复习专号 第11章 平面直角坐标系+复习检测题-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 考点呈现我来悟 考点１：有序实数对 例１　如图１是一 个教室的平面示意图， 我们把小刚的座位“第 １列第 ３排”记为（１， ３）．若小丽的座位为 （３，２），以下四个座位 中，与小丽相邻且能比 较方便地讨论交流的 同学的座位是 （　　） 　　　　 　　　　 　　　　　 　　Ａ．（１，３） Ｂ．（３，４） Ｃ．（４，２） Ｄ．（２，４） 解析：本题考查了确定位置，理解有序实数对的两 个数的实际意义是解题的关键． 与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座 位是（４，２）． 故选Ｃ． ●专项练习 １．下表是济南市的一些地标建筑和旅游景点，表 中“济南西站”和“雪野湖”所在的区域分别是（　　） Ｄ Ｅ Ｆ ４ 遥墙国际机场 ５ 济南西站 野生动物世界 ６ 济南国际园博园 七星台风景区 雪野湖 Ａ．Ｅ４，Ｅ６ Ｂ．Ｄ５，Ｆ５ Ｃ．Ｄ６，Ｆ６ Ｄ．Ｄ５，Ｆ６ ２．如果用（４，６）表示第４套题第６题，那么第８套 题第９题可表示成 ． 考点２：点的坐标特征 例２　在平面直角坐标系中，点Ａ（－１，－２）落在 （　　） Ａ．第一象限　 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 解析：本题考查了平面直角坐标系中点的分布．对于 点（ａ，ｂ）来说，点的位置与坐标特征的关系如下表所示： 点的位置 坐标特征 象限内的点 第一象限 （＋，＋） 第二象限 （－，＋） 第三象限 （－，－） 第四象限 （＋，－） 坐标轴上的点 ｘ轴正半轴上 （＋，０） ｘ轴负半轴上 （－，０） ｙ轴正半轴上 （０，＋） ｙ轴负半轴上 （０，－） 象限角平分线 上的点 第一、三象限角平分线上 ａ＝ｂ 第二、四象限角平分线上 ａ＋ｂ＝０ 因为 －１＜０，－２＜０，所以点Ａ（－１，－２）在第 三象限． 故选Ｃ． ●专项练习 ３．已知点Ａ（ａ＋９，２ａ＋６）在ｙ轴上，则ａ的值为 （　　） Ａ．－９ Ｂ．９ Ｃ．３ Ｄ．－３ ４．若点（６－ａ，ａ－２）在第一、三象限角平分线上， 则ａ＝ ． ５．点Ｐ（ｘ，ｙ）在第一象限，且｜ｘ｜＝２，｜ｙ｜＝３，则 ｘ＋ｙ＝ ． 考点３：确定点的坐标 例３　已知点Ｐ（ａ＋５，ａ－１）在第四象限，且到ｘ 轴的距离为２，则点Ｐ的坐标为 （　　） Ａ．（４，－２） Ｂ．（－４，２） Ｃ．（－４，４） Ｄ．（２，－４） 解析：本题考查了点的坐标，熟记点到 ｘ轴的距离 等于该点纵坐标的绝对值，到ｙ轴的距离等于该点横坐 标的绝对值． 因为点Ｐ（ａ＋５，ａ－１）在第四象限，且到ｘ轴的距 离为２，所以ａ－１＝－２．解得ａ＝－１．所以ａ＋５＝４． 所以点Ｐ的坐标为（４，－２）． 故选Ａ． ●专项练习 ６．如图２，港口Ｂ相对于货船Ａ的 位置可描述为南偏西３５°，４５海里，那 么货船Ａ相对于港口Ｂ的位置可描述 为 （　　） Ａ．南偏西５５°，４５海里 Ｂ．北偏西３５°，４５海里 Ｃ．北偏东５５°，４５海里 Ｄ．北偏东３５°，４５海里 ７．已知点Ｐ位于ｙ轴右侧，距离ｙ轴３个单位长度， 位于ｘ轴上方，距离ｘ轴４个单位长度，则点Ｐ的坐标是 ． 例４　如图３是一个利用平面直角坐标系画出的 某学校的示意图．如果这个坐标系分别以正东、正北方 向为ｘ轴、ｙ轴的正方向，且综合楼和食堂的坐标分别 是（４，１）和（５，４），则教学楼的坐标是 ． 解析：本题主要考查平面直角坐标系的建立．根据 综合楼和食堂的坐标建立适当的平面直角坐标系即可 解答． 如图４，建立平面直角坐标系，则教学楼的坐标是 （２，２）． 故填（２，２）． ●专项练习 ８．观察如图５所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位 置用（１，３）表示，“炮”所在的位置用（６，４）表示，那么 “帅”所在的位置可表示为 ． （下转第４版                                                                                                         ） 书 要点梳理———我在行 １．基本概念 （１）有序实数对：有顺序的两个实数ａ与ｂ组成的 实数对，叫做有序实数对，记作（ａ，ｂ）． （２）平面直角坐标系：在平面内，两条互相 、原点 的数轴组成平面直角坐标系． 其中，水平的数轴叫做 ｘ轴或 轴，一般取向 的方向为正方向；竖直的数轴叫做 ｙ轴或 轴，一般取向 的方向为正方向．两坐 标轴的交点Ｏ称为平面直角坐标系的 ． （３）点的坐标：对于平面内任意一点 Ｐ，过点 Ｐ分 别向ｘ轴、ｙ轴作垂线，垂足在ｘ轴、ｙ轴上对应的实数ａ， ｂ分别叫做点 Ｐ的横坐标、纵坐标，有序实数对 （ ， ）叫做点Ｐ的坐标． ２．点的坐标的特征 （１）象限内点的坐标的特征：第一象限（ ， ），第二象限（ ， ），第三象限（ ， ），第四象限（ ， ）． （２）象限角平分线上点的坐标的特征：第一、三象 限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同；第二、四象 限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数． （３）平行于坐标轴的直线上点的坐标的特征：平行 于ｘ轴的直线上所有点的 相同；平行于ｙ轴的 直线上所有点的 相同． ３．利用坐标表示地理位置的方法 （１）区域定位法 其特点是先规定行、列，然后数出物体是第几行第 几列便可确定其位置． （２）极坐标定位法 它是采用方位角和距离的方式来表示物体具体位 置的定位方法，显然也需要两个数据，其特点是先选择 一个原点作为基准，然后借助量角器、刻度尺来表述方 位角和距离的具体数值． （３）直角坐标系定位法 它是利用直角坐标系来表示物体的位置，需要两 个数椐：一个是横坐标，另一个是纵坐标，二者缺一不 可，习惯上常用（ａ，ｂ）来表示（其中ａ是横坐标，ｂ是纵 坐标，且二者具有顺序性）．其方法是先选原点，然后根 据方向的正负以坐标形式表述各点的位置，即“找点、 建系、读坐标”三步．此方法是必须掌握的一种平面内 确定物体位置的方法，是学习平面直角坐标系的基础． ４．用坐标表示平移 （１）由形到数：在平面直角坐标系中，① 将点（ｘ， ｙ）向右（或向左）平移ａ个单位长度，可以得到对应点 （ｘ＋ａ，ｙ）（或（ ， ））；②将点（ｘ，ｙ）向 上（或向下）平移 ｂ个单位长度，可以得到对应点 （ ， ）（或（ ， ））． （２）由数到形：在平面直角坐标系中，① 如果把一 个图形各个点的横坐标都加上（或都减去）一个正数 ａ，相应的新图形就是把原图形向 （或向 ）平移 个单位长度；②如果把它的各 个点的纵坐标都加上（或都减去）一个正数 ｂ，则相应 的新图形就是把原图形向 （或向 ）平 移 个单位长度． !"#$ ! ! !" #$% ! " ! " # $ % & ' ! ! #$%& ' & % $ # " '( ) ! " "#( ! & $ # * + ,-.#/$0 ) 123.$4!0 563 ! " ,-7#4$0 ) 123.$4!0 563 # $ ! % " $ # & ' ( ) *! *!% ' & # $ " % ! ! $ ! # 8 9 : ; 书 （上接第３版） ９．如图６是莉莉绘制的某公园一角平面简图的一 部分，已知卫生间的坐标为（２，４），凉亭的坐标为（－２， ３）． （１）根据上述坐标，建立适当的平面直角坐标系； （２）根据你建立的平面直角坐标系，写出保安室 的坐标； （３）已知便利店的坐标为（４，－２），请在你所建立 的平面直角坐标系中标出便利店的位置． 考点４：确定点的坐标中待定字母的范围 例５　在平面直角坐标系中，点（－７，２ｍ＋１）在第 三象限，则ｍ的取值范围是 ． 解析：本题考查点的坐标的符号特征以及解一元 一次不等式，熟记各象限内点的坐标的符号特征是解 题的关键．根据第三象限内点的横、纵坐标均为负数列 出关于ｍ的不等式，解之即可． 根据题意，得２ｍ＋１＜０．解得ｍ＜－１２． 故填ｍ＜－１２． ●专项练习 １０．点Ｐ（ｍ，－２ｍ）是第二象限内的点，则满足条 件的所有实数ｍ的取值范围是 （　　） Ａ．ｍ＜０ Ｂ．ｍ＞０ Ｃ．０＜ｍ＜２ Ｄ．－２＜ｍ＜０ １１．若点Ａ（ａ，ｂ）在第三象限，则点Ｂ（－ａ＋１，３ｂ－ ２）在第 象限． 考点５：平移中坐标的变换 例６　在平面直角坐标系中，将点Ｐ（３，１）向下平 移２个单位长度，得到的点Ｐ′的坐标为 （　　） Ａ．（３，－１） Ｂ．（３，３） Ｃ．（１，１） Ｄ．（５，１） 解析：本题考查了点的坐标的平移变换，关键是掌 握点的坐标的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐 标上移加，下移减，利用此规律求解即可． 根据题意，得点Ｐ向下平移２个单位长度，所得点 的横坐标不变，纵坐标为：１－２＝－１，即点Ｐ′的坐标为 （３，－１）． 故选Ａ． ●专项练习 １２．在平面直角坐标系中，将点 Ａ（１，－２）向上平 移３个单位长度，再向左平移２个单位长度，得到点Ｂ， 则点Ｂ的坐标是 （　　） Ａ．（－１，１） Ｂ．（３，１） Ｃ．（４，－４） Ｄ．（４，０） １３．在平面直角坐标系中，将点Ｑ向下平移４个单 位长度后得到点（２，－６），则点Ｑ的坐标是 ． 例７　如图７，在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ位于 第一象限，点 Ａ的坐标是（４，３），把 △ＡＢＣ向左平移 ６个 单位长度，得到 △Ａ１Ｂ１Ｃ１，则点 Ｂ１的坐标是 ． 解析：本题考查了图形的平移变换．图形上点的坐 标的变化规律，即为整个图形的点的坐标的变化规律． 解答本题的关键是根据已知对应点找到所求对应点之 间的变化规律． 因为 △ＡＢＣ向左平移 ６个单位长 度 得 到 △Ａ１Ｂ１Ｃ１， 由图可知点Ｂ的坐标是（３，１）， 所以点Ｂ１的坐标是（３－６，１），即（－３，１）． 故填（－３，１）． ●专项练习 １４．已知△ＡＢＣ在平面直角坐标系中的位置如图８ 所示，将△ＡＢＣ先向下平移５个单位长度，再向左平移 ２个单位长度，则平移后Ｃ点的坐标是 （　　） Ａ．（５，－２） Ｂ．（１，－２） Ｃ．（２，－１） Ｄ．（２，－２） １５．已知点Ａ（－１，０）和点Ｂ（１，２），将线段ＡＢ平移 至Ａ′Ｂ′，点Ａ′与点Ａ对应．若点Ａ′的坐标为（１，－３）， 则点Ｂ′的坐标为 ． １６．如图９，在平面直角坐标系中，已知点Ａ（３，０）， Ｂ（－５，３），将点Ａ向左平移６个单位长度到达点Ｃ，将 点Ｂ向下平移６个单位长度到达点Ｄ． （１）写出点Ｃ，Ｄ的坐标：Ｃ ，Ｄ ； （２）把这些点按Ａ－Ｂ－Ｃ－Ｄ－Ａ的顺序连接起 来，并求这个图形的面积． 考点６：坐标系中的规律 例８　如图１０，动点Ｐ在平面直角坐标系中按图中 箭头所示方向运动，第１次从原点运动到点（１，１），第 ２次接着运动到点（２，０），第３次接着运动到点（３，２）， …，按这样的规律运动下去，经过第３０７次运动后，动点 Ｐ的坐标是 （　　） Ａ．（３０５，１） Ｂ．（３０６，０） Ｃ．（３０７，２） Ｄ．（３０３，０） 解析：本题考查了点的坐标的变化规律，解答问题 的关键是分析点Ｐ的运动规律，从而找到循环规律． 因为第１次从原点运动到点（１，１），第２次接着运 动到点（２，０），第３次接着运动到点（３，２），第４次接着 运动到点（４，０），…，所以点Ｐ的运动规律可以看作：横 坐标为依次运动的次数，纵坐标为１，０，２，０，…，四个一 组依次循环，而３０７÷４＝７６……３，即运动３０７次后，点 Ｐ的横坐标为３０７，纵坐标为２．所以经过第３０７次运动 后，动点Ｐ的坐标是（３０７，２）． 故选Ｃ． ●专项练习 １７．如图１１，弹性小球从点 Ｐ（２，０）出发，沿图中所示方向 运动，每当小球碰到正方形 ＯＡＢＣ的边时反弹，反弹后的路 径与正方形ＯＡＢＣ的边的夹角为 ４５°，当小球第１次碰到正方形的 边时的点为Ｐ１，第２次碰到正方 形的边时的点为 Ｐ２，…，第 ｎ次 碰到正方形的边时的点为Ｐｎ，则点Ｐ４１１的坐标是 （　　） Ａ．（５，３） Ｂ．（３，５） Ｃ．（０，２） Ｄ．（２，０） （专项练习答案参见第１５～１８版                                                                                          ） 书 （上接第１０版） Ａ．１５０° Ｂ．１４０° Ｃ．１２０° Ｄ．３０° １０．如图１０，ＡＦ平分 ∠ＢＡＣ，交 ＢＣ于点Ｅ，过点Ｆ作ＦＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ．若∠Ｂ比∠Ｃ大２０°，求∠Ｆ的度 数． 考点５：三角形外角的性质 例５　如图１１，直线ＡＢ∥ ＣＤ．如果∠ＥＦＢ＝３１°，∠ＥＮＤ ＝７０°，那么∠Ｅ的度数是 （　　） Ａ．３１° Ｂ．４０° Ｃ．３９° Ｄ．７０° 解析：此题主要考查三角形外角的性质． 因为直线ＡＢ∥ＣＤ， 所以∠ＥＭＢ＝∠ＥＮＤ＝７０°． 因为∠ＥＦＢ＝３１°， 所以∠Ｅ＝∠ＥＭＢ－∠ＥＦＢ＝３９°． 故选Ｃ． ●专项练习 １１．下列图形中，能确定∠１＞∠２的是 （　　） １２．如图 １２，点 Ｃ，Ｄ在直线 ＡＢ上，ＯＣ⊥ ＯＤ．若 ∠ＡＣＯ＝１２０°，则∠ＢＤＯ的大小为 （　　） Ａ．１２０° Ｂ．１４０° Ｃ．１５０° Ｄ．１６０° １３．如图１３，∠３是△ＡＢＣ的外角，∠１∶∠２∶∠３＝ １∶３∶６，则∠４＝ ． 考点６：命题与证明 例６　下列说法中：①邻补角是互补的角；②正方 形有２条对称轴；③ ｜－５｜的算术平方根是 ５；④ 点 Ｐ（１，－２）在第四象限，其中真命题的个数是 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 解析：根据邻补角的定义知①是真命题． 正方形有４条对称轴，故②是假命题． ｜－５｜的算术平方根是槡５，故③是假命题． ④显然是真命题． 故选Ｃ． ●专项练习 １４．能说明命题“如果 ａ是任意实数，那么 ｜ａ｜＞ －ａ”是假命题的一个反例可以是 （　　） Ａ．ａ＝－１３ Ｂ．ａ＝ １ ２ Ｃ．ａ＝１ Ｄ．ａ＝槡３ １５．下列命题是真命题的是 （　　） Ａ．无限小数是无理数 Ｂ．相反数等于它本身的数是０和１ Ｃ．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的 两部分 Ｄ．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角 形全等 （专项练习答案参见第１５～１８版                                                                                         ） !"#$%&'() !"#$ ! ! ! !"# $% &'( ! 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" # " % $ & ) ) & $ % " $ , % ( , " , ) 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．已知点Ａ的坐标为（３，２），则点Ａ在 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ２．根据下列表述，能准确确定位置的是 （　　） Ａ．银泰影院２排 Ｂ．石家庄裕华路 Ｃ．北偏东３０° Ｄ．东经１１８°，北纬４０° ３．已知点Ａ在ｘ轴上，位于原点的左侧，距离原点 ４个单位长度，则点Ａ的坐标为 （　　） Ａ．（０，４） Ｂ．（－４，０） Ｃ．（０，－４） Ｄ．（４，０） ４．在平面直角坐标系中，点Ｐ（ｍ，２－２ｍ）在第二、 四象限角平分线上，则ｍ的值是 （　　） Ａ．－２ Ｂ．－２３ Ｃ．２３ Ｄ．２ ５．在平面直角坐标系中，将点Ａ（ｘ，ｙ）向左平移５个 单位长度，再向上平移３个单位长度后与点Ｂ（－３，１） 重合，则点Ａ的坐标是 （　　） Ａ．（－８，－２） Ｂ．（－８，４） Ｃ．（２，－２） Ｄ．（２，４） ６．如图１是利用平面直角坐标 系画出的天安门附近的部分建筑 分布图．若这个坐标系分别以正 东、正北方向为 ｘ轴、ｙ轴的正方 向，表示弘义阁的点的坐标为 （－１，－１），表示本仁殿的点的坐 标为（２，－２），则表示乾清门的点的坐标是 （　　） Ａ．（－１，２） Ｂ．（２，－１） Ｃ．（２，０） Ｄ．（０，２） ７．在平面直角坐标系中有点 Ａ（ａ，０）和点 Ｂ（０， ５），若直线ＡＢ与两坐标轴围成的三角形的面积等于 １０，则ａ的值是 （　　） Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．４或 －４ Ｄ．２或 －４ ８．在平面直角坐标系中，对于点 Ｐ（ｘ，ｙ），我们把 点Ｐ′（－ｙ＋１，ｘ＋１）叫做点Ｐ的伴随点．已知点Ａ１的 伴随点为Ａ２，点Ａ２的伴随点为Ａ３，点Ａ３的伴随点为Ａ４， …，这样依次得到点Ａ１，Ａ２，Ａ３，…，Ａｎ．若点Ａ１的坐标为 （２，４），则点Ａ５９９的坐标为 （　　） Ａ．（－３，３） Ｂ．（－２，－２） Ｃ．（３，－１） Ｄ．（２，４） 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如果将一张“１３排１０号”的电影票简记为（１３， １０），那么 （１０，１３）表示的电影票是 排 号． １０．如图 ２，Ｏ为坐标原点， △ＯＡＢ的顶点 Ａ的坐标为（３， 槡３），Ｂ的 坐 标 为 （４，０）， 把 △ＯＡＢ沿 ｘ轴向右平移得到 △ＣＤＥ，点Ｏ，Ａ，Ｂ的对应点分别 为点Ｃ，Ｄ，Ｅ．如果点Ｄ的坐标为（６，槡３），那么ＯＥ的长 为 ． １１．已知点Ｍ（３，－２）与点Ｎ（ａ，ｂ）在同一条平行 于ｘ轴的直线上，且点Ｎ到ｙ轴的距离等于４，则点Ｎ的 坐标是 ． １２．在平面直角坐标系中，当点 Ｍ（ｘ，ｙ）不在坐标 轴上时，定义点Ｍ的影子点为Ｍ′（ｙｘ，－ ｘ ｙ）．已知点Ｐ 的坐标为 （ａ，ｂ），且 ａ，ｂ满足二元一次方程组 ｜ａ＋３｜＋ｃ－４＝０， （ｂ－１）２ ＝４ｃ－{ １６ （ｃ为常数），则点Ｐ的影子点Ｐ′ 的坐标为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图３是某市火车站及周围的平面示意 图，已知超市的坐标是（－２，４），市场的坐标是（１，３）． （１）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （２）分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标； （３）市政准备在（－３，－２）处建汽车站，在（２， －１）处建花坛，请在你所建立的平面直角坐标系中标 出汽车站和花坛的位置． １４．（１０分）已知点Ｐ（２ｍ－６，ｍ＋２）． （１）若点Ｐ在ｙ轴上，则点Ｐ的坐标为 ； （２）若点Ｐ的纵坐标比横坐标大６，则点Ｐ在第几 象限？ １５．（１０分）如图 ４，在平面直角坐标系中， △Ａ′Ｂ′Ｃ′是由△ＡＢＣ经过平移得到的． （１）分别写出点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′的坐标； （２）说明△Ａ′Ｂ′Ｃ′是由△ＡＢＣ经过怎样的平移得 到的？ （３）若点 Ｐ（ａ，ｂ）是 △ＡＢＣ内部一点，则平移后 △Ａ′Ｂ′Ｃ′内的对应点为Ｐ′，请写出点Ｐ′的坐标． １６．（１２分）如图５，已知四边形ＡＢＣＤ各顶点的坐 标分别是Ａ（０，０），Ｂ（３，６），Ｃ（６，８），Ｄ（８，０）． （１）请你借助网格，建立适当的平面直角坐标系， 求出四边形ＡＢＣＤ的面积； （２）试判断ＡＢ，ＣＤ是否垂直，并说明理由． １７．（１２分）如图６，在平面直角坐标系中，同时将 点Ａ（－１，０），Ｂ（３，０）向上平移２个单位长度，再向右 平移１个单位长度，分别得到Ａ，Ｂ的对应点Ｃ，Ｄ，连接 ＡＣ，ＢＤ，ＣＤ． （１）求点Ｃ，Ｄ的坐标和四边形ＡＢＤＣ的面积； （２）在坐标轴上是否存在一点 Ｐ，连接 ＰＡ，ＰＣ，使 Ｓ△ＰＡＣ ＝Ｓ四边形ＡＢＤＣ？若存在，请求出点Ｐ的坐标；若不存 在，请说明理由                                                                                                                                                               ． !"#$ ! !"#$%& !"#!$'( )*%+,-*. !"# $%& '() ! ! * +,- ./- ! & ! 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(& (' () (" ! * 书 １８期２版 专题一　轴对称图形 １．Ｄ；　２．７． ３．图略． ４．答案不惟一，图略． 专题二　等腰三角形 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．６； ４．答案不惟一，如（１，－１），８． ５．（１）等边． （２）△ＢＥＦ是等腰三角形．理由如下： 因为∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，所以 ∠ＢＡＣ－∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＥ－ ∠ＢＡＤ，即∠ＤＡＣ＝∠ＥＡＢ．又因为 ＡＣ＝ＡＢ，ＡＤ＝ＡＥ，所以 △ＤＡＣ≌△ＥＡＢ（ＳＡＳ）．所以∠Ｃ＝∠ＥＢＡ．因为ＥＦ∥ＢＣ，所 以∠ＥＦＢ＝∠ＡＢＣ．因为ＡＢ＝ＡＣ，所以∠ＡＢＣ＝∠Ｃ．所以 ∠ＥＦＢ＝∠ＥＢＡ．所以ＥＢ＝ＥＦ．所以△ＢＥＦ是等腰三角形． 专题三　线段的垂直平分线与角的平分线 １．Ｄ；　２．２． ３．过点Ａ分别作ＡＮ⊥ＢＣ于点Ｎ，ＡＭ⊥ＣＤ交ＣＤ的延长 线于点 Ｍ，图略．所以 ∠ＡＮＢ＝∠ＡＭＤ＝９０°．因为 ∠Ｂ＋ ∠ＡＤＣ＝１８０°，∠ＡＤＣ＋∠ＡＤＭ＝１８０°，所以∠Ｂ＝∠ＡＤＭ． 又因为ＡＢ＝ＡＤ，所以△ＡＢＮ≌△ＡＤＭ（ＡＡＳ）．所以ＡＮ＝ＡＭ． 所以点Ａ在∠ＢＣＤ的平分线上，即ＣＡ平分∠ＢＣＤ． ４．因为∠ＢＡＣ＝９０°，所以∠ＡＢＣ＋∠Ｃ＝９０°．因为ＡＭ⊥ ＢＣ，所以∠ＡＭＢ＝９０°．所以∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＭ＝９０°．所以∠Ｃ ＝∠ＢＡＭ．因为ＡＤ平分∠ＭＡＣ，所以 ∠ＭＡＤ＝∠ＣＡＤ．所以 ∠ＢＡＭ＋∠ＭＡＤ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＤ．因为∠ＡＤＢ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＤ， 所以∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＢ．所以ＡＢ＝ＢＤ．因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，所 以ＢＦ⊥ＡＤ，ＡＦ＝ＦＤ，即线段ＢＦ垂直平分线段ＡＤ． １８期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９１０ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ 二、１１．②；　１２．（２，－３）；　１３．６０；　１４．２８； １５．９０°或１２０°或１５０°． 三、１６．图略． １７．因为ＤＥ垂直平分ＢＣ，所以ＢＥ＝ＣＥ．所以∠ＥＢＣ＝ ∠ＥＣＢ．因为ＢＥ＝ＡＣ，所以ＣＥ＝ＡＣ．因为∠ＡＣＥ＝１２°，所以 ∠Ａ＝∠ＡＥＣ＝ １２（１８０°－∠ＡＣＥ）＝８４°．因为 ∠ＡＥＣ＝ ∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ，所以∠ＥＢＣ＝４２°．因为ＢＦ平分∠ＡＢＣ，所以 ∠ＥＢＦ＝ １２∠ＡＢＣ＝２１°． １８．（１）２． （２）△ＢＣＥ是等边三角形．证明如下： 因为ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝４５°． 因为∠ＤＢＣ＝３０°，所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＣ－∠ＤＢＣ＝１５°．因 为△ＡＢＤ和△ＡＢＥ关于ＡＢ对称，所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＤ＝１５°， ＢＥ＝ＢＤ．所以∠ＥＢＣ＝∠ＡＢＥ＋∠ＡＢＣ＝６０°．因为 ＢＤ＝ ＢＣ，所以ＢＥ＝ＢＣ．所以△ＢＣＥ是等边三角形． １９．（１）因为ＤＥ是ＡＢ的垂直平分线，所以 ＡＤ＝ＢＤ，即 △ＡＢＤ是等腰三角形．因为∠Ｃ＝９０°，所以△ＡＣＤ是直角三角 形．所以ＡＤ是△ＡＢＣ的一条等直分割线段． （２）如图，ＡＤ，ＡＥ是 △ＡＢＣ的 两条等直分割线段．所以ＡＤ＝ＢＤ， ∠ＣＡＤ＝９０°，ＡＥ＝ＣＥ，∠ＢＡＥ＝ ９０°．所以 ∠Ｂ ＝∠ＢＡＤ，∠Ｃ ＝ ∠ＣＡＥ，∠ＢＡＥ－∠ＤＡＥ ＝∠ＣＡＤ －∠ＤＡＥ，即 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＡＥ．所以∠Ｂ＝∠Ｃ．所以△ＡＢＣ是等腰三角形． ２０．（１）因为ＡＤ＝２ＢＤ，Ｓ△ＢＤＣ ＝６，所以Ｓ△ＡＣＤ ＝２Ｓ△ＢＣＤ ＝１２．因为Ｅ为ＣＤ的中点，所以Ｓ△ＡＣＥ ＝ １ ２Ｓ△ＡＣＤ ＝６．因为 ＥＨ⊥ＡＣ，所以 １２ＡＣ·ＥＨ＝６．又因为ＥＨ＝２，所以ＡＣ＝６． 所以ＡＢ＝ＡＣ＝６． （２）延长ＢＥ至点Ｇ，使ＥＧ＝ＢＥ，连接ＣＧ，图略．因为Ｅ是 ＣＤ的中点，所以 ＤＥ＝ＣＥ．在 △ＢＥＤ和 △ＧＥＣ中，因为 ＢＥ＝ＧＥ， ∠ＢＥＤ＝∠ＧＥＣ， ＤＥ＝ＣＥ { ， 所以△ＢＥＤ≌ △ＧＥＣ（ＳＡＳ）．所以 ＢＤ＝ ＧＣ，∠ＤＢＥ＝∠Ｇ．因为∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＥ，所以∠ＢＡＣ＝∠Ｇ． 因为 ∠ＡＢＥ ＝∠ＣＢＦ，所以 ∠ＡＢＥ－∠ＥＢＦ ＝∠ＣＢＦ－ ∠ＥＢＦ，即 ∠ＡＢＦ＝∠ＧＢＣ．因为 ＡＢ＝ＡＣ，所以 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＣＢ．因为∠ＢＡＣ＝∠ＣＢＦ，所以∠ＡＢＦ＋∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＦ ＋∠ＣＢＦ，即∠ＢＦＣ＝∠ＡＢＣ．所以∠ＢＦＣ＝∠ＡＣＢ．所以ＢＦ ＝ＢＣ．在 △ＡＢＦ和 △ＧＢＣ中，因为 ∠ＢＡＦ＝∠Ｇ， ∠ＡＢＦ＝∠ＧＢＣ， ＢＦ＝ＢＣ { ， 所以 △ＡＢＦ≌△ＧＢＣ（ＡＡＳ）．所以ＡＦ＝ＧＣ．所以ＡＦ＝ＢＤ．所以ＢＤ ＋ＣＦ＝ＡＦ＋ＣＦ＝ＡＣ＝ＡＢ． ２１．（１）因为△ＡＢＣ，△ＣＤＥ都是等边三角形，所以 ＡＣ＝ ＢＣ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝６０°．所以∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ＝ ∠ＤＣＥ＋∠ＢＣＤ，即∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ．在△ＡＣＤ和△ＢＣＥ中， 因为 ＡＣ＝ＢＣ， ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ， ＣＤ＝ＣＥ { ， 所以△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）．所以ＡＤ ＝ＢＥ． （２）由（１）知△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ．所以∠ＡＤＣ＝∠ＢＥＣ．因 为△ＣＤＥ是等边三角形，所以 ∠ＣＥＤ＝∠ＣＤＥ＝６０°．所以 ∠ＯＤＥ＋∠ＯＥＤ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＥ＋∠ＢＥＤ＝∠ＢＥＣ＋６０° ＋∠ＢＥＤ ＝∠ＣＥＤ＋６０°＝１２０°．所以 ∠ＤＯＥ＝１８０°－ （∠ＯＤＥ＋∠ＯＥＤ）＝６０°． （３）由（１）知△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ．所以∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＥ．因 为点Ｍ，Ｎ分别是线段ＡＤ，ＢＥ的中点，所以ＡＭ＝ １２ＡＤ，ＢＮ＝ １ ２ＢＥ．所以 ＡＭ ＝ ＢＮ．在 △ＡＣＭ 和 △ＢＣＮ中，因为 ＡＣ＝ＢＣ， ∠ＣＡＭ＝∠ＣＢＮ， ＡＭ＝ＢＮ { ， 所以△ＡＣＭ≌△ＢＣＮ（ＳＡＳ）．所以ＣＭ ＝ ＣＮ，∠ＡＣＭ ＝∠ＢＣＮ．所以 ∠ＭＣＮ ＝∠ＢＣＮ＋∠ＭＣＢ ＝ ∠ＡＣＭ＋∠ＭＣＢ＝∠ＡＣＢ＝６０°．所以△ＭＮＣ是等边三角形． 复习专号参考答案 《平面直角坐标系》专项练习 １．Ｄ；　２．（８，９）；　３．Ａ；　４．４；　５．５；　６．Ｄ； ７．（３，４）；　８．（４，１）． ９．（１）建立的平面直角坐标系如图１所示． （２）保安室的坐标是（－４，－１）． （３）便利店的位置如图１所示． １０．Ａ；　１１．四；　１２．Ａ；　１３．（２，－２）；　１４．Ｂ； １５．（３，－１）． １６．（１）（－３，０），（－５，－３）． （２）作图略．Ｓ四边形ＡＢＣＤ ＝Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＡＤＣ ＝ １ ２ ×３×６＋ １ ２ ×３×６＝１８． １７．Ｃ． 《平面直角坐标系》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．１０，１３；　１０．７；　１１．（４，－２）或（－４，－２）； １２．（－１３，３）． 三、１３．（１）图略． （２）体育场的坐标为（－４，２），火车站的坐标为（－１，１）， 文化宫的坐标为（０，－２）． （３）图略． １４．（１）（０，５）． （２）根据题意，得２ｍ－６＋６＝ｍ＋２．解得ｍ＝２．所以２ｍ －６＝－２，ｍ＋２＝４．所以点Ｐ的坐标为（－２，４）．所以点Ｐ在 第二象限． １５．（１）点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′的坐标分别是（－３，１），（－２，－２）， （－１，－１）． （２）△ＡＢＣ先向左平移４个单位长度，再向下平移２个单 位长度得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′． （３）点Ｐ′的坐标为（ａ－４，ｂ－２）． １６．（１）建立平面直角坐标系不惟一，如图２所示． 连接ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ，分别过点Ｂ，Ｃ作ＢＥ，ＣＦ垂直于ｘ轴， 则四边形ＡＢＣＤ的面积等于左、右两个直角三角形的面积与中 间梯形的面积和．所以四边形ＡＢＣＤ的面积为：１２×３×６＋ １ ２ ×（６＋８）×（６－３）＋１２ ×（８－６）×８＝３８． （２）延长ＡＢ与ＤＣ，如图２，由图可得ＡＢ，ＣＤ不垂直． １７．（１）由题意知，点Ｃ的坐标为（－１＋１，０＋２），即（０， ２），点Ｄ的坐标为（３＋１，０＋２），即（４，２）．Ｓ四边形ＡＢＤＣ ＝２×４＝ ８． （２）当点 Ｐ在 ｘ轴上时，因为 Ｓ△ＰＡＣ ＝Ｓ四边形ＡＢＤＣ，所以 １ ２ＡＰ·ＯＣ＝８．因为ＯＣ＝２，所以ＡＰ＝８．所以点Ｐ的坐标为 （７，０）或 （－９，０）； 当点Ｐ在ｙ轴上时，因为Ｓ△ＰＡＣ ＝Ｓ四边形ＡＢＤＣ，所以 １ ２ＣＰ· ＯＡ＝８．因为ＯＡ＝１，所以ＣＰ＝１６．所以点Ｐ的坐标为（０，１８） 或 （０，－１４）． 综上所述，点Ｐ的坐标为（７，０）或 （－９，０）或（０，１８）或 （０，－１４）． 《一次函数》专项练习 １．Ｃ；　２．ｘ≠ ３２；　３．ｙ＝１．０５ｘ；　４．５２；　５．Ｂ；　６．Ａ； ７．Ｂ；　８．一、三；　９．Ｂ；　１０．Ｄ；　１１．－３；　１２．Ｂ； １３．Ｄ；　１４．Ｃ；　１５．Ｂ；　１６．２４０． １７．（１）６０． （２）休息后按原速继续前行行驶的时间为：（１８０－６０）÷ ６０＝２（小时）．所以点Ｅ的坐标为（３．５，１８０）．设线段ＤＥ所表 示的ｙ与ｘ之间的函数表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ．根据题意，得 １．５ｋ＋ｂ＝６０， ３．５ｋ＋ｂ＝１８０{ ．解得 ｋ＝６０， ｂ＝－３０{ ．所以线段ＤＥ所表示的ｙ与 ｘ之间的函数表达式为ｙ＝６０ｘ－３０（１．５≤ｘ≤３．５）． （３）不能准时到达．理由如下： 接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需的时间为： ２４０÷６０＋０．５＝４．５（小时），１３：００－９：００＝４（小时）． 因为４．５＞４，所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准 时到达． 《一次函数》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ 二、９．－３；　１０．１１２；　１１．ｙ＝－ｘ＋４； １２．（２，４）或（４，２）． 三、１３．（１）设ｙ＝ｋ（２ｘ－１）．把ｘ＝２，ｙ＝６代入，得６＝ ３ｋ．解得ｋ＝２．所以ｙ＝２（２ｘ－１）＝４ｘ－２． （２）把ｙ＝－６代入ｙ＝４ｘ－２，得－６＝４ｘ－２．解得ｘ＝－１． １４．（１）图略．　（２） ｘ＝１， ｙ＝２{ ． （３）由（１）中两函数图象可知，当ｘ＞－１时，ｙ１ ＞０． １５．（１）由图象可知，蓄电池剩余电量为３５千瓦时时汽车 已行驶了１５０千米．所以当０≤ｘ≤１５０时，１千瓦时的电量汽 车能行驶的路程为： １５０ ６０－３５＝６（千米）． （２）设当１５０≤ｘ≤２００时，ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ ＋ｂ．把点（１５０，３５），（２００，１０）代入，得 １５０ｋ＋ｂ＝３５， ２００ｋ＋ｂ＝１０{ ．解得 ｋ＝－０．５， ｂ＝１１０{ ．所以当１５０≤ｘ≤２００时，ｙ关于ｘ的函数表达式为 ｙ＝－０．５ｘ＋１１０．当ｘ＝１８０时，ｙ＝－０．５×１８０＋１１０＝２０．所 以当汽车已行驶１８０千米时，蓄电池的剩余电量为２０千瓦时． １６．（１）设 ｙ＝ｋｘ＋ｂ．把点（０，４），（１，２）代入，                                                                                                                                                                                   得 !"#$ !" ! ! !"# $% &'( ! " # )*+ ! ! # ! " $ % & ! " ! ! ' ( ,)- $ ' & % ) 书 ｂ＝４， ｋ＋ｂ＝２{ ．解得 ｂ＝４， ｋ＝－２{ ．所以这个一次函数的表达式为 ｙ＝－２ｘ＋４． （２）当ｙ＝－２时，－２ｘ＋４＝－２，解得ｘ＝３；当ｙ＝４时， －２ｘ＋４＝４，解得ｘ＝０．所以当 －２≤ｙ＜４时，ｘ的取值范围 是０＜ｘ≤３． （３）根据题意，得｜ｘ｜＝２．当ｘ＝２时，ｙ＝－２×２＋４＝ ０；当ｘ＝－２时，ｙ＝－２×（－２）＋４＝８．所以点Ｐ的坐标为（２， ０）或（－２，８）． １７．（１）设毛笔的单价为ｘ元，宣纸的单价为ｙ元． 根据题意，得 ４０ｘ＋１００ｙ＝２３６， ３０ｘ＋２００ｙ＝２２２{ ．解得 ｘ＝５， ｙ＝０．３６{ ． 答：毛笔的单价为５元，宣纸的单价为０．３６元． （２）①根据题意，得ｙ１ ＝５×５０＋０．３６（ｘ－５０）＝０．３６ｘ ＋２３２． 当５０＜ｘ≤２００时，ｙ２＝５×５０＋０．３６ｘ＝０．３６ｘ＋２５０； 当ｘ＞２００时，ｙ２＝５×５０＋０．３６×２００＋０．３６×０．７５（ｘ －２００）＝０．２７ｘ＋２６８． 所以ｙ２ ＝ ０．３６ｘ＋２５０（５０＜ｘ≤２００）， ０．２７ｘ＋２６８（ｘ＞２００）{ ． ②该校准备购买的宣纸超过２００张时，方案Ｂ的费用为ｙ２ ＝０．２７ｘ＋２６８． 画ｙ１，ｙ２的图象略．根据图象，得当２００＜ｘ＜４００时，选择 方案Ａ更划算；当ｘ＝４００时，选择方案Ａ，Ｂ费用相同；当ｘ＞ ４００时，选择方案Ｂ更划算． 《一次函数》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ 二、９．ｙ＝－２ｘ＋１０；　１０．四；　１１．４３．５；　１２．（３，０）． 三、１５．设直线ｌ的函数表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ．把（２，３）和 （－１，－３）代入，得 ２ｋ＋ｂ＝３， －ｋ＋ｂ＝－３{ ．解得 ｋ＝２， ｂ＝－１{ ．所以直线ｌ 的函数表达式为ｙ＝２ｘ－１． １６．（１）因为一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象由函数ｙ＝ｘ的图 象平移得到，所以ｋ＝１．因为一次函数ｙ＝ｘ＋ｂ的图象过点 （－２，０），所以 －２＋ｂ＝０．解得ｂ＝２．所以这个一次函数的表 达式为ｙ＝ｘ＋２． （２）①增大． ②函数的最小值是０；函数图象关于过点（－２，０）且垂直 于ｘ轴的直线对称． １７．（１）ｔ，ｓ．　（２）１０３，２４０． （３）甲车的平均速度为：８００５ ＝１６０（ｋｍ／ｈ），乙车的平均速 度为：２４０－１６０＝８０（ｋｍ／ｈ）． １８．（１）设羽毛球每个的进价为ｘ元，羽毛球拍每副的进价 为ｙ元． 根据题意，得 ３０ｘ＋４０ｙ＝８３００， ４０ｘ＋３０ｙ＝６４００{ ．解得 ｘ＝１０， ｙ＝２００{ ． 答：羽毛球每个的进价为１０元，羽毛球拍每副的进价为 ２００元． （２）设购进羽毛球拍ｍ副，则购进羽毛球（１０００－ｍ）个， 销售完这１０００件商品获得的利润为Ｗ元． 根据题意，得Ｗ＝（２０－１０）（１０００－ｍ）＋（２４０－２００）ｍ ＝３０ｍ＋１００００． 因为ｋ＝３０＞０，所以Ｗ的值随ｍ的增大而增大． 因为购买羽毛球拍的数量不超过２００副，所以当ｍ＝２００ 时，Ｗ取最大值，最大值为：３０×２００＋１００００＝１６０００． 答：当购进羽毛球８００个、羽毛球拍２００副时，销售利润最 大，最大利润为１６０００元． １９．（１）设直线ｌ１的表达式为ｙ＝ｋ１ｘ．将点 Ｂ（－９，３）代 入，得 －９ｋ１＝３．解得ｋ１＝－ １ ３．所以直线ｌ１的表达式为ｙ＝ －１３ｘ．设直线 ｌ２的表达式为 ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ．将点 Ａ（０，１２）， Ｂ（－９，３）代入，得 ｂ＝１２， －９ｋ２＋ｂ＝３ { ．解得 ｋ２ ＝１， ｂ＝１２{ ．所以直线 ｌ２ 的表达式为ｙ＝ｘ＋１２． （２）①因为点Ｃ在直线ｌ１上，且点 Ｃ的纵坐标为 ｎ，所以 ｎ＝－１３ｘ．解得ｘ＝－３ｎ．所以点Ｃ的坐标为（－３ｎ，ｎ）．因为 ＣＤ∥ｙ轴，所以点Ｄ的横坐标为 －３ｎ．因为点Ｄ在直线ｌ２上， 所以ｙ＝－３ｎ＋１２．所以点Ｄ的坐标为（－３ｎ，－３ｎ＋１２）． ②因为 Ｃ（－３ｎ，ｎ），Ｄ（－３ｎ，－３ｎ＋１２），所以 ＣＦ＝ ｜－３ｎ｜，ＣＤ＝｜－３ｎ＋１２－ｎ｜＝｜－４ｎ＋１２｜． 因为长方形ＣＤＥＦ的周长为３２，所以Ｃ长方形ＣＤＥＦ ＝２（ＣＦ＋ ＣＤ）＝２（｜－３ｎ｜＋｜－４ｎ＋１２｜）＝３２．解得ｎ＝４或ｎ＝－４７． 当ｎ＝４时，－３ｎ＝－１２；当ｎ＝－４７时，－３ｎ＝ １２ ７． 综上所述，点Ｃ的坐标为（－１２，４）或（１２７，－ ４ ７）． 《三角形中的边角关系、命题与证明》专项练习 １．Ｂ；　２．ＡＢ，ＡＤ；　３．Ｂ；　４．Ｄ；　５．１２＜ｙ＜１８；　６．Ｄ； ７．０．５或１．５． ８．（１）△ＡＢＣ，△ＡＢＤ，３． （２）因为∠ＢＡＣ＝９０°，∠Ｂ＝３５°，所以∠Ｃ＝９０°－∠Ｂ ＝５５°．因为ＡＦ⊥ＢＣ，所以∠ＡＦＣ＝９０°．所以∠ＣＡＦ＝９０°－ ∠Ｃ＝３５°． ９．Ａ． １０．因为∠Ｂ比∠Ｃ大２０°，所以 ∠ＢＡＣ＝１８０°－∠Ｂ－ ∠Ｃ＝１８０°－（∠Ｃ＋２０°）－∠Ｃ＝１６０°－２∠Ｃ．因为ＡＦ平 分∠ＢＡＣ，所以∠ＢＡＦ＝ １２∠ＢＡＣ＝８０°－∠Ｃ．由对顶角相 等，得∠ＤＥＦ＝∠ＡＥＢ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＢＡＦ＝１８０°－（∠Ｃ ＋２０°）－（８０°－∠Ｃ）＝８０°．因为ＦＤ⊥ＢＣ，所以∠ＥＤＦ＝ ９０°．所以∠Ｆ＝９０°－∠ＤＥＦ＝１０°． １１．Ｃ；　１２．Ｃ；　１３．１００°；　１４．Ａ；　１５．Ｃ． 《三角形中的边角关系、命题与证明》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｄ 二、９．５；　１０．２０，２０；　１１．１０°； １２．２５°或５０°或６５°或８０°． 三、１３．因为∠ＢＡＣ＝６８°，ＡＥ是△ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＣＡＥ＝ １２∠ＢＡＣ＝３４°．因为∠ＡＣＤ＝１１６°，所以∠ＡＥＣ＝ ∠ＡＣＤ－∠ＣＡＥ＝８２°． １４．因为ＡＤ是ＢＣ边上的中线，所以ＣＤ＝ＢＤ．因为△ＡＤＣ 的周长比△ＡＢＤ的周长多５ｃｍ，所以ＡＣ－ＡＢ＝５ｃｍ．设ＡＣ的 长为ｘｃｍ，则ＡＢ的长为（ｘ－５）ｃｍ．根据题意，得ｘ＋ｘ－５＝１１． 解得ｘ＝８．所以ＡＣ的长为８ｃｍ． １５．解方程组 ２ａ－３ｂ＝５， ｂ－ａ＝－３{ ，得 ａ＝４， ｂ＝１{ ．所以４－１＜ｃ＜４ ＋１，即３＜ｃ＜５．因为这个三角形的周长为整数，所以ｃ＝４． 所以这个三角形的周长为：４＋４＋１＝９． １６．因为 ∠ＢＡＣ＝５６°，ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，所以 ∠ＣＡＤ＝ １ ２∠ＢＡＣ＝２８°．因为 ∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，所以 ∠Ｃ＋∠ＡＢＣ＝ ４∠Ｃ＝１８０°－∠ＢＡＣ＝１２４°．解得∠Ｃ＝３１°．所以∠ＢＤＥ＝ ∠Ｃ＋∠ＣＡＤ＝５９°．因为 ＢＥ是 △ＡＢＤ的高，所以 ∠ＢＥＤ＝ ９０°．所以∠ＤＢＥ＝９０°－∠ＢＤＥ＝３１°． １７．（１）１８０°． （２）因为ＡＯ，ＢＯ，ＣＯ，ＤＯ是四边形ＡＢＣＤ四个内角的平分 线，所以 ∠ＯＡＢ＝∠ＯＡＤ＝ １２∠ＤＡＢ，∠ＯＢＡ＝ １ ２∠ＡＢＣ， ∠ＯＣＤ＝ １２∠ＢＣＤ，∠ＯＤＣ＝∠ＯＤＡ＝ １ ２∠ＡＤＣ．因为四边 形ＡＢＣＤ的内角和是３６０°，所以 ∠ＯＡＢ＋∠ＯＢＡ＋∠ＯＣＤ＋ ∠ＯＤＣ＝ １２（∠ＤＡＢ＋∠ＡＢＣ＋∠ＢＣＤ＋∠ＡＤＣ）＝１８０°． ①根据（１）的结论，得 ∠ＡＯＢ＋∠ＣＯＤ ＝１８０°．所以 ∠ＣＯＤ＝１８０°－∠ＡＯＢ＝７０°． ②ＡＢ∥ＣＤ．理由如下： 因为 ∠ＡＯＢ＋∠ＣＯＤ＝１８０°，所以 ∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＣ＝ ３６０°－（∠ＡＯＢ＋∠ＣＯＤ）＝１８０°．因为∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ，所以 ∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ＝９０°．所以∠ＯＡＤ＋∠ＯＤＡ＝１８０°－∠ＡＯＤ ＝９０°．所以∠ＤＡＢ＋∠ＡＤＣ＝２∠ＯＡＤ＋２∠ＯＤＡ＝１８０°．所 以ＡＢ∥ＣＤ． 《全等三角形》专项练习 １．Ｄ；　２．Ｃ． ３．因为△ＡＢＦ≌△ＢＣＧ，所以ＡＢ＝ＢＣ＝５，ＢＦ＝ＣＧ＝ ３．所以ＣＦ＝ＢＣ－ＢＦ＝２． ４．Ｂ． ５．△ＡＤＥ≌△ＣＡＢ．理由如下： 因为∠ＤＣＥ＝∠ＣＥＤ，所以ＣＤ＝ＤＥ．因为ＡＢ＝ＣＤ，所 以ＡＢ＝ＤＥ．在 △ＡＤＥ和 △ＣＡＢ中，因为 ＡＥ＝ＣＢ， ＤＥ＝ＡＢ， ＡＤ＝ＣＡ { ， 所以 △ＡＤＥ≌△ＣＡＢ（ＳＳＳ）． ６．Ｄ；　７．Ｃ． ８．因为ＤＥ⊥ＡＣ，所以 ∠ＤＥＣ＝９０°＝∠Ｂ．因为 ＣＤ∥ ＡＢ，所以 ∠Ａ ＝ ∠ＤＣＥ．在 △ＣＥＤ和 △ＡＢＣ中，因为 ∠ＤＣＥ＝∠Ａ， ＣＥ＝ＡＢ， ∠ＤＥＣ＝∠Ｂ { ， 所以△ＣＥＤ≌△ＡＢＣ（ＡＳＡ）． ９．Ｂ． １０．因为 ∠３＝∠４，所以１８０°－∠３＝１８０°－∠４，即 ∠ＡＣＢ ＝ ∠ＡＣＤ． 在 △ＡＣＢ 和 △ＡＣＤ 中， 因 为 ∠１＝∠２， ＡＣ＝ＡＣ， ∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ { ， 所以 △ＡＣＢ≌ △ＡＣＤ（ＡＳＡ）．所以 ＡＢ＝ ＡＤ． １１．因为ＡＢ∥ＤＥ，所以∠Ａ＝∠ＥＤＦ．在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ 中，因为 ∠Ａ＝∠ＥＤＦ， ∠Ｂ＝∠Ｅ， ＢＣ＝ＥＦ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ（ＡＡＳ）．所以ＡＣ ＝ＤＦ．所以ＡＣ－ＤＣ＝ＤＦ－ＤＣ，即ＡＤ＝ＣＦ． １２．图略． １３．因为∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＣ，所以∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＣ ＋∠ＣＡＤ，即 ∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ．在 △ＢＡＣ和 △ＥＡＤ中，因为 ＡＢ＝ＡＥ， ∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ， ＡＣ＝ＡＤ { ， 所以△ＢＡＣ≌ △ＥＡＤ（ＳＡＳ）．所以 ∠Ｄ＝ ∠Ｃ＝５０°． １４．他的这种做法合理．理由如下： 在△ＢＤＥ和 △ＣＦＧ中，因为 ＢＥ＝ＣＧ， ＢＤ＝ＣＦ， ＤＥ＝ＦＧ { ， 所以 △ＢＤＥ≌ △ＣＦＧ（ＳＳＳ）．所以∠Ｂ＝∠Ｃ． 《全等三角形》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ 二、９．３０°；　１０．答案不惟一，如ＡＤ＝ＣＥ；　１１．５； １２．８３． 三、１３．图略． １４．因为ＡＦ＝ＣＥ，所以ＡＦ－ＥＦ＝ＣＥ－ＥＦ，即ＡＥ＝ＣＦ． 在 △ＡＢＥ和 △ＣＤＦ中，因为 ＡＢ＝ＣＤ， ＡＥ＝ＣＦ， ＢＥ＝ＤＦ { ， 所以 △ＡＢＥ≌ △ＣＤＦ（ＳＳＳ）．所以∠Ａ＝∠ＤＣＦ．所以ＡＢ∥ＣＤ． １５．过点Ｆ作ＦＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，图略．所以∠ＡＧＦ＝∠ＥＤＣ ＝９０°，ＦＧ＝ＢＥ＝２０米，ＢＧ＝ＥＦ＝１米．因为∠１与∠２互 余，所以∠１＋∠２＝９０°．因为∠１＋∠ＥＣＤ＝９０°，所以∠２＝ ∠ＥＣＤ．在△ＡＦＧ和 △ＥＣＤ中，因为 ∠ＡＧＦ＝∠ＥＤＣ， ＦＧ＝ＣＤ， ∠２＝∠ＥＣＤ { ， 所以 △ＡＦＧ≌△ＥＣＤ（ＡＳＡ）．所以ＡＧ＝ＥＤ＝ＢＤ－ＢＥ＝３８米．所 以ＡＢ＝ＡＧ＋ＢＧ＝３９米． 答：单元楼ＡＢ的高为３９米． １６．（１）因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＡＢＣ＝∠ＥＣＤ．在△ＡＢＣ和 △ＥＣＤ 中， 因 为 ∠ＡＢＣ＝∠ＥＣＤ， ∠Ａ＝∠Ｅ， ＡＣ＝ＥＤ { ， 所 以 △ＡＢＣ ≌ △ＥＣＤ（ＡＡＳ）．所以ＢＣ＝ＣＤ． （２）因为ＢＣ＝ＣＤ，所以∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＢ．所以∠ＡＢＣ＋ ∠ＣＢＤ＝∠ＥＣＤ＋∠ＣＤＢ，即∠ＡＢＤ＝∠ＥＢＤ． １７．（１）△ＢＣＭ≌△ＡＣＮ．理由如下： 因为ＣＡ＝ＣＢ，ＢＮ＝ＡＭ，所以ＣＡ－ＡＭ＝ＣＢ－ＢＮ，即ＣＭ ＝ＣＮ．在△ＢＣＭ和△ＡＣＮ中，因为 ＣＭ＝ＣＮ， ∠Ｃ＝∠Ｃ， ＣＢ＝ＣＡ { ， 所以△ＢＣＭ ≌△ＡＣＮ（ＳＡＳ）． （２）因为△ＢＣＭ≌△ＡＣＮ，所以 ∠ＣＢＭ ＝∠ＣＡＮ．因为 ＡＥ＝ＤＥ，所以∠ＥＡＤ＝∠ＥＤＡ．因为ＡＧ∥ＢＣ，所以∠                                                                                                                                                                                   ＧＡＣ＝ !"#$ !" 书 ∠ＡＣＢ＝α，∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ．所以 ∠ＡＤＢ＝∠ＣＡＮ．所以 ∠ＢＤＥ＝∠ＡＤＢ＋∠ＥＤＡ＝∠ＣＡＮ＋∠ＥＡＤ＝１８０°－∠ＧＡＣ ＝１８０°－α． 《全等三角形》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ Ａ 二、９．５ｃｍ；　１０．７或７．５；　１１．７０；　１２．５． 三、１３．因为△ＡＤＦ≌△ＢＣＥ，∠Ｆ＝２８°，ＢＣ＝５ｃｍ，所以 ∠Ｅ＝∠Ｆ＝２８°，ＡＤ＝ＢＣ＝５ｃｍ．因为 ∠Ｂ＝３２°，ＣＤ＝ １ｃｍ，所以∠ＡＣＥ＝∠Ｂ＋∠Ｅ＝６０°，ＡＣ＝ＡＤ＋ＣＤ＝６ｃｍ． １４．（１）在 △ＡＢＣ和 △ＢＡＤ中，因为 ＡＣ＝ＢＤ， ＢＣ＝ＡＤ， ＡＢ＝ＢＡ { ， 所以 △ＡＢＣ≌△ＢＡＤ（ＳＳＳ）． （２）由（１）知△ＡＢＣ≌△ＢＡＤ．所以∠ＣＢＡ＝∠ＤＡＢ．所 以ＯＡ＝ＯＢ．因为ＯＥ⊥ＡＢ，所以ＡＥ＝ＢＥ． １５．因为∠１＝∠２，所以∠１＋∠ＤＡＣ＝∠２＋∠ＤＡＣ，即 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ．因为ＤＡ平分∠ＢＤＥ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＥ． 因为 ＡＢ＝ＡＤ，所以 ∠Ｂ＝∠ＡＤＢ．所以 ∠Ｂ＝∠ＡＤＥ．在 △ＡＢＣ和 △ＡＤＥ中，因为 ∠Ｂ＝∠ＡＤＥ， ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ { ， 所以 △ＡＢＣ≌ △ＡＤＥ（ＡＳＡ）． １６．因为 ＦＣ⊥ ＡＢ，ＥＤ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＥＤＡ＝∠ＥＤＧ＝ ∠ＦＣＢ＝∠ＦＣＧ＝９０°．在 Ｒｔ△ＡＤＥ和 Ｒｔ△ＢＣＦ中，因为 ＡＥ＝ＢＦ， ＡＤ＝ＢＣ{ ，所以Ｒｔ△ＡＤＥ≌ Ｒｔ△ＢＣＦ（ＨＬ）．所以 ＤＥ＝ＣＦ． 由对顶角相等，得∠ＥＧＤ＝∠ＦＧＣ．在△ＥＤＧ和△ＦＣＧ中，因 为 ∠ＥＧＤ＝∠ＦＧＣ， ∠ＥＤＧ＝∠ＦＣＧ， ＤＥ＝ＣＦ { ， 所以 △ＥＤＧ≌ △ＦＣＧ（ＡＡＳ）．所以 ＤＧ ＝ＣＧ． １７．延长ＡＤ至点Ｇ，使ＡＤ＝ＤＧ，连接ＢＧ，在ＤＧ上截取ＤＨ ＝ＢＤ，连接ＢＨ，图略．由对顶角相等，得 ∠ＡＤＣ＝∠ＧＤＢ．在 △ＡＤＣ和 △ＧＤＢ中，因为 ＣＤ＝ＢＤ， ∠ＡＤＣ＝∠ＧＤＢ， ＡＤ＝ＧＤ { ， 所以 △ＡＤＣ≌ △ＧＤＢ（ＳＡＳ）．所以ＡＣ＝ＧＢ，∠ＣＡＤ＝∠Ｇ．因为ＦＡ＝ＦＥ，所 以∠ＣＡＤ＝∠ＡＥＦ．所以∠Ｇ＝∠ＡＥＦ＝∠ＢＥＨ．所以ＧＢ＝ ＢＥ＝ＡＣ．因为ＡＥ＝ＢＤ＝ＤＨ，所以ＡＥ＋ＥＤ＝ＤＨ＋ＥＤ，即 ＡＤ＝ＥＨ．在△ＤＡＣ和 △ＨＥＢ中，因为 ＡＤ＝ＥＨ， ∠ＣＡＤ＝∠ＢＥＨ， ＡＣ＝ＥＢ { ， 所 以△ＤＡＣ≌△ＨＥＢ（ＳＡＳ）．所以ＣＤ＝ＢＨ．所以 ＢＤ＝ＢＨ＝ ＤＨ．所以△ＢＤＨ为等边三角形．所以∠ＡＤＣ＝６０°． 《轴对称图形与等腰三角形》专项练习 １．Ａ；　２．Ｄ． ３．图略． ４．Ｄ；　５．５２°；　６．２０°． ７．（１）２ａ２． （２）整个造型的造价为：２２０×（２×２２－１２π×２ ２）＋１８０ ×２×２２ ＝１８８０（元）． ８．Ｄ；　９．Ｂ． １０．（１）－４，－１，－３，－３，－１，－２． （２）图略，４． １１．图略． １２．Ｂ；　１３．４０°． １４．因为∠ＥＢＣ＝∠Ａ＋∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＥ，所以ＣＥ＝ＢＥ． 所以点Ｅ在ＢＣ的垂直平分线上． １５．Ａ；　１６．３；　１７．４０°或１００°． １８．（１）因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ，所以∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ．因为 ＤＥ∥ＡＣ，所以∠ＡＤＥ＝∠ＣＡＤ．所以∠ＡＤＥ＝∠ＥＡＤ．因为 ＡＤ⊥ＢＤ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＥ＋∠ＢＤＥ＝９０°．所以∠ＥＡＤ＋ ∠ＡＢＤ＝９０°．所以∠ＢＤＥ＝∠ＡＢＤ．所以ＤＥ＝ＢＥ，即△ＢＤＥ是 等腰三角形． （２）因为ＣＤ∥ ＡＢ，所以 ∠ＣＤＡ＝∠ＥＡＤ＝∠ＥＤＡ．在 △ＡＣＤ和 △ＡＥＤ中，因为 ∠ＣＤＡ＝∠ＥＤＡ， ＡＤ＝ＡＤ， ∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ { ， 所以 △ＡＣＤ≌ △ＡＥＤ（ＡＳＡ）．所以ＣＤ＝ＥＤ．所以ＣＤ＝ＢＥ． １９．５；　２０．１２６°． ２１．因为 △ＡＢＣ为等边三角形，所以 ＡＣ＝ＢＣ，∠Ｂ＝ ∠ＡＣＢ＝６０°．因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°＝ ∠Ｂ．在△ＤＡＣ和△ＥＢＣ中，因为 ＡＤ＝ＢＥ， ∠ＤＡＣ＝∠Ｂ， ＡＣ＝ＢＣ { ， 所以△ＤＡＣ ≌△ＥＢＣ（ＳＡＳ）．所以ＤＣ＝ＥＣ，∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ．所以∠ＥＣＤ ＝∠ＡＣＤ＋∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＥ＋∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＢ＝６０°．所以 △ＤＥＣ为等边三角形． ２２．延长 ＡＤ，ＢＣ交于点 Ｅ，图略．因为 ∠Ａ＝３０°，∠Ｂ＝ ９０°，所以∠Ｅ＝９０°－∠Ａ＝６０°，ＡＥ＝２ＢＥ．因为 ∠ＡＤＣ＝ １２０°，所以∠ＥＤＣ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝６０°．所以△ＥＤＣ是等边 三角形．所以ＣＤ＝ＣＥ＝ＤＥ．因为ＡＤ＝４，ＢＣ＝１，所以２（１ ＋ＣＤ）＝ＣＤ＋４．解得ＣＤ＝２． ２３．Ａ；　２４．Ｂ． ２５．因为∠１＝∠２，所以ＤＢ＝ＤＣ．因为ＤＢ⊥ＡＢ，ＤＣ⊥ ＡＣ，所以ＡＤ平分∠ＢＡＣ． 《轴对称图形与等腰三角形》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ａ 二、９．２；　１０．５；　１１．５５°；　１２．６． 三、１３．图略． １４．因为 ＣＤ是 △ＡＢＣ的高，所以 ∠ＣＤＢ＝９０°．因为 ∠ＡＣＤ＝５０°，∠ＢＣＤ＝２０°，所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＤ＝ ７０°，∠Ｂ＝９０°－∠ＢＣＤ＝７０°．所以△ＡＢＣ是等腰三角形．所 以△ＡＢＣ是轴对称图形． １５．（１）图略．（２）图略． （３）点Ｄ的坐标是（０，３）或（０，－１）或（２，－１）． １６．（１）ＤＥ∥ＡＣ．证明如下： 因为ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，所以∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ．因为 ＥＦ垂直平分ＡＤ，所以ＥＡ＝ＥＤ．所以∠ＥＡＤ＝∠ＥＤＡ．所以 ∠ＣＡＤ＝∠ＥＤＡ．所以ＤＥ∥ＡＣ． （２）因为ＥＦ垂直平分ＡＤ，所以ＦＡ＝ＦＤ．所以∠ＦＡＤ＝ ∠ＦＤＡ．所以∠ＦＡＤ－∠ＥＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＥＤＡ，即∠ＥＡＦ＝ ∠ＥＤＦ．因为ＤＥ∥ＡＣ，所以∠Ｃ＝∠ＥＤＦ．所以∠Ｃ＝∠ＥＡＦ． １７．（１）２２．５． （２）因为 ＯＰ和 ＯＰ１关于 ＯＢ对称，所以 ∠ＰＯＰ１ ＝ ２∠ＢＯＰ．因为 ＯＰ和 ＯＰ２关于 ＯＡ对称，所以 ∠ＰＯＰ２ ＝ ２∠ＡＯＰ．所以 ∠Ｐ１ＯＰ２ ＝∠ＰＯＰ１ ＋∠ＰＯＰ２ ＝２∠ＢＯＰ＋ ２∠ＡＯＰ＝２∠ＡＯＢ＝９０°． （３）因为 ＯＰ和 ＯＰ１关于 ＯＢ对称，所以 ∠ＰＯＰ１ ＝ ２∠ＢＯＰ．因为 ＯＰ和 ＯＰ２关于 ＯＡ对称，所以 ∠ＰＯＰ２ ＝ ２∠ＡＯＰ．所以 ∠Ｐ１ＯＰ２ ＝∠ＰＯＰ１ －∠ＰＯＰ２ ＝２∠ＢＯＰ－ ２∠ＡＯＰ＝２∠ＡＯＢ＝９０°． （４）∠ＡＯＰ＝３０°或５４°． 《轴对称图形与等腰三角形》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ 二、９．①②；　１０．１５；　１１．１５０°；　１２．６． 三、１３．因为∠ＡＣＤ＝１２０°，∠Ａ＝６０°，所以∠Ｂ＝∠ＡＣＤ －∠Ａ＝６０°，∠ＡＣＢ＝１８０°－∠ＡＣＤ＝６０°．所以△ＡＢＣ是等 边三角形． １４．（１）Ｅ，∠Ｄ．　（２）３． （３）因为 ∠ＢＡＣ＝１０８°，∠ＢＡＥ＝３０°，所以 ∠ＣＡＥ＝ ∠ＢＡＣ－∠ＢＡＥ＝７８°．根据轴对称的性质，得 ∠ＥＡＦ ＝ ∠ＣＡＦ．所以∠ＥＡＦ＝ １２∠ＣＡＥ＝３９°． １５．（１）因为∠Ａ＝∠ＡＤＥ，所以ＤＥ＝ＡＥ．因为ＢＥ是ＡＣ 边上的中线，所以ＡＥ＝ＣＥ．因为ＢＤ＝ＣＥ，所以ＢＤ＝ＤＥ．所 以点Ｄ在ＢＥ的垂直平分线上． （２）因为ＢＤ＝ＤＥ，所以 ∠ＡＢＥ＝∠ＤＥＢ．所以 ∠Ａ＝ ∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＥ＋∠ＤＥＢ＝２∠ＡＢＥ．所以 ∠ＢＥＣ＝∠Ａ＋ ∠ＡＢＥ＝３∠ＡＢＥ． １６．（１）７５°． （２）在ＥＢ上截取ＥＮ＝ＣＥ，连接ＣＮ，图略．所以∠ＥＣＮ＝ ∠ＥＮＣ．因为 ＣＦ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＡＥＣ＝９０°．所以 ∠ＥＮＣ＝ １ ２∠ＡＥＣ＝４５°＝∠Ｆ，∠ＮＡＣ＋∠ＡＣＥ＝９０°．因为∠ＡＣＢ＝ ∠ＡＣＥ＋∠ＦＣＤ＝９０°，所以 ∠ＮＡＣ＝∠ＦＣＤ．在 △ＡＣＮ和 △ＣＤＦ 中， 因 为 ∠ＡＮＣ＝∠Ｆ， ∠ＮＡＣ＝∠ＦＣＤ， ＡＣ＝ＣＤ { ， 所 以 △ＡＣＮ ≌ △ＣＤＦ（ＡＡＳ）．所以ＡＮ＝ＣＦ．所以ＡＮ－ＥＮ＝ＣＦ－ＣＥ，即ＡＥ ＝ＦＥ． １７．（１）过点Ｐ作ＰＦ∥ＡＣ交ＢＣ于点Ｆ，图略．所以∠ＰＦＢ ＝∠ＡＣＢ，∠ＰＦＤ＝∠ＱＣＤ，∠ＤＰＦ＝∠Ｑ．因为点Ｐ和点Ｑ同 时出发，且速度相同，所以ＢＰ＝ＣＱ．因为ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝ ∠ＡＣＢ．所以∠Ｂ＝∠ＰＦＢ．所以ＢＰ＝ＰＦ．所以ＰＦ＝ＣＱ．在 △ＰＦＤ和 △ＱＣＤ中，因为 ∠ＰＦＤ＝∠ＱＣＤ， ＰＦ＝ＱＣ， ∠ＤＰＦ＝∠Ｑ { ， 所以 △ＰＦＤ≌ △ＱＣＤ（ＡＳＡ）．所以ＤＰ＝ＤＱ＝ １２ＰＱ＝５． （２）线段ＤＥ的长保持不变．理由如下： 当点Ｐ在线段ＡＢ上时，由（１），得△ＰＦＤ≌△ＱＣＤ，ＰＢ＝ ＰＦ．所以ＦＤ＝ＣＤ．因为ＰＥ⊥ＢＣ，所以ＥＦ＝ １２ＢＦ．所以ＤＥ＝ ＥＦ＋ＦＤ＝ １２ＢＦ＋ １ ２ＣＦ＝ １ ２ＢＣ＝３． 当点Ｐ在ＢＡ的延长线上时，过点Ｐ作ＰＧ∥ＡＣ交ＢＣ的延 长线于点 Ｇ，图略．所以 ∠Ｇ＝∠ＱＣＤ＝∠ＡＣＢ，∠ＤＰＧ＝ ∠Ｑ．因为ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ．所以∠Ｂ＝∠Ｇ．所以 ＧＰ＝ＢＰ．因为ＰＥ⊥ＢＣ，所以ＥＧ＝ １２ＢＧ．因为ＢＰ＝ＣＱ，所 以ＧＰ＝ＣＱ．在△ＰＧＤ和△ＱＣＤ中，因为 ∠ＤＰＧ＝∠Ｑ， ＧＰ＝ＣＱ， ∠Ｇ＝∠ＱＣＤ { ， 所 以△ＰＧＤ≌△ＱＣＤ（ＡＳＡ）．所以ＤＧ＝ＤＣ．所以ＤＥ＝ＥＧ－ＤＧ ＝ １２ＢＧ－ １ ２ＣＧ＝ １ ２ＢＣ＝３． 综上所述，线段ＤＥ的长保持不变． 八年级第一学期期末综合质量检测卷（一） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９１０ 答案 Ａ Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ 二、１１．５０°；　１２．３；　１３．１２；　１４．３．５； １５．１或 ７２或１２． 三、１６．（１）逆命题：两直线平行，同旁内角互补，这个命题 是真命题． （２）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角，这 个命题是假命题． １７．（１）把Ａ（ｍ，３）代入ｙ１＝２ｘ，得２ｍ＝３．解得ｍ＝ ３ ２． 所以点Ａ的坐标为（３２，３）．把Ａ（ ３ ２，３）代入ｙ２＝ｋｘ＋４，得３ ＝ ３２ｋ＋４．解得ｋ＝－ ２ ３． （２）由图象可得，当ｙ２≥ｙ１时，ｘ的取值范围是ｘ≤ ３ ２． １８．ＡＦ⊥ＤＥ．理由如下： 因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＧ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，所以∠ＢＡＧ ＝∠ＣＡＧ．由对顶角相等，得 ∠ＤＡＦ ＝∠ＢＡＧ，∠ＥＡＦ ＝ ∠ＣＡＧ．所以∠ＤＡＦ＝∠ＥＡＦ．又因为ＡＤ＝ＡＥ，所以ＡＦ⊥ＤＥ． １９．图略． ２０．（１）因为 ＡＥ∥ ＢＣ，所以 ∠ＤＡＥ＝∠Ｂ，∠ＥＡＣ＝ ∠ＡＣＢ．因为Ｅ为△ＡＢＣ的外角平分线上的一点，所以∠ＤＡＥ ＝∠ＥＡＣ．所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ．所以ＡＢ＝ＡＣ，即△ＡＢＣ是等腰 三角形． （２）在 △ＡＢＦ和 △ＣＡＥ中，因为 ＡＢ＝ＣＡ， ∠Ｂ＝∠ＥＡＣ， ＢＦ＝ＡＥ { ， 所以 △ＡＢＦ≌△ＣＡＥ（ＳＡＳ）．所以ＡＦ＝ＣＥ． ２１．（１）令ｙ＝０，则－２ｘ＋４＝０．解得ｘ＝２．所以Ａ（２，０）． 令ｘ＝０，则ｙ＝４．所以Ｂ（０，４）． （２）因为Ａ（２，０），Ｂ（０，４），Ｃ（０，－１），所以ＯＡ＝２，ＢＣ＝ ５．设点Ｐ的坐标为（ａ，－２ａ＋４）．因为△ＰＢＣ与△ＰＯＡ的面积 相等，所以 １ ２ ×５｜ａ｜＝ １ ２ ×２×｜－２ａ＋４｜．当ａ≥０，－２ａ ＋４≥０时，解得ａ＝ ８９，所以Ｐ（ ８ ９， ２０ ９）；当ａ≥０，－２ａ＋４ ＜０时，解得ａ＝－８（舍去）；当ａ＜０，－２ａ＋４≥０时，解得 ａ＝－８，所以Ｐ（－８，２０）． 综上所述，当△ＰＢＣ与△ＰＯＡ的面积相等时，点Ｐ                                                                                                                                                                                   的坐标 !"#$ !" 书 为（ ８ ９， ２０ ９）或（－８，２０）． 八年级第一学期期末综合质量检测卷（二） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９１０ 答案 Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ｃ 二、１１．（－３，２）；　１２． ｘ＝２， ｙ＝－１{ ；　１３．６５°； １４．（４，－２），（４，２ａ－４）；　１５．４或３６． 三、１６．（１）Ａ（－１，－１），Ｂ（４，２），Ｃ（１，３）． （２）△ＡＢＣ的面积为：５×４－１２×２×４－ １ ２×１×３－ １ ２ ×３×５＝７． １７．因为 ＣＥ平分 ∠ＡＣＢ，∠ＡＣＢ＝８０°，所以 ∠ＡＣＥ＝ １ ２∠ＡＣＢ＝４０°，∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°－∠ＡＣＢ＝１００°．因为∠Ａ 比∠Ｂ大２０°，所以∠Ａ－∠Ｂ＝２０°．所以∠Ａ＝６０°．因为ＣＤ 是ＡＢ边上的高，所以∠ＣＤＡ＝９０°．所以∠ＡＣＤ＝９０°－∠Ａ ＝３０°．所以∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＥ－∠ＡＣＤ＝１０°． １８．（１）设Ａ商品每件的进价为ｘ元，Ｂ商品每件的进价为 ｙ元． 根据题意，得 ３ｘ＝５ｙ， ３ｘ＋ｙ＝３６０{ ．解得 ｘ＝１００， ｙ＝６０{ ． 答：Ａ商品每件的进价为 １００元，Ｂ商品每件的进价为 ６０元． （２）因为Ａ商品有ｍ件，所以Ｂ商品有（８０－ｍ）件．所以 ｗ＝（１５０－１００）ｍ＋（８０－６０）（８０－ｍ）＝３０ｍ＋１６００． １９．（１）因为ＡＥ⊥ＢＣ，所以∠ＡＥＢ＝９０°．因为∠ＡＤＣ＝ ６０°，所以∠ＤＡＥ＝９０°－∠ＡＤＣ＝３０°．因为∠ＣＡＥ＝１５°，所 以∠ＣＡＦ＝∠ＤＡＥ＋∠ＣＡＥ＝４５°．因为ＣＦ⊥ＡＤ，所以∠ＡＦＣ ＝９０°．所以∠ＡＣＦ＝９０°－∠ＣＡＦ＝４５°． （２）由（１）知∠ＡＣＦ＝∠ＣＡＦ＝４５°．所以ＡＦ＝ＣＦ．因为 ＣＦ⊥ＡＤ，所以∠ＣＦＤ＝９０°．所以∠ＦＣＤ＝９０°－∠ＡＤＣ＝ ３０° ＝ ∠ＦＡＧ． 在 △ＡＦＧ 和 △ＣＦＤ 中， 因 为 ∠ＦＡＧ＝∠ＦＣＤ， ＡＦ＝ＣＦ， ∠ＡＦＧ＝∠ＣＦＤ { ， 所以 △ＡＦＧ≌ △ＣＦＤ（ＡＳＡ）．所以 ＤＦ＝ ＧＦ＝ １２ＡＧ． ２０．（１）设ｙ１＝ｋ１ｘ＋ｂ１．把（０，１２００）和（６０，０）代入ｙ１＝ ｋ１ｘ＋ｂ１，得 ｂ１ ＝１２００， ６０ｋ１＋ｂ１ ＝０ { ．解得 ｋ１ ＝－２０， ｂ１ ＝１２００ { ． 所以ｙ１ ＝－２０ｘ＋１２００． 当ｘ＝２０时，ｙ１ ＝－２０×２０＋１２００＝８００． （２）设ｙ２ ＝ｋ２ｘ＋ｂ２．把（２０，０）和（６０，１０００）代入ｙ２ ＝ ｋ２ｘ＋ｂ２，得 ２０ｋ２＋ｂ２ ＝０， ６０ｋ２＋ｂ２ ＝１０００ { ．解得 ｋ２ ＝２５， ｂ２ ＝－５００ { ． 所以ｙ２ ＝２５ｘ－５００（ｘ≥２０）． 当０≤ｘ≤２０时，ｙ＝－２０ｘ＋１２００． 当２０＜ｘ≤６０时，ｙ＝ｙ１＋ｙ２＝－２０ｘ＋１２００＋２５ｘ－５００， 即ｙ＝５ｘ＋７００． 当ｙ＝９００时，５ｘ＋７００＝９００，解得ｘ＝４０；－２０ｘ＋１２００ ＝９００，解得ｘ＝１５． 所以发生严重干旱时ｘ的范围为１５≤ｘ≤４０． ２１．（１）因为 ∠Ａ＝８０°，所以∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°－ ∠Ａ＝１００°．因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，ＣＤ平分∠ＡＣＢ，所以∠ＤＢＣ ＝ １２∠ＡＢＣ，∠ＤＣＢ＝ １ ２∠ＡＣＢ．所以 ∠ＥＤＣ＝∠ＤＢＣ＋ ∠ＤＣＢ＝ １２（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝５０°． （２）在ＣＢ上截取ＣＭ＝ＣＥ，连接ＤＭ，图略．因为ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，ＣＤ平分 ∠ＡＣＢ，所以 ∠ＡＢＤ ＝∠ＭＢＤ，∠ＥＣＤ ＝ ∠ＭＣＤ．在△ＣＤＥ和△ＣＤＭ中，因为 ＣＥ＝ＣＭ， ∠ＥＣＤ＝∠ＭＣＤ， ＣＤ＝ＣＤ { ， 所以 △ＣＤＥ≌△ＣＤＭ（ＳＡＳ）．所以ＤＥ＝ＤＭ，∠ＣＥＤ＝∠ＣＭＤ．所 以∠ＣＥＤ－∠ＡＢＤ＝∠ＣＭＤ－∠ＭＢＤ，即∠Ａ＝∠ＢＤＭ．因为 ∠Ａ＝２∠ＢＤＦ，所以∠ＢＤＭ＝２∠ＢＤＦ＝∠ＭＤＦ＋∠ＢＤＦ．所 以∠ＭＤＦ＝∠ＢＤＦ．因为ＧＤ＝ＤＥ，所以ＧＤ＝ＤＭ．在△ＤＧＦ 和 △ＤＭＦ中，因 为 ＤＧ＝ＤＭ， ∠ＧＤＦ＝∠ＭＤＦ， ＤＦ＝ＤＦ { ， 所 以 △ＤＧＦ≌ △ＤＭＦ（ＳＡＳ）．所以ＦＧ＝ＦＭ．所以ＣＦ＝ＦＭ＋ＣＭ＝ＦＧ＋ＣＥ． 八年级第一学期期末综合质量检测卷（三） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９１０ 答案 Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｃ 二、１１．如果一个数是分数，那么这个数一定是实数，一个 数是分数，这个数一定是实数；　１２．ｙ＝１５ｘ＋３０；　１３．８； １４．２或４；　１５．（４３６，１）． 三、１６．图略． １７．（１）由题意，设ｙ－３＝ｋ（４ｘ－２）． ① 把ｘ＝１，ｙ＝５代入①，得５－３＝ｋ（４×１－２）． 解得ｋ＝１． 所以ｙ－３＝４ｘ－２，即ｙ＝４ｘ＋１． （２）当ｘ＝－２时，ｙ＝４×（－２）＋１＝－７． １８．（１）因为ＡＢ平行于ｘ轴，所以点Ａ和点Ｂ的纵坐标相 等，即 －２ａ－３＝５．解得ａ＝－４．所以４－ａ＝８．所以点Ａ的 坐标为（８，５）． （２）由题意，得 ｍ＋ｎ＋４＝３， ｎ－２ｍ－６＝－２{ ．解得 ｍ＝－５３， ｎ＝ ２３ { ． １９．（１）因为ＡＥ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＣＥ，所以ＡＤ是ＣＥ的垂直平 分线．所以ＤＥ＝ＣＤ．所以∠ＤＥＣ＝∠ＤＣＥ． （２）①因为 ＡＣ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＣＥ，ＡＥ＝ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝ ∠ＢＣＥ＝∠ＢＡＣ，∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥ．所以∠ＡＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＣＥ ＝２∠Ｂ．在△ＡＥＣ中，∠ＡＣＥ＋∠ＡＥＣ＋∠ＢＡＣ＝２∠Ｂ＋２∠Ｂ ＋∠Ｂ＝１８０°．解得∠Ｂ＝３６°． ②ＡＢ－ＡＣ＝ＢＣ－ＤＥ．理由如下： 由（１），得∠ＤＣＥ＝∠ＤＥＣ＝∠Ｂ＝３６°．所以∠ＢＤＥ＝ ∠ＤＣＥ＋∠ＤＥＣ＝７２°．所以∠ＢＥＤ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＢＤＥ＝ ７２°＝∠ＢＤＥ．所以ＢＥ＝ＢＤ．所以ＡＢ－ＡＣ＝ＢＣ－ＤＥ． ２０．（１）把Ａ（－１，０）代入ｙ＝ｋｘ＋２，得 －ｋ＋２＝０．解得 ｋ＝２． （２）由（１），得直线ｌ１的函数表达式为ｙ＝２ｘ＋２．因为直 线ｌ２平行于直线ｙ＝－２ｘ，设直线ｌ２的函数表达式为ｙ＝－２ｘ ＋ｂ．因为直线ｌ２经过点（２，２），所以 －２×２＋ｂ＝２．解得ｂ＝ ６．所以直线ｌ２的函数表达式为ｙ＝－２ｘ＋６．当ｘ＝０时，ｙ＝６． 所以Ｄ（０，６），ＯＤ＝６．所以ＢＤ＝ＯＤ－ＯＢ＝４．当ｙ＝０时， －２ｘ＋６＝０．解得 ｘ＝３．所以 Ｃ（３，０）．解 ｙ＝２ｘ＋２， ｙ＝－２ｘ＋６{ ，得 ｘ＝１， ｙ＝４{ ．所以Ｎ（１，４）．所以Ｓ四边形ＯＣＮＢ ＝Ｓ△ＯＣＤ－Ｓ△ＤＢＮ ＝ １２ ×３×６－１２ ×４×１＝７． （３）根据题意，得ＰＭ＝－２ｍ＋６．当ＰＭ＝３时，－２ｍ＋６ ＝３．解得ｍ＝ ３２．由图象，得ＰＭ≤３，ｍ的取值范围是 ３ ２≤ ｍ＜３． ２１．（１）因为∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ，所以ＡＢ＝ＢＣ＝１０．因为 ＢＦ＝８，所以ＣＦ＝ＢＣ－ＢＦ＝２． （２）延长ＣＤ至点Ｍ，使ＤＭ＝ＤＣ，连接ＦＭ，图略．因为点 Ｄ为ＡＦ的中点，所以ＡＤ＝ＦＤ．在 △ＡＣＤ和 △ＦＭＤ中，因为 ＤＣ＝ＤＭ， ∠ＡＤＣ＝∠ＦＤＭ， ＡＤ＝ＦＤ { ， 所以△ＡＣＤ≌△ＦＭＤ（ＳＡＳ）．所以∠ＡＣＤ ＝∠Ｍ，ＡＣ＝ＦＭ．因为∠ＡＣＥ＝∠Ｂ，所以∠ＡＣＥ＋∠ＢＣＥ＝ ∠Ｂ＋∠ＢＣＥ，即 ∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＣ，∠ＣＦＭ ＝１８０°－∠Ｍ－ ∠ＭＣＦ＝１８０°－∠ＡＣＤ－∠ＭＣＦ＝１８０°－∠ＡＣＥ－∠ＢＣＥ＝ １８０°－∠Ｂ－∠ＢＣＥ＝∠ＢＥＣ．因为 ∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＣ，所以 ∠ＡＥＣ＝∠ＢＡＣ．所以ＡＣ＝ＣＥ．所以ＦＭ＝ＣＥ．因为ＡＢ＝ＢＣ， ＡＥ＝ＢＦ，所以ＡＢ－ＡＥ＝ＢＣ－ＢＦ，即ＢＥ＝ＣＦ．在△ＣＭＦ和 △ＢＣＥ 中， 因 为 ＭＦ＝ＣＥ， ∠ＣＦＭ＝∠ＢＥＣ， ＣＦ＝ＢＥ { ， 所 以 △ＣＭＦ ≌ △ＢＣＥ（ＳＡＳ）．所以∠Ｍ＝∠ＢＣＥ．所以∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ． 八年级第一学期期末综合质量检测卷（四） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９１０ 答案 Ｂ Ｄ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ 二、１１．四条边都相等的四边形是正方形；　１２．２； １３．ｙ＝ ３２ｘ＋６；　１４．１；　１５．８０°或１００°． 三、１６．因为ａ为方程｜ａ－３｜＝２的解， 所以ａ＝５或１． 因为（ｂ－５）２＋｜ｃ－７｜＝０， 所以ｂ－５＝０，ｃ－７＝０．解得ｂ＝５，ｃ＝７． 因为１＋５＜７，所以ａ＝５． 所以△ＡＢＣ的周长为：５＋５＋７＝１７． １７．因为ＣＥ⊥ＡＢ，ＢＤ⊥ＡＣ，所以∠ＢＥＦ＝∠ＣＤＦ＝９０°． 在Ｒｔ△ＣＤＦ和Ｒｔ△ＢＥＦ中，因为 ＣＦ＝ＢＦ， ＣＤ＝ＢＥ{ ，所以Ｒｔ△ＣＤＦ≌ Ｒｔ△ＢＥＦ（ＨＬ）．所以ＤＦ＝ＥＦ．所以ＡＦ为∠ＢＡＣ的平分线． １８．（１）（－１，３），（１，１）． （２）图略，Ａ１（－２，－１），Ｂ１（－１，－３），Ｃ１（１，－１）． （３）图略，Ａ２（２，１），Ｂ２（１，３），Ｃ２（－１，１）． １９．（１）如图３，ＤＮ即为∠ＡＤＣ的平分线． （２）△ＡＤＦ是等腰直角三角形．理由如下： 因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ， 所以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝ １２∠ＢＡＣ，∠ＡＤＣ＝９０°． 因为ＤＦ平分∠ＡＤＣ， 所以∠ＡＤＦ＝ １２∠ＡＤＣ＝４５°． 因为ＡＦ平分∠ＥＡＣ，所以∠ＥＡＦ＝∠ＦＡＣ． 所以∠ＦＡＤ＝∠ＦＡＣ＋∠ＣＡＤ＝１２（∠ＥＡＣ＋∠ＢＡＣ）＝ ９０°． 所以∠ＡＦＤ＝９０°－∠ＡＤＦ＝４５°＝∠ＡＤＦ． 所以ＡＤ＝ＡＦ．所以△ＡＤＦ是等腰直角三角形． ２０．（１）设甲、乙两同学登山过程中离山脚的距离 ｈ（千 米）与时间ｔ（小时）的函数表达式分别为ｈ甲 ＝ｋ１ｔ，ｈ乙 ＝ｋ２ｔ． 由题意，得７＝２ｋ１，７＝５ｋ２．解得ｋ１＝３．５，ｋ２＝１．４．所以甲、 乙两同学登山过程中离山脚的距离 ｈ（千米）与时间 ｔ（小时） 的函数表达式分别为ｈ甲 ＝３．５ｔ，ｈ乙 ＝１．４ｔ． （２）甲到达山顶时，ｈ甲 ＝１５，代入ｈ甲 ＝３．５ｔ，得ｔ＝ ３０ ７． 所以ｈ乙 ＝１．４× ３０ ７ ＝６．所以１５－６＝９（千米）． 答：当甲到达山顶时，乙距山顶的距离为９千米． （３）甲到达山顶并游玩２６７小时后下山，所以点 Ｄ的坐标 为（８，１５）． 由题意，得点Ｂ的纵坐标为：１５－１＝１４，代入ｈ乙 ＝１．４ｔ， 解得ｔ＝１０．所以点Ｂ（１０，１４）． 设直线ＢＤ的表达式为ｈ＝ｋｔ＋ｂ． 由题意，得 ８ｋ＋ｂ＝１５， １０ｋ＋ｂ＝１４{ ．解得 ｋ＝－１２， ｂ＝１９ { ． 所以直线 ＢＤ 的表达式为ｈ＝－１２ｔ＋１９． 当乙到达山顶时，ｈ乙 ＝１５，代入ｈ乙 ＝１．４ｔ，得ｔ＝ ７５ ７．把 ｔ＝７５７代入ｈ＝－ １ ２ｔ＋１９，得ｈ＝ １９１ １４． 答：乙到达山顶时，甲距山脚的距离是 １９１ １４千米． ２１．（１）因为ＡＤ＝ＡＣ，所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＤ．所以１８０°－ ∠ＡＤＣ＝１８０°－∠ＡＣＤ，即 ∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＥ．在 △ＡＤＢ和 △ＡＣＥ 中， 因 为 ＡＤ＝ＡＣ， ∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＥ， ＢＤ＝ＥＣ { ， 所 以 △ＡＤＢ ≌ △ＡＣＥ（ＳＡＳ）．所以ＡＢ＝ＡＥ． （２）ＰＣ＝２ＢＤ．证明如下： 在线段ＰＣ上取一点 Ｇ，使 ＣＧ＝ＢＤ，连接 ＡＧ，图略．由 （１），得 △ＡＤＢ≌ △ＡＣＧ．所以 ∠ＡＧＢ＝∠Ｂ＝６０°．所以 ∠ＡＧＰ＝１８０°－∠ＡＧＢ＝１２０°．因为ＤＦ＝ＤＢ，∠Ｂ＝６０°，所 以△ＤＢＦ是等边三角形，∠ＡＰＧ＋∠ＰＡＦ＝１８０°－∠Ｂ＝ １２０°．所以 ∠ＦＤＢ＝∠ＤＦＢ＝６０°．所以 ∠ＰＦＤ＋∠ＰＦＡ＝ １８０°－∠ＤＦＢ＝１２０°，∠ＰＤＦ＝１８０°－∠ＦＤＢ＝１２０°＝ ∠ＡＧＰ．因为ＰＡ＝ＰＦ，所以 ∠ＰＡＦ＝∠ＰＦＡ．所以 ∠ＡＰＧ＝ ∠ＰＦＤ．在△ＡＰＧ和 △ＰＦＤ中，因为 ∠ＡＧＰ＝∠ＰＤＦ， ∠ＡＰＧ＝∠ＰＦＤ， ＰＡ＝ＦＰ { ， 所以 △ＡＰＧ≌△ＰＦＤ（ＡＡＳ）．所以ＰＧ＝ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＧ．所以ＰＣ＝ ２                                                                                                                                                                                   ＢＤ． !"#$ !" ! 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