7.1.2 第2课时 垂线段最短课件 -2024-2025学年人教版（2024） 数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 7.1.2 垂线段最短 学习目标 1.理解垂线段的概念；（重点） 2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；（重点） 3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．（难点） 情境导入 在生活中我们会发现，在灌溉时，要把河中的水引到农田处，需要挖渠道. 那么如何挖渠能使渠道最短？ 知识点一 垂线段 在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？ 请转化成数学问题并找出最短的位置. 新知讲解 . P 思路点拨：可运用直尺测量. l 运用直尺测量发现，线段PO 的长度最短. 这样的线段 PO 只有一条. 新知讲解 垂线段的定义：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫作垂线段. 垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 线段 PO 的长度叫作 点到直线的距离. 新知讲解 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 例1 点到直线的距离是指这点到这条直线的( ) A.垂线段 B.垂线的长 C.长度 D.垂线段的长度 D 新知讲解 例2 如图，下列说法正确的是（ ） A.线段 AB 叫作点 B 到直线 AC 的距离 B.线段 AB 的长度叫作点 A 到直线 BC 的距离 C.线段 BD 的长度叫作点 D 到直线 BC 的距离 D.线段 BD 的长度叫作点 B 到直线 AC 的距离 A B C D D 注意：判断垂线段，求点到直线的距离，关键有两点： (1)看清垂线段，即从哪个点到哪条线；(2)不能漏掉“长度”. 新知讲解 例3 如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，则点B到AC的距离是 ，点A到BC的距离是 ，点C到AB的距离是 ， AC>CD 的依据是 . 12cm 5cm cm 垂线段最短 C D B A 新知讲解 思路点拨：求点C到AB的距离即求线段CD的长度，用等积法. = AC·BC =CD·AB 例1 如图，平原上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池. (1) 不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 M 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； (2) 计划把河水引入蓄水池 M 中，怎样开渠最短?并说明根据. 知识点二 垂线段性质的实际应用 新知讲解 分析: (1) 依据“两点之间，线段最短”作图，线段交点即为蓄水池的位置. (2) 依据“垂线段最短”作图，垂线段即为开渠路线. M N M (1) (2) 解：如图所示. 新知讲解 注意：解决这类最短距离问题时，要先判断是点到点的距离还是点到直线的距离，再依据“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”作图. 新知讲解 例2 如图，测量运动员跳远成绩选取的是线段AB的长度，其依据是( ) A.两点确定一条直线 B.垂线段最短 C.两点之间，线段最短 D.垂直的定义 B 新知讲解 1.在下列语句中，正确的是( ) A.在同一平面内，一条直线只有一条垂线 B.在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条 C.在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条 D.在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离 C 无数条 无数条 垂线段的长度是点到直线的距离 随堂练习 2.P为直线m外一点，A,B,C为直线m上三点，PA=4cm,PB=5cm, PC=2cm,则点P到直线m的距离( ) A.等于4cm B.等于2cm C.小于2cm D.不大于2cm D 易错题：容易选B. 垂线段最短，但并未说明PC是垂线段，所以垂线段的长度 可能小于2cm，也可能等于2cm. 随堂练习 3.如图，在三角形ABC中，AB⊥BC,其中AC=2.5,AB=1,P是线段BC上任意一点，那么线段AP的长度可能为( ) 解析：因为P是线段BC上任意一点，且AB⊥BC,根据“垂线段最短”可知线段BC上的所有点中，与点A的距离最近的为点B,即线段AP的长度最短为1;与点A的距离最远的为点C,即线段AP的长度最长为 2.5,所以1≤AP≤2.5,选项中满足条件的只有1.5. A.0.5 B.0.7 C.1.5 D.4 随堂练习 C 4.如图，河道的同侧有M,N两地，现要铺设一条引水管道，从河岸P处把河水引向M,N两地.下列四种方案中，最节省材料的是( ) M N · · l A B C D 依据：两点之间，线段最短；垂线段最短 D 随堂练习 5.如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D,AC=10,AB=6, BC=8,求点B到直线AC的距离. 解析：因为∠ABC=90°，BD⊥AC，AC=10,AB=6, BC=8, 所以= AB·BC= AC·BD， 所以BD= = =4.8， 由题意可知点B到直线AC的距离即为线段BD的长，为4.8. 随堂练习 6.已知:如图，AD<AE <AC<AB，能说AD的长是A到BC的距离吗? C B A D E 解析:不能得出AD⊥BC， 所以不能说AD的长是A到BC的距离. 随堂练习 7.如图，点P,Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄之间的一条公路.根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交车站. (1)若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置(用点M表示),依据是什么？ (2)若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置(用点N表示),依据是什么？ P. ·Q l M N 解析：（1）如图，点M即为所求.依据：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （2）如图，点N即为所求.依据：两点之间线段最短. 随堂练习 垂线段最短 垂线段 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 定义：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫作垂线段 性质：垂线段最短 课后小结 垂线段性质的实际应用 谢谢观看 $$