第11讲：三角函数、y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质期末题型归纳【10大题型】-2024-2025学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

· 第11讲：三角函数、y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质期末题型归纳 【考点梳理】 · 考点01：三角函数图象的应用 · 考点02：三角函数的定义域和值域问题 · 考点03：正弦函数性质问题 · 考点04：余弦函数的性质问题 · 考点05：正切函数的性质问题 · 考点06：三角函数的平移伸缩变换 · 考点07：求图像变化前后的解析式 · 考点08：正余弦型三角函数图像问题 · 考点09：y＝Asin(ωx＋φ)性质 · 考点10：三角函数性质的综合问题 【知识梳理】 知识点01．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z) 对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π 知识点02：.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 知识点03.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下： 【题型归纳】 题型01：三角函数图象的应用 1．（23-24高一上·山东青岛·期末）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数（）的图象可能是（    ） A．  B．  C．   D．   题型02：三角函数的定义域和值域问题 4．（23-24高一上·山东德州·期末）已知函数在区间上的最大值为，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·内蒙古包头·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型03：正弦函数性质问题 7．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·河北·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·山东聊城·期末）若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型04：余弦函数的性质问题 10．（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·天津南开·期末）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在区间上单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 12．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．函数的对称轴是 C．函数取最大值时自变量的集合为 D．函数的单调递增区间是 题型05：正切函数的性质问题 13．（23-24高一上·山东济宁·期末）若对任意，方程有解，则实数的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数周期为 B．函数在上为增函数 C．函数是偶函数 D．函数关于点对称 15．（23-24高一上·甘肃·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数是奇函数 题型06：三角函数的平移伸缩变换 16．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 C．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向左平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向右平移个单位长度 17．（23-24高一下·四川·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 18．（23-24高一上·江苏淮安·期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 题型07：求图像变化前后的解析式 19．（23-24高一下·四川绵阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·河南商丘·期末）若把函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移4个单位长度，最后把图象上各个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·河南新乡·期末）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 题型08：正余弦型三角函数图像问题 22．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与轴的交点，为图象上的最高点，且，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．函数的图象关于点中心对称 23．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数的部分图象如图，则函数（    ）    A．图象关于直线对称 B．图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为 24．（23-24高一上·天津河北·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在区间上的最小值为 B．为偶函数 C．图象的对称中心是， D．的图象向右平移个单位长度后得到的图象 题型09：y＝Asin(ωx＋φ)性质 25．（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 26．（23-24高一上·福建龙岩·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 27．（23-24高一上·天津和平·期末）将函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再沿轴向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为.关于函数，现有如下命题： ①函数的图象关于点对称；②函数在上是增函数： ③当时，函数的值域为；④函数是奇函数. 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型10：三角函数性质的综合问题 28．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)将的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在上的值域． 29．（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数. (1)解关于的不等式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的最大值与最小值 30．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知函数（），其相邻两个对称中心之间的距离为. (1)求实数的值及函数的单调递增区间； (2)将图象上所有点向平左移个单位长度，再将图象上所有点向上平移1个单位，得到函数的图象，若在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 【强化精练】 一、单选题 31．（23-24高一下·北京顺义·期末）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A．B． C． D． 32．（23-24高一下·北京海淀·期末）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·北京东城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．在区间上单调递减 C．在区间上有3个零点 D．的最小值为-1 35．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的图象在区间上单调递增 36．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一下·四川成都·期末）将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移后得函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·广东广州·期末）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 39．（24-25高二上·广东广州·期中）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．在区间有两个零点 C．直线是曲线的对称轴 D．在区间单调递增 40．（23-24高一上·安徽·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的一个单调递增区间为 C．函数的图象关于点对称 D．若函数在上没有零点，则 41．（23-24高一下·山东潍坊·期末）函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D．当时，的值域为 42．（23-24高一下·江苏苏州·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B． C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 43．（23-24高一下·辽宁·期末）函数（）的图象的一个对称中心为 ，则下列说法正确的是（   ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．函数在上单调递减 C．函数的图象向右平移个单位可得到的图象 D．函数在上的最大值为 三、填空题 44．（23-24高一上·湖北武汉·期末）函数，的值域是 . 45．（23-24高一上·广东汕头·期末）将函数的图象沿x轴向右平移个长度单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为 ． 46．（23-24高一上·陕西西安·期末）将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的解析式为 . 47．（23-24高一上·湖南长沙·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若为奇函数，则m的最小值为 ． 48．（23-24高一上·河南商丘·期末）先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，且，则的取值范围是 . 四、解答题 49．（23-24高一下·四川达州·期末）已知函数的部分图象如图所示，图象与x轴正半轴的第一个交点（从左至右）为，图象与y轴的交点为．    (1)求的解析式及对称中心； (2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的单调递减区间． 50．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知. (1)求函数在上的单调增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式． 51．（23-24高一上·云南昭通·期末）函数的一段图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)要得到函数的图象，可由正弦曲线经过怎样的变换得到? (3)若不等式在上恒成立，求实数t的取值范围. 52．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式及对称中心； (2)先将的图象横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间. 53．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)求函数的对称中心和单调递减区间； (2)若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值． 54．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的最小值. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到依次为试确定的值，并求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 第11讲：三角函数、y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质期末题型归纳 【考点梳理】 · 考点01：三角函数图象的应用 · 考点02：三角函数的定义域和值域问题 · 考点03：正弦函数性质问题 · 考点04：余弦函数的性质问题 · 考点05：正切函数的性质问题 · 考点06：三角函数的平移伸缩变换 · 考点07：求图像变化前后的解析式 · 考点08：正余弦型三角函数图像问题 · 考点09：y＝Asin(ωx＋φ)性质 · 考点10：三角函数性质的综合问题 【知识梳理】 知识点01．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z) 对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π 知识点02：.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 知识点03.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下： 【题型归纳】 题型01：三角函数图象的应用 1．（23-24高一上·山东青岛·期末）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数和在上的图象，通过图象即可求出交点横坐标． 【详解】作出函数和在上的图象如下 从图像上可得：函数的图象和的图象在内有两个交点： ，即，得， ，，得， 所有交点横坐标之和为. 故选：A 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】结合图象特点，分别计算和的值，进而得到答案. 【详解】当时，，所以，排除C，D； 当时，，所以，A正确，B错误， 故选：A. 3．（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数（）的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数奇偶性排除不符合的两个选项，再根据的符号，即可得符合的函数图象. 【详解】因为函数（） 所以，则函数为偶函数，故排除A，C选项； 又，故排除D选项，故选B符合. 故选：B. 题型02：三角函数的定义域和值域问题 4．（23-24高一上·山东德州·期末）已知函数在区间上的最大值为，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得出，分析可知，分、两种情况讨论，求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为，当时，， 又因为函数在区间上的最大值为， 则， 若，则，此时，有，A合乎条件； 若，则，又因为，则，即. BCD均不合乎题意. 故选：A. 5．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系及二次函数的性质即可得. 【详解】因为， 由，故， 即. 故选：B. 6．（22-23高一下·内蒙古包头·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得：，解得， 函数的定义域为. 故选：A. 题型03：正弦函数性质问题 7．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法，结合三角函数图象性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析，得到 ，其中，求得，进而求得的取值范围． 【详解】因为，当时，， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以其中，解得， 所以，解得， 又因为，则， 当时，；当时，；当时，． 又因为，所以的取值范围是. 故选：C. 8．（23-24高一上·河北·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的平移变换，可得到平移后的函数解析式，结合其图象性质，列出所满足的相应等式，即可求得答案. 【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度后， 得到的函数图象对应的解析式为， 由于的图象关于轴对称，即为偶函数， 故，即， 由于，故， 故选：D 9．（23-24高一上·山东聊城·期末）若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，， 由于是三角形的一个内角，所以， 则， 由于函数在区间上单调， 所以，解得， 即的取值范围为. 故选：B 题型04：余弦函数的性质问题 10．（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦函数的单调性求出单调递增区间，可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，函数的增区间为，且， 解得. 由题意可知：. 于是，解得. 又，于是. 故选：A. 11．（23-24高一上·天津南开·期末）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在区间上单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 【答案】B 【分析】根据函数周期性定义判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；将代入验证可判断C；将代入验证可判断D. 【详解】对于A，函数， 即的一个周期为，A正确； 对于B，时，， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上不单调，B错误； 对于C，， 将代入得， 故的一个零点为，C正确； 对于D，将代入，即, 即取到最值，故的图象关于直线对称，D正确， 故选：B 12．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．函数的对称轴是 C．函数取最大值时自变量的集合为 D．函数的单调递增区间是 【答案】B 【分析】利用最小正周期计算公式可判断A；采用整体替换法，分别考虑对称轴、最大值时的取值、单调递增区间的公式，由此可判断BCD. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则， 所以取最大值时的取值集合为，故C错误； 对于D：令，解得， 所以单调递增区间是，故D错误； 故选：B. 题型05：正切函数的性质问题 13．（23-24高一上·山东济宁·期末）若对任意，方程有解，则实数的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先求方程左侧函数的值域，后解不等式求参数范围即可. 【详解】因为，可知，所以． 又方程有解，所以． 所以，， 故选：A． 14．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数周期为 B．函数在上为增函数 C．函数是偶函数 D．函数关于点对称 【答案】D 【分析】根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由于，，因此，A错误； 对于B，当时，，则函数在区间上是减函数，B错误； 对于C，由于，因此函数是奇函数，不是偶函数，C错误； 对于D，，因此函数的图象关于对称，D正确， 故选：D. 15．（23-24高一上·甘肃·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数是奇函数 【答案】C 【分析】根据给定的函数，结合正切函数的图象、性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由于，，因此，A错误； 对于B，当时，，则函数在区间上是减函数，B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于直线对称，C正确； 对于D，由于，因此函数是偶函数，不是奇函数，D错误. 故选：C 题型06：三角函数的平移伸缩变换 16．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 C．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向左平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】由题意利用三角函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到， 再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的得到． 也可以将函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的得到， 再向左平移个单位长度得到． 故选：A. 17．（23-24高一下·四川·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】首先利用两角差的正弦公式及二倍角公式将函数化简，再结合三角函数的平移规则判断即可. 【详解】因为， ， 所以将向右平移个单位长度得到，故D正确； 若将向左平移个单位长度得到，故A错误； 若将向右平移个单位长度得到，故B错误； 若将向左平移个单位长度得到，故C错误； 故选：D 18．（23-24高一上·江苏淮安·期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据题意，结合三角函数的图象变换的规则，即可求解. 【详解】由函数，， 将函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象. 故选：C. 题型07：求图像变化前后的解析式 19．（23-24高一下·四川绵阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的平移伸缩得出解析式即可. 【详解】的图象先向左平移可得, 纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍可得. 故选：C. 20．（23-24高一上·河南商丘·期末）若把函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移4个单位长度，最后把图象上各个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的图象变换可求得的解析式，从而可求解. 【详解】函数的图象上各个点的横坐标缩短为原来的得到， 然后向上平移4个单位长度得到， 向右平移个单位长度得到， 所以，故A正确. 故选：A. 21．（23-24高一上·河南新乡·期末）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的平移变换,结合奇函数，即可得到答案. 【详解】依题意函数的图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得，即， 因为为奇函数，所以，解得， 因为，所以. 故选：D. 题型08：正余弦型三角函数图像问题 22．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与轴的交点，为图象上的最高点，且，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．函数的图象关于点中心对称 【答案】D 【分析】根据为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，为等腰直角三角形可以求出，进而求出周期，即求出，将点代入即可求出，从而确定函数解析式，再逐项判断. 【详解】由为等腰直角三角形，为图象上的最高点，且点的纵坐标为1， 所以． 则函数的周期为4，由，，可得， 又，所以，则， 将点代入，得， 则，．而，则， 所以, 则，A错误； ，B错误； 若，则，显然函数不是单调的，C错误； ， 所以函数的图象关于点中心对称，D正确. 故选：D. 23．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数的部分图象如图，则函数（    ）    A．图象关于直线对称 B．图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为 【答案】C 【分析】根据函数的图象，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得， 可得，所以， 又由，可得，因为，可得， 又因为，即， 因为，可得，解得，所以， 对于A中，由，不是函数的最值，所以A错误； 对于B中，由，所以点不是函数的对称中心，所以B错误； 对于C中，由，可得， 根据正弦函数的性质，可得在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，所以C正确； 对于中，由，可得， 当时，即时，可得， 又由，所以函数在的值域为，所以D错误. 故选：C. 24．（23-24高一上·天津河北·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在区间上的最小值为 B．为偶函数 C．图象的对称中心是， D．的图象向右平移个单位长度后得到的图象 【答案】B 【分析】根据图象求得的解析式，结合三角函数最值、奇偶性、对称性、图象变换等知识确定正确答案. 【详解】由图可知，， 所以，， 由于， 所以，所以. A，， 当时，取得最小值为，故A错误； B，为偶函数，故B正确； C，由解得，故C错误； D，的图象向右平移个单位得到，故D错误. 故选：B 题型09：y＝Asin(ωx＋φ)性质 25．（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 【答案】B 【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】将的图象向左平移个单位得, ， 所以， 对于A，的最小正周期为，所以A错误， 对于B，因为， 所以为图象的一条对称轴，即的图象关于对称，所以B正确， 对于C，因为， 所以不是的零点，所以C错误， 对于D，由，得，得， 因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，所以D错误. 故选：B 26．（23-24高一上·福建龙岩·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】C 【分析】首先得到平移后的函数解析式，根据的对称性求出的值，从而得到解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到， 若的图象关于直线对称，则，，解得，， 又，所以，故， 则，所以为非奇非偶函数，故A、B错误； 当，则，又在上单调递增， 所以在上单调递增，故C正确； 因为，故D错误. 故选：C 27．（23-24高一上·天津和平·期末）将函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再沿轴向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为.关于函数，现有如下命题： ①函数的图象关于点对称； ②函数在上是增函数： ③当时，函数的值域为； ④函数是奇函数. 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定变换求出函数的解析式，再逐项判断即可. 【详解】依题意，， 对于①，，因此函数的图象关于点不对称，①错误； 对于②，当时，，而函数在是增函数， 因此函数在上是增函数，②正确； 对于③，当时，，，因此函数的值域为，③正确； 对于④，显然函数是偶函数，不是奇函数，④错误， 所以真命题的个数为2. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得. 题型10：三角函数性质的综合问题 28．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)将的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】(1)递减区间为；递增区间为. (2). 【分析】（1）利用整体代入法，结合余弦函数单调性求解可得； （2）根据平移变换求出的解析式，使用换元法，利用余弦函数性质求解即可. 【详解】（1）由，解得； 由，解得. 因此的单调递减区间为， 单调递增区间为. （2）将的图象向右平移个单位得到 ， 令，当，则，   因此， 由的性质得， 因此，即的值域为. 29．（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数. (1)解关于的不等式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的最大值与最小值 【答案】(1)； (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用正弦的和差公式及二倍角公式化简函数式，根据三角函数的图象与性质解不等式即可； （2）根据三角函数图象变换结合二次函数的性质及三角函数的图象与性质求最值即可. 【详解】（1） ，即， 所以， 解得， 故的解集为. （2）由题意可知， 则， 令，则， 当时，；当时，， 即在上的最大值为，最小值为. 30．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知函数（），其相邻两个对称中心之间的距离为. (1)求实数的值及函数的单调递增区间； (2)将图象上所有点向平左移个单位长度，再将图象上所有点向上平移1个单位，得到函数的图象，若在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间是（）； (2). 【分析】（1）利用三角恒等变换得，再由相邻两个对称中心之间的距离为，可求得，即，再根据正弦函数的单调性即可求解； （2）由三角函数的图象变换可得，然后将的零点问题转化为直线与函数在的图象的交点个数问题，再结合几何图形求出实数的取值范围. 【详解】（1）依题意， 因为相邻两个对称中心之间的距离为， 所以的周期，解得， 所以， 由，， 得， 所以单调递增区间为. （2）由，可得， 由，， 得，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在的图象如图所示： 因为在上有两个不同零点， 即直线与函数在的图象有两个交点，此时， 所以实数的取值范围是. 【强化精练】 一、单选题 31．（23-24高一下·北京顺义·期末）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】对于A，在单调递增，在单调递增，故A错误；对于B，作出函数的大致图象，由图可知，B正确；对于C，函数在单调递减，故C错误；对于D，函数最小正周期为，故D错误. 【详解】对于A，函数的最小正周期为， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减，故A错误； 对于B，作出函数的大致图象如图所示，函数的最小正周期为，且在区间单调递增，故B正确； 对于C，函数最小正周期为，由，得，当时，在单调递减，故C错误； 对于D，函数最小正周期为，故D错误. 故选：B.    32．（23-24高一下·北京海淀·期末）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最小值求得，由求得，再结合最小值点和周期求得． 【详解】由图象知， 所以， 则或， 又，所以， ，，，， 又，，已知，所以，所以， 故选：D． 33．（23-24高一下·北京东城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数平移变换可得函数解析式，令，，可得对称中心，进而得到的最小值. 【详解】将函数的图象向右平移个单位得： ， 令，，得， 所以图象的对称中心为，， 当时，取得最小值. 故选：A. 34．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．在区间上单调递减 C．在区间上有3个零点 D．的最小值为-1 【答案】C 【分析】根据给定的函数，结合正弦函数性质，利用奇偶性、单调性、零点及最值依次判断即得. 【详解】函数的定义域为R， 对于A，，是偶函数， 又，因此不是奇函数，A错误； 对于B，当时，， 而函数在上单调递减，因此在区间上单调递增，B错误； 对于C，当时，，由，得， 当时，，由，得或，因此在区间上有3个零点，C正确； 对于D，当时，，， 由是偶函数，得，，D错误. 故选：C 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： ①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． ②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． ③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 35．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的图象在区间上单调递增 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性逐一判断即可. 【详解】A：，显然不是最值，所以本选项不正确； B：，显然的图象不关于点对称，所以本选项不正确； C：，由A可知，本选项正确； D：，显然不是的子集，因此本选项不正确， 故选：C 36．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移变换知识先求出的解析式，再根据三角函数的奇偶性得关于的方程即可计算求解. 【详解】由题意， 因为函数为奇函数，所以，， 又，所以当时，有最小值是. 故选：C. 37．（23-24高一下·四川成都·期末）将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移后得函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可得答案. 【详解】将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 再将图象向左平移后得函数的图象，即， 故选：D 38．（23-24高一上·广东广州·期末）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图象平移与伸缩变换可得，结合正弦函数的图象先判断，根据正弦型图象的零点，列出不等式组，解出的范围即可. 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象， 因为，周期，函数在上没有零点， 则，所以， 因为，所以， 又在上没有零点，所以，解得， 又因为， ，，所以或， 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题求解的关键有两个，一是利用图象变换能准确求出变换后的函数解析式；二是利用区间内没有零点列出限制条件. 二、多选题 39．（24-25高二上·广东广州·期中）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．在区间有两个零点 C．直线是曲线的对称轴 D．在区间单调递增 【答案】ABD 【分析】由已知求得函数解析式，然后根据正弦函数性质进行判断． 【详解】由已知，， 又，所以，A正确； 所以， ，，区间是函数的一个周期，而，因此在区间有两个零点，B正确； ，因此C错； 时，，在此区间上单调递增，D正确， 故选：ABD． 40．（23-24高一上·安徽·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的一个单调递增区间为 C．函数的图象关于点对称 D．若函数在上没有零点，则 【答案】ACD 【分析】A：利用图象求出函数的周期，由此求出，再由，求出的值，然后根据求出的值，进而可以判断；：利用的范围求出的范围，然后利用正弦函数的单调性以及整体代换的性质即可判断；：判断与0的关系，由此即可判断；：利用图象变换的性质以及数形结合建立不等式关系，由此即可判断． 【详解】：由函数图象可得，则，所以， 又，则，则，结合其范围有， 由，解得，所以，故正确； ：当时，，则函数在不单调递增，故错误； ：当 时，，所以的图象关于点,对称，故正确； 的图象是由的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍得到的， 由题图知 在上没有零点，则 在上没有零点， 由题意得，所以，故正确． 故选：ACD. 41．（23-24高一下·山东潍坊·期末）函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D．当时，的值域为 【答案】ABD 【分析】利用两角和的正弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为 ， 所以的最小正周期为，故A正确； 因为，所以的图象关于对称，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错误； 当时，，所以，所以，故D正确. 故选：ABD 42．（23-24高一下·江苏苏州·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B． C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】BD 【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为 ， 所以的最小正周期，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误； 当，则，又在上单调递增， 所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：BD 43．（23-24高一下·辽宁·期末）函数（）的图象的一个对称中心为 ，则下列说法正确的是（   ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．函数在上单调递减 C．函数的图象向右平移个单位可得到的图象 D．函数在上的最大值为 【答案】AC 【分析】根据两角和的余弦公式化简函数解析式，再根据对称中心可得，再根据三角函数性质分别判断各选项. 【详解】由， 由是函数图象的一个对称中心， 即，， 解得，， 又，所以， 所以， 对于A选项：令，，解得，，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故A选项正确； 对于B选项：令，，解得，， 即函数的单调递减区间为，，当时，函数在单调递减，所以函数在上单调递增，B选项错误； 对于C选项：函数的图象向右平移个单位可得，C选项正确； 对于D选项：当时，，所以函数，即最大值为，D选项错误； 故选：AC. 三、填空题 44．（23-24高一上·湖北武汉·期末）函数，的值域是 . 【答案】 【分析】令，将函数转化为，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】，令， 则函数为，故在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以， 所以的值域为. 故答案为： 45．（23-24高一上·广东汕头·期末）将函数的图象沿x轴向右平移个长度单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据图象平移求得平移后的函数解析式，根据三角函数是偶函数，即可求得，即可求出的最小值. 【详解】函数的图象沿x轴向右平移个单位后， 得，因为其为偶函数， 故可得，得， 则，当，有. 故答案为：. 46．（23-24高一上·陕西西安·期末）将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的解析式为 . 【答案】 【分析】由函数图像伸缩变化和平移变化的规律，求函数解析式. 【详解】函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变， 得函数的图像， 再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像， 则. 故答案为： 47．（23-24高一上·湖南长沙·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若为奇函数，则m的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据图象平移与伸缩变换得出函数解析式，再由奇函数及诱导公式求解. 【详解】由题意可得， 因为为奇函数，所以， 即，，所以时，正数有最小值. 故答案为： 48．（23-24高一上·河南商丘·期末）先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由图象变换可得，结合正切型函数的性质计算即可得. 【详解】将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变， 再将所得图象向左平移个单位长度后可得， 由，则， 由，则有， 故有，解得， 故答案为：. 四、解答题 49．（23-24高一下·四川达州·期末）已知函数的部分图象如图所示，图象与x轴正半轴的第一个交点（从左至右）为，图象与y轴的交点为．    (1)求的解析式及对称中心； (2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的单调递减区间． 【答案】(1)；，. (2) 【分析】（1）先求出函数的解析式，再求函数的对称中心； （2）先求出函数的解析式，再求函数在区间上的单调递减区间. 【详解】（1）∵过，∴，由，∴，∴， 又过，∴，∴ ∴，∵，∴ ∴，∴， 令， ∴的对称中心为，. （2）函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，得到； 再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，所以， ， ∴， ∵，∴， ∴在上单调递减区间为. 50．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知. (1)求函数在上的单调增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，得出结论． （2）由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的解析式． 【详解】（1）由于， 令，，求得，， 可得函数的增区间为，. （2）将函数的图象向左平移个单位，可得的图象； 再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象． 若函数的图象关于直线对称， 则，，即， 令，求得取最小值为，此时， 51．（23-24高一上·云南昭通·期末）函数的一段图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)要得到函数的图象，可由正弦曲线经过怎样的变换得到? (3)若不等式在上恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由图象直接得到，求出函数的周期，即可求出，利用图象经过，结合的范围求出的值，即可得到的解析式； （2）由三角函数的图象变换规律，结合平移与伸缩的顺序采用方法一或方法二推出结果； （3）根据的范围，结合三角函数的性质得出的最大值，由题意得到的不等式，求解即可． 【详解】（1）由图象知，，，， 将图象上的点代入中，得， 结合图象可知，则，， 又，所以，故. （2）法一：将的图象向左平移个单位，得到的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象； 再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到的图象. 法二：将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象； 再将所得图象向左平移个单位，得到的图象； 再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到的图象. （3）∵，∴， ∴当，即时，取最大值3. 又不等式在上恒成立， ∴在上恒成立， 故，即，即或. ∴t的取值范围为. 52．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式及对称中心； (2)先将的图象横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间. 【答案】(1)；对称中心为， (2) 【分析】（1）由最值求，由周期求，由图象上的点求，得函数解析式，整体代入法求对称中心； （2）由图象变换得解析式，由定义区间结合正弦函数的单调性求单调减区间. 【详解】（1）由图象可知，，最小正周期，得， 此时，由， 得，，由，所以， 所以函数的解析式为； 由，，可得，. 故函数的对称中心为，； （2）先将的图象横坐标缩短为原来的倍，可得的图象， 再向右平移个单位，得到的图象， 即. 因为，所以， 当即时，单调递减， 所以在上的单调递减区间为. 53．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)求函数的对称中心和单调递减区间； (2)若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)对称中心为，单调递减区间为 (2)最大值3；最小值 【分析】（1）根据三角恒等变换化简可得，再代入正弦函数的对称中心与单调递减区间求解即可； （2）根据正弦函数在区间上的单调性与最值求解即可. 【详解】（1） ， 令，则， 所以的对称中心为， 令，则， 所以的单调递减区间为． （2）， 当时，， 所以当，即时，取得最大值3； 当，即时，取得最小值． 54．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的最小值. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到依次为试确定的值，并求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简，再根据周期及奇偶数性求出的解析式，再令，利用二次函数性质求解最小值即可； （2）根据三角函数图像变换求得，利用换元法，结合三角函数图象与性质求得以及的值. 【详解】（1）. 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得， 又由函数为奇函数，所以，因为，所以， 所以函数.所以， 令，则， 故原函数最小值为的最小值，其对称轴为， 在单调递增，在单调递减，且， 所以时，有最小值， 所以的最小值为. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到， 令，则， 因为，所以，令，则， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，与共有6个交点， 所以方程在上共有6个根，即， 因为 ， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$