1.1.3 集合的基本运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教B版2019）

第一章 集合与常用逻辑用语 D随堂巩固促应用 验证反愤 迁移运用 1.对于集合A,B,“ACB不成立”的含义是 C.R=- -1,y ( ) D.S=xlx<③,xE乙 A.B是A的子集 3.集合x -1 x1,xZ的子集的个数为 B.A中的元素都不是B中的元素 ( _ C.A中至少有一个元素不属于B A.1 B.2 C.4 D.8 D.B中至少有一个元素不属于A 4.(2022·天津高一期中)设集合A一(1,2) 2.(2022·大同高一检测)已知集合M-(x B-xlx<a),若ACB,则a的取值范围是 一、/5<x<3,xz),则下列集合是集合 ( ) A.(ala<2) M的子集的为 ( ~ B. (ala<1) C.(ala二1) A.P-(-3,0,1) D. (ala>2) B.Q-(-1,0,1,2 提示 请完成《素能提升训练》训练三 1.1.3 集合的基本运算 第1课时 交集与并集 [学习任务 1.理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个简单集合的交集和并集 2.能使用维恩图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用 D自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 交集 微练习 1.交集 1.已知集合A-{-1,0,1,2,B-(-1,0,3; 则AOB-_. 一般地,给定两个集合A.B,由 的所有元素(即 自然语言 的公共元 素)组成的集合,称为A与B的交集,记作 2.若P-[1,+oo),Q-(-1,4),则P0Q (读作“A交B”) 符号语言→ AB- 知识点二并集 图语言 (维图 1.并集 AOB 2.交集的运算性质 一般地.给定两个集合A.B.由这 自然语言 组成的集合,称为A与B的并 集,记作 ()AOB= (读作“A并B”) 符号语言 (2)AOA- AUB= (3)AO-OA-: 图形语言. ((维恩图) A或AB (4)如果ACB,则AOB一 ,反之也 AB AUB 成立. 高中数学·必修 第一册(RJB 2.并集的运算性质 微思考 [思考] (1)AUB- (1)“xEA或xEB”包含哪几种 (2)AUA- 情况? (3)AU-UA- (4)如果ACB,则AUB- ,反之也 (2)集合AUB的元素个数是否等于集合A 成立. 与集合B的元素个数之和? D互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 A.(0,1) 探究一 并集的运算 B.(0,2) C.(0,3) D.(1,2) [例1](1)设集合M={xlx2+2x=0,xER), 2.(2022·北京高一期末)已知集合A-v 7 N-xl-2x=0,xEB,则MUN-( B-x-2 x 7,则AUB ( ) A.(0) B.(0,2) A.(x|-2<x<2) B.(x|x<7) C.(-2,0 D.(-2,0,2) C.(xlx<7) D.x-2<x<7 (2)已知集合M-{x -3<x<5),N-x 探究二 交集的运算 <-5或x>5,则MUN- ( [例2] (1)若A={N|1<x<10),B= A.(xx-5或x-3 (xRx十x-6=0),则图中阴影部分表 ( 示的集合为 B.(x-5 x5) ) C.x|-3 x<5 D.(xx<-3或x>5 A.(2) lI规律方法lI B.(3 求集合并集的方法 C.(-3,2) D.(-2,3) (1)两集合用列举法给出:①依定义,直接观察求并集; ②借助Venn图写并集. (2)若已知集合A-[-1,2],B-[0,4],则 A0B- (2)两集合用描述法给出:①直接观察,写出并集;②借 ( ) 助数轴,求出并集 A.[o,2] B.[1,2] (3)一个集合用描述法,另一个用列举法:①直接观察 C.[o,4] D.[1,4] 找出并集;②借助图形,观察写出并集, [提醒] 若两个集合中有相同元素,在求其并集时,只 III规律方法|I 能算作一个. 求集合A门B的常见类型 (1)若A,B的元素是方程的根,则应先解方程求出方 C跟踪训练 程的根后,再求两集合的交集. 1.(多选)(2022·宿迁高一期中)已知集合 (2)若A,B的元素是有序数对,则AOB是指两个方 程组成的方程组的解集,交集是点集。 A-(xlx2一x-0),集合B中有两个元 (3)若A,B是无限数集,可以利用数轴来求解,但要注 素,且满足AUB-(0,1,2),则集合B可 意利用数轴表示不等式时,含有缩点的值用实心点表 )_过选 以是 ( 示,不含有端点的值用空心圆表示. 10 集合与常用逻辑用语 C跟踪训练 易错 示 3.设集合A=x-2<x<4 ,B=2,3,4,5 , 忽视空集的特殊性 则AOB= -_ ) A./2) B.(2,3) [典例]已知A=xER x<-2或x>3 C./3,4) D.(2,3,4) B- xERla<<2a-1 .若AUB-A,求 探究三 交集、并集运算中的参数问题 实数a的取值范围. [例3] 设集合M=(x|-2<x<5),N= x [错解] .AUB=A,.'.BCA, $- x2t+1,ER,若MUN=M,求实 (a>3. (2a-1<-2. 从而有 数:的取值范围. la<2a-1”a<2a-1, 解得a>3. 故实数a的取值范围是a>3. [错解分析] 由并集的定义容易知道,对于 IlI规律方法lI 任何一个集合A,都有A一A,所以错解 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点 忽略了B一的情况。 (1)依据:AOB=A-ACB,AUB-A-BCA. [正解] .AUB=A,.'.BCA. (2)关注点;当集合ACB时,若集合A不确定,运算时 要考虑A一的情况,否则易漏解 ①当B去时,解法同上,得到a>3 ②当B-时,由a>2a-1,得a<1. D跟踪训练 综上所述,实数a的取值范围是a1或a>3 4.已知集合A={xl-2<x<3 ,B={x|2m+$ -I|I误区警示lI 1 x m十7),若AUB-B,求实数m的取 值范围. 有两个独特的性质,即(1)对于任意集合A,皆 有AO一;(2)对于任意集合A,皆有AU一A 因此,如果AOB一,就要考虑集合A或B可能是 ;如果AUB一A,就要考虑集合B可能是. 随堂巩固促应用 监证反愤 迁移运用 1.已知集合P=x-1<x<1 ,Q={xl0$$ 3.已知集合M={-1,0),则满足MUN-[-1. x<2),则PUQ= f ( 0,1)的集合N的个数是 _ A.(x-1<x<2 B.xl0<x<1 A.2 B.3 C.(x-1<x<0 D.(x1<x<2) C.4 D.8 2.设集合M={x|0<x<4),N= {1<5),则M□ 4.已知集合A-(1,2,3,4),B-yly-3x -2 ( xA),则AOB-__. #A.{&0<<#}# #B.{##~4# 提示请完成《素能提升训练》训练四 C.(xl4<x<5) D.(x0x<5) 11 高中数学·必修 第一册(R]B 第2课时 补集 [学习任务] 1.了解全集的含义及其符号表示 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集 3.会用维恩图,数轴进行集合的运算 D自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 全集 (续表) 符号语言 1.定义;在研究集合与集合之间的关系时,如 CA- 果所要研究的集合都是某一给定集合的子 集,那么称这个给定的集合为全集 图形语言 2.记法:全集通常记作___. 微思考 2.补集运算的性质 [思考] 全集一定是实数集R吗 给定全集U及其任意一个子集A,有 ①AU(CA)-;②AO(A)-; ③C(LA)-__. 微判断 判断正误(正确的画“”,错误的画“×”). (1)存在xEU,xA,且xlA. 知识点二 补集的运算与性质 .() (2)设全集U=R,A-{x→1),则CoA= 1.补集的定义 如果集合A是全集U的一个子集,则由U {{11.# () 文字语言 中不属于A的所有元素组成的集合,称为 (③)设全集U=((x,v)xER,yEB),A A在U中的补集,记作[A,读作“A在U 中的补集” ((x,v)lx>0且v>0,则lA=((x,y)l x<o且y<0. () 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 补集的运算 (2)维恩图法:借助维恩图可直观地求出全集及补集, [例1](1)已知全集为U,集合A-(1,3,5, (3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数 7).A-(2,4,6),CB-(1,4,6),则集合 轴求解,此时需注意蜡点是否包含。 B一 (2)已知全集U-(xlx<5),集合A-(xl C跟踪训练 -3<x<5),则lA 1.若区间U=[-2,2],则A=[-2,0]的补集 A为 ( I|I规律方法lI _~ 求集合的补集的方法 A.(0,2) B.[0,2) (1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接 C.(0,2] 求解。 D.[o,2] 12 集合与常用逻辑用语 2.(2022·鹤壁高一期中)设U={x|-5<x< I|I规律方法|I -$或2<<5,,A-xx-2x- 15 由集合的补集求解参数的问题 -0),B-(-3,3,4),则CA= (1)如果所给集合是有限集,由补集求参数问题时,可 CB- 利用补集定义并结合知识求解. (2)如果所给集合是无限集,解决与集合交、并、补运算 探究二 集合交集、并集、补集的综合运算 有关的求参数问题时,一般利用数轴分析法求解. [例2] 已知全集U={xlx<4),集合A=〔xl D跟踪训练 -2 <3 ,B-{x-3<<2 ,求AB$$ 5.已知集合A={xx<a),B=xx<-1或 (CA)UB,AO(CB).C(AUB) x>0.若AO(.B)=,求实数a的取值 范围. -II规律方法lI 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一。 列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解,在 解答过程中常常借助于Venn图来求解,这样处理起 来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错。 教材 (2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集 拓展 集合运算中的元素个数问题 合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的 运算,解答过程中要注意边界问题. 在部分有限集中,我们经常遇到有关集合 D跟踪训练 中元素的个数问题,我们常用Venn图表示两 3.已知全集U-(1,2,3,4,5),集合M=(1, 集合的交、并、补集,如果用card表示有限集中 2).N=(3,4,则t.(MUN)= 元素的个数,如何确定集合AOB,AB元素 A.(5) B.(1,2) 的个数? C.(3,4) D.(1,2,3,4) [典例] 某超市进了两次货,第一次进的货是 4.(2022·扬州高一月考)已知全集U一R,集 圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共 合A={x|x+1<0 ,B={xx-3<0 ,那$ 6种,第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠 么集合(fl.A)OB= ( 方便面共4种,两次一共进了几种货 A.(xl-1<x<3 B.(x-1x<3 [解] 两次一共进了6十4一2-8种 C.(xlx<-1 D.(xx>3 D问题探究 探究三 与补集有关的参数范围问题 1.本例中,用集合A表示第一次进货的种 [例3] 设集合A={x|x+m0),B=(xl 数,用集合B表示第二次进货的种数,问 -2<x<4),全集U=R,且(CA)OB=, card(A),card(B)是多少? 求实数n的取值范围 13 高中数学·必修 第一册(RJB) 2.由本例中数据,探究card(A),card(B),card □牛刀小试 (AUB),card(AOB)之间有什么关系.试借 1.若card(M)-12,card(P)-8,则card(M 助Venn图说明此关系. ( P)的最大、最小值分别是 __ A.12,8 B.20,8 C.20,12 D.20,4 2.一个有54人的班级,在一次语文、数学的两 项测试中,每人至少有一科成绩及格,其中 语、数两科都及格的有46人,语文及格的有 51人,则数学及格的人数是 ( -_ A.49人 B.50人 C.51人 D.52人 随堂巩固促应用 验证反 迁移运用 1.设全集U=(1,2,3,4,5),集合A=1,2; 3.已知集合A={x-2<x<3 ,B=x <$ 则CA等于 ( ) 一1),则AO(fB)= ,AU(CB) A.(1,2) B.(3,4,5) C.(1,2,3,4.5 D. 2.设全集U-(1,2,3,4,5,6),A={2,4,6 ; 4.已知集合A-(3,4,n),集合B-(3,4),若 B=(2,3,5),则(CA)OB ) 7 1.B-(5),则实数m= A.(3,5) B.(4,6) 提示请完成《素能提升训练》训练五 C.(1,2,3,5) D.(1,2,4,6 专题1 利用数轴、Venn图解决集合问题 在集合的运算中,特别是涉及集合的交 集、并集、补集时,运算量大且抽象,容易出错, 而若能巧用数轴、Venn图化解集合问题,就可 解题更加直观、形象,从而提高解题效率 题型一 利用数轴解决集合的运算问题 [例1]已知全集U-(xlx<4),集合A-{xl -2<<3,B- x-3<x<2,求AB (fA)UB,AO(CB).(CA)U(CB). II规律方法| 利用数轴表示数集是化解集合运算的常用手段, 求解补集等问题时更要注意全集U及区间端点的取 舍等问题. 14知识点二 1.完全相同 A-B 2.ACB BCA ①当B-时,此时n=0,满足BCA. ACB BCA ②当B时,则m0,B=(xlmr-3=0)= -{31.# [微判断] (1)(2) (3 “BCA..3-1或3-3,解之得m-3或m-1. n n 【互动探究解疑难】 综上可知,所求实数1I的取值集合为(0,1,3。 探究一 集合间关系的判断 【随堂巩固促应用】 [例1](1)C 解方程x-3x十2-0得x-2或x-1,则 1.C A二B,即集合A中任意一个元素都是集合B中的 M-1,2 ,因为1M且1N,2M且2N,所以 元素,“A B不成立”,则A中至少有一个元素不属于 MCN.又因为0CN但0M,所以M二N.故选C. B,故选C. (2)D 因为A中元素是3的整数倍,而B中的元素是3 2.D 集合M--2,-1,0.1),集合R-(-3,-2),集合 的偶数倍,所以集合B是集合A的真子集,故选D S-(一1,0,1),不难发现集合P中的元素-36M,集合 (3)D(1.2).(2.1)表示两个不同的点,.',M去N..,选 Q中的元素2M,集合R中的元素一3M,而集合 项A错误;M有两个元素1,2,N有一个元素(1,2). S-(一1,0,1)中的任意一个元素都在集合M中,所以 '.MN.'.选项B错误;集合M是空集,集合N是含 SCM.故选D. 有一个元素的集合..'.M亡N...选项C错误;由x-2x 3.C 易知 xl-1< 1,x乙=0,1),故其子集的个 +1-0得x=x-1..,M-1-N,'选项D正确.故 数为2-4. 选D. 4.D 画出数轴可得a一2. [跟踪训练] ##4#:# 1.AB .A-xlx1,则2,3]CA.z:2CA(0. 1.2Axlx0A. 1.1.3 集合的基本运算 2.B 解x-x-0得x-1或x=0,故N-(0,1,易得 第1课时 交集与并集 NM,其对应的Venn图如选项B所示. 【自主学习探新知】 探究二 子集、真子集的个数问题 知识点一 1.即属于A又属于B A和B A□B [例2] [解] 由题意可以确定集合M必含有元素1,2, (xlxEA且xEB)2.(1)BOA (2)A (4)A 且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的 [微练习] 元素个数分类如下: 1.解析 由A--1,0.1,2,B- -1.0,3),得A0B 含有3个元素;(1,2,3,(1,2,4),(1,2,5); 一1,0. 含有4个元素;(1,2,3,4,(1,2,3,5),(1,2,4,5); 答案 $(-1,0) 含有5个元素:1,2,3,4,5). 2.解析 如图所示,P0Q-[1,4). 故满足条件的集合M为(1,2,3).1,2,4),1,2,5), (1,2,3,4).(1.2,3,5.(1,2,4,5).(1,2.3,4,5) [跟踪训练] 答案 [1,4) 3.解.A-(x,y)lx+y-2.x.yEN).A-(0,2). 知识点二 1.两个集合的所有元素 AB (1.1).(2,0). (xlxA或xEB)2.(1)BUA (2)A (3)A .A的子集:.(0.2)).((1.1))((2,0)).((0.2).(1,1)). (4)B ((0.2).(2,0)),((1.).(2.0)),((0,2)(1.1).(2,0)). [微思考] 探究三 根据集合间的包含关系求参数 (1)[提示]“xA或工B”这一条件包括下列三种情 [例3][解].BA. 况:rA,但xB:x-B.但xA:cA且xB 用维 ①当B-时,m+1<2m-1,解得m2. 恩图表示如图所示. [-3<2n-1. ACBCAB ②当B时,有{n十1<4. 解得-1n2 xEA.但xB xEB,但xA 2n-1m+1. △#) 综上可知,n的取值范围为[一1,十o) xEAH:EB [跟踪训练] (2)[提示] 不等于,AB的元素个数小于或等于集 4.解 由-4r+3-0,得x-1或x-3.,集合A-(1,3). 合A与集合B的元素个数之和 3 【互动探究解疑难】 2.B 因为M-(x10<<4》,N-{ <<5,所以 探究一 并集的运算 #M#N-{#1#~4.# [例1](1)DM-(l+2r-0,ER)-0,-2 . N- -2=0,R -0,2,故MUN--2,0. 3.C 由MUN-(-1.0.1).得到集合MCMUN,且集合 2.故选D. NCMUN,又M-(-1.0,所以元素1EN,则集合N可 (2)A 在数轴上表示集合M,N,如图所示,则M(IN 以为(1或(0,1)或(-1,1或-1,0,1),共4个,故选C (xlx-5或x-3. 4.解析 由题意得,B-1,4,7.10),所以A0B-(1,4. #AN# 答案(1,4) 第2课时 补集 [跟踪训练] 【自主学习探新知】 1.BD .A-xl--0-(0,1),且AUB-(0,1. 知识点一 2.U 2).则2B,由于集合中有两个元素,则B-[0,2或B [微思考] -(1,2. [提示] 不一定,全集是一个相对概念,因研究问题的 2$.B ,A=yly<7=l<7),B=l-2<7. 不同而变化,如在实数范围内解不等式,全集为实数集 .AUB-xl.7. R,而在整数范围内解不等式,则全集为整数集乙.若只 探究二 交集的运算 讨论大于0小于5的实数,可选xl0 x 5为全集,通 [例2](1)A 易知A-(1,2,3,4,5.6,7,8,9,10),B= 常也把给定的集合作为全集 (一3,2),图中阴影部分表示的集合为A0B一(2),故 知识点二 1.(xlxEU且xA) 2.U A 选A. [微判断] (2)A 在数轴上表示出集合A与B,如圈所示 (1)X(2)X (③)X #一 【互动探究解疑难】 探究一 补集的运算 则由交集的定义知,A门B-[0,2. [例1](1)[解析](1)方法一:A=(1,3,5,7),A [跟踪练] -(2,4.6)..0-(1.2,3,4.5,6.7. 3.B 由题设,有A0B-{2,3),故选B. 又CB-1,4.6.B-2.3,5.7. 探究三 交集、并集运算中的参数问题 方法二:借助Venn图,如图所示。 [例3] [解] 由MUN-M得NCM 当N时,21+1<2-1.即1此时MUN-M 57)# 成立. [2-1<2t+1. 由图可知B-2,3.5.7 解得。 12 [答案](2,3,5,7) 当N子②时,由图可得2十1<5, 2--2. (2)[解析] 将集合U和集合A分别表示在数轴上,如 图所示. 2t1 -2 2-t #-#。6-# 综上可知,实数1的取值范围是(1|2. 由补集定义可得lA-(xlx一3或x-5). [跟踪训练] [答案](xx<-3或x-5) [2m+1<n+7. [跟踪训练] 4.解 因为AUB-B,所以A二B,所以{2m+1<-2. 1.C 借助数轴易得CA-(0.2]. m十73. 解得-4n<- 故实数m的取值范图为{)4<”一#.## 2.解析 方法一:在集合U中,因为x巨Z,则z的值为 -5,-4,-3,3,4,5,所以U-(-5,-4,-3,3,4,5). 【随堂巩固促应用】 又A-(x|*-2x-15-0)= -3,5),所以fA= 1.A 结合数轴可得PUQ-x 一12.故选A (-5.-4,3,4),B-(-5.-4,5. 方法二:可用维恩图表示 则card(AB)表示A和B区域里一共有的不同元素 1 的个数,即card(AUB)-①+②+③; card(A)表示集合A的区域里的元素个数,即card(A) -①十③; -5-4 card(B)表示集合B的区域里的元素个数,即card(B) 则 A-(-5.-4.3,4),B- -5.-4,5). -②计③: (-5,-4,3.4)(-5.-4,5) 答案 注意到card(A)十card(B)一card(AOB)-(①+③)十 探究二 集合交集、并集、补集的综合运算 (②+③)-③-①+②+③-card(AUB),则结论 [例2] [解] 如图所示。 得证。 [牛刀小试] 1.C 0<card(MOP)<8,所以card(MUP)=card(M) “A-l-2<),B-rl-3 2,U-cl 4. 十card(P)一card(MOP)-20-card(MOP),故其最 'A-{xl-2或3<x4. 大值为20,最小值为12.故选C. CB-xlr-3或2<r4. 2.A 设语文及格的同学为集合A、数学及格的同学为集 AB-x|-2<2,AUB-xl-3<x3 合B.全班同学为集合U,则U一AUB.由已知,card(A) 故(CA)UB-xlr2或3r4. -51,eard(AOB)-46,card(AUB)-54,代入card(A AO(fB)-xl23). UB)-card(A)+card(B)-card(AOB),得54-51+ l(AUB)-xlx<-3或3<x4 card(B)一46,解得card(B)-49. [跟踪训练] 【随堂巩固促应用】 3.A 由题意可得:MUN-{1,2,3,4),则C.(MUN)= 1.B ·U-(1,23,4.5],A-1,2.A-3,4.5). 5. 2.A.U-1,2,3,4,5,6),A-2,4,6).A-1,3 4.AA={xl+1<0-<-1,B=rl-3 5.又B-(2.3,5).(A)0B-(3.5. 0=rl3.A-l-1)(CA)B= 3.解析A-x-2<3,B=rx-1.tB (r-1<r<3. -lx-1.A(lB)-xl-1<x3,A 探究三 与补集有关的参数范围问题 (fB)-xlr-2. [例3] [解]由已知A=xlx一m],得A=lx 答案 -1<x<3(x:-2 一n 4.解析 .tB-5.5A,且5Bm-5 因为B-l-2<x<4,(fA)OB- 答案5 专题1 利用数轴、Venn图解决集合问题 --2024- 所以一n-2.即m2,所以n的取值范围是mm2. 题型一 利用数轴解决集合的运算问题 [例1] [解] 如图,首先在数轴上表示出全集U和集合 [跟踪训练] A.B. 5.解 .B=xl-1或 0..l.B=-1 0).因为要使AO(L.B)一,结合数轴分析(如图),可 ## 得a一1.即实数a的取值范围是ala一1) 这样AB=l-2<2l.lAl -2或3 $ [问题探究] <4).Bxl-3或2<r4)(A)UB-{ 1.[提示] card(A)-6,card(B)-4. <2或3<4).AO(CB)=xl2 x3.(A) 2.[提示] 对任意两个有限集合A,B,有card(AUB)= (B)-r<-2或2<x4. card(A)+card(B)-card(AOB). 题型二 利用数轴解决集合的逆运算问题 如图所示,设①表示A中不含AOB的区域里的元素个 [例2] [解析] 如图所示,在数轴上表示集合M与集合 数:②表示B中不含A门B的区域里的元素个数;③表 V.这样结合已知条件逐一分析后可得到答案为D. 示AOB区域里的元素个数 #_.# [答案]D 1