专题1 利用数轴、Venn图解决集合问题-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教B版2019）

方法二：可用维思图表示 则card(AUB)表示A和B区域里一共有的不同元素 的个数，即card(AUB)=①十②+③： card(A)表示朵合A的区战里的元素个数，即card(A) B =①十③： 3.4 -5,-4 card(B)表示集合B的区城里的元素个数，即card(B) 则CA=(-5,-4,3,4},CB={-5,-4.5). =②+③： 答案{一5，-4,3,4){-5，-4,5} 注意到card(A)十card(B)-card(A∩B)=(①+③)+ 探究二 集合交集，并集、补集的综合运算 (②+③)一③=①+②+③=card(AUB),则结论 [例2][解]如图所示. 得证 [牛刀小试] L.CO≤card(MnP)≤8，所以card(MUP)=card(M) 32101234 +card(P)-card(M∩P)=20-card(M∩P),故其最 'A={x-2x31,B={x-3≤x2},U={xx4}, .CA={xx≤-2或3x≤4} 大值为20，最小值为12.故选C CB={xr<-3或2x≤41， 2.A设语文及格的同学为集合A,数学及格的同学为集 A∩B={x-2<x≤21，AUB={x-3≤x<3. 合B.全班同学为集合U,则U=AUB.由已知，card(A) 故(CA)UB={x|x≤2或3≤r≤4}， =51,card(A∩B)=46,card(AUB)=54,代入card(A A∩(CB)={x2<x<3}. UB)=card(A)+card(B)-card(A∩B),得54=51+ C(AUB)={xx<-3或3≤x4. card(B)一46，解得card(B)=49. [跟踪训练] 【随堂巩固促应用】 3.A由题意可得：MUN=1,2,3,4),则C(MUN)= 1.BU=(1,2.3,4,5},A=1,2,∴.CA=3,4,5. (5. 2.AU=1,2,3,4,5,6},A={2,4,6,.CA={1,3, 4.AA={x|x+1<0}={xx<-1},B={xx-3< 5}.又B=（2,3,5},.(CA)∩B=(3,5}. 0}={xx<3),∴.CA={x|x≥-1)，.(CA)∩B= 3.解析：A={x-2≤x<3},B={xx<-1,∴.C.B (x|-1≤x<3. ={xx≥-1).∴.A∩(C.B)=x-1≤x<3},AU 探究三与补集有关的参数范围问题 (CgB)={xlx≥一2. 例3][解]由已知A={xx≥-m},得CA=(x|x< 答案{x|-1≤x<3}{xx≥-2 一m》, 4,解析C,B={5},∴.5∈A,且5任B..m=5. 因为B={x-2<x<41,(CA)∩B=0, 答案5 专题1利用数轴、Venn图解决集合问题 -m-2024 题型一 利用数轴解决集合的运算问题 所以一m≤一2，即m≥2，所以m的取值范国是mm≥2. [例1门[解]如图，首先在数轴上表示出全集U和集合 [跟踪训练] A.B. 5.解，B={xx<一1或x>0},.C.B={x一1x U 0,因为要使A∩(CmB)=,结合数轴分析（如图），可 得a≤一1，即实数d的取值范国是{aa≤一1. -3-2-101234x 这样A∩B={x|一2≤x2},0A-{x|x<一2或3<x [问题探究 ≤4}，CB{xx<-3或2<r4,(CA)UB={xx L.[提示]card(A)=6,card(B)=4. ≤2或3<x≤4}，A∩(CB)={x2<x≤3}，(CA)U 2.[提示]对任意两个有限集合A,B,有cad(AUB)= (CB)={xx<-2或2<x≤4h. card(A)+card(B)-card(AB). 题型二 利用数轴解决集合的逆运算问题 如图所示，设①表示A中不含A∩B的区城里的元素个 [例2][解析]如图所示，在数轴上表示集合M与集合 数：②表示B中不含A∩B的区拔里的元素个数：③表 N,这样结合已知条件逐一分析后可得到答案为D, 示A∩B区战里的元素个数 [答案]D 题型三利用数轴解决求参数范围问题 知识点二H3全称量词存在量词Hx∈M, [例3[解]A={0小A=<3或r r(x)3r∈M,s(x) [微判断] ≥71， (1)(2)×(3)× ∴.(C.A)∩B={x2<x<3或7≤x<10. 【互动探究解疑难】 (2):AUC=R,则A和C如图所示： 探究一命题的真假与判断 [例1]解](1)是假命题，例如：1既不是质数也不是 3aa+1 合数 1a≥3， (2)不是命题，因为没有给定变量x的值，无法确定其 解得3≤a<6. a+1<7, 真假， 综上所述，当AUC=R时，实数的取值范围 (3)是假命题.因为0既不是正教也不是负数 为[3,6). (4)是真命题，代入验证即可： 题型四利用维恩图解决集合中的元素问题 (5)是真命题.由空集的定义和性质不难得出. [例4][解](1)”全集U={xx取不大于20的质数 [跟踪训练] =(2.3,5,7,11,13,17,19} 1.解(1)为疑问句，(5)为感叹句，两者均不是命题， (4)为一个和式，无法判断其真假，故也不是命题. 2,17 (2)为命题，且为真命题，三角形中，若某角为大角，则它 3,5 7,11 对的边大于小角所对的边， 19,13 (3)为命题，且为假命题，比如1一√2,1十√2的和为有理 数，但它们均为无理数，若x十y是有理数，则，y都是 有理数。 A∩(CuB)=(3,5},(CA)∩B={7,11,(CA)∩ 探究二全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (CB)=(2,171 [例2][解](1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量 ,.由维思图可知A=(3,5,13,19},B={7,11,13,19, 词命题.(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x, (2)赞成A的人数为50×是=30，赞成B的人数为30 5 y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题 十3=33，如图，记50名学生组成的集合为U,赞成A的 是真命题。 学生全体为集合A,赞成B的学生全体为集合B, (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数， 设对A,B都货成的学生人数为x,则对A,B都不赞成 所以该命题是真命题 (3)存在a=-5,b=-3,a<b,但(-5)>(-3)， 的学生人数为写x十1，赞成A而不赞成B的人数为 所以该命题是饭命题 30一x,餐成B而不赞成A的人数为33一x (4)由于x∈R,则x+2x+3=(x+1)2+2≥2. 依题意(30-x)+(33-x)十x+ 3x+1=50,解 因此使得x十2r十3=0的实数x不存在，所以孩命题 是假命题 得x=21. [跟踪训练] 故对观点A,B都货成的学生有21人： 2ACD取r=-是d=-日<0，所以选项A.C不正 确：由=3得x。=是无理数，所以选项B正确，选 项D不正确，故选ACD. 探究三 根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参 1.2常用逻辑用语 数的范围 [例3][解]命题p为真命题，①当a-0时，一次函数 1.2.1 命题与量词 y=2x+3的图象总在x轴上方，显然不能恒成立： 【自主学习探新知】 ②当a≠0时，由二次函教y=ax十2.x十3的图象总在 知识点一 真假陈述 a>0, 「微判断] a>0, x轴上方，得 1 (1)X(2)W(3) △=2-4×a×3<0, 6事高中数学·必修第一册(RJB) 2.由本例中数据，探究card(A),card(B),card：□牛刀小试 (AUB),card(A∩B)之间有什么关系.试借 1.若card(M)=12,card(P)=8,则card(MU 助Venn图说明此关系. P)的最大，最小值分别是 () A.12,8 B.20,8 C.20,12 D.20,4 2.一个有54人的班级，在一次语文、数学的两 项测试中，每人至少有一科成绩及格，其中 语、数两科都及格的有46人，语文及格的有 51人，则数学及格的人数是 () A.49人 B.50人 C.51人 D.52人 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},:3.已知集合A={x-2≤x<3},B={xx< 则CA等于 () 一1}，则A∩(CgB)= ,AU(CRB) A.1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5 D.0 2.设全集U={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6}, 4.已知集合A={3,4,m},集合B={3,4},若 B={2,3,5),则(CA)∩B= () C,B={5},则实数m= A.{3,5} B.{4,6} C.{1,2.3,5} D.{1,2,4,6} 提示请完成《素能提升训练)训练五 专题1利用数轴、Venn图解决集合问题 在集合的运算中，特别是涉及集合的交 集、并集、补集时，运算量大且抽象，容易出错， 而若能巧用数轴、Venn图化解集合问题，就可 解题更加直观、形象，从而提高解题效率。 题型一利用数轴解决集合的运算问题 [例1]已知全集U={xx≤4}，集合A={x -2≤x≤3}，B={x-3≤x≤2}，求A∩B, CA)UB.A(CB).(CA)U(CB). 规律方法川 利用数轴表示数集是化解集合运算的常用手段， 求解补集等问腿时更要注意全集U及区问端点的取 合等问题. 14 第一章集合与常用逻辑用语 题型二利用数轴解决集合的逆运算问题 题型四利用维恩图解决集合中的元素问题 [例2]设全集为I=R,集合M={xx≤1}， [例4门(1)设全集U={不大于20的质数}， N={x一1≤x≤2}，则{x1<x≤2}= 且A∩(CB)={3,5},(CA)∩B={7, 11},(CA)∩(CB)=〈2,17}，请绘制维恩 A.MUN B.MON 图求出集合A,B: C.CM)UN D.(CM)∩N (2)利用(1)题中的维恩图解决下面问题： 规律方法川 向50名学生调查对A,B两观点的态度，结 此题是一个集合的逆向运算问题，借助于数轴可 对集合的本质属性了解得更加清楚，有助于问题的 果如下：赞成观点A的人数是全体的，其 化解 余的不赞成：赞成观点B的比赞成观点A 题型三 利用数轴解决求参数范围问题 的多3人，其余的不赞成：另外，对观点A,B 例3] 设集合A=二≤0，B=x12 都不赞成的学生比对观点A,B都赞成的学 <x<10},C={x∈R|x<a或x>a十1}. 生的多1人.问：对观点A,B都赞成的学 (1)求A,(CRA)∩B: 生有多少人？ (2)若AUC=R,求实数a的取值范围. 川规律方法川 川规律方法川 在集合的确定过程中，性住要用检碧法进行验证， 44 以得到正确答案，维恩图的优点在于可使问题形象，直 利用数轴解决集合问题，关键要能够王确画出集 观，因此特助于维思图化解有关策合问愿是一个有效 合在数轴的范围表示，特别要注意区问增点是否包含， 的手段与方法， 15