2.1.1 等式的性质与方程的解集-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教B版2019）

第二章等式与不等式 [跟踪训练] 2.1等式 2.解(1)x+3x+2=(x+2)(x+1) (2)2x2-7x+3=(2x-1)(x-3). 2.1.1等式的性质与方程的解集 (3)10(.x+2)2-29(x+2)+10 【自主学习探新知】 =[2(.x+2)-5][5(x+2)-2]=(2.x-1D(5.x+8). 知识点一1，a士c=b士c2.ac=bc 探究三求方程的解集 [微练习] [例3][解](1)整理，得x-2x+1=0.即(x-1) 1.A部对等式行=号y两边网案以3，得=2y:A正 2 =0, 所以x,=x2=1.所以方程的解集为1 确，把等式中3x一2=4x十2化简可得x=一4，B正确， (2)利用平方差公式，将原方程化为 C,D均不正确， [4(.x-5)+3(.x+4)][4(x-5)-3(x+4)]=0, 知识点二1.任意实数2.(1)a+2ab+b 整理可得(7x-8)(x一32)=0， (2)(a+b)(a-b)(3)(a-b)(a+ab+b) (4)x+(a+b)x+ab acx+(ad+be)z+bd 所以7z-8=0或x-32=0,所以x=号或x=32, 3.aba+b(x十a)(x+b)C 故原方程的解集为{号32。 微思考] [跟踪训练 [提示]x+(a+2)x+2a=(x+a)(x+2). 3.解(1)x+5.x-24=(x-3)(x+8), 知识点三1.未知数2.(xx}（x》 原方程化为(x-3)(x十8)=0， [微练习] 解得x=3或x=一8，所以原方程的解集为(3，一8) 2.解析x2+2x-15=0,即(x-3)(x+5)=0,所以x=3 (2)3.x2+x-2=(3x-2)(.x+1), 或x=一5.所以方程的解集为{3，一5}. 原方程化为(3x-2)(x+1)=0, 答案{3，-5 【互动探究解疑难】 解得=号成=一1，所以原方程的解集为号，-1 探究一代数式的化简 (3)12x2-5.x-2=(3.x-2)(4x+1), [例1][解](1)原式=(x-1)[x+(x+x+1门= 原方程化为(3.x一2)(4x十1)=0， x2(x-1)+(x3-1)=x-1. 部得x=号x=一 (2)原式=(a-b)(a2+ab+b)(a+b)(a2-ab+6)= (a2-b)(a+b3)=a-b. 所以原方程的解集为停。一}。 (3)原式=(a+b)(a-a6+b)=a°+b. 【随堂巩固促应用】 跟踪训练] 1,B由等式性质知①③正确，②①不正确。 1.解(1)方法一：(3.x+1)°-(x+1)=9x2+6x+1- 2.Dx-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1). (x+2x+1)=9.x2+6x+1-x2-2x-1=8.x2+4.x. 方法二：(3.x+1)-(x+1)=[(3x+1)+(x+1)][(3.x 3解析原方程可化为x=受，又=1，所以号=1 十1)-(x+1)]=(4.x十2)·2r=8x十4x. 即a=2. (2)a3(a-b)-8(a-b)=(a-b)(a'-2)=(a-b)(a 答案2 2)(a3+2a+4). 4,解析4十a一a-1=a(a十1)-(a十1)=(a十1)(a-1). 探究二“十字相乘法”分解因式 答案(a十1)(a-1) 2.1.2一元二次方程的解集及其根与 [例2][解](1).x2-3.x+2=(x-1)(x-2). 系数的关系 【自主学习探新知】 (2)-x+(a-2)x+2a=(x+2)(-x十a) 知识点一ax2hxc 知识点二两个不相等两个相等的实数根无实数根 10第二章 等式与不等式 2.1 等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 [学习任务] 1.能用符号语言和量词表示等式的性质 2.了解恒等式,掌握常见的恒等式,会用“十字相乘法”分解二次三项式 3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形,求一些方程的解集 D自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 等式的性质 2.常见的代数恒等式 (1)(a十b)?= 1.等式的两边同时加上(或减去)同一个数或 (a-b)?-a2-2ab+b?. 代数式,等式仍成立,用公式表示:如果a (2)a-b2= b,那么 ;这里的a,b,c可以是 (3)a+b-(a+b)(a?-ab+b2), 具体的一个数,也可以是一个代数式. a一6一 2.等式两边同时乘以(或除以)同一个不为零 (4)(x十a)(x十b)一 的数或代数式,等式仍成立,用公式表示:如 (ax十b)(cx+d)= a(c0). 3.十字相乘法 果a-b,那么 给定式子x2十Cx十D,如果能找到a和b,使 得D一 且C= 微练习 ,则x2+Cx+D 1.(多选)根据等式的性质,下列各式变形正确 .为了方便记忆,已知C和D. 的是 寻找满足条件的a和b的过程,通常用图来 ( ) 表示: ,其中两条交叉的线表示对应数 相乘后相加要等于 B.由3x-2-4x+2,得x--4 ,也正因为如此 C.由2x-3-3x,得x-3 这种因式分解的方法称为“十字相乘法” 微思考 D.由3x-5-7,得3x-7-5 [思考]利用十字相乘法分解因式:x*十(a 知识点二 恒等式 +2)x十2a- 1.恒等式的含义 知识点三 方程的解集 一般地,含有字母的等式,如果其中的字母 1.方程的解(或根)是指能使方程左右两边相 取 时等式都成立,则称其为恒 等的 的值,一般地,把一个方程 等式,也称等式两边恒等。 所有解组成的集合称为这个方程的解集 28 第二章 等式与不等式 2.方程(x一x)(x一x)=0,当x.≠x。时解集 微练习 为。 _,当x.三x。时解集为 2.方程x②十2x-15-0的解集为 D互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 代数式的化简 探究二“十字相乘法”分解因式 [例1]化简: [例2 分解因式: (1)(x-1)(x+x2+x十1); (1)x2-3x+2; (2)(a{-b)(a{+ab+b)(a^{}-ab+b) (2)-x2+(a-2)x+2a. (3)(a+b)(a{-ab+b2)(a'-ab+b$). II规律方法|I |规律方法I (1)*+Cr+D=(x十a)(x+b)需满足C=a+b. 化简的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”: D=ab; (1)先看是否能提取公因式; (2)Ex +Fr+G-(ax+b)(cx+d)需满足E=ac. (2)再看能否套用公式: F-ad+bc,G-bd (3)再检查因式分解是否彻底; (4)最后用多项式乘法检验分解是否正确 C跟踪训练 2.将下列各式因式分解: D跟踪训练 (1)x*+3x+2; 1.化简下列代数式 (2)2x-7x+3; (1)(3x十1)-(x+1); (3)10(x+2)-29(x+2)+10 ($2)a(a-b)-8(a-b). 29 高中数学·必修 第一册(RJB) 探究三 求方程的解集 D跟踪训练 [例3] 求下列方程的解集 3.求下列方程的解集: (1)(x+3)(x+1)-6x+2; (1)x+5x-24-0 (2)16(x-5)?-9(x+4)-0 (2)3x*+x-2-0; (3)12x-5x-2-0 I|I规律方法|I (1)对于形如ax=b(x为未知数,a,b为常数)的方程 要注意讨论a是否为零。 (2)“十字相乘法”也是解一元二次方程的一种常见 方法. D随堂巩固促应用 验证反愤 迁移运用 1.若a-b,则在①a+3-b+3;②a+2-b-2; C.x(x十1)2 ③a-m=b-m;④a+4=b-2中,正确的 D.x(x+1)(x-1) 个数有 3.x=1是关于x的方程2x一a三0的解,则a B.2个 C.3个 A.1个 D.4个 的值是 ( 。1 2.分解因式x一x,结果为 ) 4.分解因式:a+a-a-1- A.x(x2-1) 提示-请完成《素能提升训练》训练士 B.x(x-1)* 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 [学习任务] 1.了解一元二次方程的概念,能用配方法求一元二次方程的解集. 2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用 3.理解一元二次方程根与系数的关系 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 一元二次方程的有关概念 方程,其中a,b,c为常数,且a关0.其中二次项 是 __,一次项是__,__是常数项,a, 形如ax^{}十bx十c-0的方程为一元二次 6分别称为二次项系数和一次项系数. 30