“乙”）照片是参加４００ｍ比赛时照的． ８．如图５－①，５－②分别是两棵树及其影子的情 形． （１）哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路 灯下的情形？ （２）你是用什么方法判断的？ （３）请分别画出图中表示小丽影子的线段． 能力提高 ９．如图 ６，身高 １．６米的小明从距路灯底部（点 Ｏ）２０米的点Ａ沿ＡＯ方向行走１４米到点Ｃ处，小明在Ａ 处时，头顶Ｂ在路灯投影下形成的影子在Ｍ处． （１）已知灯杆垂直于路面，试标出路灯Ｐ的位置和 小明在Ｃ处，头顶Ｄ在路灯投影下形成的影子Ｎ的位置； （２）若路灯（点Ｐ）距地面８米，小明从Ａ到Ｃ时，身 影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ ２５．２三视图 １．如图１，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构 成的几何体，该几何体的左视图是 （　　） ２．如图２是某几何体的三视图，则该几何体是 （　　） Ａ．三棱锥 Ｂ．三棱柱 Ｃ．长方体 Ｄ．圆柱体 ３．一个长方体的三视图如图３所示，若其俯视图为 正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为 （　　） Ａ．２，３ Ｂ．３，２ Ｃ．２，槡２ Ｄ．３，槡２２ ４．一个几何体的三视图如图４， 则这个几何体的表面积是 （　　） Ａ．３９π Ｂ．４５π Ｃ．４８π Ｄ．５４π ５．如图５所示的几何体中，仅主 视图与左视图相同的是 （填序号）． ６．用三个大小不等的正方体拼成了一个如图６所 示的几何体，若该几何体的主视图、左视图和俯视图的 面积分别表示为 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，则 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３的大小关系是 （用“＜”连接）． ７．桌子上摆放若干碟子，从三个方向看得到的平 面图形如图 ７所示，则这张桌子上的碟子数可能是 个． ８．从棱长为２的正方体的一角，挖去一个棱长为１ 的小正方体，得到如图８所示的几何体，请画出该几何 体的三视图． 能力提高 ９．如图９－①是一种包装盒的表面展开图，将它围 起来可得到一个几何体的模型． （１）图９－②是根据ａ，ｈ的取值画出的几何体的主 视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图； （２）已知ｈ＝４，求ａ的值和该几何体的表面积 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! , ! " # $ & ! % ' $ + & % ! & ! + ! " +, +, ! $ & , + ' ! * ! " # $ & $ % # $ % ( $ % ! % &$%#$% & % % ! ($% ! & ! * )-. &$%#$% ! - ($% ! 0 0 0 0 0 11 ! " ! . 0 0 #$% ($% / 0 ! ' !)-1 "2 #34 $35 ! + ' ' * ! ' ! " # $ )* ! , 书 （２）过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ ＡＢ，交ＡＢ于点Ｅ，因为 ＡＤ 是∠ＢＡＣ的平分线，∠ＡＣＢ ＝９０°，所以ＤＥ＝ＣＤ＝３， 因为 ∠Ｂ ＝ ６０°，所以 ∠ＢＤＥ＝３０°，所以 ＢＥ＝ １ ２ＢＤ．在 Ｒｔ△ＢＥＤ中，由 勾股定理，得ＤＥ２＋ＢＥ２＝ ＢＤ２，即 ３２ ＋ １４ＢＤ ２ ＝ ＢＤ２，解得ＢＤ＝ 槡２３或ＢＤ ＝－ 槡２３（舍去），所以 ＢＣ ＝ＢＤ＋ＣＤ＝３＋ 槡２３，所 以ＡＢ＝２ＢＣ＝６＋槡４３，所 以ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝６ ＋ 槡３ ３， 所 以 ＡＤ ＝ ＡＣ２＋ＣＤ槡 ２ ＝ 槡３ ２ ＋ 槡３６． 七、２２．（１）证明：由旋 转的性质，得 ∠ＤＡＥ ＝ ∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ＝ＡＥ，所 以 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ．又因 为ＡＢ＝ＡＣ，所以△ＡＢＤ≌ △ＡＣＥ，所以ＢＤ＝ＥＣ． （２）由旋转的性质得 ∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ ＝ ＡＥ，所 以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＡＥ，∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ＝ ４５°．同（１）可证得 △ＡＢＤ ≌ △ＡＣＥ，所以 ∠ＡＤＢ＝ ∠ＡＥＣ＝１８０°－∠ＡＤＥ＝ １３５°， 所 以 ∠ＦＥＣ ＝ ∠ＡＥＣ－∠ＡＥＤ＝９０°． （３）ＢＥ ＝ＡＦ，ＢＥ⊥ ＡＦ，理由：因为 ∠ＢＡＣ＝ ∠ＤＡＥ＝９０°，所以 ∠ＢＡＣ ＋∠ＤＡＥ ＝１８０°，所以 ∠ＢＡＥ＋∠ＤＡＣ＝１８０°．由 平移得ＡＣ＝ＤＦ＝ＡＢ，ＡＣ ∥ＤＦ， 所以 ∠ＡＤＦ＋∠ＤＡＣ ＝１８０°，所以 ∠ＦＤＡ ＝ ∠ＢＡＥ． 又因为ＡＥ＝ＡＤ，所以 △ＡＢＥ≌ △ＤＦＡ，所以 ＢＥ ＝ＡＦ，∠ＤＡＦ＝∠ＡＥＢ．因 为∠ＤＡＦ＋∠ＦＡＥ＝９０°， 所以 ∠ＡＥＢ＋∠ＦＡＥ ＝ ９０°，所以ＢＥ⊥ＡＦ． 八、２３．（１）证明：连接 ＡＯ，并延长ＡＯ交⊙Ｏ于点 Ｆ，连接ＣＦ，因为ＡＦ是⊙Ｏ 的直径，所以 ∠ＡＣＦ ＝ ９０°，所以 ∠Ｆ＋∠ＦＡＣ＝ ９０°，因为 ∠Ｆ＝∠ＡＢＣ， ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＥＡＣ，所 以 ∠ＥＡＣ＝∠Ｆ，所以∠ＥＡＣ ＋∠ＦＡＣ ＝ ９０°，所 以 ∠ＥＡＦ＝９０°，因为 ＡＯ是 ⊙Ｏ的半径，所以直线 ＡＥ 是⊙Ｏ的切线． （２）①⊙Ｏ的半径为 ２５ ３． ②作∠ＣＡＢ的平分线 交ＣＤ于点Ｈ，连接 ＢＨ，过 点 Ｈ作 ＨＭ⊥ ＡＣ，ＨＮ⊥ ＢＣ，因为 ＯＤ⊥ ＡＢ，ＡＤ＝ ＢＤ，所以 ＡＣ＝ＢＣ，所以 ＣＤ平分∠ＡＣＢ，因为ＡＨ平 分 ∠ＣＡＢ，所以点 Ｈ是 △ＡＢＣ的内心，因为ＨＭ⊥ ＡＣ，ＨＮ⊥ＢＣ，ＨＤ⊥ＡＢ，所 以 ＭＨ ＝ＮＨ ＝ＤＨ，在 Ｒｔ△ＡＣＤ中，由勾股定理， 得 ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝ １０＝ＢＣ，因为 Ｓ△ＡＢＣ ＝ Ｓ△ＡＣＨ＋Ｓ△ＡＢＨ＋Ｓ△ＢＣＨ，所 以 １ ２×１６×６＝ １ ２×１０× ＭＨ＋１２×１６×ＤＨ＋ １ ２× １０×ＮＨ，解得ＤＨ＝８３，所 以ＯＨ＝ＣＯ－ＣＨ＝ＣＯ－ （ＣＤ－ＤＨ）＝２５３ －（６－ ８ ３）＝５．即△ＡＢＣ的内心 到点Ｏ的距离为５． ! 67 89 :; !""#$%&' ()*+,- #$ ./ !"#$%&'()*+ /&+,1+%-,%*0 !",-%&'()*+ /&+,1+%-,,%+ ! ! !"#$ 01234561*7 $% . %&'( ! 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