2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系（同步课件）数学人教B版2019必修第一册

2.1 等式 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 第2章 等式与不等式 问题情境引入 情境与问题： 《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方(指正方形小门)不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何. 根据题中的描述可作出示意图，如图所示，其中点代表北门，处是木，点代表南门，而且，，_________. 问题情境引入 如果设正方形的边长为步，则有， 根据可知，从而，因此 ， 整理得.你会解这个方程吗？ 新知探索 我们知道，形如的方程为一元二次方程，其中，，是常数，且. 从上一小节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？ 尝试与发现：你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式呢？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明. 新知探索 不难知道，如果一个一元二次方程可以化为的形式，其中为常数，那么这个方程的解集是容易获得的. 例如，方程的解集为，方程的解集为，方程的解集为. 一般地，方程： (1)当时，解集为___________； (2)当时，解集为___________； (3)当时，解集为___________. 因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为的形式，就可得到方程的解集. 新知探索 我们知道，利用配方法可得，因此，可以化为，从而可知解集为. 尝试与发现：怎样将化为的形式？动手试试看，并写出这个方程的解集. 事实上，利用配方法，总是可以将化为的形式，过程如下：因为，所以 ， 新知探索 因此可以化为. 从而可知，的符号情况决定了上述方程的解集情况： (1)当时，方程的解集为； (2)当时，方程的解集为； (3)当时，方程的解集为. 一般地，称为一元二次方程的判别式.由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定. 前述情境与问题中的方程可以化为，从而可解得或(舍). 例题 例1 求方程的解集. 分析 这不是一个一元二次方程，但是通过把看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程. 解 设，则，且原方程可变为， 由此可知或(舍). 从而，即，所以原方程的解集为. 新知探索 我们知道，当一元二次方程的解集不是空集时，这个方程的解可以记为，. 尝试与发现：计算和的值，并填空： 这个结论通常称为一元二次方程根与系数的关系. 例题 例2 已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值： (1)；(2). 解 由一元二次方程根与系数的关系，得，. 尝试与发现：求出和，并由此给出上述(1)和(2)的答案. (1)由上有 (2)因为 所以. 练习 题型一：三个“二次”之间对应关系的应用 例1.已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 解：∵关于的不等式的解集为， ∴，且是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴不等式化为， 即，解得 因此不等式的解集为 练习 方法技巧： 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究. (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 练习 变1.不等式的解集为，则（ ）. A. B. C. D. 答案：B. 解：∵，开口向上， 而解集为，∴ 由韦达定理可得， 解得 ∴ 故选B. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)一元二次方程的解集； (2)一元二次方程根与系数的关系. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P53的练习，练习； (3)课本P59的习题的第5题、习题的第10题. 谢谢学习 Thank you for learning $$