精品解析： 重庆市渝高中学教育集团 2024—2025学年上学期九年级期末 教育质量监测 数学 试 题

重庆市渝高中学教育集团2024－2025学年（上） 九年级期末教育质量监测 数学试题卷 （全卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2.作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 3.考试结束，由监考人员答题卡全部收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 4. 如图与相切于点B，的延长线交于点A，连接，若，则和度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，于点．若，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 估算：的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 7. 已知点均在双曲线上，下列说法中正确是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. （20+x）（32﹣x）＝540 B. （20﹣x）（32﹣x）＝100 C. （20﹣x）（32﹣x）＝540 D. （20+x）（32﹣x）＝540 9. 如图四边形是正方形，，抛物线经过点D，则b的值是（ ） A. B. C. 5 D. 10. 已知点在二次函数的图象上，其中，，，，令，，，．为的个位数字（n正整数），下列说法：①；②的最小值为，此时或12；③的个位数字为0，其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11 若点与点关于原点对称，则________． 12. 已知a是方程的一个根，则的值为______． 13. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为a，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为b，则的概率是________． 14. 如图，点P是函数图象上的一点，过点P作轴于点A，若点B是的中点，且，则________． 15. 如图，C、D是以为直径的半圆周的三等分点， ，P是直径上的任意一点．则阴影部分的面积等于________．（结果保留） 16. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别在上，若，且，则的长为______． 17. 已知关于y的分式方程有整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为________． 18. 一个四位自然数，若它千位数字比十位数字少，百位数字比个位数字多，则称为“渝高集团数”．如：四位数，∵，，∴是“渝高集团数”；四位数，∵，∴不是“渝高集团数”，则最小的“渝高集团数”为________．若一个四位数是“渝高集团数”，且，，若能被7整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为________． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程 （1） （2） 20. 在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关．请根据这个思路完成以下作图和填空． （1）尺规作图：已知是的直径，延长，过点B作的切线（M在点B左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法） （2）如图C、D是圆上两点，在（1）的条件下，为弦切角，求证：． 证明：连接． ∵是的直径， ∴ ∵是过点B的切线， ∴ ① ． 即， ∴， ∵ ② ． ∴， 又∵和是所对的圆周角 ∴ ③ ． ∴ ④ ． 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于 ⑤ ． 21. 因国家对体育健康的重视程度不断提高，某校对九年级学生的喜好安排体育延时社团活动，分别有：足球、篮球、乒乓球、跑步、铅球、跳绳，每位学生只能选其中一项作为延时社团活动．为了了解学生对这几种运动具体的喜爱情况，该校的某位数学刘老师在自己所教的九年级七班进行了调查，被调查的学生必须从足球、篮球、乒乓球、跑步、铅球、跳绳中选择自己最喜爱的运动项目，根据调查结果绘制成如下图所示的不完整的统计图： 请根据图中信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了___________名学生，________，_________． （2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中跳绳所在扇形圆心角的度数； （3）若从九年级七班喜欢足球和铅球的学生中选出两名学生，请用列表法或画树状图的方法求出选出的两名学生喜欢的运动项目相同的概率． 22. 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销玩具进货价为每个28元，标价为每个40元． （1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价百分率相同，最后这种热销玩具以每个元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个标价40元时，平均每天能售出80个，当这种热销玩具每个售价每降元时，平均每天就能多售出5个．当每个玩具实际售价为多少元时，商城销售这种玩具利润最大，每天最大利润是多少元？ 23. 已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由： （2）若的长度为，，求购物车把手到的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：） 24. 如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ （3）若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．其中，，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）平分交x轴于D．点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点E，交直线于点F．点M、N是x轴上两个动点，（M在N的左侧），连接、，当线段取最大值时，求的最小值； （3）如图2，连接，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线相交于另一点H．点Q为新抛物线上的一个动点．当，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 26. 在中，，，点在射线上，连接，过点作，交于点，交于点． （1）如图，，，求长度； （2）如图，点在射线上，满足，连接，探究线段之间的数量关系并证明； （3）如图，在（）的条件下，点为平面内一动点，满足，当最小时，在射线、射线上分别有点、点，使得，当最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市渝高中学教育集团2024－2025学年（上） 九年级期末教育质量监测 数学试题卷 （全卷共4页，三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2.作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 3.考试结束，由监考人员答题卡全部收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键是理解中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握：轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．据此逐一分析判断即可． 【详解】解：A．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线的顶点坐标，正确理解二次函数的顶点式是解题的关键．根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键． 把方程移项变形为的形式，再把左边因式分解，可以得到两个一元一次方程，然后解这两个方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，．   故选：B ． 4. 如图与相切于点B，的延长线交于点A，连接，若，则和度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由切线的定义可得出，由角的和差关系可得出，由等边等等角可得出，由三角形的外角定义和性质可得出，最后再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆切线的定义，等边对等角，三角形外角的定义和性质以及三角形内角和定理，掌握这些性质是解题的关键． 5. 如图，是的直径，于点．若，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，设，则，由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 估算：的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据二次根式的混合运算得出，再估算出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴的值应在6和7之间， 故选：B． 7. 已知点均在双曲线上，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要利用了反比例函数的增减性，求出点A、B、C所在的象限是解题的关键．根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：， ∴反比例函数的图象在二、四象限， 点在第四象限，点在第二象限． ． ， ． 故选：C． 8. 如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. （20+x）（32﹣x）＝540 B. （20﹣x）（32﹣x）＝100 C. （20﹣x）（32﹣x）＝540 D. （20+x）（32﹣x）＝540 【答案】C 【解析】 【分析】设小路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案． 【详解】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米， 根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）＝540． 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍． 9. 如图四边形是正方形，，抛物线经过点D，则b的值是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特征，过点作轴，过点作于，过点作于，利用三角形全等的性质即可得出点坐标，代入即可得出的值．确定点的坐标是解题关键． 【详解】解：过点作轴，过点作于，过点作于， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵点、的坐标分别是，， ∴， 解得：， ∴， ∵点在抛物线的图像上， ∴， ∴， 故选：B． 10. 已知点在二次函数的图象上，其中，，，，令，，，．为的个位数字（n正整数），下列说法：①；②的最小值为，此时或12；③的个位数字为0，其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字变化的规律，二次函数上的点的坐标规律，能根据题意表示出和是解题的关键．依次求出，，，，，和，，，，，发现规律即可解决问题． 【详解】将，，，，分别代入二次函数解析式， 得，，，，，， 所以，，，，， 当时，， 故①错误； ， 因为n是正整数， 所以当或12时，的最小值为， 故②正确； 因为为的个位数字， 所以的个位数字为2，的个位数字为6，的个位数字为2，的个位数字为0，的个位数字为0，的个位数字为2，的个位数字为6，的个位数字为2，的个位数字为0，的个位数字为0，的个位数字为2，的个位数字为6，， 所以的个位数字按2，6，2，0，0循环出现， 又因为， 所以， 即的个位数字为0， 故③正确； 所以正确的个数是2． 故选：C． 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 若点与点关于原点对称，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键．由题意知，，然后代入求解即可． 【详解】点与点关于原点对称， ，， ． 故答案为：1． 12. 已知a是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，先得到，再代入求值即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为a，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为b，则的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案． 【详解】解：根据题意，画出树状图如下： 一共有9种等可能结果，其中的有3种， ∴的概率是． 故答案为：． 14. 如图，点P是函数图象上的一点，过点P作轴于点A，若点B是的中点，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，先由题意得出，再由反比例函数的的几何意义即可得解． 【详解】解：∵点B是的中点，且， ∴， ∵点P是函数图象上的一点，过点P作轴于点A， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，C、D是以为直径的半圆周的三等分点， ，P是直径上的任意一点．则阴影部分的面积等于________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握扇形面积公式．连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，得出， 说明是等边三角形，根据等边三角形性质得出，，证明，得出，根据，即可得出答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ，是以为直径的半圆周的三等分点， ， 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别在上，若，且，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使，连接，，分别证明：和，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键．本题考查半角模型，遇到半角模型，通常经过构造全等三角形进行解题． 17. 已知关于y的分式方程有整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握解分式方程及一元二次方程根的判别式是解题的关键．先解分式方程得，然后求得a的整数值，再根据一元二次方程根的判别式，求得，且，所以或5，即可求得答案． 【详解】解：去分母得，， 整理得，， ， 关于y的分式方程有整数解， ，， 或3或或5， 当时，， 解得， 但是分母，即， ， 或3或5， 关于x的一元二次方程有实数根， ，且， 解得，且， 或5， 所有整数a的值之和为． 故答案为：8． 18. 一个四位自然数，若它的千位数字比十位数字少，百位数字比个位数字多，则称为“渝高集团数”．如：四位数，∵，，∴是“渝高集团数”；四位数，∵，∴不是“渝高集团数”，则最小的“渝高集团数”为________．若一个四位数是“渝高集团数”，且，，若能被7整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为________． 【答案】 ①. 1440 ②. 4242 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，由题意得，，则，故，然后分情况讨论即可根据题意列出代数式，利用条件进行化简是解题的关键． 【详解】解：由题意知，千位比十位少，百位比个位多， 则千位数字最小为1，此时十位数字为4，要使数最小则百位数字为4，此时个位数字为0， ∴最小的“渝高集团数”为1440， 由“渝高集团数”可知，，， ∵，，，， ∴，， ∴， 则， ∵能被整除， ∴当时，四位数为：，，，，，，都不能被整除， ∴不符合题意； 当时，四位数为：，，，，，， ∴其中符合能被整除， ∴最大值为：， 当，四位数为：，，，，，， ∴其中符合能被整除， 最小值为：， ∴差值为， 故答案：1440，． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先计算判别式的值，然后利用公式法解方程； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：由已知得， ， ， ， 即； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ． 20. 在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关．请根据这个思路完成以下作图和填空． （1）尺规作图：已知是的直径，延长，过点B作的切线（M在点B左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法） （2）如图C、D是圆上两点，在（1）的条件下，为弦切角，求证：． 证明：连接． ∵是的直径， ∴ ∵是过点B的切线， ∴ ① ． 即， ∴， ∵ ② ． ∴， 又∵和是所对的圆周角 ∴ ③ ． ∴ ④ ． 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于 ⑤ ． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④；⑤它所夹弧所对的圆周角 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，圆周角定理，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点，以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点，连接即可； （）连接，由是的直径，得；又是过点的切线，则，即，故有，又，则，从而得出结论； 【小问1详解】 解∶ 如图，以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点； 连接； ∴即为所求； 【小问2详解】 证明：连接． ∵是的直径， ∴ ∵是过点B的切线， ∴． 即， ∴， ∵． ∴， 又∵和是所对的圆周角 ∴． ∴． 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角． 故答案为：①；②；③；④；⑤它所夹弧所对的圆周角 21. 因国家对体育健康的重视程度不断提高，某校对九年级学生的喜好安排体育延时社团活动，分别有：足球、篮球、乒乓球、跑步、铅球、跳绳，每位学生只能选其中一项作为延时社团活动．为了了解学生对这几种运动具体的喜爱情况，该校的某位数学刘老师在自己所教的九年级七班进行了调查，被调查的学生必须从足球、篮球、乒乓球、跑步、铅球、跳绳中选择自己最喜爱的运动项目，根据调查结果绘制成如下图所示的不完整的统计图： 请根据图中信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了___________名学生，________，_________． （2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中跳绳所在扇形圆心角的度数； （3）若从九年级七班喜欢足球和铅球的学生中选出两名学生，请用列表法或画树状图的方法求出选出的两名学生喜欢的运动项目相同的概率． 【答案】（1）60，35，10 （2）统计图见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）用喜欢篮球的人数除以其人数占比即可求出总人数，再求出a的值，进而求出喜欢乒乓球的人数，从而求出喜欢跳绳的人数，最后用喜欢跳绳的人数除以总人数即可求出b； （2）根据（1）所求补全统计图即可；用360度乘以跳绳的人数占比即可得到答案； （3）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：名， ∴在这项调查中，共调查了60名学生； ∵， ∴， ∴最喜爱乒乓球的人数为名， ∴最喜爱跳绳的人数为名， ∴， ∴， 故答案为：60，35，10； 【小问2详解】 解：补全统计图如下所示： 扇形统计图中跳绳所在扇形圆心角的度数为 【小问3详解】 解：喜欢足球的用A、B、C表示，喜欢铅球的用D、E、F，列表如下： A B C D E F A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） （F，A） B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B） （F，B） C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C） （F，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D） （F、D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （F、E） F （A，F） （B，F） （C，F） （D，F） （E，F） 由表格可知一共有30种等可能性的结果数，其中两名学生喜欢的运动项目相同的结果数有12种， ∴两名学生喜欢的运动项目相同的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 22. 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销玩具进货价为每个28元，标价为每个40元． （1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后这种热销玩具以每个元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个标价40元时，平均每天能售出80个，当这种热销玩具每个售价每降元时，平均每天就能多售出5个．当每个玩具实际售价为多少元时，商城销售这种玩具利润最大，每天的最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）实际销售价为38元时，每天的最大利润为1000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用，二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，该玩具连续两次降价后的价格可表示为，所以可列方程，解方程即得答案； （2）设每个玩具降m元，商场每天的利润为w元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求得答案． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得：，（舍去）， 答：每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设每个玩具降m元，商场每天的利润为w元， 由已知得：， 即， ， 当时，w有最大值1000， 即实际销售价为元时，每天的最大利润为1000元． 23. 已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由： （2）若的长度为，，求购物车把手到的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：） 【答案】（1）两支架与为垂直的位置关系，理由见解析 （2）购物车把手到的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质； （1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解． 【小问1详解】 解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下： 在中． ∵，，，且， ∴ ∴， 答：两支架与为垂直的位置关系； 【小问2详解】 解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h， ∴ ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：购物车把手到的距离为． 24. 如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ （3）若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 【答案】（1） （2）图象见解析，性质：当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，还考查了平行四边形的性质，勾股定理； （1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论； （2）先确定，，然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从最值写出函数的一条性质； （3）通过平移直线，与相交，找到只有一个交点时的临界点，根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止， ∴当点到达点时秒，当点到达点时秒， ∴当时，点在线段上，此时，； 当时，点在线段上， 此时，； ∴； 【小问2详解】 解：函数图象如图： 由函数图象可得，当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可）； 【小问3详解】 解：平移直线，与相交，函数图象如图： 把代入可得； 把代入可得，解得； 把代入可得，解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是或． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．其中，，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）平分交x轴于D．点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点E，交直线于点F．点M、N是x轴上两个动点，（M在N的左侧），连接、，当线段取最大值时，求的最小值； （3）如图2，连接，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线相交于另一点H．点Q为新抛物线上的一个动点．当，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴可列方程，将代入可得另一方程，解方程组即得答案； （2）过点P作轴，交x轴于点K，交直线于点P，先证明，再设，求出的长，进一步求得最大时点P的坐标，最后通过平移的方法，即可解决将军饮马问题的变式，得到答案； （3）过点P作轴，交x轴于点K，交直线于点P，先求得平移后的抛物线为，再分点Q在的下方和上方两种情况讨论，利用抛物线的轴对称性求得一个点Q的坐标，再利用求直线与抛物线的交点，可求得另一个点Q的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， ， ， ， 将代入得， 联立方程组， 即得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴，交x轴于点K，交直线于点P， 抛物线的对称轴是直线，， ， ， 在中，， ， ，， 平分， ， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 即， 设，则， ， ， 当时，最大，即最大， 此时，， 将点P向左平移个单位，得到， 作点C关于x轴的对称点，则， 连结， 则， 所以当线段取最大值时，的最小值为； 【小问3详解】 解：，， 将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，相当于将该抛物线先向左平移个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线， ， 平移后的抛物线为， 在中，，， 则， ， ， 分两种情况讨论： ①点Q在的下方时，， ， ， 轴， 即点为点C关于对称轴的对称点， ； ②点Q在的下方时，， ， 延长交x轴于点T， 轴， ， ， ， ， 设直线为， 将C，T的坐标代入得， 解得， 直线为， 联立方程组， 解得，， ； 故所有符合条件的点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了与线段相关的二次函数综合题，二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析式，图形平移的性质，通过平移解决将军饮马问题的变式是解题的关键． 26. 在中，，，点在射线上，连接，过点作，交于点，交于点． （1）如图，，，求长度； （2）如图，点在射线上，满足，连接，探究线段之间的数量关系并证明； （3）如图，在（）的条件下，点为平面内一动点，满足，当最小时，在射线、射线上分别有点、点，使得，当最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，则，求出，，在中，解直角三角形求出，，即可求出，解直角三角形求出，由即可解答； （2）过点作交的延长线于点，交于点，则，证明，推出，，再证明，推出，即可得出结论 （3）作交于点Q，过点A作于点H，过点N作交于点G，取的中，连接，证明四点共圆，是等腰直角三角形，得到，当与重合时，即两点重合时，有最小值，证明，根据，，再证明，得到，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，证明，得到，设，则，求出，，中，，求出，利用的面积为即可解答． 【小问1详解】 解：过点作于，则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：．证明如下： 过点作交的延长线于点，交于点，则， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：作交于点Q，过点A作于点H，过点N作交于点G，取的中，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图，当与重合时，即两点重合时，有最小值， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形， ∵点是的中点， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 如图，当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴ 整理得： 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的性质与判定，解直角三角形，四点共圆的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是：构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$