第01讲 导数的概念与运算（寒假预科讲义）-2025年高二数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019）

第01讲 导数的概念与运算 【人教A版2019】 模块一 导数的概念 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1.1】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为，则这个物体在时间段内的平均速度为（    ） A．2 B． C．3 D． 【例1.2】（23-24高二下·全国·课后作业）质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（    ） A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s 【变式1.1】（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二下·湖北黄冈·期中）已知质点M在平面上作变速直线运动，且位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系可用函数：表示，则该质点M在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 【例2.1】（23-24高二下·北京·期中）下图是函数的图象，函数在区间，上的平均变化率分别为，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【例2.2】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二下·北京丰台·阶段练习）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ）    A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同； C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同． 【变式2.2】（24-25高二·全国·课后作业）已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B．在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【题型3 利用导数的定义解题】 【例3.1】（23-24高二下·河北廊坊·开学考试）已知函数在上可导，若，则（    ） A．9 B．12 C．6 D．3 【例3.2】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3.2】（23-24高二下·重庆·期末）若函数的满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【题型4 利用导数的定义求切线斜率】 【例4.1】（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A．-1 B．-3 C．1 D． 【例4.2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高二下·江西赣州·期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式4.2】（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 模块二 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【题型5 基本初等函数的导数】 【例5.1】（23-24高二下·山西晋中·阶段练习）下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）下列各式中正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式5.2】（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 复合函数的求导方法】 【例6.1】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高二下·北京·期中）已知下列四个命题，其中正确的个数有（    ） ① ，  ② ， ③ ， ④. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式6.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列求导数运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 与导数运算有关的新定义问题】 【例7.1】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中没有“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（23-24高二下·四川自贡·期中）设 ，则（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建漳州·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·全国·课后作业）曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则＝ （　　） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D．0 6．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A．－2a B．2a C．a D． 7．（23-24高二下·山东日照·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二下·全国·专题练习）物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 二、多选题 9．（23-24高二上·山东临沂·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二·全国·课后作业）若当，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．曲线上点处的切线斜率为 D．曲线上点处的切线斜率为 11．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（    ）    A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 三、填空题 12．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）设函数在处的导数为2，则 ． 13．（23-24高二下·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知质点运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系为，则质点在时刻的瞬时速度为 米/秒． 14．（23-24高二下·全国·课后作业）若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数 (1)写出； (2)求出； (3)求出； (4)写出，， 16．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）遥控飞机上升后一段时间内，第时的高度为，其中上升高度的单位为m，t的单位为s； (1)求飞机在时间段内的平均速度； (2)求飞机在时的瞬时速度. 18．（24-25高二·全国·课后作业）泰兴机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600. (1)求产量为1 000台的总利润与平均利润； (2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； (3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义． 19．（23-24高二·全国·课后作业）已知曲线上的两点和，求： (1)割线AB的斜率； (2)过点A的切线的斜率； (3)点A处的切线的方程． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 导数的概念与运算 【人教A版2019】 模块一 导数的概念 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1.1】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为，则这个物体在时间段内的平均速度为（    ） A．2 B． C．3 D． 【解题思路】根据平均速度的公式计算. 【解答过程】. 故选：B. 【例1.2】（23-24高二下·全国·课后作业）质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（    ） A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s 【解题思路】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合. 【解答过程】质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案. 【解答过程】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为：． 故选：A. 【变式1.2】（23-24高二下·湖北黄冈·期中）已知质点M在平面上作变速直线运动，且位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系可用函数：表示，则该质点M在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先对函数求导，然后把代入即可求解． 【解答过程】因为， 所以， 令，得瞬时速度为． 故选：A. 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 【例2.1】（23-24高二下·北京·期中）下图是函数的图象，函数在区间，上的平均变化率分别为，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【解题思路】根据平均变化率定义直接计算即可. 【解答过程】由题可知，，， 所以. 故选：B. 【例2.2】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用瞬时变化率的定义可求得结果. 【解答过程】因为， 所以，函数在处的瞬时变化率为 . 故选：C. 【变式2.1】（23-24高二下·北京丰台·阶段练习）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ）    A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同； C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同． 【解题思路】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【解答过程】A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确. B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同， B选项结论正确. C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同， C选项结论正确. D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于 在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率 D选项结论错误. 故选：D. 【变式2.2】（24-25高二·全国·课后作业）已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B．在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【解题思路】由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断. 【解答过程】解：∵在a到b之间的平均变化率是， 在a到b之间的平均变化率是， 又，， ∴， ∴A、B错误； 易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 由题中图象可知： 时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确． 故选：D． 【题型3 利用导数的定义解题】 【例3.1】（23-24高二下·河北廊坊·开学考试）已知函数在上可导，若，则（    ） A．9 B．12 C．6 D．3 【解题思路】借助导数定义计算即可得. 【解答过程】由导数定义可知： ， 故. 故选：B. 【例3.2】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用导数的定义，求得，列出方程，即可求解. 【解答过程】由函数， 则， 所以，解得. 故选：B. 【变式3.1】（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】根据导数的定义求解. 【解答过程】因为, 所以, 故选:A. 【变式3.2】（23-24高二下·重庆·期末）若函数的满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【解题思路】由极限的定义化简即可求出答案. 【解答过程】因为， 所以 故选：D. 【题型4 利用导数的定义求切线斜率】 【例4.1】（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A．-1 B．-3 C．1 D． 【解题思路】利用导数的定义求解. 【解答过程】解：因为， 所以， 故选：D. 【例4.2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用导数的定义即可得到，再由导数的几何意义即可得出结果. 【解答过程】由，得到， 由导数的定义知，所以函数在点处的切线的方程为， 即， 故选：D. 【变式4.1】（23-24高二下·江西赣州·期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】由导数的定义及几何意义即可求解. 【解答过程】解：因为存在导函数且满足， 所以，即曲线上的点处的切线的斜率为， 故选：A. 【变式4.2】（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在处的切线，根据切线的斜率来判断即可． 【解答过程】依次作出，，，在的切线，如图所示： 根据图形中切线的斜率可知． 故选：A． 模块二 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【题型5 基本初等函数的导数】 【例5.1】（23-24高二下·山西晋中·阶段练习）下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本初等函数的导数逐项分析判断. 【解答过程】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 【例5.2】（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）下列各式中正确的是（      ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本初等函数求导公式得到答案. 【解答过程】AB选项，，AB错误； CD选项，，C错误，D正确. 故选：D. 【变式5.1】（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【解题思路】求得，令，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 令，可得，解得. 故选：A. 【变式5.2】（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由初等函数导数公式求导. 【解答过程】，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误. 故选：A. 【题型6 复合函数的求导方法】 【例6.1】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数的基本运算与复合导数的运算法则求解即可. 【解答过程】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误. 故选：B. 【例6.2】（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解． 【解答过程】， 则． 故选：D. 【变式6.1】（23-24高二下·北京·期中）已知下列四个命题，其中正确的个数有（    ） ① ，  ② ， ③ ， ④. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】根据求导公式及运算律，简单复合函数导数逐项求导验证即可 【解答过程】因为,所以①错, 因为,所以②错, 因为,所以③错. 因为,所以④错, 故选：A. 【变式6.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列求导数运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据求导法则依次计算得到答案. 【解答过程】对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，错误； 对选项D：，错误. 故选：B. 【题型7 与导数运算有关的新定义问题】 【例7.1】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中没有“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】按照“巧值点”的概念依次判断四个选项即可. 【解答过程】对于A，由得， 或 ∴函数有“巧值点”，故A错误； 对于B，由得，解得， ∴函数有“巧值点”－1，故B错误； 对于C，由得， 易知函数与的图象在第一象限内有一个交点，    ∴方程有一个解，∴函数有“巧值点”，故C错误． 对于D，由得，方程无解， ∴函数无“巧值点”，故D正确； 故选：D． 【例7.2】（23-24高二下·四川自贡·期中）设 ，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，依次求出,...,寻找出规律即可. 【解答过程】因为， 所以, , , , ... 因为, 所以. 故选：C. 【变式7.1】（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，即可根据拐点定义求解. 【解答过程】由，得，进而， 令，故， 所以，故对称中心为 故选：B. 【变式7.2】（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【解答过程】对于A：，，， 则在上恒有，故A错误； 对于B：，，， 则在上恒有，故B错误； 对于C：，，， 则在上恒有，故C错误； 对于D：，，， 则在上恒有，故D正确. 故选：D. 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据导数的定义可求. 【解答过程】由导数的定义得: ． 故选：D. 2．（23-24高二下·福建漳州·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本初等函数的导数公式可得答案. 【解答过程】，故A不正确； ，故B正确； ，故C不正确； ，故D不正确. 故选：B. 3．（23-24高二下·全国·课后作业）曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的定义求得正确答案. 【解答过程】设， 故选：C. 4．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则＝ （　　） A． B． C． D． 【解题思路】由导数的运算法则验算即可. 【解答过程】由题意. 故选：C. 5．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D．0 【解题思路】根据平均变化率的计算即可求解. 【解答过程】在区间上的平均变化率为， 故选：A. 6．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A．－2a B．2a C．a D． 【解题思路】由导数的定义变形即可求解. 【解答过程】. 故选：B． 7．（23-24高二下·山东日照·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数运算法则求出正确的结果即可判断. 【解答过程】A.，故错误； B.，正确； C.，故错误； D.，故错误. 故选：B. 8．（2024高二下·全国·专题练习）物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【解题思路】利用平均速度的定义逐项判断可得出合适的选项. 【解答过程】在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故AB错误； 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为， 因为，，所以， 则在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误． 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高二上·山东临沂·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的导数公式，结合导数的运算法则和复合函数求导法则，分别进行判断即可. 【解答过程】，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C正确； ，所以D错误. 故选：BC. 10．（23-24高二·全国·课后作业）若当，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．曲线上点处的切线斜率为 D．曲线上点处的切线斜率为 【解题思路】根据导数的定义和几何意义依次判断各个选项即可. 【解答过程】由得：，即， 曲线上点处的切线斜率为，C错误；D正确； ，A正确；B错误. 故选：AD. 11．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（    ）    A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 【解题思路】利用图象可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用平均变化率的概念可判断C选项；利用平均变化率的概念可判断D选项. 【解答过程】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确； 选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等， 说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误； 选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内， 血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确； 选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为 和，显然不相同，即选项D不正确． 故选：AC. 三、填空题 12．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）设函数在处的导数为2，则 ． 【解题思路】根据题意结合导数的定义分析求解. 【解答过程】因为函数在处的导数为2，即， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高二下·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知质点运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系为，则质点在时刻的瞬时速度为 1 米/秒． 【解题思路】求出代入即可. 【解答过程】由题意得，所以， 即质点在时刻的瞬时速度为1米/秒． 故答案为：1. 14．（23-24高二下·全国·课后作业）若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 【解题思路】利用导数定义求出，设，根据垂直得出切线斜率为，则可得，进而求出点坐标. 【解答过程】设，则 ， 因为点处的切线垂直于直线， 所以点处的切线的斜率为， 所以，解得，则， 即点的坐标是． 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数 (1)写出； (2)求出； (3)求出； (4)写出，， 【解题思路】（1）代入直接计算即可； （2）直接作商即可求解； （3）直接进行简单极限运算； （4）利用导函数概念求解导函数，代入法求解，. 【解答过程】（1） ； （2）； （3）； （4）由（2）知， 则，. 16．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解题思路】利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则和复合函数的导数法则即可求解. 【解答过程】（1）设，则， 所以. （2）设，则， 所以. （3）设，则， 所以. （4）设，则， 所以. 17．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）遥控飞机上升后一段时间内，第时的高度为，其中上升高度的单位为m，t的单位为s； (1)求飞机在时间段内的平均速度； (2)求飞机在时的瞬时速度. 【解题思路】（1）根据平均变化率计算； （2）根据瞬时变化率计算． 【解答过程】（1） . （2）第末的瞬时速度为 . 因此，第末的瞬时速度为. 18．（24-25高二·全国·课后作业）泰兴机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600. (1)求产量为1 000台的总利润与平均利润； (2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； (3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义． 【解题思路】（1）将x=1000代入函数可得总利润，总利润除以总数1000可得平均利润； （2）计算即可得解； （3）求导得c′(x)，再分别计算c′(1 000)和c′(1 500)，利用导数代表瞬时变化率可知实际意义. 【解答过程】(1)产量为1 000台时的总利润为c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)，平均利润为＝5 000.6(元)． (2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为＝＝2 000(元)． (3)∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′＝－4x＋7 000，∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)， c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)， 它们指的是当生产第1 000台时，可获利3 000元；. 而当生产第1 500台时，可获利1 000元． 19．（23-24高二·全国·课后作业）已知曲线上的两点和，求： (1)割线AB的斜率； (2)过点A的切线的斜率； (3)点A处的切线的方程． 【解题思路】（1）根据斜率公式，即可得到；（2）令，根据导数的定义求出，分成切点为点和不是点两种情况.当切点不是点时，设出切点坐标，表示出切线斜率，得到关系式，求出参数值，得到这种情况不符合，所以斜率即为；（3）根据（2）中求出的斜率，代入点斜式方程，整理即可得到结果. 【解答过程】（1）由已知可得，. （2）令， ， 根据导数的定义可得，. ①当切点为点时，根据导数的几何意义知； ②当切点不是点时. 设切点坐标为，，则， 又，所以有，解得， 因为，所以此时无解. 综上所述，过点A的切线的斜率. （3）由（2）知，曲线在点A处的切线的斜率， 代入点斜式方程有，，整理可得切线的方程为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$