第12讲：三角恒等变换期末高频考点题型讲与练【8大题型】-2024-2025学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

第12讲：三角恒等变换期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 · 考点一：两角和差的三角函数公式 · 考点二:二倍角公式 · 考点三：降幂公式的化简求值问题 · 考点四：辅助角公式的应用 · 考点五：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题 · 考点六：利用三角函数恒等式判断三角形形状 · 考点七：三角恒等式变换中化简问题 · 考点八：三角恒等变换综合问题 【知识梳理】 知识点一　两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 知识点二　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 知识点三：　两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 知识点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式 知识点五　半角公式 sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝. 知识点六　辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 【题型归纳】 题型一：两角和差的三角函数公式 1．（23-24高一下·北京东城·期末）的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】逆用和、差角的余弦公式化简、求值. 【详解】 故选：B 2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平方关系以及两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 所以 . 故选：A. 3．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，则 （    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】首先用齐次分式求正切值，然后利用两角差正切公式求值即可. 【详解】因为，所以，即， 所以， 故选：B. 题型二:二倍角公式 4．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和差角公式可得，，即可由正弦的二倍角公式求解. 【详解】根据题意可得，， 则，， . 故选：D 5．（23-24高一下·江苏镇江·期末）设为锐角，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式及二倍角公式求解即得. 【详解】由为锐角，得，而， 因此， 所以 . 故选：B 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由两边平方得：，而，，则， 因此， 所以. 故选：D 题型三：降幂公式的化简求值问题 7．（22-23高一下·云南保山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用降幂公式和诱导公式即可. 【详解】 ， 故选：A． 8．（2023·安徽·一模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．点是曲线的对称中心 B．点是曲线的对称中心 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的对称轴 【答案】C 【分析】由三角恒等变换化简得，由得对称中心坐标，由得对称轴方程. 【详解】由题意得 ， 由得，则的对称中心为，所以A，B错误. 由得，则的对称轴方程为，C正确，D错误， 故选：C 9．（21-22高三·云南昆明·阶段练习）已知，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先由得，再通过降幂公式化简得，代入即可求解. 【详解】由，得，即，，所以，. 故选：D． 题型四：辅助角公式的应用 10．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，则可以化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式求出答案. 【详解】，C正确； 其他选项不满足要求. 故选：C 11．（23-24高一上·广东茂名·期末）函数在区间上的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为， 又，则，所以， 故，则函数的最小值为0. 故选：A． 12．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，函数的最小正周期为，则实数 ． 【答案】 【分析】先用辅助角公式化简，然后利用周期公式求解. 【详解】， 故，所以. 故答案为：. 题型五：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题 13．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为整体，利用诱导公式和倍角公式运算求解. 【详解】由题意可得： . 故选：A. 14．（22-23高一下·安徽亳州·期末）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值. 【详解】，符号相同， 又，，， 由可得， 又，，， 所以，， ， 由，，得，， 故选：A． 15．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】由已知利用诱导公式可求得的值，进而利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以，解得或舍去， 则 ． 故选：D． 题型六：利用三角函数恒等式判断三角形形状 16．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角以及三角公式变形整理即可. 【详解】由得， 即， 即， 所以， 在中，，所以，， 即的形状为直角三角形. 故选：B. 17．（22-23高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】根据两角和与差的余弦公式可得，再结合诱导公式化简计算得出结果． 【详解】因为 所以， 因为 则 又， 所以, 所以 所以. 又为△ABC的内角，所以. 所以，故△ABC为等腰三角形. 故选：C. 18．（20-21高二上·甘肃兰州·期中）在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．形状无法确定 【答案】A 【解析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得． 【详解】∵在中，已知，∴， ∴，， 又，∴，，三角形为等腰三角形． 故选：A． 题型七：三角恒等式变换中化简问题 19．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知函数（）在上单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据二倍角公式化简求解，即可利用整体法求解函数的单调性，即可得的范围，进而可求解. 【详解】， 当时，， 因为在上单调递增， 所以（），解得（）， 由（）得，故的取值范围为． 故答案为： 20．（22-23高一上·吉林辽源·期末）已知．当时，则的值域为 ． 【答案】 【分析】化简得到，，，得到值域. 【详解】， ，，故， 故的值域为. 故答案为： 21．（21-22高一上·安徽宿州·期末）已知函数，则该函数的最小正周期是 ；  当时，关于的方程仅有一实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 或 【分析】根据三角恒等变换化简，即可周期公式求解，利用整体法即可求解范围. 【详解】， 所以最小正周期为， 当时，， 因为在为增函数，在为减函数， 故在上为增函数，在为减函数， 而，，， 要使得仅有一实数根， 即在上只有一个实数根， 即，或，解得或， 故答案为：；或， 题型八：三角恒等变换综合问题 22．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，且. (1)求的值及的最小正周期； (2)将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的图象.若关于的方程在有两个不同的根，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再结合正弦函数的性质求解. （2）由（1）的信息，利用给定的图象变换求出的解析式，再结合函数图象求出的范围. 【详解】（1）依题意， ， 由，得，解得， 所以，的最小正周期为. （2）由（1）知，依题意，， 当时，，由，得，由，得， 因此函数在上单调递增，函数值从增大到1，在上单调递减，函数值从1减小到， 关于的方程在有两个不同的根，即函数在上的图象与直线有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图，    观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 23．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的最大值为1． (1)求实数a的值及函数的单调递减区间； (2)若将函数图象上所有的点向上平移1个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域． 【答案】(1)实数a的值为，单调递减区间为， (2) 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式,由最大值求实数a的值，整体代入法求函数的单调递减区间； （2）由函数图象的变换，求函数解析式，由定义区间结合函数解析式求值域. 【详解】（1）函数． 因为的最大值为1，所以当时，，则， 故实数a的值为． 所以． 令，．解得，． 即函数的单调递减区间为，． （2）将图象上所有的点向上平移1个单位长度得到的图象， 再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象， 然后向右平移个单位长度得到的图象． 因为，所以，则， 所以，即函数的值域为． 24．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)若函数在上有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为：， (2) 【分析】（1）利用诱导公式和三角恒等变换公式化简到同一个角的同一个三角函数，进而利用正弦函数的周期性和对称性即可得到答案； （2）先求函数的解析式，再由的范围求得范围，进而把函数零点问题转化为两个函数的交点问题可求的取值范围. 【详解】（1） . 故最小正周期. 由，，得函数对称轴方程为，． （2）， 令，得． 要使在上有2个零点，则函数与函数图像在上有2个交点， 因为，所以． 作出在的图像， 得或，解得或， 即a的取值范围为. 【强化精练】 一、单选题 25．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数诱导公式、二倍角公式运算即可. 【详解】令，则，， 所以 . 故选：. 26．（23-24高一下·四川成都·期末）已知角，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用拆角变换由和求得，再将拆角后展开，代入以上结论即得. 【详解】由， 因，代入可得，， 则. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查和（差）角公式在求解函数值上的应用，属于难题. 解题的关键在于两次拆角变换，①，利用题设求得；②，利用已知和所得结论求解. 27．（23-24高一下·海南海口·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用切化弦的思想和两角和差公式即可求解 【详解】因为， 所以，即， 所以， 又， 所以. 故选：C. 28．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用两角和的正切公式求，再利用三角函数恒等变化，转化为关于的齐次分式，转化为正切表示，即可求解. 【详解】，， ， . 故选：C 29．（23-24高一下·湖北·期末）（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式将钝角化简为锐角，再结合两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为，， 所以 . 故选：B. 30．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合两角差的正切公式求得. 【详解】由 得， 故选：A. 31．（2024·河北石家庄·三模）已知角满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】借助对已知化简，可求出的值，再由可解. 【详解】因为，即， 所以， 整理得，变形得， 所以. 故选：C 32．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角形函数的平方关系、商数关系，结合二倍角公式，转化求值即可． 【详解】A．，故选项正确，不符合题意； B．，故选项正确，不符合题意； C．，故选项不正确，符合题意； D．，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 33．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意首先得函数在区间上的两个零点只能是，由此即可进一步列出不等式组求解. 【详解】由题意 ， 当时，， 若函数在区间有且仅有2个零点， 则这两个零点只能是， 则当时，，解得. 故选：A. 二、多选题 34．（23-24高一下·甘肃·期末）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用诱导公式计算判断，对于B，利用正弦的二倍角公式计算判断，对于C，利用两角和的余弦公式计算判断，对于D，利用正切的二倍角公式计算判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 35．（22-23高一下·山东临沂·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据两角和差公式判断AC；根据倍角公式判断BD. 【详解】因为，， 对于选项A：因为， 解得，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：AB. 36．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，则下列命题正确的是（   ） A．的最小正周期为； B．函数的图象关于对称； C．在区间上单调递减； D．将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合． 【答案】AB 【分析】根据二倍角的正弦公式和辅助角公式可得，结合余弦函数的图象与性质依次判断选项即可求解. 【详解】. A：函数的最小正周期为，故A正确； B：，为的最小值，故B正确； C：由，得，所以函数在上单调递增，故C错误； D：将函数图象向左平移个单位长度， 得图象， 与函数的图象不重合，故D错误； 故选：AB 37．（23-24高一上·浙江宁波·期末）下列式子化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式的逆用可判断选项A；利用辅助角公式可判断选项B；利用诱导公式及二倍角正弦公式可判断选项C；利用及两角差的正切公式可判断选项D. 【详解】对于选项A：因为 ，故选项A错误； 对于选项B： ，故选项B正确； 对于选项C：因为，故选项C正确； 对于选项D：因为，故选项D错误. 故选：BC. 38．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】先化简，将代入可判断A；根据求出，结合三角函数的图象可判断B；由三角函数的性质可判断C；求出，再将代入可判断D. 【详解】对于A选项，因为 ， 所以，故A正确； 对于B选项，当时， ， 函数在上先增后减，无单调性，故B错误； 对于C选项，的值域为，故C正确； 对于D选项，， 当时，取得最小值，故D正确． 故选：ACD. 39．（23-24高一上·安徽淮南·期末）函数在上有3个零点，则（   ） A．的取值范围是 B．在取得2次最大值 C．的单调递增区间的长度（区间右端点减去左端点得到的值）的取值范围是 D．已知，若存在t，，使得在上的值域为，则 【答案】ABD 【分析】化简，当时，由题意得，求解即可判断A；在上取得2次最大值，可判断B；的单调递增区间的长度为，可判断C；由题意，可判断D． 【详解】 ， 当时，，所以，A正确； 由A选项分析可知当时，有， 所以当或时，在上取得2次最大值，B正确； 由A选项可知，所以周期，所以， 所以的单调递增区间的长度范围为，C错误； 若存在，使得在上的值域为，则，D正确． 故选：ABD． 【点睛】易错点睛：本题易错的地方在于C选项中对区间长度的定义没有理解正确，从而错选C选项导致错误. 三、填空题 40．（24-25高三上·广东汕头·阶段练习）已知，，则的值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角正弦公式以及诱导公式化简可得出的值，再结合同角三角函数的基本关系可求得的值. 【详解】因为，则， 由可得，则，则， 所以，，故. 故答案为：. 41．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知，且，则 ． 【答案】或 【分析】把代入方程解方程即可. 【详解】， 解得：或，因为，所以或. 故答案为：或. 42．（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知，，，，则 . 【答案】/ 【分析】由题先利用两角和正切公式求出，再利用的范围求出角即可. 【详解】因为，，，， 所以，因为，所以. 故答案为： 43．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知是第二象限角，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为是第二象限角，且， 所以，， 所以. 故答案为： 44．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数，若关于的方程在区间上有两个不同实根，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】画出函数的图象，结合图象得，根据对称性把转化为，利用二倍角余弦公式、诱导公式及二次函数性质求解最值即可. 【详解】方程在上有两个不同的实根 等价于与的图象在上有两个交点， 如图为函数在上的图象： 由图中可以看出当与有两个交点时， 有，且，此时， 所以 令，因为，则，所以， 记，，因为函数开口向上，且对称轴为，所以当时，， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题以方程有根为背景考查了正弦函数的对称性及三角恒等变换、余弦型复合函数值域问题.解题的关键是把方程有根问题转化为函数交点问题，利用正弦函数对称性消元，从而转化为余弦型复合函数的最值问题，采用换元法，利用二次函数性质求解最值即可. 四、解答题 45．（23-24高一下·北京·期末）已知函数，且． (1)求a的值和的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据求出，然后利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可得； （2）利用整体代入法求出的单调递增区间，结合可得. 【详解】（1）因为，所以， 即，解得， 所以 ， 所以的最小正周期为. （2）由，解得， 所以的单调递增区间为， 所以在上的单调递增区间为. 46．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数． (1)若，且，求的值； (2)在锐角三角形中，若，求的取值范围； (3)设函数，若在区间上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变形，最后化为已知角的某个三角函数值，去求另一个角的三角函数值； （2）利用三角形已知一个角，再利用三角形内角和消元，从而化为一个三角函数的值域来求解； （3）利用二倍角关系，转化为同一个角的三角函数式上来，再利用分离参变量思想来求解. 【详解】（1）， 由题意知，所以， 又，， 则， 故； （2）由得， ，，，， 故， 由是锐角三角形，得， 则，得， 即的取值范围为； （3） ， 当时，， 令，则，在区间上恒成立， 等价于关于的不等式在区间上恒成立， 即有在区间上恒成立， 又在区间上单调递减， 当时，有最大值， 故有，即的取值范围为． 47．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知函数． (1)求的最大值以及取得最大值时的集合； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)2，； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后由正弦函数的性质可得； （2）根据求出的范围，利用正弦函数性质即可得解. 【详解】（1）因为， 所以的最大值为2， 由，得， 所以取得最大值时的集合为. （2）当时，， 所以， 所以，即的值域为. 48．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数的最大值为2． (1)求a的值，并求的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间． 【答案】(1)，最小正周期为 (2) 【分析】（1）先根据二倍角公式和辅助角公式将原式化简整理，得到，根据函数最值，即可求出，再由正弦函数的周期，即可求出周期； （2）先由正弦函数的单调递增区间列出不等式求解，得出函数的单调递增区间，再由给定区间，即可得出结果. 【详解】（1） ， 所以， 因为函数的最大为2，所以， 解得； 所以，因此最小正周期为； （2）由，得， 所以的单调递增区间为， 又，取， 得在上的单调递增区间为. 49．（23-24高一下·湖北孝感·期中）已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为. (1)求函数的解析式； (2)若，解不等式； (3)若，且关于的方程有三个不等的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求，即可求解函数解析式； （2）结合正弦函数的性质即可求解不等式； （3）由已知方程可得或，然后结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得， 因此其最大值为2，由与直线的交点中相邻交点的距离为， 可得，故， 所以解析式为 （2）由不等式可得，， 解得， 所以； 因为， 所以或， 故的范围为或； （3）关于的方程有三个不等的实根， 即有三个不等的实根， 也即或有三个不等实根， 画出函数在上的图象如下： 结合函数图象可知，有一个根， 故有两个不等实数根， 所以， 故的范围为. 50．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知向量，函数． (1)求函数在上的单调递减区间； (2)若，且，求的值； (3)将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示结合二倍角公式、辅助角公式化简，再根据三角函数的性质整体代换计算即可求单调减区间； （2）利用同角三角函数的平方关系得，再根据余弦的和角公式计算即可； （3）根据三角函数图象变换得，再根据三角函数的性质计算即可. 【详解】（1）因为， 所以即 又因为，所以函数在上的单调递减区间为 （2）若则，所以. 因为，所以， 所以，                     所以 故. （3）将图象上所有的点的纵坐标变为原来的，再向下平移1个单位，最后再向右平移个单位得到函数的图象， 即： 则，                           当时，                   由方程有一解，可得的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲：三角恒等变换期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 · 考点一：两角和差的三角函数公式 · 考点二:二倍角公式 · 考点三：降幂公式的化简求值问题 · 考点四：辅助角公式的应用 · 考点五：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题 · 考点六：利用三角函数恒等式判断三角形形状 · 考点七：三角恒等式变换中化简问题 · 考点八：三角恒等变换综合问题 【知识梳理】 知识点一　两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 知识点二　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 知识点三：　两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 知识点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式 知识点五　半角公式 sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝. 知识点六　辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 【题型归纳】 题型一：两角和差的三角函数公式 1．（23-24高一下·北京东城·期末）的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，则 （    ） A． B． C．1 D．3 题型二:二倍角公式 4．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏镇江·期末）设为锐角，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型三：降幂公式的化简求值问题 7．（22-23高一下·云南保山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·安徽·一模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．点是曲线的对称中心 B．点是曲线的对称中心 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的对称轴 9．（21-22高三·云南昆明·阶段练习）已知，则（    ） A． B．1 C． D． 题型四：辅助角公式的应用 10．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数，则可以化简为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·广东茂名·期末）函数在区间上的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 12．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，函数的最小正周期为，则实数 ． 题型五：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题 13．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一下·安徽亳州·期末）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．0 题型六：利用三角函数恒等式判断三角形形状 16．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 17．（22-23高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 18．（20-21高二上·甘肃兰州·期中）在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．形状无法确定 题型七：三角恒等式变换中化简问题 19．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知函数（）在上单调递增，则的取值范围为 ． 20．（22-23高一上·吉林辽源·期末）已知．当时，则的值域为 ． 21．（21-22高一上·安徽宿州·期末）已知函数，则该函数的最小正周期是 ；  当时，关于的方程仅有一实数根，则实数的取值范围为 . 题型八：三角恒等变换综合问题 22．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，且. (1)求的值及的最小正周期； (2)将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的图象.若关于的方程在有两个不同的根，求实数的取值范围. 23．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数的最大值为1． (1)求实数a的值及函数的单调递减区间； (2)若将函数图象上所有的点向上平移1个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域． 24．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)若函数在上有2个零点，求实数a的取值范围． 【强化精练】 一、单选题 25．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·四川成都·期末）已知角，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·海南海口·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·湖北·期末）（    ） A． B． C．1 D． 30．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知，，则 （    ） A． B． C． D． 31．（2024·河北石家庄·三模）已知角满足，则（    ） A． B． C． D．2 32．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 二、多选题 34．（23-24高一下·甘肃·期末）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 35．（22-23高一下·山东临沂·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 36．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，则下列命题正确的是（   ） A．的最小正周期为； B．函数的图象关于对称； C．在区间上单调递减； D．将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合． 37．（23-24高一上·浙江宁波·期末）下列式子化简正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于直线对称 39．（23-24高一上·安徽淮南·期末）函数在上有3个零点，则（   ） A．的取值范围是 B．在取得2次最大值 C．的单调递增区间的长度（区间右端点减去左端点得到的值）的取值范围是 D．已知，若存在t，，使得在上的值域为，则 三、填空题 40．（24-25高三上·广东汕头·阶段练习）已知，，则的值为 . 41．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知，且，则 ． 42．（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知，，，，则 . 43．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知是第二象限角，且，则 ． 44．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数，若关于的方程在区间上有两个不同实根，则的最小值为 . 四、解答题 45．（23-24高一下·北京·期末）已知函数，且． (1)求a的值和的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间． 46．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数． (1)若，且，求的值； (2)在锐角三角形中，若，求的取值范围； (3)设函数，若在区间上恒成立，求的取值范围． 47．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知函数． (1)求的最大值以及取得最大值时的集合； (2)当时，求的值域． 48．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数的最大值为2． (1)求a的值，并求的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间． 49．（23-24高一下·湖北孝感·期中）已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为. (1)求函数的解析式； (2)若，解不等式； (3)若，且关于的方程有三个不等的实根，求实数的取值范围. 50．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知向量，函数． (1)求函数在上的单调递减区间； (2)若，且，求的值； (3)将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$