3.2.2第1课时双曲线的几何性质 学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

3.2.2　双曲线的几何性质 第1课时　双曲线的几何性质 [学习目标]　1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义.3.根据几何条件求双曲线的标准方程． 一、根据双曲线方程研究几何性质 知识梳理 1．双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 对称性 对称轴：__________，对称中心：__________ 顶点 性质 轴长 实轴长＝__________，虚轴长＝__________ 实半轴长＝__________，虚半轴长＝__________ 离心率 e＝________(e>1) 渐近线 2.双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心 双曲线的__________叫作双曲线的中心． (2)等轴双曲线 __________的双曲线叫作等轴双曲线，其离心率e＝.为了便于研究，方程一般写为x2－y2＝m(m≠0)． 例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 延伸探究　把本例双曲线方程“9y2－4x2＝－36”改为“9y2－4x2＝36”，它的性质如何？ 反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置． 跟踪训练1　(多选)已知双曲线－＝1，对于∀k∈R且k≠0，则下列四个选项中因k改变而变化的是(　　) A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程 二、由几何性质求双曲线的标准方程 例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为. 反思感悟　由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论． 跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点． 三、求双曲线的离心率 知识梳理 离心率 (1)定义 焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率，记为e. 由a2＋b2＝c2，可得e＝＝. (2)范围 由c>a>0可知双曲线的离心率e>1. (3)几何意义 由等式c2＝a2＋b2，得＝＝＝. 因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度． 例3　(1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________． (2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，求其离心率的值． 反思感悟　求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝求解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． 跟踪训练3　过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________． 1．知识清单： (1)根据双曲线方程研究几何性质． (2)由几何性质求双曲线的标准方程． (3)求双曲线的离心率． 2．方法归纳：待定系数法、分类讨论、解方程法． 3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错． 1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A．实轴长为8 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 2．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 4．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________． 第1课时　双曲线的几何性质 知识梳理 1．x≥a或x≤－a　y≥a或y≤－a　坐标轴　原点　(－a,0)，(a,0)　(0，－a)，(0，a)　2a　2b　a　b　　y＝±x　y＝±x 2．(1)对称中心　(2)实轴和虚轴等长　 例1　解　把双曲线的方程化为标准方程为－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x. 延伸探究 解　把双曲线的方程9y2－4x2＝36化为标准方程为－＝1， ∴a2＝4，b2＝9，c2＝13.焦点在y轴上，∴顶点坐标为(0,2)，(0，－2)， 焦点坐标为(0，)，(0，－)，实轴长2a＝4， 虚轴长2b＝6，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 跟踪训练1　AC　[∵双曲线的方程为－＝1，k∈R且k≠0， ∴a2＝2k2，b2＝k2，c2＝3k2， 焦距为2c＝2|k|， 离心率e＝＝＝， 顶点坐标(±|k|,0)，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. ∴因k改变而变化的是焦距和顶点坐标．] 例2　解　(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1. (2)由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)， 即c＝3且焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5， 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 跟踪训练2　解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)． 由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)椭圆＋＝1的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，在x轴上的顶点坐标为(－2,0)，(2,0)． 则双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，顶点坐标为(－1,0)，(1,0)． 故双曲线的标准方程为x2－＝1. 例3　(1)或 解析　当焦点在x轴上时，＝2， 这时离心率e＝＝＝. 当焦点在y轴上时，＝2，即＝， 这时离心率e＝＝＝. (2)解　因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y＝±x，即bx±ay＝0的距离为＝＝b，所以b＝c，因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，所以离心率e＝＝2. 跟踪训练3　2＋ 解析　如图，设F1，F2为双曲线C的左、右焦点， 将点P的横坐标2a代入－＝1中，得y2＝3b2， 不妨令点P的坐标为(2a，－b)， 此时kPF2＝＝， 得到c＝(2＋)a， 即双曲线C的离心率e＝＝2＋. 随堂演练 1．ABD　[双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6， 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.] 2．B　[∵e＝，∴＝，即＝3， ∴b2＝2a2，∴渐近线方程为y＝±x.] 3．D　[由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.] 4．2 解析　由题意知－＝1， c2＝a2＋b2＝4， 解得a＝1， 所以e＝＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$