第02讲 二次根式的运算（8个知识点+8种题型+分层练习）- 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第02讲 二次根式的运算（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点2．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点3．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点4．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点5．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点6．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点7．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点8．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型强化 题型一．最简二次根式 1．（2024春•淮南期末）下列各式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•金安区校级期末）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 　　． 题型二．二次根式的乘除法 3．（2024春•金安区校级期末）若的值是有理数，则的值可以是　　 A． B． C． D． 4．（2024春•亳州月考）设矩形的面积为，相邻的两边长分别为、，若，，则　　． 5．（2024春•金安区校级期末）观察以下等式； 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：． （1）按照以上规律，写出第5个等式：　　； （2）按照以上规律，写出你猜想的第个等式：　　（用含的等式表示，为正整数），并证明等式成立． 题型三．分母有理化 6．（2024春•蚌埠期末）如果，，那么下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 7．（2024春•阜南县校级月考）已知，则的值为　　． 8．（2023春•金安区校级期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当，都是正数时，①若，则；②若，则；③，则． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． （1）请用上述方法比较与的大小； （2）写出与为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 题型四．同类二次根式 9．（2024春•怀宁县期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 10．（2024春•濉溪县期末）已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 　　． 11．（2024春•庐江县校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式，且，求，平方和的算术平方根． 题型五．二次根式的加减法 12．（2024春•庐江县期中）若，则表示实数的点会落在数轴的　　 A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 13．（2024春•庐江县校级月考）计算的结果是 　　． 14．（2024春•包河区期末）计算：． 题型六．二次根式的混合运算 15．（2024春•池州月考）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 16．（2024春•利辛县月考）计算：　　． 17．（2024春•淮北期末）像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与与与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． （1）化简：①　　；②　　． （2）计算：． （3）已知，试比较，，的大小，并说明理由． 题型七．二次根式的化简求值 18．（2024春•亳州月考）已知，，则的值是　　 A．4 B． C．2 D． 19．（2024春•庐江县期中）已知，则代数式的值是 　　． 20．（2024春•池州校级月考）已知：； （1）　　，　　； （2）求的值； （3）若为整数部分，为小数部分，求的值． 题型八．二次根式的应用 21．（2024春•大观区校级期中）我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为，，，，，且，则值为　　 A． B． C． D．10 22．（2024•太和县一模）我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：若一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积．若一个三角形的三边长，，分别为，，，则这个三角形的面积为 　　． 23．（2024春•芜湖期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间． （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 分层练习 一、单选题 1．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．8的算术平方根是（   ） A．4 B． C． D．2 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6．下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 7．下列各式计算正确的是 A． B． C． D． 8．估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 9．下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．下列二次根式中，是最简二次根式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．式子的意义是 ． 12．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a＝ ． 13．计算： ． 14．a=，b=，则的值是 ． 三、解答题 15．如图，在平面直角坐标系中有一等腰直角三角形． (1)【画图】将直角顶点C向右平移4个单位长度到点，连接，． (2)【求解】在（1）中，已知四边形为正方形，求等腰直角三角形的直角边AC的长． 16．先化简，再求值：，其中． 17．阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求a的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：__________． (2)若，求a的取值范围． 18．已知，，求下列各式的值． （1）x2＋2xy＋y2； （2）x2－y2 19．在一个边长为的正方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余的部分的面积． 20．汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位m）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，小米公司新上市的小米汽车的动摩擦因数，则小米的100公里刹车距离是多少？（结果保留整数） 21．观察以下等式： 第1个等式：＝； 第2个等式：＝； 第3个等式：＝； 第4个等式：＝； 第5个等式：＝； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 22．有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的两块正方形木板． (1)截出的两块正方形木板的边长分别为______，______； (2)求剩余木板的面积； (3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5、宽为1.2的长方形木条，最多能截出______个这样的木条．（参考数据：） 23．阅读材料： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”完成下列问题： 如图，在中，，，． (1)求的面积； (2)设边上的高为，边上的高为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的运算（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点2．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点3．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点4．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点5．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点6．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点7．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点8．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型强化 题型一．最简二次根式 1．（2024春•淮南期末）下列各式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 、是最简二次根式； 、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 故选：． 【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2．（2024春•金安区校级期末）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 　　． 【分析】先根据二次根式有意义求出的取值范围，再根据为整数，以及最简二次根式的定义即可求出的最小值． 【解答】解：由题意得， 解得， 为整数， 当时，是最简二次根式； 故答案为：2． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是关键． 题型二．二次根式的乘除法 3．（2024春•金安区校级期末）若的值是有理数，则的值可以是　　 A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的乘法法则逐项判断即可． 【解答】解：，它不是有理数，则不符合题意； ，它是有理数，则符合题意； ，它不是有理数，则不符合题意； ，它不是有理数，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次根式的乘除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．（2024春•亳州月考）设矩形的面积为，相邻的两边长分别为、，若，，则　　． 【分析】根据题意得：．将，，代入即可得到的值． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握分母有理化是解题的关键． 5．（2024春•金安区校级期末）观察以下等式； 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：． （1）按照以上规律，写出第5个等式：　　； （2）按照以上规律，写出你猜想的第个等式：　　（用含的等式表示，为正整数），并证明等式成立． 【分析】（1）根据题干中的等式即可求得答案； （2）根据已知等式总结规律，然后利用二次根式的乘除法则证明即可． 【解答】解：（1）第5个等式：， 故答案为：； （2）第个等式：为正整数），证明如下： ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的乘除及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 题型三．分母有理化 6．（2024春•蚌埠期末）如果，，那么下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先判断出，，，然后根据二次根式的意义，二次根式的性质化简，即可得出结论． 【解答】解：， ，同号， ， ，， 无意义，故选项错误，不符合题意； ， 故选项正确，符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法等知识，掌握二次根式的性质是解题的关键． 7．（2024春•阜南县校级月考）已知，则的值为　　． 【分析】先将化简，再得出的值，然后将化简，最后将和的值代入计算即可． 【解答】解：，， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查了分母有理化及二次根式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．（2023春•金安区校级期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当，都是正数时，①若，则；②若，则；③，则． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． （1）请用上述方法比较与的大小； （2）写出与为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【分析】（1）由，得到，即可得到答案； （2）先计算得到，再根据即可得到结论． 【解答】（1）解：， ， ； （2）， 证明： ； ， ， ． 【点评】此题考查了二次根式的运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 题型四．同类二次根式 9．（2024春•怀宁县期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【解答】解：、，与不是同类二次根式； 、，与是同类二次根式； 、与不是同类二次根式； 、，与不是同类二次根式； 故选：． 【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的性质，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 10．（2024春•濉溪县期末）已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 　　． 【分析】先将进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【解答】解：与是同类二次根式， ， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 11．（2024春•庐江县校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式，且，求，平方和的算术平方根． 【分析】根据同类二次根式求出，再根据非负式子和为0，它们分别等于0即可得到答案． 【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式， ，解得， ，即， ，， ，， 解得，， ，的平方和为， ，平方和的算术平方根为5． 【点评】本题考查最简二次根式和同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 题型五．二次根式的加减法 12．（2024春•庐江县期中）若，则表示实数的点会落在数轴的　　 A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【分析】先化简二次根式，计算出的值，再估算出范围，再结合数轴即可得出结果． 【解答】解：，即， ， ， ，即， 故实数的点会落在数轴的段②上， 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 13．（2024春•庐江县校级月考）计算的结果是 　　． 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 14．（2024春•包河区期末）计算：． 【分析】先化简二次根式，再算加减法即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的加减法运算，熟练掌握二次根式的化简是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 题型六．二次根式的混合运算 15．（2024春•池州月考）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的运算法则，逐一进行计算判断即可． 【解答】解：、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查二次根式的运算．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 16．（2024春•利辛县月考）计算：　　． 【分析】根据二次根式的性质计算． 【解答】解：，且， 原式． 故答案为：6． 【点评】本题考查二次根式的运算，掌握是解题的关键． 17．（2024春•淮北期末）像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与与与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． （1）化简：①　　；②　　． （2）计算：． （3）已知，试比较，，的大小，并说明理由． 【分析】（1）分母有理化即可； （2）分母有理化可得结论； （3）利用倒数法判断大小． 【解答】解：（1）① ②． 故答案为：． （2） ． （3）， 同理：， ， ， ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 题型七．二次根式的化简求值 18．（2024春•亳州月考）已知，，则的值是　　 A．4 B． C．2 D． 【分析】先由题中条件判断，，再由二次根式性质对所求代数式变形化简，最后代值求解即可得到答案， 【解答】解：，， ，， ， 当时，原式， 故选：． 【点评】本题考查代数式求值，涉及二次根式性质、二次根式减法运算、由式子判断字母符号等知识，熟练掌握二次根式性质及运算是解决问题的关键． 19．（2024春•庐江县期中）已知，则代数式的值是 　　． 【分析】由，可得，有，即可得． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：13． 【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是根据已知变形，求出，再整体代入． 20．（2024春•池州校级月考）已知：； （1）　　，　　； （2）求的值； （3）若为整数部分，为小数部分，求的值． 【分析】（1）根据二次根式的运算法则，进行计算即可； （2）将代数式转化为：，再将（1）中结果代入求值即可； （3）求出，的值，再求出代数式的值即可． 【解答】解：（1）， ，； 故答案为：14，25； （2），， ； （3）， ， ， ，， 为整数部分，为小数部分， ， ． 【点评】本题考查已知字母的值，化简求值．掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键． 题型八．二次根式的应用 21．（2024春•大观区校级期中）我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为，，，，，且，则值为　　 A． B． C． D．10 【分析】依据题意，由海伦秦九韶公式转化得到关于的一元二次方程即可求解． 【解答】解：，， ， ， 即， ， ， 即， 把，，代入得： ， 整理得， 即， 且， ， ， 即， 故选：． 【点评】本题主要考查二次根式的应用，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握解一元二次方程是关键． 22．（2024•太和县一模）我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：若一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积．若一个三角形的三边长，，分别为，，，则这个三角形的面积为 　　． 【分析】利用给出的三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：由题意得，，， ， ， ． 【点评】本题考查了二次根式的知识，掌握二次根式计算方法是解题关键． 23．（2024春•芜湖期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从的高空落到地面的时间． （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【分析】（1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据根，求得高度，再根据公式物体质量高度，计算能量即可． 【解答】解：（1），， ． （2），， ， ， ， ， 对人构成伤害， 故严禁高空抛物． 【点评】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的定义即可判断. 【详解】A. 含有未开方开尽的数，不是最简二次根式；     B. 根号内含有分数，不是最简二次根式；     C. 根号内含有小数，不是最简二次根式； D. 是最简二次根式, 故选D. 【点睛】此题主要考查最简二次根式的定义，最简二次根式不含有未开方开尽的数、根号内不含有分数、根号不作分母. 2．下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】利用最简二次根式的定义判断即可． 【详解】A、原式=，不符合题意； B、原式= 2，不符合题意； C、原式为最简二次根式，符合题意； D、原式= 4，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 3．8的算术平方根是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，计算即可． 【详解】解：8的算术平方根是； 故选B． 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可． 【详解】A. ，不符合题意； B. 是最简二次根式，符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断． 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式．故该选项符合题意； B．，不是最简二次根式．故该选项不符合题意； C．，不是最简二次根式．故该选项不符合题意； D．，不是最简二次根式．故该选项不符合题意； 故选：A． 6．下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的知识．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式；据此判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，本选项符合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：A． 7．下列各式计算正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：根据合并同类项，算术平方根，负整数指数幂，二次根式的化简运算法则逐一计算作出判断： A、，原式计算错误，故本选项错误； B、，原式计算错误，故本选项错误； C、，原式计算错误，故本选项错误； D、，原式计算正确，故本选项正确． 故选D． 8．估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算、无理数的大小估算 【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解． 【详解】解：原式 ＝， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键． 9．下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】分别利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解；A、=|a+b|，故此选项错误； B、=a2+1，正确； C、，无法化简，故此选项错误； D、=|ab|，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 10．下列二次根式中，是最简二次根式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母，且不含能开方开的尽的因数或因式，进行判断即可． 【详解】解：下列二次根式中，是最简二次根式的有，共2个； 故选A． 二、填空题 11．式子的意义是 ． 【答案】a的算术平方根 【知识点】求二次根式的值、求一个数的算术平方根 【分析】根据算术平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：式子的意义是a的算术平方根， 故答案为：a的算术平方根． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，的算术平方根记；熟练掌握算术平方根定义是解题关键． 12．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a＝ ． 【答案】3 【知识点】同类二次根式 【分析】先把化为最简二次根式，则根据同类二次根式的定义得到． 【详解】解：∵，最简二次根式与是同类二次根式 ∴ 故答案为：3 【点睛】本题考查了同类二次根式，解题的关键是理解同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 13．计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质和因式分解的方法得到，再把除法化为乘法，然后约分即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：，且， 原式 ， 故答案为：． 14．a=，b=，则的值是 ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】直接将a=，b=代入进行求值即可． 【详解】解：当a=，b=时， 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及代数式求值，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 三、解答题 15．如图，在平面直角坐标系中有一等腰直角三角形． (1)【画图】将直角顶点C向右平移4个单位长度到点，连接，． (2)【求解】在（1）中，已知四边形为正方形，求等腰直角三角形的直角边AC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】坐标与图形、算术平方根的实际应用、平移(作图)、化为最简二次根式 【分析】本题考查作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． （1）根据将直角顶点C向右平移4个单位长度到点C＇，作图即可； （2）根据正方形面积为四个等腰直角三角形的面积和，再由正方形面积公式列方程求解. 【详解】（1）解：如图， （2）解：由图形可知：正方形的面积为： ∴，∴ 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【知识点】二次根式的加减运算、分式化简求值、分母有理化 【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可． 【详解】解：， ， ， ， =， 把 ，代入上式， =． 【点睛】考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键． 17．阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求a的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：__________． (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1)2 (2)或 【知识点】利用二次根式的性质化简、化简绝对值 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质， （1）根据二次格式的性质即可得； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可得； 掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：原式， 当时，原式， 故答案为：4． （2）解：， 当时，原式， ，符合条件； 当时，原式，（舍去）； 当时，原式， ，符合条件， ∴a的取值范围是或． 18．已知，，求下列各式的值． （1）x2＋2xy＋y2； （2）x2－y2 【答案】（1）20；（2） 【知识点】判断能否用公式法分解因式、已知条件式，化简求值 【分析】（1）先由已知条件得到，，，然后运用完全平方公式因式分解待求式，再整体代入计算即可． （2）运用平方差公式因式分解待求式，再整体代入计算即可． 【详解】解：，， （1）； （2）． 【点睛】本题考查了二次根式的条件求值，解题的关键是运用乘法公式进行因式分解，用两个数的和、差与积表示待求式，利用整体代入的思想代入计算． 19．在一个边长为的正方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余的部分的面积． 【答案】剩余的部分的面积是 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，利用两个正方形的面积差求得剩余部分的面积即可． 【详解】解： ， 故剩余的部分的面积是． 20．汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位m）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，小米公司新上市的小米汽车的动摩擦因数，则小米的100公里刹车距离是多少？（结果保留整数） 【答案】31米 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的实际应用，根据题意，代入数据计算即可． 【详解】解：根据题意得：，即， （米）， 答：小米的100公里刹车距离是31米． 21．观察以下等式： 第1个等式：＝； 第2个等式：＝； 第3个等式：＝； 第4个等式：＝； 第5个等式：＝； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)第n个等式，证明见解析 【知识点】复合二次根式的化简、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据题意写出第6个等式； （2）根据二次根式的性质、二次根式的混合运算法则证明结论． 【详解】（1）第6个等式：； （2）第个等式：． 证明： ， ∵左边=右边， 故该等式成立． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键． 22．有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的两块正方形木板． (1)截出的两块正方形木板的边长分别为______，______； (2)求剩余木板的面积； (3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5、宽为1.2的长方形木条，最多能截出______个这样的木条．（参考数据：） 【答案】(1)， (2) (3)2 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用； （1）由正方形的面积可得边长，再利用二次根式的性质化简，即可求解； （2）求出剩余的木料的长和宽，即可求面积； （3）求剩余的木料的长和宽，即可求解． 【详解】（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为，， 故答案为：，； （2）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为， ∴剩余的面积为； （3）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为， ∵，， 能截出块这样的木条． 故答案为：2． 23．阅读材料： 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”完成下列问题： 如图，在中，，，． (1)求的面积； (2)设边上的高为，边上的高为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的应用 【分析】此题主要考查三角形面积的计算，二次根式的运算，解题的关键是根据题意及所学的三角形的面积公式进行求解． （1）先计算，再代入海伦公式即可求解； （2）根据三角形的面积求法即可求出，，即可计算2的值． 【详解】（1）解：根据题意知， 所以， ∴的面积为； （2）∵， ∴ ∴，； ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$