第02讲 函数的切线问题（寒假预科讲义）-2025年高二数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019）

第02讲 函数的切线问题 【人教A版2019】 模块一 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线T的斜率，即==f'().这就 是导数的几何意义.相应地，切线方程为y-f()=f'()(x-). 2．切线方程的求法 (1)已知切点时求切线方程的方法： ①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). (2)切点未知时的解题通法： ①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； ②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； ③将已知条件代入②中的切线方程求解. 3．公切线问题的解题思路 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般 是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 【题型1 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例1.1】（23-24高二下·重庆·期中）曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将函数求导，代入即得切线的斜率. 【解答过程】由题意得， 则所求切线的斜率为. 故选：A. 【例1.2】（23-24高二下·河北承德·阶段练习）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．135° 【解题思路】根据导数的几何意义求斜率，再求倾斜角. 【解答过程】因为，则，所以， 所以曲线在点处的切线的倾斜角为. 故选：D． 【变式1.1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数 的图象如图所示，下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据图象观察斜率的大小结合导数的几何意义可得答案. 【解答过程】从函数 的图象可以看出，点处切线的斜率大于直线的斜率，直线的斜率大于点处切线的斜率，点处切线的斜率大于0， 根据导数的几何意义可得：，即， 故选：C. 【变式1.2】（23-24高二下·北京海淀·期中）若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】 求导，由切点坐标可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程，代入坐标原点即可求解，进而可求斜率. 【解答过程】因为，所以，设切点为，所以 ， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程的斜率为. 故选：B. 【题型2 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 【例2.1】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，对函数进行求导，得到，求出切线方程； 【解答过程】已知，函数定义域为， 可得， 此时， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 故选：B. 【例2.2】（23-24高二下·广东茂名·期中）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导后将代入，求出斜率，再得到切点，运用点斜式即可. 【解答过程】求导得到, ，将代入原函数，得到，即切点； 将代入导函数，得到，即切线斜率．运用点斜式得到切线方程为，化简得到一般式. 故选：B. 【变式2.1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可. 【解答过程】由，得， 所以，又， 故曲线在点处的切线的方程为，即. 故选：A. 【变式2.2】（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设切点为，利用导数写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【解答过程】设切点为，，则切线斜率为， 所以，所求切线方程为， 将原点坐标代入所求切线方程可得，即，解得， 因此，所求切线方程为. 故选：C. 【题型3 已知切线（斜率）求参数】 【例3.1】（23-24高二下·浙江嘉兴·开学考试）已知函数，在点处的切线方程为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，根据导数的几何意义求得参数值. 【解答过程】由，得， 又在点处的切线方程为， 则， 解得， 故选：A. 【例3.2】（23-24高二下·北京通州·期中）若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【解题思路】求出导数，将代入后，可得，将代入后可得，进而得到． 【解答过程】由得， 又曲线在点处的切线方程为， 故当时， 又点在上，则，故． 故选：A． 【变式3.1】（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知函数是自然对数的底数．若曲线在点处的切线方程是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，根据函数在某点的切线方程得到在点处的切线方程可表示为：，再由切线方程是，建立方程组求解. 【解答过程】因为，所以． 在点处的切线方程可表示为： ， 又因为曲线在点处的切线方程是， 所以解得． 故选：C. 【变式3.2】（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围. 【解答过程】∵， ∴， 设切点为，则，切线斜率， ∴切线方程为， ∵切线过原点， ∴，整理得： ∵存在过坐标原点的切线， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是. 故选：B. 【题型4 切线的条数问题】 【例4.1】（2024·全国·模拟预测）若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求得，求得切线方程,结合题意，转化为方程有2个不等实根，根据二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】设过点的直线与曲线相切于点， 由，可得，所以切线的斜率， 整理得， 因为切线有2条，所以切点有2个，即方程有2个不等实根， 则，解得或， 所以的取值范围是． 故选：D． 【例4.2】（23-24高二下·湖南·阶段练习）经过点作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【解题思路】设出切点坐标，写出切线方程 把代入，研究方程根的情况即可. 【解答过程】因为， 设切点为，所以曲线在点处的切线方程为 . 将代入，得即：或， 所以，此时，切点为； 或 因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不同的根，即经过点作曲线的切线有3条. 故选：C. 【变式4.1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程的根的个数问题转化为函数与函数的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案. 【解答过程】解：由题意得，设切点为，， ，， 则过点的切线方程为，整理得， 由点在切线上，则，即， 因为过直线上一点可以作曲线两条切线， 所以关于的方程有两个不等的实数根， 即函数与函数的图象有两个交点， ， ， 则函数在上单调递增，在上单调递减，且， 时，；时，， 则函数与函数的图象如下图所示： 由图可知，， 故选：C. 【变式4.2】（23-24高三上·湖北·期中）函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【解题思路】根据奇函数确定，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算，计算切线得到答案. 【解答过程】，故，， ，， 设切点为，则，且， 整理得到，解得，， 故切线方程为， 故选：A. 【题型5 两条切线平行、垂直问题】 【例5.1】（23-24高二下·湖北·期末）已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数a等于（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】由导数的几何意义求解即可. 【解答过程】因为，所以， 则曲线在点处的切线斜率为， 又因为直线斜率为， 所以，即. 故选：C. 【例5.2】（23-24高二下·江苏苏州·期中）设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围. 【解答过程】由，则的切线斜率为， 由，则的切线斜率为， 而两曲线上总存在切线、有，即， 而，即，故， 所以，解得. 故选：B. 【变式5.1】（23-24高二下·江西新余·阶段练习）函数在点处的切线为. (1)若与直线平行，求实数的值； (2)若与直线垂直，求切线的方程. 【解题思路】（1）根据题意，求导得，由导数的几何意义即可得到结果； （2）根据题意，求得的值，得到切点以及斜率，再由直线的点斜式方程即可得到结果. 【解答过程】（1）由题意可得:，所以在点处的切线斜率为， 因为切线与直线平行，所以，解得； （2）由（1）可知，切线斜率为，因为切线与直线垂直， 所以，解得， 所以切点为，斜率为， 所以切线方程为，即. 【变式5.2】（23-24高二下·陕西汉中·期中）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再求切线方程； （2）根据（1）的结果，再根据两直线平行的几何关系，列式求解. 【解答过程】（1），，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. 【题型6 公切线问题】 【例6.1】（23-24高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．26 B．23 C．15 D．11 【解题思路】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解. 【解答过程】解：因为， 所以，由，解得或（舍去）， 所以切点为， 因为切点在切线上，解得， 所以切线方程为， 设切点为， 由题意得，解得， 所以， 故选：D. 【例6.2】（23-24高三·江西·阶段练习）若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据垂直性质可得，再求导根据导数的几何意义可得切线的方程为，再设函数与直线切于点，列式求解即可 【解答过程】由题知，，令，又，解得，因为，所以切线的方程为.， 设函数与直线切于点， 所以，故， 即，，解得或. 故选：D. 【变式6.1】（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别设两曲线上的两个切点坐标，然后利用导数求斜率，用斜率相等建立方程①，再利用两点坐标求斜率再次利用斜率相等建立方程②，解方程组即可求得切点横坐标，最后求得切点与斜率即可得解. 【解答过程】由，得，由，得． 设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又， 由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1， 即的方程为． 故选：B. 【变式6.2】（23-24高二下·四川绵阳·期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 【解题思路】设切点分别为、，根据导数几何意义及公切线列方程求参数值即可. 【解答过程】若，则，且， 若，则，且， 又是、的公切线， 设切点分别为、，则， ，则，即. 故选：A. 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数的几何意义，即可求解. 【解答过程】由函数，得， 则，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：D. 2．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件作出切线，利用导数的几何意义及斜率的定义即可得. 【解答过程】依次作出函数在处的切线，如图所示： 根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知， ． 故选：B. 3．（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【解题思路】设切点坐标为，求导，从而有斜率，再由点在曲线上求解. 【解答过程】解：设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率， 又，即，解得， 所以由，得. 故选：D. 4．（23-24高二下·全国·课后作业）函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是（      ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的几何意义以及切线斜率的变化可得出结论. 【解答过程】由图象可知，函数在上单调递增，所以当时，， 即，，， 又因为曲线在点处切线的斜率随着的增大而减小，即在点处切线的斜率随着的增大而减小， 故. 故选：A. 5．（23-24高二下·安徽合肥·期中）函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．2 【解题思路】根据导数得出函数与抛物线在点处的切线的斜率，根据已知两切线相同即可得出答案. 【解答过程】，则，则在点处的切线的斜率为， ，则，则在点处的切线的斜率为， 函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线， 则，即， 故选：C. 6．（23-24高二下·江西·期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据导数求解，由两直线平行斜率相等即可求解. 【解答过程】由得，故， 由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以， 故选：C. 7．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【解题思路】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案. 【解答过程】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 8．（2024·全国·模拟预测）若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设切点为，，求导，根据导数的几何意义可得有两个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解. 【解答过程】设切点为，， 又，所以切线斜率， 所以切线方程为， 又切线过点， 则，， 即， 由过点可作两条切线， 所以有两个正根， 即，整理可得， 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据导数的几何意义结合图象即可判断各选项. 【解答过程】对于AB，由图可知，，所以，A错B对； 对于CD，由图可知，，所以C错D对. 故选：BD. 10．（23-24高二下·湖南·期中）过点作曲线的切线，则切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先设出切点的坐标，求出导函数，再将切点横坐标代入导函数求出切线的斜率，结合切点坐标写出切线方程，再将点P的坐标代入切线方程，进而解出切点横坐标，最后得到答案. 【解答过程】 ∵.设曲线的切点为，则，. ∴切线方程为. 又切线经过点，则，解得或， ∴切点为时，切线方程为；切点为时，切线方程为. 故选：AB. 11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有两条，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出切点并根据导函数性质设出过切点的切线方程，参变分离构建新函数，求导画出草图即可根据条件得出答案. 【解答过程】设切点为， 由， 得， 则过切点的切线方程为：， 把代入，得， 即， 令， 则， 则当时，， 当时，， 的增区间为与，减区间为， 做出草图如下： 因为过点且与曲线相切的直线有两条，则或， 则或， 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高二·全国·单元测试）已知曲线y＝f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x+3，则f（2）+f′（2）的值为 9 ． 【解题思路】根据导数的几何意义，进行求解即可． 【解答过程】y＝f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x+3， ∴f（2）＝2×2+3＝4+3＝7， 切线的斜率k＝2，即f′（2）＝2， 则f（2）+f′（2）＝7+2＝9， 故答案为：9. 13．（23-24高二下·山西忻州·期末）若函数的图象在点处的切线恰好经过点（2，3），则a＝ -1 ． 【解题思路】先求导，然后分别求出，表示出切线方程，最后将点（2，3）代入切线方程即可求出答案. 【解答过程】由题可知，则． 又，所以的图象在点处的切线方程为，即．因为点（2，3）在切线上，所以，解得． 故答案为：-1. 14．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则 5 ． 【解题思路】由直线是曲线的切线求解，可得切线方程，再设直线与曲线的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求． 【解答过程】由，得，由，解得， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线的切线， 由，得，设切点为， 则，且，联立可得， 解得，所以． ∴． 故答案为：5． 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏·课前预习）已知抛物线，求： (1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线? (3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线? 【解题思路】（1）运用导数的几何意义，结合直线斜率与直线倾斜角之间的关系进行求解即可； （2）运用导数的几何意义，结合互相平行直线的性质进行求解即可； （3）运用导数的几何意义，结合互相垂直直线的性质进行求解即可； 【解答过程】（1）由，设切点为， 因为切线的倾斜角为45°， 所以切线的斜率为，因此有； （2）由，设切点为， 因为切线切线平行于直线， 所以切线的斜率为，因此有； （3）由，设切点为， 因为切线线垂直于直线， 所以切线的斜率为，因此有. 16．（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 【解题思路】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解； （2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解. 【解答过程】（1）因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得，． （2）由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 可得， ， ，解得， 所以切点为，切线方程为． 故曲线过点的切线方程为． 17．（23-24高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【解题思路】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【解答过程】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 18．（23-24高二下·全国·课后作业）已知曲线 (1)求过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 【解题思路】（1）根据导数的定义求出函数的导函数，设过点的切线的切点为，再根据导数的几何意义即可得解； （2）设斜率为的切线的切点为，根据导数的几何意义求出参数，从而可得出答案. 【解答过程】（1）， 设过点的切线的切点为， 则，即该切线的斜率， 因为点，在切线上，所以， 解得，故切线的斜率， 故曲线过点的切线方程为，即； （2）设斜率为的切线的切点为， 由（1），知，得， 所以切点坐标为或， 故满足斜率为的曲线的切线方程为或， 即或. 19．（23-24高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程； （2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案. 【解答过程】（1）当时，，，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，. 曲线在点A处的切线为， 与曲线相切于点， 则且（*）， 由，则， 代入（*）得， 解得或. 当时，直线.当时，，直线. 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 函数的切线问题 【人教A版2019】 模块一 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线T的斜率，即==f'().这就 是导数的几何意义.相应地，切线方程为y-f()=f'()(x-). 2．切线方程的求法 (1)已知切点时求切线方程的方法： ①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). (2)切点未知时的解题通法： ①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； ②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； ③将已知条件代入②中的切线方程求解. 3．公切线问题的解题思路 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般 是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 【题型1 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例1.1】（23-24高二下·重庆·期中）曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二下·河北承德·阶段练习）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．135° 【变式1.1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数 的图象如图所示，下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二下·北京海淀·期中）若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【题型2 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 【例2.1】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二下·广东茂名·期中）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 已知切线（斜率）求参数】 【例3.1】（23-24高二下·浙江嘉兴·开学考试）已知函数，在点处的切线方程为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二下·北京通州·期中）若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【变式3.1】（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知函数是自然对数的底数．若曲线在点处的切线方程是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 切线的条数问题】 【例4.1】（2024·全国·模拟预测）若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高二下·湖南·阶段练习）经过点作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式4.1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高三上·湖北·期中）函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【题型5 两条切线平行、垂直问题】 【例5.1】（23-24高二下·湖北·期末）已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数a等于（    ） A． B． C．1 D．2 【例5.2】（23-24高二下·江苏苏州·期中）设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高二下·江西新余·阶段练习）函数在点处的切线为. (1)若与直线平行，求实数的值； (2)若与直线垂直，求切线的方程. 【变式5.2】（23-24高二下·陕西汉中·期中）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【题型6 公切线问题】 【例6.1】（23-24高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．26 B．23 C．15 D．11 【例6.2】（23-24高三·江西·阶段练习）若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6.1】（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高二下·四川绵阳·期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1.5 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东梅州·期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 4．（23-24高二下·全国·课后作业）函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是（      ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·安徽合肥·期中）函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．2 6．（23-24高二下·江西·期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 8．（2024·全国·模拟预测）若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24高二下·湖南·期中）过点作曲线的切线，则切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有两条，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二·全国·单元测试）已知曲线y＝f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x+3，则f（2）+f′（2）的值为 ． 13．（23-24高二下·山西忻州·期末）若函数的图象在点处的切线恰好经过点（2，3），则a＝ ． 14．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏·课前预习）已知抛物线，求： (1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线? (3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线? 16．（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 17．（23-24高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 18．（23-24高二下·全国·课后作业）已知曲线 (1)求过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 19．（23-24高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$