2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教B版2019）

第二章 等式与不等式 [跟踪训练] 2.1 等式 2.解 (1)r+3x+2=(x+2)(+1) (2)2-7x+3-(2x-1(r-3). 2.1.1 等式的性质与方程的解集 (3)10(x+2)-29(r+2)+10 【自主学习探新知】 -2(-+2)-5][5(r+2)-2]-(2- (5+8). 知识点一 1.a士c-b士c 2.ac-b 探究三 求方程的解集 [微练习] [例3] [解](1)整理,得x-2x十1-0.即(x-1)* 1.AB 对等式x-y两边同乘以3,得x-2y,A正 -0. 所以x.一工。一1.所以方程的解集为(1). 确,把等式中3x-2-4x+2化简可得x=-4,B正确, (2)利用平方差公式,将原方程化为 C.D均不正确. [4(-5)+3(r+4]4(x-5)-3(r+4)]-0. 知识点二 1.任意实数 2.(1)a+2ab+b 整理可得(7x-8)(x-32)-0. (2)(a+b)(a-b) (3)(a-b)(a+ab+b}) (4)r十(a+b)x+abacr+(ad+bc)x+bd 所以7x-8-0或x-32-0,所以x- 3.ab a十b(r+a)(x十b) C 故原方程的解集力为({#,32.# [微思考] [跟踪训练] [提示]r+(a+2)x+2a=(x+a)(x+2). 知识点三1.未知数 2.(r.x。) 3.解 (1)r +5x-24-(x-3)(x+8). (1r) [微练习] 原方程化为(x-3)(x十8)-0. 解得文一3或1-一8,所以原方程的解集为(3,-8). 2.解析 r+2x-15-0,即(-3)(x+5)-0,所以$-3 (2)3x+x-2-(3r-2)(x+1). 或r一-5.所以方程的解集为(3,一5). 原方程化为(3x-2)(x+1)-0. 答案(3,-5) 解得-或1-一1,所以原方程的解集为{,一1. 【互动探究解疑难】 探究一 代数式的化简 (3)12-5x-2-(3r-2)(4r+1). [例1] [解](1)原式=(x-1)[x十(x十x十1)]= 原方程化为(3x-2)(4.x+1)-0. x(-1)+(-1)-x-1. (2)原式-(a-b)(a+ab+b)(a+b)(a-ab+) 所以原方程的解集为{. (a-b)(a十b)- -b. (3)原式-(a+b)(a -ab+b*)-a +b}. 【随堂巩固促应用】 [跟踪训练] 1.B 由等式性质知①③正确,②①不正确。 1.解(1)方法一:(3r+1)-(x+1)=9r+6r+1 2.D -=r(r-1)=r(r+1)(r-1). (r+2+1-9+6+1--2x-1-8 +4$ 3.解析 原方程可化为x-,又x=1,所以=1,$$ 方法二:(3x+1)-(x+1)=[(3x+1D+(+1)][(3 +1)-(x+1)]-(4x+2)·2r=8r+4x. 即a-2. 答案 2 ($)a(a-b)-8(a-b)-(a-b)(a -2)-(a-b)(a- 2)(a+2a+4). 4.解析 a+a-a-1-a(a+1)-(a+1)=(a+1(a-1. 探究二“十字相乘法”分解因式 答案(a十1)(a-1) 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与 [例2][解](1)r-3x+2-(x-1)(r-2). 系数的关系 【自主学习探新知】 (2)-r*+(a-2)r+2a-(r+2)(-x+a). 知识点一ax”bC 知识点二 两个不相等 两个相等的实数根 -1 无实数根 10 [微思考] (2)A-12-4×4×9-0. [提示] 当一元二次方程的判别式为零时,方程有两个 *.4r+12+9一0有两个相等的实数根 相等的实数根,其解集只有一个元素 (3)A-(-3)*-4$2$6--39<0. 知识点三 1.开平方 配方 直接开平方法 一次因式 *2-3x+6-0没有实数根 -n [跟踪训练] 2.证明 [微练习] .△-[-(4m-1)]-4$2x(-n-n)= 24n{}+10..,不论n为何值时,方程2r-(4-1) A 由根与系数的关系,得 2X1-q. -2. 一m{一n一0总有两个不相等的实数根. 探究三 一元二次方程根与系数的关系 【互动探究解疑难】 [例3] [解] (1)一元二次方程x十4x-1-0的两根 探究一 求一元二次方程的解集 x十x=-4. [例1][解](1)方法一:移项,得x一2x一8,配方, 分别是r.x。,则△-16+40. 1r=-1. 得(x-1)-9,由此可得x-1-士3, (x)-(x+x)-4·-16+4-20 x=4,x。=-2,.,方程的解集为(-2,4) (2) 1-+(+)-2- 方法二:原方程可化为(x-4)(x十2)-0. x ·础 (r) '-4-0或r+2-0. (-4)*-2X(-1-18. 'x.-4,x=-2.,方程的解集为(-2,4) (-1) (2)方法一:原方程可化为(r-2)(2x-3)-0. [跟踪训练] -#_6.--k. 3 '-2-0或2-3-0.x-2x= 2 3.解(1)根据题意可得,x.十x.=一 .方程的解集为^(2.# .---115. 即(x)-(x+x)-k-6-115 方法二:,a-2,b--7,c-6,-b-4ac-10 解得-士11. .-6-4a-(-7)士 又A-36-4k>0,解得 9,故b--11. 2 2X2 ($)+x+8-(x+x)-2xr+8 即文、-2,-..方程的解集为{(23. -6-2$(-11)+8-36+22+8-66 【随堂巩固促应用】 (3)原方程可化为(x-1)-2(x-1)-0.提取公因式, 1.ACD r+8x+9=0配方应为(x+4)-7.选ACD 得(r-1)(-1-2)-0,-1-0或-3-0 2.C 方程(r+2)-3r+5化为x+x-1-0, △-1^ 'x.=1,x.一3..方程的解集为(1,3 一4X(一1)一5一0...方程有两个不相等的实数根。 [跟踪训练] 3.B 由题可知-1和3是方程x-px-q-0的两个根,由 1.解 (1),+4c-1-0.+4x-1. 书达定理-1+3-,-1x3--,解得 -2,-3. '+4x+4-1+4,(x+2-5. 4.B 当a-0时,x-1,符合题意;当a:0时,由△-1+ $-2+5.=-2+5,=-2-5 4ao,得a- 原一元二次方程的解集是(-2+5,一2-5). #为一-) (2)移项,得4r*+8x=-1. 2.1.3 二次项系数化为1,得x十2x=- 方程组的解集 配方,得+2x+1'-1-,即(x+1)*-3. 【自主学习探新知】 知识点 1.交集 2.消元法 3.无穷多 常数 [微判断] (1)(2)x (③) [微练习] 2n十n-8解得{ i 由题意得 n-3. 解析 '.2n--4. 12n-n-1. 探究二 一元二次方程判别式的应用 -2. [例2] [解](1)△-(-14)-4×1×12-1480. .v2m-n-2. '?-14x+12-0有两个不相等的实数根 答案 2 2》高中数学·必修第一册(RJB) 探究三求方程的解集 跟踪训练 [例3]求下列方程的解集： 3.求下列方程的解集： (1)(x+3)(x+1)=6x+2; (1)x2+5x-24=0: (2)16(x-5)2-9(x+4)2=0. (2)3x2十x-2=0: (3)12x2-5.x-2=0. 川规律方法川 (1)对于形如ax=b(x为未知数，a,b为常数)的方程 要注意讨论a是否为零 (2)“十字相乘法”也是解一元二次方程的一种常见 方法。 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.若a=b,则在①a+3=b+3;②a+2=b-2; C.x(x+1) ③a一m=b-m;④a十4=b一2中，正确的 D.x(x+1)(x-1) 个数有 3.x=1是关于x的方程2x一a=0的解，则a A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 的值是 2.分解因式x3一x,结果为 4.分解因式：a3+a2-a-1= A.x(x2-1) 提示，请完成《素能提升训练》训练十 B.x(x-1)2 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [学习任务] 1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集。 2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用. 3.理解一元二次方程根与系数的关系， 自主学习探新知 渠前预习双基落实 知识点一一元二次方程的有关概念 方程，其中a,b,c为常数，且a≠0.其中二次项 形如ax2十bx十c=0的方程为一元二次 是 ,一次项是，是常数项，a, b分别称为二次项系数和一次项系数 30 第二童等式与不等式 知识点二 △=b一4ac的取值与根的个数间： 知识点三一元二次方程的解法、根与系数的 的关系 关系 d-b-4ac 根的情况 一元二次方程的解法 直接开 方程ax2+bx十c=0(a≠0)有 形如(x一k)=t(≥0)的方程，两边 平方法 的实数根，即 ,转化为两个一元一次方程 62-4ac>0 6+6=c-b-应 把一元二次方程ax+bx十c=0(a≠0)通过 2a 2a 配方法 化成(x一)=t(t≥0)的形式，得 用 求解 方程ax2+bx十c=0(a≠0)有 6-4ac-0 6 元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)满足b ,即x1=工=一 a 公式法 c≥0，利用求根公式工=一b吐=c求解 2a 6-4ac<0 方程ax+bx十c=0(a≠0) 《微思考 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两 因式 个 的乘积，即可化成a(x十m》 [思考] 一元二次方程（系数均为实数）有 分解法 (x十n)=0(a≠0)的形式，即可解得两根为： 两个根，它的解集是否一定有两个元素？ 2.一元二次方程根与系数的关系 元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两个 根分别为西西，则十五= a巧=9 《微练习 关于x的一元二次方程x2十px十q=0的 两根分别为x1=2,x2=1,则p,9q的值分 别为 () A.-3,2 B.3,-2 C.2,-3 D.2,3 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一求一元二次方程的解集 川规律方法川 (1)解一元二次方程时，首先考虑用直接开平方法或因 [例1]用适当的方法求下列方程的解集： 式分解法求解，如采不能用这两种方法，再考虑用公式 (1)x2-2x-8=0; 法或配方法。公式法是解一元二次方程的通用方法，可 以解所有的一元二次方程. (2)2x2-7x+6=0: (2)用因式分解法解一元二次方程的步豫： (3)(x-1)2-2x+2=0. ①移项：将方程化为一般形式； ②分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积： ③转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次 方程； ④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二 次方程的解。 口跟踪训练 1.用配方法求下列一元二次方程的解集： (1)x2+4x-1=0; (2)4x2+8x+1=0. 31 》高中数学·必修第一册(RJB) 探究二一元二次方程判别式的应用 探究三一元二次方程根与系数的关系 [例2]不解方程，判别下列方程根的情况. [例3]已知一元二次方程x2+4x-1=0的 (1)x2-14.x+12=0: 两根分别是x1,x2,利用根与系数的关系求 (2)4x2+12x+9=0; 下列式子的值： (3)2x2-3x+6=0. (1)(x1-x2)2; 1 川规律方法川 川规律方法川 在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利 对于一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)，其根的 用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的 判别式为△=b一4ac,(1)“方程有两个不相等的实根” 作用，在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根 的充要条件是“△>0”：(2)“方程有两个相等的实根”的 之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之 充要条件是“△=0”：(3)“方程有两个实根”的充要条件 积的形式，然后代入求值. 是“4>≥0”：(4)“方程没有实根”的充要条件是“△<0”， ☑跟踪训练 口跟踪训练 2.试证明：不论m为何值，方程2x2一(4m一1)x 3.已知x1,x2是方程x2一6x十k=0的两个实 一m2一m=0总有两个不相等的实数根. 数根，且xx-x1一x2=115. (1)求k的值： (2)求x+x+8的值 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.(多选)用配方法解下列方程时，配方正确 3.已知方程x2一px一q=0,其解形成的集合 的是 ( 为{一1,3}，则力与q的值分别为( A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 A.p=-2,q=3 B.p=2,q=3 C.p=-2,9=-3 D.p=2,q=-3 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 4.如果关于x的方程ax2十x一1=0有实数 C2r-11-4=0化为-7)-船 根，则a的取值范围是 () D.3y-4y-2=0化为-号)-9 A(},+） 2.方程(x+2)2=3x+5的根的情况是( B[-+∞ A.没有实数根 c.[-10)U(0,+) B.有两个相等的实数根 D.(-1,0jU0,+∞) C.有两个不相等的实数根 D.只有一个实数根 提示，请完成《紫能提升训练》训练十一 32