1.1.1 集合及其表示方法-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教B版2019）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 第1课时 集合的含义 [学习任务] 1.了解集合和元素的含义,理解集合中元素的特点. 2.体会元素与集合的“属于”和“不属于”关系,记住常用数集的表示符号并会应用 3.理解集合相等的概念. 自主学习探新知 谋前习 双基落实 知识点一。 集合与元素 (2)接近于0的数可以组成集合 (③)rA与xA必居其一. 1.集合:把一些能够 对象 (4)中国较大的淡水湖可构成一个集合,( 汇集在一起,就说由这些对象组成一个集 知识点二,元素与集合的关系 合.通常用英文大写字母 ,..表示. 2.元素:组成集合的 都是这个集合的 1.集合的相等 给定两个集合A和B,如果组成它们的元素 元素,通常用英文小写字母 ....表示. 3.空集: ,就称这两个集合相等,记 任何元素的集合称为空集, 作 记作 2.集合的分类 4.集合与元素的关系 (1)有限集:含有 元素的集合. 知识点关系 概念 (2)无限集:含有 记法 读法 元素的集合. __集合 属于 “属于A” 知识点三几种常见的数集 元素与 A的元素 集合的 自然数集。 数集 正整数集整数集 集合 _ 实数集 关系 不属于 “a不属于A” A的元素 (非负整数集) 符号 N. 或A 7 5.集合元素的特点 微思考 (1)确定性:集合的元素必须是 的. (2)互异性:对于一个给定的集合,集合中的 [思考] 设集合A表示“1~10以内的所有 的 元素一定是 素数”,3,4这两个元素与集合A有什么关 (3)无序性:集合中的元素可以 系?如何用数学语言表示? 微判断 判断正误(正确的画“”,错误的画“×”) (1)组成集合的元素一定是数 () 1 高中数学·必修 第一册(RJB) D互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 对集合概念的理解 lI规律方法lI 判断元素与集合关系的两种方法 [例1 (多选)下列说法正确的是 (1)使用前提:集合中的元素是直接给出的 A.不大于20的所有自然数构成的集合有 (2)判断方法:首先明确集合是由哪些元素构 21个元素 成,然后再判断该元素在已知集合中是否出现 B.方程x^{-9-0的所有实数解能构成一个 即可 含有两个元素的集合 (1)使用前提;对于某些不便直接表示的集合 (2)判断方法:首先明确已知集合的元素具有 C.由实数-1,0和方程=1的解能构成四 什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元 个元素组成的集合 素所具有的特征即可 D.由2,3,4,5构成的集合和3,2,5,4构成 D跟踪训练 的集合是相等的集合 2.(1)给出下列说法: IlI规律方法lI ①R中最小的元素是0;②若aEZ,则一az 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有 明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的,还是 ③若aEO,bEN ,则a十bE。 “模校两可”的,如果是“确定无疑”的,就可以构成集 其中正确的个数为 合;如果是“模两可”的,就不能构成集合。 C.2 A.0 B.1 D.3 C跟踪训练 (2)设集合M是由不小于2/3的数组成的集 1.现有以下说法: 合,a一11,则下列关系中正确的是( _~ A.aCM ①高二(1)班较胖的同学构成一个集合; B.aM C.a-M ②正方体的全体构成一个集合; D.a-M ③未来世界的高科技产品构成一个集合; 探究三 元素特点的应用 ④不大于3的所有自然数构成一个集合 [例3] 已知集合A是由a-2,2a^{}+5a,12三 其中说法正确的是 ( 个元素组成的,且一3EA,求实数a. A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 探究二 集合与元素的关系 [例2 (1)下列所给关系正确的个数是 C ①nER:②0:③0EN;④-5 D变式训练 N. (变条件)[例3]中,若将“一3A”换成“a A.1 B.2 A”,求实数a的值. C.3 D.4 13 6 (2)集合A中的元素x满足 -EN.xEN. 则集合A中的元素为 2 第一章 集合与常用逻辑用语 II规律方法I [错解].2M,..当3x+3x-4-2,即 利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点 r*+x-2-0时,x--2或x-1;当x^*+$ (1)策略:根据集合中元素的确定性,可以解出字母的 -4=2,即r^②}+x-6-0时,r=-3或- 所有可能值,再根据集合中元素的互异性,对求得的参 数值进行检验。 2.故x--3或x-2或x--2或x-1. (2)注意点:利用集合中元素的互异性解题时,要注意 [错解分析] 错解中没有将工的值代回去 分类讨论思想的应用. 验证是否符合集合中元素的互异性,从而导 致增解. D跟踪训练 [正解]·.2M,当3x^+3x-4-2.即 3.(由集合相等求参数)设集合A中有两个元 *+x-2-0时,--2或x-1.将x--2 素x,v.B中有两个元素0,r^{,若A,B相等, x-1分别代入x^{}十x-4中,得到x^}十x-4 则实数:的值为 ,y的值为 均为一2,与集合中元素的互异性矛盾,均不 合题意,舍去;当-^{}十x-4-2,即x^{②}十-6$ 易错 -0时,x=-3或x-2.将x=-3,r-2分 示 忽略集合中元素的互异性 别代入3x^{②}+3x-4中,得到3x^{}+3x-4均 为14,均符合题意,故工的值是一3,2. [典例] 已知集合M是由3个元素-2,3^+ I|I误区警示lI 3x-4,r*十x-4组成的,若2M,求x 当集合中元素含有参数时,求出参数的值后一定 的值. 要代回集合中检验,确保满足集合中元素的互异性, 随堂巩固促应用 验证反 迁移运用 1.(多选)考察下列每组对象,能构成集合 3.有下列说法; 的是 ) ①集合N与集合N*是同一个集合; A.中国各地的美丽乡村 ②集合N中的元素都是集合Z中的元素; B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 ③集合0中的元素都是集合7中的元素; C.不小于3的自然数 ④集合0中的元素都是集合R中的元素. D.截止到2022年3月1日,所有加入“一带 其中正确的有 一路”的国家 (填序号). 2.若x满足x-1<3,则x是集合A中的元 4.方程x-2x-3-0的解集与集合A相等,若 素,那么下列各式正确的是 集合A中的元素是a,b,则a十b= A.3EA且-3A B.36A且-3A 提示请完成《素能提升训练》训练一 C.3A且-3A D.3A且-3A 第2课时 集合的表示方法 [学习任务] 1.掌握集合的两种表示方法 2.了解集合的两种表示方法的适用情况,并能在两种表示法中作出选择和转换 3.掌握区间的概念及表示方法. 3 高中数学·必修 第一册(RJB) 自主学习探新知 课前预习 双落实 知识点一 列举法 微思考 把集合中的元素 出来(相邻元 [思考] 不等式x一2<3的解集中的元素 素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来 有什么特征?能用列举法表示吗? 表示集合的方法称为列举法。 微判断 知识点三 判断正误(正确的画“”,错误的画“×”) 区间的概念及其表示方法 (1)由1,1,2.3组成的集合可用列举法表示 1.设a,是两个实数,且a<b,则有下表; 为(1,1,2,3. 定义 名称 符号 数轴表示 (2)0与(0)表示的是同一个集合 {010 ilr 闭区间 [a,] (3)方程(x-1){}·(x-2)-0的所有解构成 的集合可表示为1,2. () 开区间 rlar<6 (a,) 知识点二 描述法 zla r<b半开半闭区间 [,) 1.特征性质:一般地,如果属于集合A的 元素工都具有性质(x),而不属于 xa<x6半开半闭区间 1(, 集合A的元素都 这个性质,则性 2.实数集R可以用区间表示为(一,十。0). 质(x)称为集合A的一个特征性质 “。”读作“无穷大”. 2.描述法:集合A用它的特征性质(x)表示 集合 rr rlra 为(x|p(x)).这种表示集合的方法,称为特 xa 符号 (.十) 征性质描述法,简称为描述法。 (-oa] 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 用列举法表示集合 I|I规律方法lI 列举法表示集合的步骤及注意点 [例1 用列举法表示下列给定的集合: (1)不大于10的非负偶数组成的集合A; 分清元素 列举法表示集合,要分清是数集还是 点 (2)小于8的质数组成的集合B; (3)方程x-2x-3-0的实数根组成的集 书写集合 列元素时要做到不重复、不遗漏 合C; [提醒] 二元方程组的解集,函数的图象,点形成的集 [x十y-4. (4)方程组 的解集D. 合都是点的集合,一定要写成实数对的形式,元素与元 1x--2 素之间用“,”隔开,如((2,3),(5,一1)。 C跟踪训练 1.用列举法表示下列集合: (1)一年中有31天的月份的全体; (2)大于3.1小于12.8的整数的全体; 4 第一章 集合与常用逻辑用语 (3)方程 x-2士y士1-0的解集 (2)用适当的方法表示下列集合: (4)正奇数组成的集合 ①绝对值小于5的全体实数组成的集合; ②所有正方形组成的集合; ③除以3余1的所有整数组成的集合; ④构成英文单词mathematics的全体字母 探究二 用描述法表示集合 [例2] 用描述法表示下列集合 (1)正偶数集; I|I规律方法|I (2)被3除余2的正整数集合 选用列举法或描述法表示集合的原则 (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方 集合. 法,列举法的特点是能清楚地展现集合的元素,通常用 于表示元素个数较少的集合,当集合中元素较多或无 限时,就不宜采用列举法;描述法的特点是形式简单、 应用方便,通常用于表示元素具有明显共同特征的集 合,当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多 时,就不宜采用描述法. D跟踪训练 I|I规律方法I 利用描述法表示集合应关注三点 (1)写清楚该案合代表元素的符号,例如,集合r z 1 (1)试判断元素1和2与集合B的关系; 不能写成(11). (2)用列举法表示集合B. (2)所有描述的内容都要写在大括号内:例如,(x|文 2),bZ,这种表示方式就不符合要求,需将乙也 写进大括号,即(rr一2,b乙. (3)不能出现未被说明的字母。 D跟踪训练 2.下列三个集合:A-(xly=x*+1),B-yl 易错 示 忽略代表元素的范围或形式 -r+1),C-{(x,y)ly=r+1 (1)它们是不是相同的集合? [典例] 效 下列说法:①集合(xNx=x)用 (2)它们的含义分别是什么? 列举法可表示为(-1,0,1);②实数集可以 表示为xx为所有实数或R:③方程组 x十y-3, 的解集为(x-1,y-2).其中说 ---1 法正确的个数为 ) 探究三 集合表示的综合问题 C.1 A.3 B.2 D.0 [例3] (1)已知集合M=-1,0,1),N-x [解析]由x×=x,得x(x-1)(x十1)-0. x=ab,a,bEM,a去b),则集合N中所有元 解得x-0或x-1或x=-1.因为-1N 素之和为 ( 故集合{xNx=x)用列举法可表示为 B.0 C.1 A.-1 D.2 (0.1,故①不正确, 1n 高中数学·必修 第一册(RJB) 集合表示中的“”已包含“所有”“全体”等 [答案]D [易错防范] 含义,而“R”表示所有的实数组成的集合,故 ①易忽略代表元素xN,导 实数集正确表示应为xx为实数或R,故 致判断错误: ②不正确. ②出错是对常用数集的理解不到位; [r十y-3. ③出错是对“方程组的解为有序实数对”这 方程组 的解是有序实数对,其解 一点认识不到位. ---1 应为{(,) |I误区警示lI /{(=1 ,故③不正确. 12 解决集合问题时,首先要明确元素是什么,它的一 般形式是什么. D随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.将集合A=x 1<x<3用区间表示正确 3.下列集合中,不同于另外三个集合的是( _ ( ) 的是 A.(xlx-1) B.(1,3] A.(1,3) B.yl(y-1)?-o D.[1,3] C.[1,3) C./2-1) [x-y-3. D.1 的解集是 2.(多选)方程组 ) 2x十y-6 4.设集合A={x -2<<3 ,B=xlx2 B.(3 A.(x-3,-0 使得xA且xB的一个实数为 D.{(1{3# C.(3,0) 提示请完成《素能提升训练》训练二 1.1.2 集合的基本关系 [学习任务] 1.理解集合之间的包含与相等的含义 2.能识别给定集合的子集、真子集. 3.了解维恩图的含义,会用维恩图表示两个集合间的关系. 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 子集与真子集 (续表) 1.子集与真子集的定义 如果集合A是集合 符号表示 定义 图形表示 概念 B的_,并且B 料等 中 有一个元 如果集合A的 素不属于A.那么集 (或B 元素都是集合 A 叫将 A B B的元素,那么集 合A称为集合B的 (或BA) 合A称为集合B 真子集 的子集 6同步课堂讲义 第一章 集合与常用逻辑用语 [跟踪训练] 1.1 集合 2.(1)B 实数集中没有最小的元素,故①不正确;对于② 若aZ,则一a也是整数,故一aZ,所以②也不正确; 1.1.1 集合及其表示方法 只有③正确。 第1课时 集合的含义 (2)B 判断一个元素是否属于某个集合,关键是看这个 【自主学习探新知】 元素是否具有这个集合中元素的特征,若具有就是,否 知识点一 1.确定的 不同的 A.B,C 2.每个对象 a,b,c 3.不含 则不是.·11<2/③,.aM 探究三 元素特点的应用 4.是 aA 不是 aA [例3] [解] 由-3A,可得-3-a-2或-3-2^+ 5.(1)确定(2)不同(3)任意排列 2% [微判断] 5a..'a--1或a-- (1)× (2)× (3)(4)× 当a=-1时,a-2--3,2a^{}+5a--3,不符合集合中 知识点二 1.完全相同 A-B 元素的互异性,故a一一1应舍去. 2.(1)有限个(2)无限个 当a--时,a-2-- 知识点三 有理数集 [微思考] 元素的互异性. [提示] 3是集合A中的元素,即3属于集合A,记作 '二一 3A;4不是集合A中的元素,即4不属于集合A,记作 4A. [变式训练] 【互动探究解疑难】 解 由aéA,可得a-2-a或2a{}+5a-a或12-a 探究一 对集合概念的理解 当a-2-a时,-2-0,这显然不可能. [例1] ABD 对于A,不超过20的所有自然数有0,1, 当2a+5a=a时,a-0或a--2. ....20,所以它们能够构成一个含有21个元素的集合; 若a-0,三个元素分别为一2,0,12,适合; 对于B,方程一9-0的实数解有一3和3,它们能够构 若a=-2,三个元素分别为-4,-2,12,适合。 成一个集合,且含有两个元素;对于C,由于x^{一1的解 当12-a时,这三个元素是10,348,12,适合; 有一1和1,它们同一1,0构成集合时,一1只能算作一 综上所述,a的值为0或一2或12 个元素,所以该选项不正确;对于D,由元素的无序性, [跟踪训练] 可以知道这两个集合是相等的,所以D正确. 3.解析 因为集合A,B相等,所以x-0或y-0. [跟踪训练] ①当x-0时,x{-0,则B中两个元素都为0,不满足集 1.D 在①中,高二(1)班较胖的同学不能构成一个集合, 故①错误;在②中,正方体的全体能构成一个集合,故② 合中元素的互异性,故舍去 正确;在③中,未来世界的高科技产品不能构成一个集 ②当y=0时,x=x,解得x-0或x=1,由①知x- 合,故③错误;在④中,不大于3的所有自然数能构成一 应舍去,故x-1.综上可知,x-1,y-0 答案10 个集合,故④正确. 探究二 集合与元素的关系 【随堂巩固促应用】 [例2](1)B ①x是实数,所以R正确;②v6是无理 1.BCD A中“美丽”标准不明确,不符合确定性,BCD中 的元素标准明确,均可构成集合,故选BCD 数,所以6Q正确;③0不是正整数,所以0N*错 误;④l一5l-5为正整数,所以|一5|N错误.故 $.D.3-1=23,3A.又-3-1--4<③ 选B. .-3A. (2)[解析] 由题意可得:3-x可以为1,2,3,6,且工为 3.解析 因为集合N*表示正整数集,N表示自然数集,Z 自然数,因此x的值为2,1,0,因此A中的元素为2, 表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,所以①③ 1,0. 中的说法不正确,②④中的说法正确. [答案] 2.1,0 答案 ②④ _ 4.解析 .方程x*-2x-3-0的解集与集合A相等, 所以{x ly=x}+1)-R,即A-R,可以认为集合A表示 '.a,b是方程x②-2x-3-0的两个根,.'a十b-2. 函数y-x^{}十1中自变量的取值范围;集合B-{yly 答案 2 r+1的代表元素是y,满足条件y一r^}十1的y的取 第2课时 集合的表示方法 值范围是y>l,所以( yly=x+1)=yly1),可以认 【自主学习探新知】 为集合B表示函数y=x^{十1中因变量的取值范围.集 知识点一 一一列举 合C一((x,y)ly=x}十1)的代表元素是(x,y),是满足 [微判断] y-^}十1的数对,可以认为集合C是由坐标平面内满 (1)×(2)×(3) 足y-x十1的点(x,y)构成的. 知识点二 1.任意一个 不具有 探究三 集合表示的综合问题 [微思考] [例3](1)A.集合M- -1,0,1)...N-xlx=ab, [提示] 元素的共同特征为xR,且x5.不能用列 a,bM,a子b)一(-1,0)...集合N中所有元素之和为 举法表示。 -1. 知识点三 2.(xlx>a)[a,+oo) (一,a) (2)[解] ①绝对值小于5的全体实数组成的集合可表 【互动探究解疑难】 示为x||xl<5. 探究一 用列举法表示集合 ②所有正方形组成的集合可表示为(正方形). [例1][解](1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6, ③除以3余1的所有整数组成的集合可表示为(ala 8.10. 3x十1,x乙. 所以A-(0,2,4,6,8,10). ④构成英文单词mathematics的全体字母可表示为m (2)小于8的质数有2,3,5,7,所以B-(2,3,5,7) a,t,h,e.i,c,s. (3)方程x-2x-3-0的实数根为-1,3. [跟踪训练] 所以C-(-1,3). (十y=4. 的解为 (x-3. (4)方程组 lx-y-2 1-1, 所以方程组的解集D一((3,1). [跟踪训练] 1.解(1)(1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月). 【随堂巩固促应用】 (2)(4,5,6,7,8,9,10,11,12) 1.B 集合A为左开右闭区间,可表示为(1,3] (-2-0. (3)由方程 x-2十ly+1|-0可知, 2.CD 方程组解的形式是有序实数对,故可排除A,B,而 1+1-0. C.D是集合表示的描述法的正确形式,所以是正确的. 1x-2: 即 从而方程的解集用列举法表示为((2,一1)). -1, 3.C 由集合的含义知{xlx-1-(yl(y-1)-0) (4)正奇数组成的集合可用列举法表示为(1,3,5,7,...). (1),而集合(x一1)表示由方程x一1组成的集合,故 选C. 探究二 用描述法表示集合 4.解析 [例2] [解] (1)偶数可用式子x一2n,n乙表示,但此 如2A,2B,事实上在集合xl2 x 3)内任 一个实数都符合要求. 题要求为正偶数,故限定n仁N。,所以正偶数集可表示 答案 2(答案不唯一) 为(xlx-2n,nN.). 1.1.2 (2)设被3除余2的数为x,则x-3n十2,nZ,但元素 集合的基本关系 为正整数,故nN,所以被3除余2的正整数集合可表 【自主学习探新知】 示为(x|r-3n+2,nN. 知识点一 1.任意一个 二 二 子集 至少 = 2 (3)坐标轴上的点(工,y)的特点是横、纵坐标中至少有 2.封闭曲线 3.(1)子集 一个为0,即xy一0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点 [微思考] 的集合可表示为((x,y)xy一0). (1)[提示]不一定,如集合A-(0,1,2),B-(-1,0, [跟踪训练] 1),这两个集合就没有包含关系. 2.解(1)不是. (2)[提示] 符号“”表示元素与集合间的关系;而 (2)集合A-{xly-x十1)的代表元素是x,且xR, “C”表示集合与集合之间的关系. 2