1.2.3 充分条件、必要条件-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教B版2019）

事高中数学·必修第一册(RJB) 探究三根据全称量词命题、存在量词命题否：口跟踪训练 定的真假求参数 5.已知命题p:3x∈R,m-x2十2x-5>0,若 [例3]已知命题p:3x∈R,x2+2(a-1)x 一p为假命题，求实数m的取值范围。 +a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取 值范围是 川规律方法川 注意p与一P的真假性只能一真一假，解决问题 时可以相互转化， 随堂巩固促应用 验证反偏迁移运用 1.命题“3x>1,x≥1”的否定是 ( ):3.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数” A.3x≤1，x≥1 B.3x≤1，x2<1 的否定是 () C.Hx≤1，x2≥1 D.Hx>1,x2<1 A.任意一个无理数，它的平方不是有理数 2.(2022·宜春高一期中)已知命题p:Hx∈R, B.任意一个无理数，它的平方是有理数 x2-x+<0,则p为 C.存在一个无理数，它的平方是有理数 A.3x∈R.d-x+<0 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 4.命题“对任意x∈R,|x一2|十|x一4|>3” B.3rER.-+>0 的否定是 C.V-ER.2-x+1>0 提示请完成《素能提升训练)训练七 D.VrER.-+1<0 1.2.3 充分条件、必要条件 第1课时 充分条件、必要条件 [学习任务] 1.理解充分条件，必要条件的定义： 2.会判断充分条件，必要条件， 3.会根据充分不必要条件，必要不充分条件求参数的取值范固. 自主学习探新知 谦前预习双基落实 知识点充分条件、必要条件 且说p是q的 ,g是p的 1.定义 :否则，称由p推不出q,记作p6q,读 若“如果p,那么g”是一个真命题，则称由p 作“p推不出g”,此时，我们就说p不是g的 可以推出q,记作p→q,读作“p推出g”,并 充分条件，9不是p的必要条件 20 第一章集合与常用逻辑用语 2.用集合知识理解充分条件与必要条件 (2)“若q,则p”是真命题，则p是g的必要 一般地，如果A={xp(x)},B={xg(x)}, 条件。 () 且A二B(如图所示)，那么p(x)→q(x),因 (3)“x=3”是“x2=9”的充分条件.() 此也就有p(x)是q(x)的 .q(x) (4)“ab>0”是“a>0,b>0”的必要条件.() 是p(x)的 这微思考 [思考](1)p是g的充分条件与g是p的 A=lp(x)] 必要条件所表示的推出关系是否相同？ B=ixlg(x)] 3.充分条件、必要条件与判定定理、性质定理 的关系 (1)判定定理实际上是给出了一个充分 (2)以下五种表述形式：①p→q:②p是q的 条件： 充分条件：③q的充分条件是p:④q是p的 (2)性质定理实际上是给出了一个必要 必要条件：⑤p的必要条件是q,这五种表述 条件 形式等价吗？ 微判断 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. (1)若p是g的充分条件，则p是唯一的.() 互动探究解疑难 要点归纳重难突玻 探究一充分条件的判断 川规律方法川 [例1门判断下列各题中，p是否是q的充分 充分条件的判断方法 第一步：确定谁是条件，谁是结论： 条件： 第二步：尝试由条件推结论： (1)p:x2=y2,q:x=y: 第三步：若条件能推出结论，则条件为结论的充分条 (2)p:一元二次方程a.x2+bx+c=0有实数 件，否则条件就不是结论的充分条件 根，q:b一4ac≥0： (3)p:整数a能被4整除：q:整数a的个位 跟踪训练 数字为偶数： 1.判断下列说法中，p是q的充分条件的是 (4)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y .(填序号) 2)=0. ①p:x=1,9:x-2x十1=0； ②设a,b是实数，p:a十b>0,9:ab>0: ③已知a,b为正实数，p:a>b>1,g:a>b >0. 探究二 必要条件的判断 [例2] 判断下列各题中，？是否是p的必要 条件： (1)p:a是1的平方根，q:a=1: 21 事高中数学·必修第一册(RJB) (2)p:4.x2一mx十9是完全平方式，q:m 川规律方法川 =12: 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求 (3)p:a是无理数，q:a是无限小数： 解，特别是求参数的或取值范国问题， (4)p:a与b互为相反数，q:a与b的绝对值 (2)求解步骤：先把P,9等价转化，再利用充分条件、必 要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式 相等 (组)进行求解。 ☑跟踪训练 3.已知p:a≤x≤a+1,q:0<x<4,若p是q 的充分条件，则a的取值范围是 若p是q的必要条件，则a的取值范围是 易错 警示 混淆充分条件与必要条件 [典例] 是否存在实数a,使“a一2<x<a十2” 是“一1<x<2”的充分条件？如果存在，求 川规律方法川 出a的取值范围：如果不存在，请说明理由. 必要条件的判断方法 [错解]令A={xa-2<x<a十2}，B 第一步：确定谁是条件，谁是结论： 第二步：尝试由条件推结论： {x|-1<x<2}. 第三岁：若条件能推出结论，别结论为条件的必要条 假设存在a满足条件，则有B二A, 件，否则结论就不是条件的必要条件， -1≥a-2, 即0≤a≤1. ☑跟踪训练 2≤a+2, 2.(多选)以下选项中，是a<0,b<0的一个必 .存在0≤a≤1，使“a-2<x<a十2”是“-1 要条件的为 <x<2”的充分条件. A.a-b>0 B8<-1 [错解分析]B二A即B的元素都是A的 元素，“a一2<x<a十2”是“-1<x<2”的必 C.a+b<0 D.a+2b<1 要条件：当A二B时，“a-2<x<a十2”才是 探究三充分条件与必要条件的应用 “一1<x<2”的充分条件.这里混淆了充分 [例3]已知命题p:一2≤x≤10，q:1一m≤x 条件与必要条件，导致错误。 ≤1十m(m>0),若p是q的必要条件，但不 [正解]令A={xa-2<x<a十2}，B={x 是充分条件，求实数m的取值范围. -1<x<2. 假设存在a满足条件，则有A二B, a-2≥-1， ∴.a∈☑，即不存在a,使“a a+2≤2， 2<xa十2”是“-1<x<2”的充分条件. 川误区警示川 解决这类问题时，务必看清设问方式，明确哪个是 条件，哪个是结论，然后根据充分条件、必要条件的定 义正确解答， 22 第一章集合与常用逻辑用语 随堂巩固促应用 验证反情迁移运用 1.（多选)使x>3成立的充分条件可以是( 3.“a>b”是“a>|b”的 A.x>4 B.x>0 A.充分条件但不是必要条件 C.x>2 D.5<x<7 B.必要条件但不是充分条件 2.若p是q的充分条件，则q是p的( C.既充分也必要条件 A.充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.必要条件 4.若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值 C.既不是充分条件也不是必要条件 范围是 D.既是充分条件又是必要条件 提示、请完成《索能提升训练》训练八 第2课时 充要条件 [学习任务] 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义， 2.理解数学定义与充要条件的关系。 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点充要条件 :2.充要条件与数学中定义的关系 1.四类条件 一个数学对象的定义实际上给出了这个对 (1)一般地，如果p→q且 ,则称p 象的一个 是q的充分不必要条件。 名微判断 (2)如果p中q且 ,则称p是4的必要 判断正误（正确的画“√”，错误的画“X”). 不充分条件. (1)四边形是平行四边形的充要条件是四边 (3)如果p→g且 ,则称p是q的充分 形的两组对边分别相等. () 必要条件（简称为充要条件），记作p台q,此 (2)两个三角形相似的充要条件是两个三角 时，也读作“p与g等价”“p当且仅当g” 形的三边对应成比例 () (4)如果p÷q且q→p,则称p是q的既不 (3)xy>0是x>0,y>0的充要条件.() 充分也不必要条件 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一 充分不必要，必要不充分、充要条件 (1)设二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)，p:二 的判断 次函数的图象开口向上，q:a>0: [例1门判断下列各题中，p是q的什么条件 (2)p:实数a能被6整除，q:实数a能被3 整除； 23 事高中数学·必修第一册(RJB) (3)若a,b∈R,p:a2+b=0,q:a=b=0: 川规律方法川 (4)p:△ABC有两个角相等，g:△ABC是正 探求充要条件的两种方法 三角形. (1)先寻找必要条件，即把探求充要条件的对象视为结 论，寻我使之成立的条件：再证明此条件是该对象的克 分条作，即从充分性和必要性两方面说明. (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的 充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求 过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要 性分开来证， 跟踪训练 规律方法川 4.求证：一元二次方程a,x2+bx+c=0有一正 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判新“若p,则g”以及“若，则p”的 根和一负根的充要条件是ac<0. 真假， (2)集合法：即利用集合的包含关系判斯 (3)等价法：耶利用P一（与g一p的等价关系.对于条 件和结论为否定形式的命恩，一般运用等价法 (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由 p,→p→→p,可得p→p:充要条件也有传逃性. 跟踪训练 探究三充要条件的应用 1.(2022·衡水高一期中)对于实数x,“x<1” [例3]求关于x的方程ax2+2x十1=0的解 是“x<1”的 条件 集中有且最多有一个负实数元素的充要 A.充分不必要 B.必要不充分 条件 C.充要 D.既不充分也不必要 2.(2022·济南高一期中)“ab”是“a>b”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 川规律方法川 D.既不充分也不必要条件 利用充分条件、必要条件、充要条件可以求解参戴 3.“x=1”是“x2=1"的 的值或取值范围，其依据是充分、必要及充要条件的定 艾，其思维方式是： A.充分不必要条件 ①若p是q的充分不必要条件，则p一g且g女p: B.必要不充分条件 ②若p是g的必要不充分条件，则p→g,且g>: C.充分必要条件 ③若p是g的充要条件，则p曰？ D.既不充分也不必要条件 ☑跟踪训练 探究二充要条件的证明 5.已知p:x<-2或x>3,q:4x十m<0,若p [例2]已知a+b≠0，证明a2+b-a-b+ 是9的必要不充分条件，求实数m的取值 2ab=0成立的充要条件是a十b=1. 范围. 24 第一章集合与常用逻辑用语 随堂巩固促应用 验证反情迁移运用 1.设p:x<3,q:一1<x<3,则p是q成立的 B.必要不充分条件 ( C.充要条件 A.充要条件 D.既不充分又不必要条件 B.充分不必要条件 3.函数y=x十mx十1的图象关于直线x=1 C.必要不充分条件 对称的充要条件是 D.既不充分又不必要条件 4.已知x,y为两个正整数，p:x=2且y=3, 2.“x=1”是“x2一4.x+3=0”的 q:x十y=5,则p是q的 条件 A.充分不必要条件 提示请完成《素能提升训练训练九 章末优化提升 ②网络构建 集个的心素背点 保合的概念 常见数集的符牙 区阿及其表示 列举法 集合的表示方法 描述祛 合 维总图 了巢 集合问的关系 真了阑 两染合相图 交集 保合的基本运算及性圆 并奥 补集 全称量词 价题与 全称试词 全称量词伦地 命题与行 常 量州 行在试可3 行在量词命题 在量词命 题的否定 是g的允分条件 →9 充分条件、必些条件、 P是，的必要系件 充要条件 g曰p p是g的允要条件 巴考点聚焦 考点一集合的概念及基本关系 [解析]由2∈A可知：若m=2,则m2一3m 十2=0，这与m2一3m十2≠0相矛盾；若m [例1门(1)（多选）已知集合A=(0,mm一3m 一3n十2=2，则m=0或m=3,当m=0时， 十2}，且2∈A,则实数m不可能为 ( 与n≠0相矛盾，当m=3时，此时集合A= A.0 B.2 C.3 D.1 {0,3,2},符合题意. [答案]ABD 25. [跟踪训练] 3.B 命题 :xZ,x三2x+1,则的否定为; 综上,a的取值范图为{ )# VxZ.r<2x+1. [跟踪训练] 4.B 由存在量词命题的否定知力的否定为;VtR r-2r十10. 3.解析 .命题3xR,一4r十a-0为假命题,.,方程 探究三 根据全称量词命题、存在量词命题否定的真假求 -4x+a-0没有实数根,则A-(-4)-4a 0,解得a>4. 参数 答案 ala>4) [例3][解析] 方法一:若命题):习xR,工十 【随堂巩固促应用】 2(a-1)x+<0是真命题,得A-4(a-1)-4a0. 1.A 根据命题定义:能判断真假的陈述句,可知A是命 即一2a十1o.,a.若命题p是假命题,则a→. 题,B.C不是陈述句,D不能判断真假。 2.ABD“我班绝大多数同学是团员”,即“我班有的同学 方法二:依题意,命题:VxER,x+2(a-1)x十a 不是困员”,是存在量词命题。 0是真命题,得△-4(a-1){-4a<0,即a> 3.C ①③④为存在量词命题,②为全称量词命题. [答案](十~) 4.B 对于任意的x^,x+x+1-(n+)+3→0短 [跟踪训练] 成立. 5.解 因为为假命题,所以命题):xR,n-十 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 2x-5>0为真命题,即二次画数y=-r+2x+m-5 【自主学习探新知】 的图象的最高点在工轴上方,即图象与工轴有两个交 知识点一 1.否定 点,所以△-2+4(m-5)>0,即m4,故实数m的取 V:EM. 知识点二 3xM.-q(x) 存在量词命题 值范围为mn4. 全称量词命题 -(r) 【随堂巩固促应用】 [微思考] 1.D 因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命 [提示]不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它 题“x>1,r>1”的否定是“Vx>1,r<1”. 的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以 2.B 命题力为全称量词命题,根据全称量词命题的否定 是“有些菱形不是平行四边形”. 为存在量词命题,可得p:cR-c+-→0. [微判断] 3.A 命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定 (1X(2)(3) 为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”,故选A. 【互动探究解疑难】 4.解析 由定义知命题的否定为“存在xR,使得|x-2 探究一 全称量词命题的否定 +-4<3”。 [例1] [解] (1)其否定为:存在一个平行四边形,它的 答案 存在xR,使得x-2|+x-4<3 对边不都平行. 1.2.3 充分条件、必要条件 (2)其否定为:存在一个圆不是轴对称图形. 第1课时 充分条件、必要条件 (3)其否定为:习a,bR,使方程ax一b的解不唯一或不 【自主学习探新知】 存在。 知识点 i 1.充分条件 必要条件 2.充分条件 必要 (4)其否定为:存在被5整除的整数,末位不是0 条件 [跟踪训练] [微判断] 1.A 因为命题为全称量词命题,所以其否定为习x>0. (1)X(2) (3)(4) -r十10. [微思考] 2.C 命题“VnEN,n-1EO"的否定为“习nN,n-1 (1)[提示] 相同,都是. Q”. (2)[提示]等价。 探究二 存在量词命题的否定 【互动探究解疑难】 [例2] [解] (1)所有的四边形都没有外接圆, 探究一 充分条件的判断 (2)所有平行四边形都不是菱形. [例1] [解](1)若文一y,则x=y或x=一y,因此 (3)VxER.r+10 字q,所以p不是o的充分条件. 1, (2)若一元二次方程有实数根,则根的判别式大于等于 【随堂巩固促应用】 0.即-4ac→0,所以p→q,所以p是a的充分条件。 1.ADx>4>x>3.5<r7→x>3. (3)若整数a能被4整除,则a是偶数,所以a的个位数 2.B 因为力是q的充分条件,所以力→q,所以q是色的 字为偶数,所以b一o,所以也是u的充分条件。 必要条件。 (4)因为(r-1)+(y-2)-0→x=1且y=2→ 3.B 由a>bl→a>b,而由a>b推不出abl. (r-1)(y-2)-0,所以p→q,所以p是q的充分条件。 '“ab”是“a>b”的必要条件但不是充分条件。 [跟踪训练] 4.解析 因为x>l→x>a,所以a<1. ①当x=1时,x-2x+1-0,故 →q,所以 是 1.解析 答案(-00,1] o的充分条件. 第2课时 充要条件 ②由a十h0不能推出ab>0,故力不是q的充分条件。 【自主学习探新知】 ③因为ab>1→a>b0,所以p是q的充分条件. 知识点1.(1)q(2)→p (3)q→p2.充要条件 答案 ①③ [微判断] 探究二 必要条件的判断 (1)(2) (③)X [例2] [解] (1)1的平方根是士1,所以q,所以q不 【互动探究解疑难】 是的必要条件 探究一充分不必要、必要不充分、充要条件的判断 (2)因为4r-mx+9-(2x士3),所以m=士12,所以 [例1][解] (1)对于二次晶数y=ax十br十c(a0). ,所以o不是力的必要条件。 其图象开口向上一a>0,所以p是o的充要条件。 (3)因为无理数是无限不循环小数,所以力一v,所以q (2),.是的充分不必要条件. 是p的必要条件. (3)若a+b-0,则a-b-0,即p→q; (4)若a与力互为相反数,则a与占的绝对值相等,所以 若a-b-0,则a}+-0,即q→p,故 q,所以 是q ,所以是)的必要条件 的充要条件. [跟踪训练] (4),→',是的必要不充分条件。 2.CD 对于A选项,由a<0,b~0不能得到a-b>0,故 [跟踪训练] 不满足;对于B选项,由a<0,b<0不能得到号<-1, 1.B 当x1时,例如当x=-2<1,但r1,故充分性 不成立;反之,若x1,则-1<x<l,故必要性成立. 故不满足;对于C选项,当a0,b0时,a十b0成立, 2.D -1<1,但-1=|1l,所以命题“若a<b,则a 故满足题意;对于D选项,当a 0,b0时,a十2b 1 l|”为假;53|,但5>3,所以命题“若a|,则 成立,故满足题意,综上,CD是a~0,b0的必要条件. ab”为假,“a”是“a一b|”的既不充分也不必要 探究三 充分条件与必要条件的应用 条件。 [例3][解]:-2x10.q:1-mx1+n(m>0). 因为p是o的必要条件,但不是充分条件,所以q是p 3.A解方程x=1可得x=士1.1写-1.1,.“ 一1”是“r一1”的充分不必要条件 的充分条件但不是必要条件, 探究二 充要条件的证明 即xl1-x1+mxl-2x10. [例2] [证明] 先证充分性 故有 1n10 若+b-1,则a*+b-a-b+2ab-(a+b)-(a+b) 1+10. 一1一1-0,即充分性成立. 解得m3.又m0,所以实数n的取值范围为(0.3]. [跟踪训练] 再证必要性: 若+-a-b+2ab-0,则(a+b)-(a+b)-(a+b)· 3.解析 令M-xla<xa+1,N-xl0<x4 (a十b-1)-0. .p是a的充分条件.'M二N. ,a+b0..a+b-1-0,即a十b-1成立。 . 1a0. 解得0a3. 综上,a+b-a-b+2ab-0成立的充要条件是a+b-1. la1<4. [跟踪训练] 0. 无解。 由是o的必要条件,NM.. 4.证明 必要性:由于方程ax十hx十c一0有一正根和一 a十1二4 负根,所以△-6-4ac→0,xx:-<0(x,r。为方程 答案(0.3) 2 。 2 的两根),所以ac0. 章末优化提升 充分性:由ac<0,可推得b-4ac→o及x-0. [考点聚焦] 所以方程ar}十vbr十c一0有两个相异实根,且两根 考点一 集合的概念及基本关系 异号, [跟踪训练] 1.D 当n-0时,方程mr-6-0无解,B-,满足$ 即方程ar十hx十c一0有一正根和一负根. 综上可知,一元二次方程ax^{}十bx十c一0有一正根和一 n 负根的充要条件是ac~0. -3,解得n-3或n-2.综上,m-0或2或3. 探究三 充要条件的应用 [例3] [解] 由方程ax十2x+1一0的解集中有且最 考点二 集合的基本运算 #,符合 多有一个负实数的元素得,若a一0,则x=- [跟踪训练] 2.解(1)因为A-1,3,4,5),B-(3,5,6,7,8), 题意: 因此AUB-1.3.4.5,6,7,8,A0B-(3,5). 若a-0,方程ax+2x十1-0有实数根, (2)因为全集U-xN|x10]=1,2,3,4.5,6,7. 则△-4-4a>0,解得a<1. 8.9.10.所以A-2.6.7.8.9,10 .B-1.2,4.9 当a一1时,方程有两个相等的负实数根x.一工.一一1. 10 .因此(LA)O(LB)-2,9.10] 符合题意: 考点三 全称量词命题与存在量词命题 当a1且a去0时,若方程有且最多有一个负实数根, [跟踪训练] 则o,即<0. 3.解(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因此,该命 所以当a<0或a-1时,关于x的方程ax+2r+1-0 题是全称量词命题,又因为“任意的”的否定为“存在一 的解集中有且最多有一个负实数元素。 个”,所以其否定是:存在一个x后R,使x十x十1一0成 综上,“方程ax十2x十1一0的解集中有且最多有一个 立,即:“xR,使x^+x+1-0”,因为△--3 负实数元素”的充要条件为“a0或a一1” 0.所以方程^十x十1一0无实数解,此命题为假命题. [跟踪练] (2)由于“习x后R”表示存在一个实数x,即命题中含有 5.解 设A-(x^<-2或x>3),B-{+<-”, 存在量词“存在一个”,因此,该命题是存在量词命题,又 因为“存在一个”的否定为“任意一个”,所以其否定是: 因为力是a的必要不充分条件, 对任意一个实数x,都有x十3x十5→0成立,即-q: “VxR,有:+3x+5一0”,因为△--11<0,所以对 所以m的取值范围为8,十x) VxCR,r+3r十50总成立,此命题是真命题 【随堂巩固促应用】 考点四 充分条件、必要条件 1.C 因为xl-1<x3去xx3,所以,是q成立 [跟踪训练] 的必要不充分条件。 4.解 (1)由g:一元二次方程1一2x十c-0有两个实数 2.A 若x-1,则-4x十3-0,是充分条件,若r-4r 根,得4-4c0,即q:c1,则:c<0→q:c1,但 十3-0,则r-1或x一3,不是必要条件,故选A. <0-g:cl,所以是a的充分不必要条件。 3.解析 当m=-2时,y=x-2x十1,其图象关于直线 (2)由:a+b十?-ab+bc+ca. x-1对称,反之也成立,所以&数y一x^{十mx十1的图 即a&+6+-ab-b-ca--△+46-△bh+寸4+ 象关于直线:-1对称的充要条件是n一-2. #-ao++-bc-(a-)+1(a-) + 答案m--2 4.解析 若x-2且y-3,则r十y-5成立.可知→,反 之当x-1,y-4时,满足r+y-5,但x-2且y-3不 成立.→,),故,是的充分不必要条件 ';a=b=c.q:△ABC是等边三角形,所以,-q,$ 答案 充分不必要 是的充要条件。 。2