1.2.1 命题与量词-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教B版2019）

》高中数学·必修第一册(RJB) 1.2常用逻辑用语 1.2.1命题与量词 [学习任务] 1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断。 2.理解全称（存在）量词、全称（存在）量词命题的定义， 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假 自主学习探新知 渠前预牙双基落实 知识点一命题的概念 (续表) 可供判断的语句 會有 的命 含有 的命 命题 定义 真命题 题，称为全称量词命题 题，称为存在量词命题 判断为真的语句 命题分类 假命题 判断为假的语句 “对集合M中的所有元 “存在集合M中的元素 命题 《微判断 素x,r(x)”,可用符号 x,s(x)”,可用符号简记 形式 简记为“ 为“ 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. (1)“这盆花长得太好了！”是命题. ( 微判断 (2)“x>0”不是命题. 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. (3)“3≥2”是真命题. (1)全称量词的含义是“任意性”，存在量词 知识点二全称量词和存在量词 的含义是“存在性” () (2)全称量词命题一定含有全称量词，存在 全称量词 存在量词 量词命题一定含有存在量词. () 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 (3)在全称量词命题和存在量词命题中，量 符号 词都可以省略. () 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一命题的真假与判断 (5)空集是任何非空集合的真子集， [例1]下列语句是否是命题？若是，判断其 真假，并说明理由. (1)一个数不是合数就是质数； (2)x≥16； (3)一个实数不是正数就是负数； (4)x=2或x=3是方程x2-5.x十6=0的根： 16 第一章集合与常用逻辑用语 川规律方法川 川规律方法川 (1)判断一个语句是否是命题，关键看这个语句是否具 判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法 备命题的两个特征：一是陈述句，二是能判断真假 (1)要判定全称量词命愿“Hx∈M,p(x)”是真命题， (2)在说明一个命题为真命题时，应进行严格的推理证 必须对限定集合M中的每个元素工验证p(x)成立： 明：而要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例 但要判定全称量词命愿是假命题，却只要能举出集合 即可. M中的一个x=x。,使得p(工)不成立印可（这就是通 常所说的“举出一个反例”). 跟踪训练 (2)判断存在量词命愿“3x∈M,p(x)”的真假性的 关健是探究集合M中x,的存在性，若找到一个元素 1.判断下列语句是否为命题，若是，请判断真 x。∈M,使p(x。)咸立，则该命题是真命题；若不存在 假并改写成“若p,则g”的形式。 x。∈M,使p(x,)成立，则该命题是假命题. (1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ 跟踪训练 (2)三角形中，大角所对的边大于小角所对 2.(多选)(2022·廊坊高一期中)下列命题中 的边； 是假命题的是 () (3)当x十y是有理数时，x,y都是有理数； A.Hx∈R,x3≥0 B.3x∈R,x8=3 (4)1+2+3+…+2022: C.Hx∈Q,x3≥1 D.3xo∈N,x8=3 (5)这盆花长得太好了！ 探究三根据全称量词命题与存在量词命题 的真假求参数的范围 [例3]已知命题p:Vx∈R,函数y=ax2+ 2x十3的图象总在x轴上方是其命题，求实 数a的取值范围. 探究二全称量词命题与存在量词命题的真 假判断 [例2]指出下列命题中，哪些是全称量词命 题，哪些是存在量词命题，并判断其真假， (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对 (x,y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a,b,若a<b,都有a2<b: (4)存在一个实数x,使得x2+2x+3=0. 1规律方法川 求解含有量词的命题中参数范固的策略 对于全称（存在）量词命题为真的问题，实质就是 不等式恒成立（能成立）的问题，通常转化为求函数的 最大值（或最小值）， 跟踪训练 3.(2022·湘潭高一期末)若命题“3x∈R, x2-4x十a=0”为假命题，则实数a的取值 范围是 17 》高中数学·必修第一册(RJB) 随堂巩固促应用 验证反锁迁移运用 1.下列语句能作为命题的是 ( ③有些相似三角形全等； A.3比5大 B.太阳和月亮 ④至少有一个实数a,使ax2一ax十1=0的 C.高二年级的学生 D.x2+y2=0 根为负数 2.(多选)(2022·临沂高一期中)下列命题是 其中存在量词命题的个数为 ( 全称量词命题的是 () A.1 B.2 C.3 D.4 A.任何一个实数乘以零都等于零 4.下列存在量词命题是假命题的是() B.自然数都是正整数 A.存在x∈Q,使4-x2=0 C.我班绝大多数同学是团员 B.存在x∈R,使x2+x十1=0 D.每一个方程都有实数解 C.有的素数是偶数 3.给出下列命题： D.有的有理数没有倒数 ①存在实数x>1,使x2>1: ②全等的三角形必相似； 提示请完成《素能提升训练》训练六 1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 「学习任务] 1.掌握命题的否定的概念，能够对一个命题进行否定 2.通过实例，总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律， 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定， 自主学习探新知 渠前预习烈基落实 知识点一命题的否定 《微思考 1.定义：一般地，对命题p加以 ,就得到 [思考]用自然语言描述的全称量词命题 一个新的命题，记作“一p”,读作“非p”或“p 的否定形式唯一吗？ 的否定” 2.命题p与其否定一p的真假关系 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否 定就是一个假命题；反之亦然， 知识点二全称量词命题与存在量词命题的 微判断 否定 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） p.q p:q 结论 (1)命题“Vx∈R,x2-1≥-1”的否定是全 全称量词命题 全称量词命题的否 称量词命题. () Hx∈M,g(x) 定是 (2)若命题一p是全称量词命题，则命题p是 存在量词命题 存在量词命题的否 存在量词命题 () 3x∈M,p(x) 定是 (3)“任意x∈R,x≥0”的否定为“3x∈R, x2<0” () 18题型三利用数轴解决求参数范围问题 知识点二H3全称量词存在量词Hx∈M, [例3)[解]DA={任0A=<3或工 r(x)3x∈M,s(x) [微判断] ≥7} (1)(2)×(3)X ,.(C.A)∩B={x2<x<3或7≤x<10}. 【互动探究解疑难】 (2):AUC=R,则A和C如图所示： 探究一 命题的真假与判断 [例1门[解](1)是假命题.例如：1既不是质数也不是 3aa+17 合数 1a≥3， (2)不是命题，因为没有给定变量x的值，无法确定其 解得3≤a<6. 1a+1<7, 真假。 综上所迷，当AUC=R时，实数a的取值范围 (3)是假命题.因为0既不是正数也不是负数 为[3,6). (4)是真命题.代入验证即可， 题型四利用维恩图解决集合中的元素问题 (5)是真命题.由空集的定义和性质不难得出. [例4][解](1)：全集U={xx取不大于20的质数} [跟踪训练] =(2,3,5,7,11,13,17,19}, 1.解(1)为疑问句，(5)为感叹句，两者均不是命题， (4)为一个和式，无法判断其真假，故也不是命题， 0 2,17 (2)为命题，且为真命题，三角形中，若装角为大角，则它 3,5 7,11 对的边大于小角所对的边 19,13 (3)为命题，且为假命题，比如1一√2,1十√2的和为有理 数，但它们均为无理数，若x十y是有理数，则x,y都是 有理数 A∩(CuB)={3,5},(CA)∩B={7,11,(CA)∩ 探究二全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (CB)={2,17), [例2][解](1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量 ∴由雏思图可知A=《3,5,13,19},B={7,11,13,191. 词命题.(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x, (2)赞成A的人数为50×3=30，赞成B的人数为30 5 y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题 +3=33,如图，记50名学生组成的集合为U,赞成A的 是真命题 学生全体为集合A,赞成B的学生全体为集合B. (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数， 设对A,B都赞成的学生人数为x,则对A,B都不赞成 所以该命题是真命题 (3)存在a■-5，b=-3,a<b,但(-5)>(-3)2， 的学生人数为号x十1，赞成A而不赞成B的人鼓为 所以该命题是假命题 30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x (4)由于x∈R,则x+2x十3=(x十1)十2≥2， 1 依题意(30-x)+(33-x)+x+3x+1=50,解 因此使得x十2x十3=0的实数x不存在，所以该命题 是假命题 得x=21. [跟踪训练] 故对观，点A,B都赞成的学生有21人。 2ACD取=一合=-日<0，所以选项A,C不正 确：由x=3得x。=是无理数，所以选项B正确，选 30- 33 项D不正确，故逃ACD. 探究三根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参 1.2常用逻辑用语 数的范围 1.2.1命题与量词 [例3][解]命题p为真命题，①当a=0时，一次函数 y=2x十3的图象总在x轴上方，显然不能恒成立： 【自主学习探新知】 ②当a≠0时，由二次函数y=ax十2x十3的图象总在 知识点一真假陈述 [微判断] 1a>0, a>0, x轴上方，得 1 (1)×(2)√(3) △=22-4×aX3<0, a73' 6 1 「跟踪训练] 3.B命题p:3x∈Z,x≥2z十1，则p的否定为： 蜂上a的取维范周为a>号} Hx∈Z,x3<2x+1. 4.B由存在量词命题的否定知p的否定为：Hx∈R, [跟踪训练] x2-2x+1≠0. 3.解析：命题3x∈R,x一4z十a=0为假命题，∴.方程 探究三根据全称量词命题、存在量词命题否定的真假求 x-4x十a=0没有实数根，则△=（一4）2-4a<0,解得a>4. 参数 答案{aa>4} [例3][解析]方法一：若命题：3x∈R,+ 【随堂巩固促应用】 2(a-1)x十a2≤0是真命题，得△=4(a-1)'-4a2≥0， 1.A根据命题定义：能判断真假的陈述句，可知A是命 题.B,C不是陈述句，D不能判断真假 即-20十1≥0，∴a<受若◆题p是复命题，则。> 2.ABD“我班绝大多数同学是团员”，即“我班有的同学 方法二：依题意，命题p:Vx∈R,x+2(a-1)x十a> 不是团员”，是存在量词命题。 0是真伞题，得△=4a-1D2-40<0,即a>2 3.C①③①为存在量词命题，②为全称量词命题 4B对十任意的R2+红+1=(+号》广+是>0框 [答案] [跟踪训练] 成立 5.解因为一p为假命题，所以命题p:3x∈R,m一x2十 1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 2x-5>0为真命题，即二次函数y=-x十2x十m-5 【自主学习探新知】 的图象的最高点在x轴上方，即图象与x轴有两个交 知识点一1.否定 点，所以△=22+4(m一5)>0，即m>4,故实数m的取 知识点二3x∈M,g(x) 存在量词命题Yx∈M, 值范国为{mm>4}. p(x) 全称量词命题 【随堂巩固促应用】 [微思考] 1,D因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命 [提示]不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它 题“x>1,x2≥1”的否定是“Vx>1,x2<1”. 的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以 2.B命题p为全称量词命题，根据全称量词命题的否定 是“有些菱形不是平行四边形”， 为存在量河◆题，可得p:3xER,d-x+>0, [微判断] 3.A命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定 (1)×(2)√(3) 为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选A. 【互动探究解疑难】 4.解析由定义知命题的否定为“存在x∈R,使得|x一2 探究一全称量词命题的否定 +|x-4≤3”. [例1门[解](1)其否定为：存在一个平行四边形，它的 答案存在x∈R,使得x一2+|x一4≤3 对边不都平行. 1.2.3充分条件、必要条件 (2)其否定为：存在一个国不是轴对称图形. 第1课时充分条件、必要条件 (3)其否定为：3a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不 【自主学习探新知】 存在 知识点1.充分条件必要条件2.充分条件必要 (4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0. 条件 [跟踪训练] [微判断] 1.A因为命题为全称量词命题，所以其否定为了x>0, (1)×(2)√(3)√(4)V x3-x2+1>0. [微思考] 2.C命题“Vn∈N,n2-1∈Q”的否定为“3n∈N,2-1 (1)[提示]相同，都是p→q. 旺Q”. (2)[提示]等价. 探究二存在量词命题的否定 【互动探究解疑难】 [例2][解](1)所有的四边形都没有外接圆， 探究一充分条件的判断 (2)所有平行四边形都不是菱形. [例1][解](1)若x2=y,则x=y或x=-y,因此p (3)Hx∈R,x2+1≥0. 中q,所以p不是q的充分条件. 7