2.1.3 方程组的解集-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教B版2019）

第二童等式与不等式 2.1.3方程组的解集 [学习任务] 1.了解方程组及其解集的定义， 2,掌握求方程组解集的常用方法， 3.了解方程组中方程个数，未知数个数对方程组解集的影响. 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点方程组的解集 飞微判断 1.概念 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组。 (1)若ab=0,则a=0或b=0. () 方程组中，由每个方程的解集得到的 (2)二元方程的解集是无限集。 () 称为这个方程组的解集。 (3)二元一次方程组的解集可能是空集.() 2.解法 这微练习 求方程组解集的过程要不断应用等式的性 质，常用的方法是 mx十ny=8, 二元一次方程组 的解集为 3.方程组的解集 nx-my=1 当方程组中未知数的个数大于方程的个数 {(x,y)|(2,1)},则2m-n的算术平方根为 时，方程组的解集可能含有 个元素.此 时，如果将其中一些未知数看成 ,那么 其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一一次方程组的解集 跟踪训练 [例1]求下列方程组的解集： 1)/2+y=0. 1.解方程组 x-y+2z=18.② 3x-2y=14: 3x+y-2x=2, (2)2y+3z=0, 2x-y+z=0. 探究二二元二次方程组的解集 [例2]求下列方程组的解集： 1)y=x+1,0 x2+y2=13;② -川规律方法川 x2+xy-2y2=0, (1)解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消 (2) lx2+2xy+y2-x-y-2=0. 元法 (2)解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从 整体考虑，一数选择消去可以使计算量相对较小的未 知数：消去的未知数一定是同一未知数 33 》高中数学·必修第一册(RJB) -川规律方法川 问：该公司这两种产品的销售件数分别是 (Ax+By+C=0, 多少？ (1)对形如 Dx'+Exy+Fy+Gx+Hy+K=0 的方程组可用代入法， (2)对形如A+Bxy+Gy+Dx+Ey叶B=0, 1A+Bzy+Cy+Dx+Ey+F:=0 的方程组可通过“降次”转化为(1)中的形式求解. 川规律方法川 跟踪训练 用一次方程组解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意和题目中的数量关系： 2.求下列方程组的解集： (2)设元：用字母表示题目中的未知数： (1)x+y=7, (3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组： (4)解方程组：利用代入消元成加减消元解出未知数 xy=12; 的值： x2-4xy+4y2+x-2y-2=0, (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后 (2) 作答 3x+2y-11=0. 跟踪训练 3.某商场计划购进A,B两种型号的手机，已 知每部A型号手机的进价比每部B型号手 探究三方程组的实际应用 机进价多500元.若商场用50000元共购进 [例3]“一带一路”促进了中欧贸易的发展， A型号手机10部，B型号手机20部，求A, B两种型号的手机每部进价分别是多少元 我市某机电公司生产的A,B两种产品在欧 洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销 售总额为2060万元，总利润为1020万元 (利润=售价一成本).其每件产品的成本和 售价信息如下表： 成本（单位：万元/件） 售价（单位：万元/件） 5 随堂巩固促应用 险证反馈迁移运用 x十2y=k, 1.已知方程组 的解满足x十y=2, x-y=4.5, x-y=4.5, 2x+y=2 A.1 2xy=1 B. 1 y-2x=1 则k的算术平方根为 () B.-2 x+y=4.5, A.4 C.-4 D.2 fx-y=4.5, 2x=1 D. 1 2.我国古代数学著作《孙子算经》中有一道 y 2y=1 题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四 尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？” 3.以方程组=1+1， y=-x+2 的解为坐标的点(x,y) 大致意思是：“用一根绳子去量一根木条， 在第 象限 绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木 4.方程组2+y一2 x-y=0, 解是 条剩余1尺，问木条长多少尺？”，设绳子长 x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正 确的是 提示请完成《素能提升训练》训练十二 34[微思考] (2)4=122-4×4×9=0, [提示]当一元二次方程的判别式为零时，方程有两个 .4x2十12十9=0有两个相等的实数根 相等的实数根，其解集只有一个元素。 (3)4=(-3)2-4×2×6=-39<0, 知识点三1.开平方配方直接开平方法一次因式 .2x2-3x十6=0没有实数根. 一n一n [跟踪训练] [微练习] 2.证明：△=[-(4m-1)]2-4×2×(-m2-m)= 2+1=-:p-3 24m+1>0,∴.不论m为何值时，方程2x2一(4m-1)x A由根与系数的关系，得 2×1=g, q=2. 一m一m=0总有两个不相等的实数根 探究三一元二次方程根与系数的关系 【互动探究解疑难】 [例3][解](1)一元二次方程x2十4x一1=0的两根 探究一求一元二次方程的解集 {x1十王=-4， [例1][解](1)方法一：移项，得x-2x=8,配方， 分别是x1,x1,则△=16十4>0， x1x,=-1, 得(x-1)2=9,由此可得x1=士3， (x1-x)=(x1+x)2-4x1·x,=16+4=20. x1=4,x2=一2，方程的解集为{一2,4). 方法二：原方程可化为(x一4)(x十2)=0， (2)}+}-十_✉十x)-2红马 x1xgx1·x2 (x1x2) ,.x-4■0或x十2=0， =-42-2x(-12=18, x1=4,x1=一2，…方程的解集为{一2,4). (-1) (2)方法一：原方程可化为(x-2)(2x-3)=0, [跟踪训练] x-2=0或2z-3=0,…5=2,,=号， 3解1)基搭题意可得十名=一合-6马=日一， “方程的解集为2，受 xx-x1-工=115 即(x1x2)2-(x1十x)=k-6=115, 方法二：'a=2,b=-7,c=6,△=b-4ac=1>0, 解得k=士11. :x=-b吐B-4a--(-7)±L 又△=36一4k≥0，解得k≤9，故k=一11. 2a 2×2 (2)x+x2+8=(x1十x)-2x1x十8 即x=2西=是心方程的解集为2，引 3 =62-2×(-11)+8=36+22+8=66. 【随堂巩固促应用】 (3)原方程可化为(x-1)°-2(x-1)=0.提取公因式， 1.ACDx2+8x十9=0配方应为(x+4)=7.选ACD. 得(x-1)(x-1-2)=0,.x-1=0或x-3=0, 2.C方程(x+2)=3x+5化为x2+x-1=0,∴.△=1 x=1,x2=3,.方程的解集为(1,3} 一4×（一1）=5>0，.方程有两个不相等的实数根. [最踪训练] 3.B由题可知一1和3是方程x一p虹一q=0的两个根，由 1.解(1)x2+4x-1=0,∴.x2+4x=1, 韦达定理一1+3=p,一1×3=一q,解得p=2,q=3. ∴x2+4x+4=1+4,.(x+2)2=5, 4.B当a=0时，x=1,符合题意：当a≠0时，由△=1+ ∴x=-2士5.∴.x1=-2十5，x=-2-√5. 4a≥0，得a≥- 子且a≠0，嫁上，a的取值范国 ∴原一元二次方程的解集是{一2十√5,2一√5. (2)移项，得4x2十8x=一1， 为[-，+∞） 二次项系教化为1，得x2十2x=一 2.1.3方程组的解集 4 【自主学习探新知】 配方，得2+2z+1=1-,即(x+1=是 知识点1.交集2.消元法3.无穷多常数 [微判断] x+1=士=-1+=-1- (1)V(2)×(3)V ∴原一元二次方程的解桑是-1+号，-1-} [微练习] 12m十n=8 解析由题意得 8解得m=32m一=4, 探究二一元二次方程判别式的应用 2n-m=1 n=2. [例2][解](1)4=(-14)2-4×1×12=148>0， ∴√2m-n=2. ,.x2一14x十12=0有两个不相等的实数根 答案2 11 【互动探究解疑难】 ①得y1=4或y,=3. 探究一一次方程组的解集 .方程组的解集为{(3,4)，(4,3)}. [例1][解](1)由2x+y=0得到y=-2x. 方法二：由题意知x,y是方程z2-72十12=0的两根， 代入3x-2y=14,得3zx-2(-2x)=14,解得x=2. 即为(z一3)(x一4)=0的两根，. |x=3,(x=4, 或 再将x=2代入2x十y=0,解得y=一4. y=4 y=3. 解集为(2，一4). ∴，原方程组的解集为{(3,4)，(4,3)}. 3x十y-2x=2,① (2)方程组 12-4xy+4y+红-2y-2=0,0中， (2)2y+3x=0, ② 13x+2y-11=0② 2x-y十z=0, ⑧ ①可化为(x-2y)十(x一2y)-2=0, ①×2-③×3得：5y-7x=4,④ 即(x-2y+2)(x-2y-1)=0. 3 由②知：y=一 2,代入④得： ∴.x-2y+2=0或x-2y-1=0. |x-2y+2=0, 5(一受)-7=4，解得=一0 原方程组等价于(1) 13.x+2y-11=0 将=品入y子屏释号 x-2y-1=0, 工=4 或(i) 由(1)解得 将x=一 y一号代入@，解得号 3x+2y-11=0, 17 y=8' 解集为{（铝号）小 x=3, 由（Ⅱ）解得 y=1. [跟踪训练] 1.解设行=子=音=，则x=3张，y=4,2=6弘 所以原方程组的解集为{，（学，晋）3，D 探究三方程组的实际应用 将它们代入②中，得3k一4k十10k=18,解得k=2. [例3][解]设A,B两种产品的销售件数分别为x件、 所以x=6,y=8,g=10, y件， 所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(6,8,10)} 5x+7y=2060, x=160, 探究二二元二次方程组的解集 由题意，得 解得 2x+4y=2060-1020, y=180. [例2][解](1)把①代入②得x2+(x+1)=13, 答：A,B两种产品的铺售件数分别为160件、180件. 整理得x2十x-6=0,解得x=一3，x1-2. [跟踪训练] 把x1=一3代入①，得y1=一2， 3.解设A,B两种型号的手机每部进价分别是x元、y元， 把x2=2代入①，得y2=3, 所以原方程组的解集为{(-3，-2)，(2,3). 根据题意，得 /x=y+500, 化简，得工一y500, (2)方程组可化为 /(x-y)(x+2y)=0, 10x+20y=50000 x+2y=5000, (x+y-2)(x+y+1)=0, 两式相减，得3y=4500,解得y=1500,则x=1500十 即为《 一y=0,或{ x-y=0, |x+2y=0, 500=2000. 或 x+y-2=0x+y+1=0x+y-2=0 答：A,B两种型号的手机每部进价分别是2000元、 x+2y=0, 1500元. 或 x+y+1=0. 【随堂巩固促应用】 1 1.D把两个方程相加可得3x十3y=2十k,两边同除以3可 解1， I=- 2， x=4, 或 x=一2 或 或 得x十y2牛-2，解得=4，因此k的算术平方根为2 ly=1 y=-2 y=1. 3 y=-2 2.B设绳子长x尺，木条长y尺， 所以原方程组的解集为 x-y=4.5, a(7-2）4,-20,(-2,D 依题意有 1y- 2x=1. [跟踪训练] 2.解(1)方法一： x+y=7, 3解析方程组的舞集为{（侵，2）儿，所以>0>0， 由①得，y=7-x,代入② xy=12,② 所以点(x,y)在第一象限. 整理得，x2-7x十12=0.解得工1=3或x2=4,分别代入 答案一 12 x-y=0,① 选项D:当a=5,b=2,c=11,d=2时，有a>b,c>d 4.解析 ①十②得x2十x=2,解得x=一2 x2+y=2,② 成立， 或1，把x=一2代入①得y=-2,把x=1代入①得y=1, 但此时a-c=5-11=一6，b一d=2-2=0,由一6<0 |x1=-2,x4=1, 可知，a-c>b-d不成立 所以原方程组的解为 y=-2,y=1. 故选项D判断错误， x1=-2,x2=1, (2)[证明]c>a>b>0,.c-a>0,c-b>0, 答案 y=-2,y=1 -a<-b,∴.0<c-a<c-b. 2.2不等式 又ab>0a>0b>0∴品>品>0…君 2.2.1不等式及其性质 >0，0<日< a 第1课时不等式及其性质 【自主学习探新知】 又r0<c-a<c-,∴a<c-b 知识点一1.两个数或代数式2.(1)坐标正方向 [跟踪训练] 负方向(2)a<ba=ba>b [微思考] 2CDA中，a方→<：当a<0,6>0时，满足 c>0 [提示]当x=3时，x≥3成立，实际上，x≥3的含义 已知条件，但推不出a>b,错误，B中，当a=3,b=1,c= 是x>3或x=3中有一个成立时，x≥3就成立. 一2，d=一3时，命题显然不成立，错误：C中， 知识点二1.>a>c2.a十c>b+dac>bda>b [微判断] e>0→号>>0→√月>成立，正确：D c>d>o dc (1)×(2)×(3)× 中，显然c2>0,两边同来以c2得a>b,正确. 【互动探究解疑难】 探究三 利用不等式的性质求取值范围 探究一利用作差法比较大小 [例3][解]3<b<4,∴.-4<-b<-3. [例1][解]a-1-。-1-a-1)(a+1) a .1-4<a-b<6-3,即-3<a-b<3. a a :a>0,当>1时，a-1)a+D>0,有a>1 111.1d6 又4<6<分4<6<3 当a=1时，a-1a+D-0,有a= 即}<分<2.练上a-6的取值范国为（一3,3），号的 当0<a<1时，a-Da+D<0,有a<日 取值范国为（仔，2） a [跟踪训练] 综上，当a>1时，a>】；当a=1时，a=;当0<a<1 3.解析 1<a<3<<是又-42, 时a<日 -2<-<4-是<a-<号即-昌< [跟踪训练] 1.(a'+b)-(a'b+ab)=a+b-a'b-abi=a'(a- b)-b(a-b)=(a-b)(a2-b)=(a-b)2(a+b). a>0,b>0,且a≠b,∴.(a-b)2>0,a十b>0, 答案{-<<号》 .(a3+b)-(a2b十ab)>0,即a+b>a2b十ab, [牛刀小试] 探究二利用不等式的性质判断或证明不等式 解析设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子 [例2](1)AB选项A:由不等式性质1可知：若a>b, 器件(50-2)件，振据题意，得乏+50气≤20，解得 3 则有a十c>b十c.判断正确： x≤20. 选项B:由不等式性质2可知：若号<名，则有a<判 由题意，得总产值y=7.5x+6(50-x)=300十1.5x≤ 断正确： 330,当且仅当x=20时，y取最大值330.所以欲使总产 量最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330 选项C:当K0时，由a>b,可得号<1.故选项C判断 万元， 错误： 答案20330 13